2022-2023學(xué)年云南省玉溪市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年云南省玉溪市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)，，則（

）A． B． C． D．D【分析】分解因式化簡(jiǎn)集合，利用集合的交集定義計(jì)算可得答案．【詳解】，則故選：D2．若經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線的傾斜角是，則（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)直線的斜率和傾斜角的關(guān)系，列出方程，計(jì)算可得答案.【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線的斜率為，則，故故選：B3．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，D【分析】根據(jù)共面向量基本定理判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：，無(wú)解，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)：，無(wú)解，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)：，無(wú)解，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：，解得，，故D正確.故選：D.4．甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知個(gè)人能破譯的概率分別是，，求密碼被成功破譯的概率（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式與對(duì)立事件分析即可得密碼被成功破譯的概率.【詳解】解：由題意知甲、乙兩人獨(dú)立破譯的概率分別是，則被成功破譯為事件，則.故選：B.5．已知，若，，，則（

）A． B．C． D．C【分析】先去掉絕對(duì)值，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.【詳解】，，而在上單調(diào)遞增，所以，即.故選：C6．已知圓錐的表面積為3m2，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐底面的面積為（

）A．1m2 B．m2 C．2m2 D．m2A【分析】根據(jù)圓錐表面積公式，以及圓的周長(zhǎng)公式展開(kāi)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l；則圓錐的表面積為：因?yàn)閳A錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，即由此解得故選:A7．已知圓，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．C【分析】當(dāng)圓被直線截得的弦最短時(shí)，圓心到弦的距離最大，此時(shí)圓心與定點(diǎn)的連線垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理即可得出答案.【詳解】由圓的方程知圓心，半徑為，當(dāng)圓被直線截得的弦最短時(shí)，圓心與的連線垂直于弦，弦心距為：，所以最短弦長(zhǎng)為.故選：C.8．如圖，平行六面體的底面是菱形，，且，則異面直線與所成角的余弦值為(

)A． B． C． D．D【分析】求出即可求出異面直線與所成角的余弦值．【詳解】由題可設(shè)，則易知三個(gè)向量之間兩兩的數(shù)量積均為，，∴異面直線與所成角的余弦值為0．故選：D．二、多選題9．某市為了考察一所高中全體學(xué)生參與第六屆全國(guó)中小學(xué)生“學(xué)憲法，講憲法”憲法小衛(wèi)士活動(dòng)的完成情況，對(duì)本校2000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，按照[50，60）、[60，70）、…、[90，100]分成5組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，下列說(shuō)法正確的是（

）A．圖中的值為0.020B．由直方圖中的數(shù)據(jù)，可估計(jì)75%分位數(shù)是82C．由直方圖中的數(shù)據(jù)，可估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為77D．90分以上將獲得金牌小衛(wèi)士稱(chēng)號(hào)，則該校有20人獲得該稱(chēng)號(hào)AC【分析】A選項(xiàng)：據(jù)頻率分布直方圖中矩形面積之和為1，即可求出；B選項(xiàng)：根據(jù)百分位的計(jì)算求出75%分位數(shù)，即可判斷；C選項(xiàng)：根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法求出平均數(shù)，即可判斷；D選項(xiàng)：根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)×頻率，求出90分以上的同學(xué)數(shù)即可判斷.【詳解】，解得，故A正確；，，故估計(jì)75%分位數(shù)是，故B錯(cuò)；，故C正確；，故D錯(cuò).故選：AC.10．已知為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，關(guān)于方程的說(shuō)法正確的是(

)A．該方程表示的直線恒過(guò)點(diǎn)B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，該方程表示的直線垂直于軸C．若直線與平行，則或3D．若直線與直線垂直，則ABD【分析】根據(jù)經(jīng)過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線系方程的相關(guān)性質(zhì)即可逐項(xiàng)判斷求解．【詳解】．對(duì)于選項(xiàng)A：由得，聯(lián)立兩個(gè)方程解得x=y=1，故該方程表示的直線恒過(guò)定點(diǎn)(1，1)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若表示垂直于y軸的直線，則2+λ=0，且1-2λ≠0，即λ=-2，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若直線與平行，則，且，解得，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若直線與直線垂直，則直線的斜率為1，即，解得，故D正確．故選：ABD．11．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最大值為B．當(dāng)時(shí)，的最小正周期為C．若是的一條對(duì)稱(chēng)軸，則D．若在區(qū)間內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)，則ACD【分析】首先將函數(shù)化簡(jiǎn)成，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可判斷ABC，D中，先求的范圍，再根據(jù)零點(diǎn)分布情況，列不等式即可求解.【詳解】,對(duì)于A，因?yàn)椋院瘮?shù)的最大值為，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，周期，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若是的一條對(duì)稱(chēng)軸，則，解得，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，若在區(qū)間內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)，則，解得，D正確.故選：ACD12．有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱(chēng)作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．該半正多面體的體積為B．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，C．當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包含端點(diǎn)），始終與垂直D．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為BCD【分析】首先根據(jù)題意，將幾何體在正方體中截取出來(lái)，然后根據(jù)圖形，即可求解.【詳解】如圖所示：依據(jù)題意，棱長(zhǎng)為可知，該幾何體是在邊長(zhǎng)為的正方體中截取.該幾何體為大正方體截取八個(gè)一樣的正三棱錐得到的，則體積為，故A錯(cuò)誤；當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B處時(shí)，，故B正確；在正方體中，始終垂直于平面BHDC，當(dāng)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AH始終與DE垂直，故C正確；當(dāng)E與B重合時(shí)，ED與平面AGHF平行，所以此時(shí)線面夾角為，當(dāng)E與C重合時(shí)，此時(shí)線面夾角為，故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，D正確.故選：BCD三、填空題13．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是____________.3-i##-i+3【分析】先化簡(jiǎn)，然后就可以寫(xiě)出它的共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以的共軛?fù)數(shù)為：故答案為.14．若向量，滿足，，則的最大值為_(kāi)__________.13【分析】利用，化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可計(jì)算得到所求的最大值.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，故1315．設(shè)空間兩個(gè)單位向量，與向量的夾角的余弦值都等于，則_____________.##【分析】根據(jù)為單位向量得到，與夾角的余弦值為得到，解得，同理得到，然后利用數(shù)量積求即可.【詳解】為單位向量，且與夾角的余弦值為，所以，，解得，同理可得，所以，又，所以.故答案為.16．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)___________.1【分析】分類(lèi)討論正負(fù)，得到解析式，畫(huà)出圖象，然后利用的幾何意義求最值即可.【詳解】當(dāng)，時(shí)，，整理得；當(dāng)，時(shí)，，整理得①；當(dāng)，時(shí)，，整理得；當(dāng)，時(shí)，，整理得；所以的軌跡如下圖，，表示和所在直線的斜率，由圖可知，當(dāng)和①相切時(shí)，斜率最大，設(shè)：，則，解得或（舍去），所以的最大值為1.故1.四、解答題17．已知直線(1)已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與垂直，求的方程;(2)在上任取一點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，連接，取靠三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，求與之間的距離.(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直線，可設(shè)線的方程為，代入點(diǎn)，即可求得的方程；（2）由題意可得，利用平行線之間的距離公式可得直線與直線之間的距離，根據(jù)題意可得與之間的距離即，即可得與之間的距離.【詳解】（1）解：因?yàn)橹本€，則設(shè)直線的方程為：，代入點(diǎn)，則有，所以所以的方程為：；（2）解：，可得，又，直線與直線之間的距離，點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，與之間的距離18．在長(zhǎng)方體中，，為上的動(dòng)點(diǎn)，(1)求證：平面;(2)求與平面所成角的正弦值.(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由線面平行可得面面平行，進(jìn)而可得線面平行，（2）由線面垂直可得線面角的平面角，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可求解.【詳解】（1）如圖，連接、，在長(zhǎng)方體中，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面，同理平面，又，平面，平面平面，又平面，平面（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作垂足為，平面，平面，又,平面，平面，平面，為直線與平面所成角，在中，由等面積法可得，，又，19．在中，角的對(duì)邊分別為，已知(1)求角；(2)當(dāng)求的周長(zhǎng).(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)已知條件，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系可得，再由余弦邊角關(guān)系得，進(jìn)而可得，最后結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求角；（2）由（1）及三角形面積公式得，故，應(yīng)用余弦定理可得，進(jìn)而求出，即可得周長(zhǎng).【詳解】（1）由已知，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系得：，，故，，，；（2）由（1）得：，，則，，由余弦定理得，，，，所以周長(zhǎng)為.20．已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，為過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的弦.(1)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng);(2)若為的中點(diǎn)，求所在直線的方程.(1)(2)【分析】(1)將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，再求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式和垂徑定理即可求解；(2)因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，進(jìn)而求出直線的斜率即可求解.【詳解】（1）由題得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑，當(dāng)時(shí)，直線的斜率.所以直線的方程為，即.圓心到直線的距離.所以.（2）由（1）知圓心的坐標(biāo)為，為中點(diǎn)時(shí)，，，直線的斜率不存在，直線的方程為.21．如圖，在直三棱柱中，，，，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn);(1)當(dāng)時(shí)，求證：;(2)已知為中點(diǎn)時(shí)，線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為，若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)證明見(jiàn)解析(2)線段上存在點(diǎn)，滿足使得平面與平面夾角的余弦值為【分析】（1）以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可證明.（2）根據(jù)（1）中建系，設(shè)，然后求得平面的法向量，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則（2）設(shè)，其中，則故，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，平面為平面，所以平面的法向量可為，假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即，，符合題意，所以線段上存在點(diǎn)，滿足使得平面與平面夾角的余弦值為.22．環(huán)保生活，低碳出行，電動(dòng)汽車(chē)正成為人們購(gòu)車(chē)的熱門(mén)選擇.新能源汽車(chē)采用非常規(guī)的車(chē)用燃料作為動(dòng)力來(lái)源，目前比較常見(jiàn)的主要有兩種：混合動(dòng)力汽車(chē)，純電動(dòng)汽車(chē).為了提高生產(chǎn)質(zhì)量，有關(guān)部門(mén)在國(guó)道上對(duì)某型號(hào)純電動(dòng)汽車(chē)進(jìn)行測(cè)試，國(guó)道限速80km/h，經(jīng)多次測(cè)試得到該汽車(chē)每小時(shí)耗電量（單位：Wh）與速度（單位：km/h）的數(shù)據(jù)如下表所示：為了描述國(guó)道上該汽車(chē)每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：（且），，(1)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（說(shuō)明理由，并求所選函數(shù)模型的函數(shù)解析式;(2)根據(jù)（1）中所得函數(shù)解析式，求解如下問(wèn)題：現(xiàn)有一輛同型號(hào)電動(dòng)汽車(chē)從A地駛到B地，前一段是160km的國(guó)道（汽車(chē)勻速行駛），后一段是60km的高速路（汽車(chē)行駛速度不低于80km/h，勻速行駛），若高速路上該汽車(chē)每小時(shí)耗電量（單位：Wh）與速度（單位：km/h）的關(guān)系滿足，則如何行使才能使得總耗電量最少，最少為多少？(1)選擇，理由見(jiàn)解析(2)當(dāng)該汽車(chē)在國(guó)道上行駛速度為40km/h，在高速路上的行駛速度為80km/h時(shí)，總耗電量最少，最少為26585Wh.·【分析】（1）對(duì)三個(gè)函數(shù)性質(zhì)分別分析得出所要的函數(shù)（2）由（1）中所選的函數(shù)分別分析汽車(chē)在國(guó)道路段所