2021-2022學(xué)年河北省邢臺(tái)市會(huì)寧中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年河北省邢臺(tái)市會(huì)寧中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．B【分析】將直線方程化為斜截式，可得直線的斜率，再由斜率公式，結(jié)合傾斜角的范圍，即可得到所求角．【詳解】直線，即為，則直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，則，可得，故選：B．2．已知，，，若，，共面，則λ等于（

）．A． B．3 C． D．9C【分析】由，，共面，設(shè)，列方程組能求出λ的值．【詳解】∵，，共面，∴設(shè)(實(shí)數(shù)m、n)，即，∴，解得．故選：C．3．設(shè)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（）A． B． C． D．C【分析】判斷橢圓長(zhǎng)軸（焦點(diǎn)坐標(biāo)）所在的軸，求出a，接利用橢圓的定義，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】橢圓=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸，a=，P是橢圓=1上的動(dòng)點(diǎn)，由橢圓的定義可知：則P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a=2．故選C．本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．如圖，空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，且，設(shè)，則x，y，z的值為（

）A． B． C． D．C【分析】將表示為以為基底的向量，由此求得的值.【詳解】依題意，所以.故選：C.本小題主要考查空間中，用基底表示向量，考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5．設(shè)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，為原點(diǎn)，則的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．B利用點(diǎn)到直線的距離公式直接求出原點(diǎn)到直線的距離，即為的最小值.【詳解】原點(diǎn)到直線的距離為，故的最小值為.故選：B.6．已知直線l1：3mx+（m+2）y+3＝0，l2：（m﹣2）x+（m+2）y+2＝0，且l1∥l2，則m的值為（）A．﹣1 B． C．或﹣2 D．﹣1或﹣2A【分析】利用直線與直線平行的性質(zhì)直接求解．【詳解】根據(jù)兩直線平行的公式可得，故解得故選：A．7．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面是等邊三角形，側(cè)面底面為底面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足．則點(diǎn)到直線的最短距離為（

）A． B． C． D．D【分析】依題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，即可得到，從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，點(diǎn)到直線，即為圓上的點(diǎn)到直線的距離，即可得解；【詳解】解：依題意取的中點(diǎn)，連接，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，，因?yàn)椋?，即，即?dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)到直線，即為圓上的點(diǎn)到直線的距離，所以點(diǎn)到直線的最短距離故選：D8．過(guò)三點(diǎn)，，的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則A．2 B．8 C．4 D．10C【詳解】由已知得，，所以，所以，即為直角三角形，其外接圓圓心為AC中點(diǎn)，半徑為長(zhǎng)為，所以外接圓方程為，令，得，所以，故選C．圓的方程．二、多選題9．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若直線與直線互相垂直，則B．直線的傾斜角的取值范圍是C．過(guò)，兩點(diǎn)的所有直線的方程為D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為ACD．根據(jù)直線垂直的等價(jià)條件進(jìn)行判斷，．根據(jù)直線斜率以及正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷，．當(dāng)直線和坐標(biāo)軸平行時(shí)，不滿足條件．．過(guò)原點(diǎn)的直線也滿足條件．【詳解】解：．當(dāng)，兩直線方程分別為和，此時(shí)也滿足直線垂直，故錯(cuò)誤，．直線的斜率，則，即，則，故正確，．當(dāng)，或，時(shí)直線方程為，或，此時(shí)直線方程不成立，故錯(cuò)誤，．若直線過(guò)原點(diǎn)，則直線方程為，此時(shí)也滿足條件，故錯(cuò)誤，故選：．10．已知ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，下列說(shuō)法中正確的是()A．B．C．向量與向量的夾角是60°D．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為AB【分析】根據(jù)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的特征，利用空間向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積公式即可求解.【詳解】由題意，正方體ABCD﹣A1B1C1D1如下圖所示：由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正確；∵，AB1⊥A1C，∴，故B正確；∵△ACD1是等邊三角形，∴∠AD1C＝60°，又∵A1BD1C，∴異面直線AD1與A1B所成的夾角為60°，但是向量與向量的夾角是120°，故C錯(cuò)誤；∵AB⊥AA1，∴，故0，故D錯(cuò)誤．故選：AB．11．下列命題正確的有（

）A．若方程表示圓，則的取值范圍是B．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是C．已知點(diǎn)在圓C：上，的最大值為1D．已知圓和，圓和圓的公共弦長(zhǎng)為BD將圓的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得圓心坐標(biāo)，可判斷選項(xiàng)A，設(shè)利用圓心到直線的距離等于半徑可求圓心坐標(biāo)，即可得圓的方程，可判斷選項(xiàng)B，表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，可得相切時(shí)取得最值，設(shè)切線為，利用圓心到切線的距離等于半徑，即可求出的值，可得的最值，即可判斷選項(xiàng)C，兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程，利用弦心距、弦長(zhǎng)的一半、半徑構(gòu)成直角三角形即可求出弦長(zhǎng)，即可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而得出正確選項(xiàng).【詳解】若方程表示圓，則，即，解得或，故選項(xiàng)A不正確；設(shè)圓心，則圓心到直線的距離為，解得，即圓心為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，故選項(xiàng)B正確；由可得，表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，可得相切時(shí)取得最值，設(shè)切線為，則，顯然不是方程的解，故的最大值不是1，故選項(xiàng)C不正確，將兩個(gè)圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程，由得，可得圓心，，圓心到直線的距離所以弦長(zhǎng)為，所以公共弦長(zhǎng)為，故選項(xiàng)D正確，故選：BD方法點(diǎn)睛：圓的弦長(zhǎng)的求法：（1）幾何法，設(shè)圓的半徑為，弦心距為，弦長(zhǎng)為，則；（2）代數(shù)法，設(shè)直線與圓相交于，，聯(lián)立直線與圓的方程，消去得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，從而可求出，，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，即可得出結(jié)果.12．在長(zhǎng)方體中，，，，以為原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．異面直線與所成角的余弦值為C．平面的一個(gè)法向量為D．二面角的余弦值為ACD【分析】根據(jù)坐標(biāo)系求出各相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合異面直線向量夾角公式，平面法向量求解公式，二面角向量夾角公式，對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可．【詳解】解：在長(zhǎng)方體中，，，，以為原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，∵，，∴，故A正確；對(duì)于B，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，則異面直線與所成角的余弦值為：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得平面的一個(gè)法向量為，故C正確；對(duì)于D，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，∴二面角的余弦值為：，故D正確.故選：ACD．三、填空題13．有一光線從點(diǎn)射到直線以后，再反射到點(diǎn)，則入射光線所在直線的方程為_(kāi)__________.【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，可得，解得點(diǎn)，再利用點(diǎn)斜式即可得出．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得．則點(diǎn)在反射光線所在的直線上．反射光線所在的直線方程為：，化為．反射光線所在的直線方程為．故14．設(shè)為橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段的中點(diǎn)在y軸上，則的值為_(kāi)__________.【分析】由給定條件探求出PF2⊥x軸，由此求出的長(zhǎng)，再借助橢圓定義即可得解.【詳解】依題意，，右焦點(diǎn)，如圖，因線段的中點(diǎn)在y軸上，而O是線段，于是得PF2//y軸，即PF2⊥x軸，由得，則有，于是有，，所以的值為.故15．已知過(guò)點(diǎn)的直線l被圓所截得的弦長(zhǎng)為8，那么直線l的方程_____________.或【詳解】分析：首先求得圓心到直線的距離，然后求解直線方程即可.詳解：設(shè)圓心到直線的距離為，由題意可知：，解得：，即點(diǎn)到經(jīng)過(guò)點(diǎn)直線的距離為，很明顯直線的斜率不存在時(shí)滿足題意，直線方程為，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，由點(diǎn)到直線距離公式可得：，解得：，此時(shí)，直線方程為，整理為一般式即.綜上可得：直線的方程為或.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，直線方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16．“康威圓定理”是英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·康威引以為豪的研究成果之一.定理的內(nèi)容是這樣的：如圖，的三條邊長(zhǎng)分別為，，.延長(zhǎng)線段至點(diǎn)，使得，以此類(lèi)推得到點(diǎn)和，那么這六個(gè)點(diǎn)共圓，這個(gè)圓稱為康威圓.已知，則由生成的康威圓的半徑為_(kāi)__________.利用弦長(zhǎng)相等，，圓心與弦所在直線距離相等，得圓心是直角的內(nèi)心，從而易求得圓半徑．【詳解】設(shè)是圓心，因?yàn)?，因此到直線的距離相等，從而是直角的內(nèi)心，作于，連接，則，，所以．故．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求圓心的半徑，關(guān)鍵是找出圓心位置，解題根據(jù)是利用弦長(zhǎng)相等，則圓心到弦所在直線的距離相等，從而得出圓心是題中直角三角形內(nèi)心，這樣由勾股定理可得結(jié)論．四、解答題17．已知的頂點(diǎn)，邊AB上的中線CM所在直線方程為，邊AC上的高BH所在直線方程為．求：(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)直線BC的方程．(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)直線AC與直線BH垂直，斜率乘積為-1，得到，從而利用點(diǎn)斜式求出直線AC方程，與CM所在直線聯(lián)立求出點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表達(dá)出點(diǎn)坐標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入BH所在直線，求出，從而求出點(diǎn)B坐標(biāo)，結(jié)合第一問(wèn)求解的點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出直線BC的方程【詳解】（1）因?yàn)檫匒C上的高BH所在直線方程為∴，且∴∵的頂點(diǎn)∴直線AC方程：，即與聯(lián)立，，解得：所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2）因?yàn)镃M所在直線方程為故設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以因?yàn)樵贐H所在直線上所以，解得：所以點(diǎn)坐標(biāo)為由第一問(wèn)知：C的坐標(biāo)為故直線BC的方程為，整理得：18．如圖，直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證∶平面；（2）求與平面所成角的正弦值及直線到面的距離．(1)證明見(jiàn)解析；(2)；.【分析】(1)連接A1C交AC1于點(diǎn)N，連接MN，證明B1C//MN即可推理得證；(2)由給定條件，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量即可求線面角及線面距離.【詳解】(1)在直三棱柱中，連接A1C交AC1于點(diǎn)N，連接MN，如圖，則點(diǎn)N是線段A1C中點(diǎn)，而M是線段A1B1中點(diǎn)，從而有MN//B1C，又平面，平面，所以平面；(2)依題意，平面ABC，又，則以點(diǎn)C為原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，令為平面的法向量，則，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值是；由(1)知，平面，則直線到平面的距離等于點(diǎn)B1到平面的距離d，因此，，所以直線到平面的距離是.19．已知圓C的圓心C在直線上，且與x軸相切，直線與圓C交于A、B兩點(diǎn)，且的面積為.（1）求圓C的方程；（2）當(dāng)圓C的圓心在第一象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，求切線方程.（1）或；（2）和.【分析】（1）根據(jù)圓心在直線上，可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，利用距離公式和弦長(zhǎng)公式代入面積公式，即可得解；（2）要求圓的切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，分切線斜率存在和不存在兩種情況討論即可得解.【詳解】（1）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，則半徑為.∴圓心C到直線的距離為，.則，由，解得.符合條件的圓C的方程為或.（2）當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為，即，由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心到直線的距離，解得，所以切線方程為即，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，圓心到直線的距離是3，是圓的切線，綜上，過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為和.20．如圖，在底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱中，P是側(cè)棱上的一點(diǎn)，(1)試確定m的值，使直線AP與平面所成角為；(2)在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的m，有？證明你的結(jié)論．(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線與平面所成角的公式求出m的值；（2）假設(shè)在線段上存在這樣的點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x，則，由，即，求出，即可得出答案．【詳解】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，，，，，，，由，,知，為平面的一個(gè)法向量．設(shè)AP與平面所成的角為，則，解得故當(dāng)時(shí)，直線AP與平面所成角為．（2）假設(shè)在線段上存在這樣的點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x，則，，依題意，得，即，，解得，當(dāng)Q為的中點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)的要求．21．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，（1）求的取值范圍；（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求的值.（1）;（2）.【分析】（1）聯(lián)立直線與圓的方程，利用判別式大于零，即可求k的取值范圍；（2）由已知條件及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理列出關(guān)于k的方程，求出k的值即可．【詳解】（1）聯(lián)立，所以，可得.（2）設(shè)，所以，由（1）知：，，則，解得.22．如圖甲所示，在矩形ABCD中，，，為的中點(diǎn)，沿AE將翻折，使D折至處，且二面角為直二面角（如圖乙）．（1）求證：；（2