2020高中數(shù)學 第1章 常用邏輯用語章末復習課學案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10-學必求其心得，業(yè)必貴于專精第1章常用邏輯用語充分條件、必要條件與充要條件的探究【例1】已知p：－2〈m<0,0<n<1;q:關于x的方程x2＋mx＋n＝0有兩個小于1的正根．試分析p是q的什么條件．[解］若關于x的方程x2＋mx＋n＝0有兩個小于1的正根，設為x1，x2，則0＜x1＜1，0＜x2＜1,有0＜x1＋x2＜2且0＜x1x2＜1。根據(jù)根與系數(shù)的關系eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－m，,x1x2＝n，）)得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（0＜－m＜2，,0＜n＜1，））即－2＜m＜0,0＜n＜1，故有q?p。反之,取m＝－eq\f（1,3），n＝eq\f（1,2）,那么方程變?yōu)閤2－eq\f（1，3)x＋eq\f(1,2）＝0,則Δ＝eq\f（1，9）－4×eq\f(1，2）＜0，此時方程x2＋mx＋n＝0無實根，所以peq\o(/，?)q。綜上所述，p是q的必要不充分條件．對于充分條件、必要條件與充要條件的判定，實際上是對命題真假的判定，記“若p，則q”為真命題,記為“p?q”，“若p，則q”為假命題，記為“peq\o(?，/）q”.提醒：充分條件、必要條件與充要條件的探究，需要從兩個方面加以論證，切勿漏掉其中一個方面。1．已知p:｛x|－2≤x≤10}，q：{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0｝，若p是q的充分不必要條件,求實數(shù)m的取值范圍．[解]法一：令A＝｛x|－2≤x≤10｝，B＝｛x｜x2－2x＋1－m2≤0,m＞0｝＝{x|［x－(1－m)]［x－（1＋m）]≤0，m＞0}＝｛x|1－m≤x≤1＋m,m＞0｝．∵p是q的充分不必要條件,∴AB。∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（1－m＜1＋m,，1－m≤－2，,1＋m＞10，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＜1＋m，，1－m＜－2,，1＋m≥10，））解得m≥9.故實數(shù)m的取值范圍是｛m|m≥9}．法二：∵p是q的充分不必要條件，∴﹁p是﹁q的必要不充分條件．由法一知p：A＝{x|－2≤x≤10｝,q：B＝{x｜1－m≤x≤1＋m,m＞0}，∴﹁p：C＝{x｜x＜－2或x＞10｝，﹁q：D＝｛x｜x＜1－m或x＞1＋m，m＞0｝．∴DC，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（1－m＜1＋m,,1－m≤－2,,1＋m〉10,）)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＜1＋m，,1－m＜－2,，1＋m≥10，））解得m≥9。故實數(shù)m的取值范圍是{m｜m≥9}。命題的否定與否命題【例2】寫出下列命題的否定和否命題：（1）若x＝2或x＝－1,則x2－x－2＝0；(2)若集合B真包含于集合A，則集合A包含于集合B。[解］（1)命題的否定：若x＝2或x＝－1，則x2－x－2≠0.否命題：若x≠2且x≠－1，則x2－x－2≠0.（2)命題的否定:若集合B真包含于集合A，則集合A不包含于集合B.否命題：若集合B不真包含于集合A，則集合A不包含于集合B。命題的否定與否命題的區(qū)別1定義命題的否定一般是直接對命題的結論進行否定，而否命題是對原命題的條件和結論分別否定組成的命題。2構成形式對于“若p，則q"形式的命題，其命題的否定為“若p,則q”，而其否命題的形式為“若p，則q”.3與原命題的真假關系命題的否定與原命題的真假性總是相對的，即一真一假，而否命題與原命題的真假性無必然聯(lián)系.2．請寫出下列命題的否命題和命題的否定．（1)若|x|＋|y｜＝0，則x＝y(tǒng)＝0;（2）若△ABC是等腰三角形，則它有兩個內角相等；（3）若x2－3x－4≤0，則－1≤x≤4。[解](1)否命題：若｜x|＋|y｜≠0,則x,y中至少有一個不為0；命題的否定：若｜x|＋｜y|＝0，則x,y中至少有一個不為0.(2)否命題：若△ABC不是等腰三角形，則它的任意兩個內角都不相等；命題的否定：若△ABC是等腰三角形，則它的任意兩個內角都不相等．（3)否命題：若x2－3x－4〉0,則x〈－1或x>4；命題的否定：若x2－3x－4≤0,則x<－1或x〉4。等價轉化思想的應用【例3】已知c〉0，設p：函數(shù)y＝cx在R上單調遞減；q：不等式x＋｜x－2c|>1的解集為R。如果p和q有且僅有一個為真命題，求c的取值范圍．［解］函數(shù)y＝cx在R上單調遞減?0＜c＜1.不等式x＋|x－2c｜〉1的解集為R?函數(shù)y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1?！選＋|x－2c|＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x－2c,x≥2c，,2c,x＜2c，))函數(shù)y＝x＋｜x－2c|在R上的最小值為2c，∴2c＞1，得c＞eq\f(1,2)。如果p真q假，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜c＜1，，0＜c≤\f（1,2），)）解得0〈c≤eq\f（1，2)；如果q真p假,則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(c≥1，,c＞\f(1，2)，））解得c≥1.∴c的取值范圍為eq\b\lc\（\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f(1，2)）)∪[1，＋∞）．等價轉化思想是包含在化歸思想中的一種比較具體的數(shù)學思想，本章主要體現(xiàn)在四種命題間的相互轉化與集合之間的等價轉化、原命題與其逆否命題之間的等價轉化等,即以充要條件為基礎，把同一種數(shù)學意義的內容從一種數(shù)學語言形式等價轉化為另一種數(shù)學語言形式，從而使復雜問題簡單化、具體化.3．已知命題p:(x＋1）（x－5）≤0，命題q:1－m≤x〈1＋m(m>0)．（1）若p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍;(2）若m＝5，“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數(shù)x的取值范圍．［解］（1）由命題p:（x＋1)（x－5)≤0,解得－1≤x≤5。命題q:1－m≤x＜1＋m(m〉0）．∵p是q的充分條件,∴［－1，5]?[1－m,1＋m），∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（1－m≤－1,，5＜1＋m,）)解得m＞4，則實數(shù)m的取值范圍為(4,＋∞）．(2）∵m＝5，∴命題q：－4≤x<6?！摺皃∨q"為真命題，“p∧q”為假命題，∴命題p,q為一真一假．當p真q假時，可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－1≤x≤5,，x＜－4或x≥6,））解得x∈?.當q真p假時，可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＜－1或x＞5，,－4≤x＜6，)）解得－4≤x〈－1或5〈x〈6.因此x的取值范圍是［－4，－1)∪(5,6）。分類討論思想的應用【例4】已知關于x的方程(m∈Z)：mx2－4x＋4＝0， ①x2－4mx＋4m2－4m－5＝0, ②求方程①和②的根都是整數(shù)的充要條件．[解]當m＝0時，方程①的根為x＝1，方程②化為x2－5＝0，無整數(shù)根,∴m≠0。當m≠0時,方程①有實數(shù)根的充要條件是Δ＝16－4×4m≥0?m≤1；方程②有實數(shù)根的充要條件是Δ＝16m2－4（4m2－4m－5)≥0?m≥－eq\f（5,4）.∴－eq\f(5,4）≤m≤1.又∵m∈Z,∴m＝－1或m＝1。當m＝－1時，方程①為x2＋4x－4＝0,無整數(shù)根；當m＝1時，方程①為x2－4x＋4＝0，方程②為x2－4x－5＝0。此時①和②均有整數(shù)根．綜上，方程①和②均有整數(shù)根的充要條件是m＝1.分類討論思想是中學數(shù)學中常用的數(shù)學思想之一，利用分類討論思想解答問題已成為高考中考查學生知識和能力的熱點.解題中要找清討論的標準.4．已知p：eq\f（x－5，x－3)≥2；q:x2－ax≤x－a.若p是q的充分條件,求實數(shù)a的取值范圍．［解］∵p：eq\f(x－5,x－3）≥2，∴eq\f（x－1,x－3）≤0，即1≤x＜3.又∵q:x2－ax≤x－a