2020高中數(shù)學(xué) 第2章 統(tǒng)計 2.4 線性回歸方程講義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。4線性回歸方程學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)1.了解兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系并與函數(shù)關(guān)系比較．2．會作散點圖，并利用散點圖判斷兩個變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系．3．能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程，并能由回歸方程對總體進行預(yù)測、估計．（重點、難點）通過對已有數(shù)量的分析、運算培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).1．變量之間的兩類常見關(guān)系在實際問題中，變量之間的常見關(guān)系有如下兩類：一類是確定性函數(shù)關(guān)系,變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示．另一類是相關(guān)關(guān)系，變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)表示．2．相關(guān)關(guān)系的分類相關(guān)關(guān)系分線性相關(guān)和非線性相關(guān)兩種．3．線性回歸方程系數(shù)公式能用直線方程eq\o（y，\s\up6（^）)＝bx＋a近似表示的相關(guān)關(guān)系叫做線性相關(guān)關(guān)系,該方程叫線性回歸方程．給出一組數(shù)據(jù)(x1,y1)，（x2，y2),…，（xn，yn）,線性回歸方程中的系數(shù)a，b滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(n\i\su（i＝1，n，x)iyi－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\i\su（i＝1,n,x)i））\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1，n,y）i)）,n\i\su(i＝1，n,x)\o\al（2，i）－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\i\su(i＝1,n,x）i）)2），,a＝\x\to（y)－b\x\to(x）.））上式還可以表示為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f（\i\su（i＝1，n，x)iyi－n\o(x，\s\up6（－））\o（y，\s\up6（－）)，\i\su（i＝1，n，x）\o\al（2,i)－n\x\to（x）2)＝\f（\i\su(i＝1，n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to（y），\i\su(i＝1，n，)xi－\x\to(x)2），a＝\x\to(y）－b\x\to(x).））1．有下列關(guān)系：①人的年齡與其擁有的財富之間的關(guān)系；②曲線上點與該點的坐標之間的關(guān)系;③蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④森林中的同一樹木,其橫截面直徑與高度之間的關(guān)系;⑤學(xué)生與其學(xué)號之間的關(guān)系．其中具有相關(guān)關(guān)系的是________．①③④[②⑤為確定關(guān)系不是相關(guān)關(guān)系．］2．下面四個散點圖中點的分布狀態(tài),直觀上判斷兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系的是________．③［散點圖①中的點無規(guī)律的分布,范圍很廣，表明兩個變量之間的相關(guān)程度很小;②中所有的點都在同一條直線上，是函數(shù)關(guān)系；③中點的分布在一條帶狀區(qū)域上，即點分布在一條直線的附近，是線性相關(guān)關(guān)系；④中的點也分布在一條帶狀區(qū)域內(nèi)，但不是線性的，而是一條曲線附近,所以不是線性相關(guān)關(guān)系，故填③。]3．工人工資y(元)依勞動生產(chǎn)率x（千元)變化的線性回歸方程為eq\o（y，\s\up6(^))＝50＋80x，下列判斷正確的是________．①勞動生產(chǎn)率為1000元時，工資為130元；②勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資提高80元;③勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資提高130元；④當(dāng)月工資為250元時,勞動生產(chǎn)率為2000元．②[回歸直線斜率為80，所以x每增加1，eq\o(y，\s\up6(^）)增加80，即勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資提高80元．］4．下表是廣告費用與銷售額之間的一組數(shù)據(jù):廣告費用(千元)1461014銷售額（千元）1944405253銷售額y(千元)與廣告費用x（千元)之間有線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為eq\o(y，\s\up6（^))＝2。3x＋a（a為常數(shù)),現(xiàn)要使銷售額達到6萬元，估計廣告費用約為________千元．15[eq\x\to(x）＝7，eq\x\to(y）＝41.6，則a＝eq\x\to(y）－2.3eq\x\to（x）＝41。6－2.3×7＝25.5.當(dāng)y＝6萬元＝60千元時，60＝2。3x＋25。5，解得x＝15（千元)．］變量間相關(guān)關(guān)系的判斷【例1】在下列兩個變量的關(guān)系中，具有相關(guān)關(guān)系的是________．①正方形邊長與面積之間的關(guān)系；②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系;③人的身高與年齡之間的關(guān)系；④降雪量與交通事故發(fā)生率之間的關(guān)系．②④[兩變量之間的關(guān)系有兩種：函數(shù)關(guān)系與帶有隨機性的相關(guān)關(guān)系．①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系．②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系不是嚴格的函數(shù)關(guān)系,但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系．③人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系,因為人的年齡達到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了,因而他們不具備相關(guān)關(guān)系．④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系．]1．函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量的關(guān)系．函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．2．準確理解變量間的相關(guān)關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．要準確區(qū)分兩個變量間的相關(guān)關(guān)系和函數(shù)關(guān)系，事實上，現(xiàn)實生活中相關(guān)關(guān)系是處處存在的，從某種意義上講,函數(shù)關(guān)系可以看作一種理想的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系是一種普遍的關(guān)系．兩者區(qū)別的關(guān)鍵點是“確定性"還是“不確定性”．1．下列兩個變量中具有相關(guān)關(guān)系的是________(填寫相應(yīng)的序號）．①正方體的棱長和體積；②單產(chǎn)為常數(shù)時，土地面積和總產(chǎn)量;③日照時間與水稻的畝產(chǎn)量．③[正方體的棱長x和體積V存在著函數(shù)關(guān)系V＝x3；單產(chǎn)為常數(shù)a公斤/畝,土地面積x(畝）和總產(chǎn)量y（公斤）之間也存在著函數(shù)關(guān)系y＝ax.日照時間長，則水稻的畝產(chǎn)量高，這只是相關(guān)關(guān)系，應(yīng)選③。]2．下列命題：①任何兩個變量都具有相關(guān)關(guān)系；②圓的周長與該圓的半徑具有相關(guān)關(guān)系；③某商品的需求量與該商品的價格是一種非確定性關(guān)系；④根據(jù)散點圖求得的回歸直線方程可能是沒有意義的；⑤兩個變量間的相關(guān)關(guān)系可以通過回歸直線，把非確定性問題轉(zhuǎn)化為確定性問題進行研究．其中正確的命題為________．③④⑤[兩個變量不一定是相關(guān)關(guān)系，也可能是確定性關(guān)系，故①錯誤；圓的周長與該圓的半徑具有函數(shù)關(guān)系，故②錯誤；③④⑤都正確．］散點圖的畫法及應(yīng)用【例2】現(xiàn)有5個同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤?學(xué)生學(xué)科ABCDE數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462利用散點圖判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系？如果有線性相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負相關(guān)?思路點撥:本題涉及兩個變量(數(shù)學(xué)成績與物理成績），以x軸表示數(shù)學(xué)成績、y軸表示物理成績，可得相應(yīng)的散點圖，再觀察散點圖得出結(jié)論．[解]把數(shù)學(xué)成績作為橫坐標，把相應(yīng)的物理成績作為縱坐標,在平面直角坐標系中描點（xi,yi)（i＝1,2,…,5)．從圖中可以直觀地看出數(shù)學(xué)成績和物理成績具有線性相關(guān)關(guān)系，且當(dāng)數(shù)學(xué)成績減小時，物理成績也由大變小，即它們正相關(guān)．1．判斷兩個變量x和y之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡便方法就是繪制散點圖，如果圖上發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近,那么這兩個變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個別點的位置的影響．如果變量的對應(yīng)點分布沒有規(guī)律,我們就可以認為這兩個變量不具有相關(guān)關(guān)系．2．正相關(guān)、負相關(guān)線性相關(guān)關(guān)系又分為正相關(guān)和負相關(guān)．正相關(guān)是指兩個變量具有相同的變化趨勢，即從整體上來看,一個變量會隨另一個變量變大而變大．從散點圖上看，因變量隨自變量的增大而增大，圖中的點分布在左下角到右上角的區(qū)域．負相關(guān)是指兩個變量具有相反的變化趨勢，即從整體上來看,一個變量會隨另一個變量變大而變小．從散點圖上看，因變量隨自變量的增大而減小，圖中的點分布在左上角到右下角的區(qū)域．提醒：畫散點圖時應(yīng)注意合理選擇單位長度，避免圖形過大或偏小，或者是點的坐標在坐標系中畫不準，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯誤結(jié)論．3．如圖是兩個變量統(tǒng)計數(shù)據(jù)的散點圖，判斷兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系?思路點撥：觀察圖中點的分布情況作出判斷．從散點圖上看,點的分布散亂無規(guī)律，故不具有相關(guān)關(guān)系．［解]不具有相關(guān)關(guān)系，因為散點散亂地分布在坐標平面內(nèi)，不呈線形．4．有個男孩的年齡與身高的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:年齡(歲）123456身高(cm）788798108115120畫出散點圖，并判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系？如果有相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負相關(guān)?思路點撥:描點(1,78)，（2,87），(3,98），(4，108），（5，115），（6，120）．觀察點的分布，作出判斷．［解]作出散點圖如圖：由圖可見，具有線性相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)．線性回歸方程的求法及應(yīng)用【例3】某產(chǎn)品的廣告支出x(單位：萬元）與銷售收入y(單位：萬元）之間有下表所對應(yīng)的數(shù)據(jù)．廣告支出x/萬元1234銷售收入y/萬元12284256（1)畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；（2）求出y對x的回歸直線方程eq\o(y,\s\up6（^))＝bx＋a,并解釋b的意義；（3)若廣告費為9萬元,則銷售收入約為多少萬元？思路點撥：eq\x（畫散點圖）→eq\x（列表處理數(shù)據(jù))→eq\x(計算\x\to（x），\x\to(y），n\i\su(i＝1，4,x）\o\al（2,i)，\i\su(i＝1,4,x)iyi)→eq\x(計算b)→eq\x（計算a）→eq\x(線性回歸方程)→eq\x(銷售收入)［解］(1）散點圖如圖．(2）觀察散點圖可知各點大致分布在一條直線附近，列出下列表格，以便計算回歸系數(shù)a，B．序號xyx2y2xy111211441222284784563342917641264456163136224∑10138305828418于是eq\x\to(x)＝eq\f（5,2）,eq\x\to（y）＝eq\f(69，2)，eq\i\su（i＝1，4,x）eq\o\al（2，i）＝30，eq\i\su（i＝1，4,y)eq\o\al(2，i）＝5828,eq\i\su(i＝1,4，x)iyi＝418，代入公式得，b＝eq\f(\i\su(i＝1，4，x)iyi－4\x\to（x）\x\to（y)，\i\su(i＝1,4,x）\o\al（2，i)－4\x\to（x)2)＝eq\f（418－4×\f（5,2）×\f（69，2），30－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（5,2）))2)＝eq\f(73,5）,a＝eq\x\to（y)－beq\x\to（x)＝eq\f(69,2）－eq\f(73，5）×eq\f(5,2)＝－2.故y對x的回歸直線方程為eq\o（y,\s\up6（^））＝eq\f（73，5）x－2，其中回歸系數(shù)b＝eq\f(73，5），它的意義是：廣告支出每增加1萬元,銷售收入y平均增加eq\f（73，5）萬元．（3)當(dāng)x＝9萬元時，eq\o(y，\s\up6(^））＝eq\f(73，5)×9－2＝129.4(萬元），即若廣告費為9萬元,則銷售收入約為129。4萬元．1．求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程,可按下列步驟進行：第一步，計算平均數(shù)eq\x\to（x)，eq\x\to(y）；第二步，求和eq\i\su(i＝1，n,x）iyi,eq\i\su(i＝1，n，x)eq\o\al(2，i)；第三步，計算b＝eq\f（\i\su（i＝1，n,）xi－\x\to（x）yi－\x\to（y）,\i\su（i＝1,n，）xi－\x\to(x)2)＝eq\f（\i\su(i＝1,n，x）iyi－n\x\to（x)\x\to(y）,\i\su(i＝1,n，x）\o\al（2，i)－n\x\to(x)2），a＝eq\x\to（y）－beq\x\to(x）；第四步，寫出線性回歸方程eq\o(y，\s\up6（^)）＝bx＋A．2．對于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述公式都可以求得“回歸方程",如果這組數(shù)據(jù)不具有線性相關(guān)關(guān)系,即不存在回歸直線，那么所得的“回歸方程”是沒有實際意義的．因此，對一組樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)先作散點圖，在具有線性相關(guān)關(guān)系的前提下再求回歸方程．提醒：(1）對一組數(shù)據(jù)進行線性回歸分析時,應(yīng)先畫出其散點圖，判斷變量之間是否線性相關(guān)，再由系數(shù)a，b的計算公式，計算出a，b，由于計算量較大，在計算時應(yīng)借助計算器，仔細計算，以防出現(xiàn)錯誤．(2）為了方便,常制表對應(yīng)算出xiyi，xeq\o\al(2,i），以便于求和．(3）研究變量間的相關(guān)關(guān)系，求得回歸直線方程能幫助我們發(fā)現(xiàn)事物發(fā)展的一些規(guī)律,估計、預(yù)測某些數(shù)據(jù)，為我們的判斷和決策提供依據(jù)．5．如圖是我國2012年至2018年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．注:年份代碼1－7分別對應(yīng)年份2012－2018.（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明;（2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2018年我國生活垃圾無害化處理量．參考數(shù)據(jù)：eq\o（∑，\s\up10（7)，\s\do7（i＝1)）yi＝9。32，eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do7（i＝1））tiyi＝40。17，eq\r（\o（∑,\s\up10(7），\s\do7(i＝1）)yi－\x\to(y）2)＝0.55,eq\r（7)≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f（\o(∑，\s\up10（n)，\s\do7（i＝1）)\o（）ti－\x\to(t)yi－\x\to（y)，\r(\o(∑，\s\up10(n）,\s\do7(i＝1))\o()ti－\x\to(t)2\o（∑，\s\up10（n）,\s\do7(i＝1））\o（）yi－\x\to(y)2)），回歸方程eq\o（y,\s\up10（^）)＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b＝eq\f(\o（∑,\s\up10(n）,\s\do7（i＝1))\o（）ti－\x\to(t）yi－\x\to（y)，\o（∑,\s\up10（n),\s\do7(i＝1)）\o（）ti－\x\to（t)2），a＝eq\o（y,\s\up6（－))－beq\a\vs4\al(\x\to(t）)。思路點撥:(1)eq\x（利用相關(guān)系數(shù)的大小)eq\o（→，\s\up10(確定)）eq\x(y與t的線性相關(guān)程度）（2）eq\x(求出回歸方程）→eq\x（利用方程進行估計)［解]（1）由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得eq\x\to(t)＝4，eq\o（∑,\s\up10(7)，\s\do7(i＝1））eq\o()（ti－eq\x\to（t)）2＝28，eq\r(\o（∑，\s\up10(7),\s\do7（i＝1）)\o（)yi－\x\to（y）2）＝0。55,eq\o(∑，\s\up10（7)，\s\do7(i＝1))eq\o（)(ti－eq\x\to(t）)（yi－eq\x\to(y))＝eq\o(∑，\s\up10(7），\s\do7(i＝1））eq\o（）tiyi－eq\x\to(t）eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do7（i＝1）)eq\o（）yi＝40.17－4×9。32＝2.89，∴r≈eq\f（2.89，0。55×2×2。646)≈0.99.因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系．(2）由eq\x\to（y）＝eq\f（9.32，7）≈1。331及（1）得b＝eq\f（\o（∑，\s\up10(7)，\s\do7（i＝1））\o(）ti－\x\to（t）yi－\x\to（y），\o(∑，\s\up10(7),\s\do7（i＝1）)\o（)ti－\x\to（t）2)＝eq\f（2.89,28)≈0.103.a＝eq\x\to（y)－beq\a\vs4\al（\x\to(t））≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y關(guān)于t的回歸方程為eq\o（y，\s\up6（^）)＝0.92＋0.10t。將2016年對應(yīng)的t＝9代入回歸方程得eq\o（y，\s\up6(^）)＝0。92＋0.10×9＝1。82.所以預(yù)測2020年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸．1．本節(jié)課的重點是會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關(guān)關(guān)系，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程．難點是了解相關(guān)關(guān)系、線性相關(guān)、回歸直線的概念．2．本節(jié)課要掌握以下幾類問題(1）準確區(qū)分相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系．(2）會利用散點圖判斷兩個變量間的相關(guān)關(guān)系．（3)掌握用線性回歸方程估計總體的一般步驟.1．在如圖所示的四個散點圖中，兩個變量具有相關(guān)性的是(）A．①② B．①④C．②③ D．②④D［由圖可知①中變量間是一次函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系；②中的所有點在一條直線附近波動，是線性相關(guān)的；③中的點雜亂無章，沒有什么關(guān)系；④中的所有點在某條曲線附近波動，是非線性相關(guān)的．故兩個變量具有相關(guān)性的是②④。］2．四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系,并求得線性回歸方程，分別得到以下四個結(jié)論：①y與x負相關(guān)且eq\o（y，\s\up6（^））＝2.347x－6。423;②y與x負相關(guān)且eq\o（y,\s\up6（^））＝－3。476x＋5。648；③y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6（^）)＝5.437x＋8。493；④y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6（^)）＝－4.326x－4.578。其中一定不正確的結(jié)論的序號有（)A．①③ B．①④C．②③ D．②④B[由正、負相關(guān)性的定義知①④一定不正確．]3．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)有如下幾組樣本數(shù)據(jù)：x3456y2。5344.5據(jù)相關(guān)性檢驗，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，通過線性回歸分析，求得其回歸直線的斜率為0.7，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程是________．eq\o（y,\s\up6(^））＝0。7x＋0.35[∵eq\x\to（x