2020高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系單元質(zhì)量測評（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE20-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章單元質(zhì)量測評對應(yīng)學(xué)生用書P53本試卷分第Ⅰ卷（選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題,共60分）一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分,共60分）1．如圖所示，圖中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系用符號語言可表示為(）A．α∩β＝m，n?α,m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n?α，A?m，A?nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m,A∈n答案A解析點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，點(diǎn)與線和面的關(guān)系用∈，?,線與平面的關(guān)系用?，?,所以題圖中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系表示為“α∩β＝m，n?α，m∩n＝A”，故選A．2．E，F(xiàn)，G,H分別是空間四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn),則EG與FH的位置關(guān)系是()A．異面B．平行C．相交D．重合答案C解析如圖所示，連接BD，EF,FG,GH，HE，EG，HF，由E，F(xiàn)，G，H是空間四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)，有EH綊eq\f（1，2）BD,FG綊eq\f(1，2）BD，∴EH綊FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，EG與FH是對角線,故選C．3．設(shè)直線l?平面α，過平面α外一點(diǎn)A與l，α都成30°角的直線有且只有()A．1條B．2條C．3條D．4條答案B解析如圖，和α成30°角的直線一定是以A為頂點(diǎn)的圓錐的母線所在的直線,當(dāng)BC與l平行時，直線AC,AB都滿足條件．故選B．4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點(diǎn),則異面直線A1M與DN所成的角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案D解析如圖，過點(diǎn)M作ME∥DN交CC1于點(diǎn)E，連接A1E,則∠A1ME為異面直線A1M與DN所成的角（或其補(bǔ)角）．設(shè)正方體的棱長為a，則A1M＝eq\f(3，2)a，ME＝eq\f(\r(5),4)a,A1E＝eq\f(\r（41)，4)a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即異面直線A1M與DN所成的角為90°．5．已知m，n是兩條不同直線,α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是（)A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B．若m,n平行于同一平面，則m與n平行C．若m,n不平行,則m與n不可能垂直于同一平面D．若α,β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線答案C解析垂直于同一個平面的兩個平面可能相交也可能平行，故A錯誤；平行于同一個平面的兩條直線可能平行、相交或異面，故B錯誤；若兩個平面相交，則一個平面內(nèi)與交線平行的直線一定和另一個平面平行，故D錯誤；若兩條直線垂直于同一個平面,則這兩條直線平行，所以若兩條直線不平行，則它們不可能垂直于同一個平面，故C正確．6．從平面α外一點(diǎn)P引平面α的垂線PO和斜線PA，PB,已知PA＝8,PB＝5，且OA∶OB＝4∶eq\r(3)，則點(diǎn)P到平面α的距離是()A．3B．4C．5D．6答案B解析設(shè)OA＝4k，則OB＝eq\r（3)k．在Rt△POA中，PO2＝PA2－OA2＝64－16k2．在Rt△POB中，PO2＝PB2－OB2＝25－3k2．所以64－16k2＝25－3k2,所以k2＝3，所以PO2＝16，PO＝4．7．在直三棱柱（側(cè)棱垂直底面）ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°,AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于(）A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析本題可借助正方體模型求解,如圖,BA1與AC1所成的角即為BA1與BD1所成的角．在△A1BD1中,A1B＝A1D1＝BD1，所以BA1與BD1所成的角為60°．8．設(shè)三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，AA1＝2，且三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積是（）A．4πB．8πC．16πD．12π答案D解析由題意知，三棱柱的底面所在的截面圓的直徑2r＝2eq\r(2），則球的半徑R＝eq\r（\r（2）2＋12）＝eq\r(3），球的表面積S＝4πR2＝12π，故選D．9．在四面體ABCD中，已知棱AC的長為eq\r（2）,其余各棱長都為1，則二面角A－CD－B的平面角的余弦值為（)A．eq\f（1，2）B．eq\f（1，3）C．eq\f（\r(3),3)D．eq\f（\r(2），3）答案C解析如圖，取AC的中點(diǎn)E,CD的中點(diǎn)F，連接EF，BF，BE．∵AC＝eq\r（2)，其余各棱長都為1，∴BF⊥CD，AD⊥CD，∴EF⊥CD．∴∠BFE是二面角A－CD－B的平面角．∵EF＝eq\f(1，2）,BE＝eq\f（\r（2)，2)，BF＝eq\f(\r（3），2）,∴EF2＋BE2＝BF2．∴∠BEF＝90°，∴cos∠BFE＝eq\f（EF,BF）＝eq\f(\r（3），3)．10．已知正四棱柱（底面為正方形側(cè)棱垂直底面）ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為(）A．eq\f(\r(10）,10)B．eq\f(1,5)C．eq\f（3\r(10)，10)D．eq\f(3,5）答案C解析如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，連接A1B，過E作EF⊥A1B,交A1B于F．∵A1D1綊AD綊BC,∴A1D1綊BC,∴四邊形A1BCD1為平行四邊形，∴A1B∥CD1，∴∠A1BE是異面直線BE與CD1所成的角或其補(bǔ)角．設(shè)AB＝a，則AA1＝2a，則AE＝A1E＝a，∴BE＝eq\r(2)a，A1B＝eq\r（5）a，在Rt△A1AB中，sin∠AA1B＝eq\f（AB，A1B）＝eq\f（a,\r(5)a)＝eq\f(\r（5),5），在Rt△A1EF中，sin∠AA1B＝eq\f（EF,A1E），∴EF＝a·eq\f(\r（5)，5）＝eq\f（\r(5),5)a．∴在Rt△BFE中，cos∠A1BE＝eq\f(BF，BE）＝eq\f（\r(\r(2)a2－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r(5）,5）a)）2）,\r(2)a）＝eq\f(3\r（10),10）．11．如圖，在下列四個正方體中,A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（)答案A解析解法一：對于選項(xiàng)B，如圖所示，連接CD,因?yàn)锳B∥CD，M,Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ,又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ,所以AB∥平面MNQ．同理可證選項(xiàng)C，D中均有AB∥平面MNQ．故選A．解法二：對于選項(xiàng)A，設(shè)正方體的底面對角線的交點(diǎn)為O（如圖所示)，連接OQ，則OQ∥AB，因?yàn)镺Q與平面MNQ有交點(diǎn)，所以AB與平面MNQ有交點(diǎn),即AB與平面MNQ不平行，故選A．12．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分別是棱BC,AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CC1上，AB＝BC＝CA＝CF＝2,AA1＝3，則下列說法正確的是()A．設(shè)平面ADF與平面BEC1的交線為l，則直線C1E與l相交B．在棱A1C1上存在點(diǎn)N,使得三棱錐N－ADF的體積為eq\f(\r(3),7）C．設(shè)點(diǎn)M在BB1上，當(dāng)BM＝1時，平面CAM⊥平面ADFD．在棱A1B1上存在點(diǎn)P，使得C1P⊥AF答案C解析連接CE交AD于點(diǎn)O，則O為△ABC的重心，連接OF．由已知得OF∥EC1，則EC1∥l，故A錯誤；若在A1C1上存在點(diǎn)N，則VN－ADF＝VD－AFN，當(dāng)N與C1重合時,VD－AFN取最小值為eq\f(\r（3），6）,故B錯誤;當(dāng)BM＝1時，可證得△CBM≌△FCD，則∠BCM＋∠CDF＝90°，即CM⊥DF．又∵AD⊥平面CB1,CM?平面CB1,∴AD⊥CM．∵DF∩AD＝D,∴CM⊥平面ADF．∵CM?平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正確．過C1作C1G∥FA交AA1于點(diǎn)G．若在A1B1上存在點(diǎn)P，使得C1P⊥AF,則C1P⊥C1G．又∵C1P⊥GA1，C1G∩GA1＝G，∴C1P⊥平面A1C1G．∵A1C1?平面A1GC1，∴C1P⊥A1C1，矛盾，故D錯誤．綜合選C．第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．如圖，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，則CD與EF的位置關(guān)系為________．答案CD∥EF解析因?yàn)锳B∥α，AB?β，α∩β＝CD，所以AB∥CD．同理可證AB∥EF，所以CD∥EF．14．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中,點(diǎn)P，Q分別是B1C1,CC1的中點(diǎn)，則直線A1P與DQ的位置關(guān)系是________．（填“平行”“相交”或“異面")答案相交解析連接A1D，PQ,B1C，∵點(diǎn)P，Q分別是B1C1，CC1的中點(diǎn),∴PQ∥B1C．在正方體中，易知B1C∥A1D，∴PQ∥A1D，∴A1,D,Q，P共面．又∵PQ≠A1D，∴四邊形A1DQP是梯形,A1P與DQ相交．15．已知α,β是兩個不同的平面,m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β;③n⊥β；④m⊥α．以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：________．答案①③④?②（或②③④?①）解析∵α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同的直線,若①m⊥n，③n⊥β，則m∥β．又∵④m⊥α，∴②α⊥β．即①③④?②．若②α⊥β，③n⊥β，則n∥α，又∵④m⊥α，∴①m⊥n．即②③④?①．16．在如圖所示的棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，作與平面ACD1平行的截面，則截得的三角形中，面積最大的值是________；截得的平面圖形中，面積最大的值是________．答案2eq\r(3）3eq\r(3）解析截得的三角形中,面積最大的是三角形A1C1B，面積為eq\f(\r(3)，4)×(2eq\r（2））2＝2eq\r（3)．截得的平面圖形中,面積最大的是正六邊形，如圖，面積為6×eq\f(\r(3），4)×（eq\r（2)）2＝3eq\r(3)．三、解答題(本大題共6小題，共70分）17．（本小題滿分10分）如圖,在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M在AD1上移動,點(diǎn)N在BD上移動，D1M＝DN＝a(0<a〈eq\r(2))，連接MN．（1)證明：對任意a∈（0，eq\r(2)），總有MN∥平面DCC1D1；（2)當(dāng)a為何值時，MN的長度最?。拷猓?)證明：如圖，作MP∥AD，交DD1于點(diǎn)P，作NQ∥BC，交DC于點(diǎn)Q，連接PQ．由題意得MP∥NQ，且MP＝NQ，則四邊形MNQP為平行四邊形．∴MN∥PQ．又∵PQ?平面DCC1D1，MN?平面DCC1D1，∴MN∥平面DCC1D1．（2)由(1)知四邊形MNQP為平行四邊形,∴MN＝PQ．∵DD1＝AD＝DC＝BC＝1，∴AD1＝BD＝eq\r(2)．∵D1M＝DN＝a，∴eq\f（D1P，1)＝eq\f(a，\r（2)）,eq\f（DQ,1）＝eq\f(a,\r（2))．即D1P＝DQ＝eq\f（a，\r（2）），∴MN＝PQ＝eq\r(1－D1P2＋DQ2）＝eq\r(1－\f(a，\r(2)）2＋\f(a，\r（2))2）＝eq\r(a－\f（\r(2）,2)2＋\f(1,2)）（0〈a<eq\r(2）)．故當(dāng)a＝eq\f(\r（2）,2)時,MN的長度有最小值,為eq\f（\r（2)，2）．即當(dāng)M，N分別移動到AD1,BD的中點(diǎn)時,MN的長度最小，此時MN的長度為eq\f（\r(2），2)．18．(本小題滿分12分）如圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°．(1）求三棱錐P－ABC的體積;（2）證明：在線段PC上存在點(diǎn)M，使得AC⊥BM，并求eq\f（PM,MC)的值．解(1)在△ABC中，AB＝1,AC＝2，∠BAC＝60°，過點(diǎn)B作BN垂直AC于點(diǎn)N，則BN＝AB·sin∠BAC＝1×sin60°＝eq\f（\r(3),2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BN＝eq\f（1,2）×2×eq\f（\r(3),2）＝eq\f(\r（3),2)．又∵PA⊥平面ABC，∴PA是三棱錐P－ABC的高．∴VP－ABC＝eq\f（1，3）×1×eq\f(\r(3）,2）＝eq\f（\r(3），6）．(2）證明:過N作NM∥PA交PC于點(diǎn)M,連接BM．∵PA⊥平面ABC,∴MN⊥平面ABC．∵AC?平面ABC，∴MN⊥AC．又MN∩BN＝N，∴AC⊥平面BMN．∵BM?平面BMN，∴AC⊥BM．此時M即為所找的點(diǎn)．在△ABN中，易知AN＝eq\f（1，2）AB＝eq\f(1,2）,∴eq\f（PM,MC）＝eq\f(AN，CN）＝eq\f(1,3）．19．(本小題滿分12分)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2eq\r（2)的正方形，其他四個側(cè)面都是腰長為eq\r(5)的等腰三角形，過棱PD的中點(diǎn)E作截面EFGH，使截面EFGH∥平面PBC,且截面EFGH分別交棱PA，AB，CD于點(diǎn)F，G，H．(1）證明：EF∥GH；(2）求三棱錐F－ABD的體積．解（1）證明：∵平面EFGH∥平面PBC，平面EFGH∩平面PCD＝EH,平面PBC∩平面PCD＝PC,∴EH∥PC．又E是PD的中點(diǎn)，∴H是CD的中點(diǎn)．同理可證F,G分別是PA，AB的中點(diǎn)，∴EF∥AD,GH∥AD，∴EF∥GH．（2）如圖,連接AC，設(shè)AC∩BD＝O，連接PO．∵底面ABCD是邊長為2eq\r（2)的正方形，∴AC⊥BD，且AC＝BD＝4．∵側(cè)面為全等的等腰三角形，∴PO⊥AC，PO⊥BD．又AC∩BD＝O,∴PO⊥平面ABCD．在Rt△POA中，PO＝eq\r(\r（5）2－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(4，2）））2）＝1．又F為PA的中點(diǎn)，∴VF－ABD＝eq\f（1,2）VP－ABD．又VP－ABD＝eq\f(1，3）S△ABD·PO＝eq\f(1，3)×eq\f(1,2）×（2eq\r(2））2×1＝eq\f（4，3)，∴VF－ABD＝eq\f(2，3)．20．(本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2,AA1＝4，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn),D為B1C1的中點(diǎn)．(1)證明：A1D⊥平面A1BC;(2)求直線A1B和平面BB1C1C所成角的正弦值．解（1）證明：如圖,設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接A1E，AE．由題意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE．因?yàn)锳B＝AC，所以AE⊥BC．所以AE⊥平面A1BC．連接DE，由D，E分別為B1C1，BC的中點(diǎn),得DE∥BB1，且DE＝BB1，從而DE∥AA1，且DE＝AA1，所以四邊形AA1DE是平行四邊形，所以A1D∥AE．因?yàn)锳E⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC．(2)如圖,作A1F⊥DE，垂足為F，連接BF．因?yàn)锳1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E．因?yàn)锽C⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE．所以BC⊥A1F，所以平面AA1DE⊥BB1C1C，所以A1F⊥平面BB1C1C．所以∠A1BF為直線A1B與平面BB1C1C所成角的平面角．由AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，得EA＝EB＝eq\r(2)．又A1E⊥平面ABC,得A1A＝A1B＝4，A1E＝eq\r(14）．由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝eq\r(2），∠DA1E＝90°，得A1F＝eq\f（\r（7),2）．所以sin∠A1BF＝eq\f（\r（7）,8)．21．（本小題滿分12分)△BCD內(nèi)接于直角梯形A1A2A3D，若A1D＝5，A1A2＝4，沿△BCD三邊分別將△A1BD，△A2BC，△A3CD翻折上去，恰使A1，A2，A3重合，重合后記為A．(1)求證：AB⊥CD；（2)求平面BCD與平面ACD所成二面角的正切值．解在題圖中，由A1，A2，A3三點(diǎn)可重合知A1