2022-2023學(xué)年福建省泉州市安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)、惠安一中、泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省泉州市安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)、惠安一中、泉州高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（

）A．-30° B．60° C．90° D．120°C【分析】由點(diǎn)的坐標(biāo)即可知直線與軸垂直，從而確定傾斜角.【詳解】因?yàn)?，，所以?jīng)過,兩點(diǎn)的直線與軸垂直，所以其傾斜角為90°.故選：C2．若方程表示橢圓，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．D【分析】由題意可得，解方程即可得出答案.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以，解得：且.故k的取值范圍為.故選：D.3．已知點(diǎn)分別位于四面體的四個(gè)側(cè)面內(nèi)，點(diǎn)是空間任意一點(diǎn)，則“”是“四點(diǎn)共面”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件A【分析】由轉(zhuǎn)化成，即可判定四點(diǎn)共面，反之則不能成立.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，所以四點(diǎn)共面，所以充分性成立；但當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，存在，可知必要性不成立.故選：A.4．已知點(diǎn)在平面內(nèi)，是平面的一個(gè)法向量，則下列各點(diǎn)在平面內(nèi)的是（

）A． B．C． D．B【分析】設(shè)平面內(nèi)的一點(diǎn)為，由可得，進(jìn)而可得滿足的方程，將選項(xiàng)代入檢驗(yàn)即可得正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)平面內(nèi)的一點(diǎn)為(不與點(diǎn)重合)，則，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，所以，所以，即，對(duì)于A：，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：，故選項(xiàng)D不正確，故選：B.5．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C． D．D【分析】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)到平面的距離．【詳解】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，0，，，0，，，2，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，所以平面的一個(gè)法向量．點(diǎn)到平面的距離為．故選：D．6．已知，分別是圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（

）A． B． C． D．B【分析】由已知可得，，求得關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑．設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則解得，則．因?yàn)?，分別在圓和圓上，所以，，則．因?yàn)?，所以．故選：B.7．已知橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)(異于M、N)，△AF1B的周長(zhǎng)為，且直線AM與AN的斜率之積為－，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．D【分析】先利用周長(zhǎng)為求得值，得到M，N坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)，利用直線AM與AN的斜率之積構(gòu)建關(guān)系，結(jié)合滿足已知方程，解得，即得結(jié)果.【詳解】由△AF1B的周長(zhǎng)為，可知，解得，則，設(shè)點(diǎn)，由直線AM與AN的斜率之積為－，可得，即①．又，所以②，由①②解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：D．8．若不等式的解集為區(qū)間，且，則（

）A． B． C．2 D．-2B【分析】根據(jù)直線和半圓的位置關(guān)系求得的值.【詳解】不等式可化為，，表示圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓在軸上方的部分，表示過點(diǎn)且斜率為的直線，表示半圓在直線下方的部分，其解集為區(qū)間，且，由圖可知，，，則，所以.故選：B二、多選題9．下列說法中，正確的是（

）A．直線在軸上的截距為3B．直線的一個(gè)方向向量為C．，，三點(diǎn)共線D．過點(diǎn)且在，軸上的截距相等的直線方程為BC【分析】結(jié)合直線截距的意義、直線方向向量的定義以及平面共線向量的運(yùn)算依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：直線在y軸上的截距為-3，故A錯(cuò)誤；B：由題意，點(diǎn)在直線上，故直線的一個(gè)方向向量為，故B正確；C：由可得，所以，A、B、C三點(diǎn)共線，故C正確；D：斜率為，以及過原點(diǎn)的直線在在x、y軸截距都相等，故過點(diǎn)且在x、y軸截距相等的直線方程為或，故D錯(cuò)誤.故選：BC10．已知，則下述正確的是（

）A．圓C的半徑 B．點(diǎn)在圓C的內(nèi)部C．直線與圓C相切 D．圓與圓C相交ACD【分析】先將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】由，得，則圓心，半徑，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)辄c(diǎn)到圓心的距離為，所以點(diǎn)在圓C的外部，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以直線與圓C相切，所以C正確，對(duì)于D，圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，，所以圓與圓C相交，所以D正確，故選：ACD11．如圖，在正方體中，點(diǎn)是線段(含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使B．異面直線與所成的角最小值為C．無論點(diǎn)在線段的什么位置，都有D．無論點(diǎn)在線段的什么位置，都有平面ACD【分析】當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，由于，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，從而有，即可判斷A選項(xiàng)；由，可知異面直線與所成的角即為異面直線與所成的角，再通過幾何法求出線面角的余弦值，即可判斷B選項(xiàng)；建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，設(shè)，且，得出，再根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出，即可判斷C選項(xiàng)；由正方體的性質(zhì)，可知平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得出，從而可判斷D選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，∴，即，故A正確；對(duì)于B，∵，則異面直線與所成的角即為異面直線與所成的角，進(jìn)而得出與所成角的最小值即為與平面所成角，所以與所成角的最小值即為與平面所成角，設(shè)為，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，在正三棱錐中，底面的外接圓半徑為，所以，則，故B不正確；對(duì)于C，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，設(shè)，且，則，則，所以，故C正確；對(duì)于D，易知平面平面，平面，所以，故D正確.故選：ACD.12．如圖，已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上異于頂點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，圓（圓心為）與的三邊，，分別切于點(diǎn)A，B，C，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)，則（

）.A．為定值 B．為定值C．為定值 D．為定值BCD【分析】由余弦定理可知，從而可知不是定值；由橢圓定義可判斷B，由切線長(zhǎng)定理和橢圓的定義可判斷C，由等面積法可判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，，，由余弦定理可知：即，解得由于在上運(yùn)動(dòng)，所以的值也在隨之變化，從而不是定值，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)橢圓的定義，，是定值，B正確；對(duì)于C，根據(jù)切線長(zhǎng)定理和橢圓的定義，得，且，則，所以為定值，C正確；對(duì)于D，連接,則，由，解得，由，得為定值，則D正確.故選：BCD三、填空題13．已知，且與垂直，則____________．【分析】根據(jù)與垂直求得，由此求得.【詳解】由于與垂直，所以，所以，所以故14．在圓：中，過點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為_________.【分析】數(shù)形結(jié)合確定弦和的位置，即可求得四邊形的面積.【詳解】圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，如圖所示：易知：當(dāng)弦經(jīng)過圓心時(shí)，弦最長(zhǎng)，當(dāng)弦與線段垂直時(shí)，弦最短，，，所以，所以.故答案為.15．如圖，設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為________.【分析】結(jié)合橢圓的定義、圓的幾何性質(zhì)以及勾股定理列方程，化簡(jiǎn)求得橢圓的離心率.【詳解】連接，由于線段是圓的直徑，所以，設(shè)，所以，，在直角三角形中，，①，在直角三角形中，，整理得，代入①得：，.故16．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是___________.【分析】設(shè)為圓上一點(diǎn)，直線為，過點(diǎn)作，連接，再分別求出和，則，再根據(jù)條件求出范圍即可.【詳解】設(shè)為圓上一點(diǎn)，直線為，過點(diǎn)作，連接，作出如下示意圖：則到直線的距離，由圖可知圓在直線的上方，所以，即，所以，，所以，所以只需求出取值范圍即可，設(shè)直線與圓相切，所以，解得，所以兩條切線方程為：和，設(shè)兩切點(diǎn)分別為，，分別過作，垂足為，過作，垂足為，所以，因?yàn)橹本€的斜率為：，所以，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，，所以所以，所?故答案為.本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意臨界位置的轉(zhuǎn)化.四、解答題17．已知直線：與直線：的交點(diǎn)為.(1)若直線過點(diǎn)且與直線垂直，求直線的方程(2)若直線過點(diǎn)，且點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，求直線的方程.(1)(2)或.【分析】（1）由點(diǎn)斜式即可求得直線的方程；（2）分直線與直線平行和過的中點(diǎn)兩種情況求解即可.【詳解】（1）由，得，即，直線的斜率為2，因?yàn)橹本€直線垂直，所以直線的斜率，故直線的方程為，即.（2）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，因?yàn)椋匀c(diǎn)不共線，所以直線與直線平行或過的中點(diǎn)，當(dāng)直線與直線平行時(shí)，直線的方程為，即，和的中點(diǎn)為，當(dāng)直線過的中點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，故直線的方程為或.18．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，為與的交點(diǎn).若，，.(1)用，，表示；(2)求對(duì)角線的長(zhǎng)；(3)求異面直線與夾角的余弦值.(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算求得.（2）利用，，表示，然后利用平方的方法，結(jié)合向量運(yùn)算求得的長(zhǎng).（3）根據(jù)向量的夾角公式求得異面直線與夾角的余弦值.【詳解】（1）連接，，，如圖所示，∵，，.在，根據(jù)向量減法法則可得：，∵底面是平行四邊形，∴，∵且，∴，又∵為線段中點(diǎn)，∴，在中.（2）∵頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是.∴，，由（1）可知，∴平行四邊形中，故：，，∴，故對(duì)角線的長(zhǎng)為.（3）∵，，，∴.所以異面直線與夾角的余弦值為.19．在四棱錐中，平面平面，，，，.(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的大小.(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由線面垂直的判定定理即可證明；（2）求出兩個(gè)平面的法向量，利用數(shù)量積即可求得二面角.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，且，平面平面，故平面，平面，所?取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)榍?，，可得四邊形為矩形，?又，故，又，平面，故平面，平面，所以.因?yàn)槠矫?，平面，，所以平?（2）以為原點(diǎn)，，，所在方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，則取，則.設(shè)平面的法向量為，則，則取，則，則，故平面與平面夾角的大小為.20．已知橢圓的上頂點(diǎn)E與其左、右焦點(diǎn)構(gòu)成面積為1的直角三角形．(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l交C于兩點(diǎn)，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求面積的最大值．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意由求解；（2）易知斜率存在，由，設(shè)，與曲線C方程聯(lián)立，由結(jié)合韋達(dá)定理，求得k，再由當(dāng)P為與平行的切線的切點(diǎn)時(shí)，面積最大求解.【詳解】（1）解：由題意得，解得，橢圓C的方程為．（2）顯然斜率不存在時(shí)不滿足條件，當(dāng)斜率存在時(shí)，，設(shè)，代入C方程整理得，，，解得，顯然時(shí)面積最大值相同，，當(dāng)P為與平行的切線的切點(diǎn)時(shí)，面積最大，不妨設(shè)與平行的切線方程為，代入C方程整理得，，解得，顯然時(shí)取得最大值，，．21．已知四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱平面，點(diǎn)M在棱DP上，且，點(diǎn)N是在棱PC上的動(dòng)點(diǎn)（不為端點(diǎn)）.(1)若N是棱PC中點(diǎn)，求證：平面AMN；(2)若，當(dāng)點(diǎn)N在何處時(shí)，直線PA與平面AMN所成角的正弦值取得最大值.(1)證明見解析(2)【分析】（1）結(jié)合三角形的重心、“對(duì)應(yīng)邊成比例，兩直線平行”以及線面平行的判定定理證得平面AMN；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得直線PA與平面AMN所成角的正弦值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最大值.【詳解】（1）設(shè)，連接PO交AN于點(diǎn)G，連接DG并延長(zhǎng)交PB于點(diǎn)H，連接，在三角形中，分別是的中點(diǎn)，所以是三角形的重心，所以，在三角形中，是的中點(diǎn)，，所以點(diǎn)為的重心，所以，且是的中點(diǎn)，又∵，∴即，又MG平面AMN，平面AMN，所以平面AMN.（2）∵四邊形ABCD是正方形，且平面ABCD，∴AB、AD、AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方形建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則點(diǎn)，，，，則，，，設(shè)，則，∴，設(shè)平面的法向量為，則有，化簡(jiǎn)得：，取則，，設(shè)直線PA與平面AMN所成角為，則，∴當(dāng)時(shí)的值最大，即當(dāng)點(diǎn)N在線段PC靠點(diǎn)P的三等分點(diǎn)處時(shí)，直線PA與平面AMN所成角的正弦值最大，最大值為.22．已知圓.(1)若過點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程；(2)當(dāng)圓與x軸相交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）時(shí).問：是否存在圓：，使得過點(diǎn)M的任一條直線與該圓的交點(diǎn)，，都有？若存在，求出圓方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.(1)或(2)存在