課件8.7方向?qū)?shù)與梯度

方向?qū)?shù)與梯梯1達(dá)較涼快的地點(diǎn) 問題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變化最快的方向(即梯度方向)爬行 ⒈函數(shù)沿某一方向的變化問題——方向?qū)Щ羁斓姆较颉荻确?回憶一元函數(shù)y

f(x)

x

x xx

(只能從右側(cè)或左所以一元函數(shù)

x)二元函數(shù)z

f(x,y)

(x

y(x

yy)

(x,y)

(x,y)(可以從任意方 所以二元函數(shù)有無窮多方向?qū)?llyP1.方向?qū)?shù)的在點(diǎn)Pxy)附近l上

y(x)(x)2(y)2記|PP|.

即 定義

P

f(P)

f(P

f(x

x,y

y)

f(x,

則將這個(gè)極限值稱為函數(shù)在(或方

P沿方l的方向?qū)?P

f(P)

f(P

f(x

x,y

y)

f(x,y) lyPP沿方向lyP(或方向微商)。

f即

f(x

x,

yy)

f(x,y) 5定理(充分條件

f

y)則函數(shù)(x,

且

f

(

y)cos

fy(

y)cos證明

(

y)在x

f(x

yy)

f(

y)

yfx(

y)x

fy(

y)yo()

P 2.2.關(guān)于方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算6llyPf(xx,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)yo()

f(x

yy)

f(x,y)

fx(

y)x

fy(x,

y)y

o()]lfxl

y)cos

fy(

y)cos7方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)存可(2)在定

y0

的方向?qū)?shù) l

fx(x0

y0)cos

fy(x0

y0)coscos,cos8ylPl方y(tǒng)lPl方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)

fx(x,y)cosfy(x,y)coscos,cos特別特別當(dāng)l與x軸同向α0

β

時(shí),

f當(dāng)l與x軸反向α

β

時(shí),

f 當(dāng)l與y軸同向

當(dāng)l與y軸反向

9例討論函數(shù)z

f(

y)

在(0,0)x2y2x2y2

(0,0)

f(x,0)

f

lim|x

(0,0)

lim

y

z

(

y)x2x2y2l

OP

f(0

cos,0

cos)

f(0,0)

yyly(cos)2(cos)2(cos 方向?qū)?shù)存方向?qū)?shù)存可

(x0

y0)cos

fy(x0

y0)cos例考慮函

zx3y2,定點(diǎn)P(3,1),P(2,3).P0

方向的方向?qū)?shù)解

3x2

(

y y(

2x3

(

54

55cos55

5,5155275

1)

54

cos 55

(x0,y0)cos

fy(x0

y0)cos

(

y)x2

xy

并問在怎樣的方向上此方向?qū)(1大值;(2小值;(3于l

fx

yfx(1,1)cos

fyO

Px(2x

y)(1,1)(1最大值;(2最小值;(3等于零

(2x

y)(1,1)22

sin

sin(

當(dāng)

時(shí),

方向?qū)?shù)達(dá)到最大值當(dāng)

5時(shí)4

方向?qū)?shù)達(dá)到最小值 當(dāng)4

7時(shí)4

方向?qū)?shù)等于求z

ln(x

y)在y2

1x1x1x1x(1,2)2

(1,2)

13

yyOx

13法

2y 4tan

22cos2

1

z12 2

1 22 22求z

ln(x

y)在y2

拋物線在該點(diǎn)的切線偏向x軸正向的方向?qū)?shù)解(1,2)

1x1x

13

1x1xyOx

13法

則曲線可看成參數(shù)方 xxy2 xxy2(1,2)處的切向量

T

2x)(1,2)2x)

2cos2

1

z2 2u

(

yz)

P(

y,z)

的方向?qū)?shù)f

f(x

x,y

y,z

z)

f(

y,z)(

[P

cos

(x)2((x)2(y)2

]fzcos ]cos,cos

是l的方向余例設(shè)n是曲面2x2

3

z2

6x28y26x28y2zyzPyzP

[f

xnP P(F,F,FxnP 424262

6

2z)

z6z6nO23xy

(4,

n

指向外側(cè)的法向量的方向余弦cos

,cos

,cos 6x28y6x28y2zz

cos

,cos

[fP6 6 6x2

P6x26x2z2P

n

8

11.7 ]]

f

cos

fycos

fzcos 求函數(shù)u

在點(diǎn)

M(1,2,2)處x2y2z2曲線

t,

2t2,

2t

在此點(diǎn)t切線方向上的方向?qū)(1,2,2處t=t增加的切線方向的方向

19

cos

49

89x

827

MM

227

z 27l

[f

cos

fycos

fzcos

19

cos

49

8]9]x

827

MM

227

z 27 l

8

2)4

2(8)

16243梯使函數(shù)有最大方向?qū)?shù)的方向稱為梯度方向方向?qū)?shù)公

f

(x0

y0)cos

fy(x0

y0)cosl0l0(cos,cosT(fxfy)0當(dāng)l0與T方向一致時(shí),最大值為|T使函數(shù)有最大方向?qū)?shù)的方向稱為當(dāng)當(dāng)l0與T方向一致導(dǎo)數(shù)取最大值為|TT(fxfy)P0結(jié)梯度結(jié)

記作

(x0

y0)(fx

fy0⑵函數(shù)沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大即增長最⑶最大方向?qū)?shù)f2(f2(x,y)x00f2(x,yy00Tgradf(x0,y0)

(x0

y0)cos

fy(x0

y0)cos

(x0

y0)lll

也記

(fx

fy梯度的幾何在幾何上梯度的幾何

f(

y)表示一個(gè)曲曲面被平

z

zz截得曲線z

f(x,y) 所得曲線在xOy面上投影是一條平面曲

f(f(x,y)f(x,y)f(x,y)1等值（高） f(

y)

表示一條平其參數(shù)形式：x

fxffxfyyx

(

y)處的切向量為

dfgradfgradff,fxy

df所以梯度為

f(

y)上點(diǎn)x,y)

處的法向量gradfgradf(x,y)(x,y)f(x,y)梯度的幾何意gradgradff,fxydf 梯度為等值曲線

(

y)

y)處的法向量三元函數(shù)u

f(

y,

在點(diǎn)P0x0

y0z0

y0,z0

f(x0

y0,z0)

f(x0

y0,z0)

fx

fy

fz0⑵函數(shù)沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大增長最⑶最大方向?qū)?shù)ff2(x,y,z)f2(x,y,z)f2(x,y,zx000y000x000

(x0

y0

z0[

cos

fycos

fz

(x0,y0,z0df

(x0

y0

z0)lll梯度的幾何意梯度的幾何意

f(

y,z)上點(diǎn)x,

y,z)處的切平面的法向量

f(

y,z)

f

fy,fxzxz

x2

2

3z2

2y處的梯度,并問在哪些點(diǎn)處梯度解gradux,yz)(2x

4y

2,6z=== ===gradu(1,1,2在P

處梯度為0 2

,0 例設(shè)函

z

(

y)

xey.

沿什么方向增最大增長率解f

梯度方向增長最快梯度方向

(fx

fy)(2,0)(ey

115xe

最大的增長

f(2,0)| z

f(

y)

xey.

沿什么方向減最大減少率為多少?沿什么方向變化最慢解f

梯度反方向減少最快梯度反方向

fx

fy

5(2,0)5

最大減少率

|grad

2,0) 沿與梯度垂直的方向變化最慢與梯度垂直的方向?yàn)?/p>

例 可導(dǎo),其 為

試

xrf(rxrf(r)

f(r)yr

f(r)

f(r)r

f(r)(

(r) ,r

(r r

f(r f(r)

1(xr

y,z 0f(r)r0r

f(r) 小結(jié)1、方向?qū)?shù)的概（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別P P

cos

2、梯度的概

（注意梯度是一個(gè)向量

(x,

y)

3、方向?qū)?shù)與梯度梯度的方向就是函數(shù)最快.

f(

y)作 5，7，9，1112，13，17，設(shè)旋轉(zhuǎn)拋物面z

x2

y2

在任意點(diǎn)P(xy處向上的法向量為n(即與z軸夾角為銳角的法向量)，u

解解因f

,

y]ly]n(Fx,Fy,Fz

(2x,2y,1為向下的法向故向上的法向量應(yīng)為方向余弦為

(2x,

2cos

2x

,cos

2

,cos 4x24y2

4x24y2

4x24y2ux

y2z3

uy

uz

3xy2z2l

[f

cosfycos

fzcos cos

2x

,cos

2 ,cos 4x2

4y2

4x2

4y2

4x2

4y2ux

y2z3

uy

uz

3xy2z2

2x

y2z3

2y2xyz313xy2z2n

4x24y2]]xy2z2(6z4x24y2u

y22a2 b22

z2c2

在點(diǎn)Mx0

y0z0處沿點(diǎn)的向徑x2x2y2z2000rrxyz

|

r||r

r||r

r||r

cos

cosM

2x0a2

r|r

2b2

r|r

c2

r|ru2a2