2022-2023學(xué)年遼寧省協(xié)作校高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年遼寧省協(xié)作校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列命題中正確的是（

）．A．若直線的傾斜角為，則直線的斜率為B．若直線的斜率為，則此直線的傾斜角為C．平行于x軸的直線的傾斜角為D．若直線的斜率不存在，則此直線的傾斜角為D【分析】根據(jù)傾斜角和斜率的概念進(jìn)行分析可得答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，故A不正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，斜率為，傾斜角為，故B不正確；對(duì)于C，平行于x軸的直線的傾斜角為，故C不正確；對(duì)于D，若直線的斜率不存在，則此直線的傾斜角為是正確的.故選：D2．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線x2=2y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，則點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為（

）A． B．1 C．2 D．4B由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，即可求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€x2=2y，所以，即，所以焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為1，故選：B3．圓被軸所截得的弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．D【分析】取，得到，解方程得到答案.【詳解】，取，則，解得，，弦長(zhǎng)為.故選：D.4．已知空間的一組基底，若與共線，則的值為（

）．A．2 B． C．1 D．0D【分析】根據(jù)與共線，由，即可求解.【詳解】因?yàn)榕c共線，空間的一組基底，所以，所以解得，所以x＋y＝0.故選：D.5．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點(diǎn)，則AM與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．B【分析】取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，所以，平面的一個(gè)法向量為設(shè)AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為．故選：B．6．“”是“直線：與直線：垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A【分析】求出兩直線垂直的充要條件后再根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】若，則，解得或.所以由可以得到，反之則不然，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C中第一象限上的一點(diǎn)，的平分線與x軸交于Q，若，則雙曲線的離心率范圍為（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，，利用三角形的三邊關(guān)系以及雙曲線的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，離心率為，由，則，，因?yàn)槭堑钠椒志€，所以,又因?yàn)椋?，所以，解得，即，所以雙曲線的離心率取值范圍為.故選：B8．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱、的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于（

）A． B． C． D．D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，找到平面的法向量，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即令，得.又，點(diǎn)到平面的距離，故選.本題用向量法求點(diǎn)到平面的距離，我們也可以用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)然也可以找到這個(gè)垂線段，然后放在直角三角形中去求.二、多選題9．（多選題）下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．空間向量，若，則B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C．已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底D．任意向量滿足ABC【分析】對(duì)于A，根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)判斷，對(duì)于B，利用空間向量共面定理判斷，對(duì)于C，利用基底的定義判斷，對(duì)于D，利用數(shù)量積的定義分析判斷【詳解】對(duì)于：空間向量，若，則，故正確；對(duì)于B：若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，由于，則四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)于C：已知是空間的一組基底，若，則兩向量之間不共線，故也是空間的一組基底，故C正確；對(duì)于D：任意向量滿足，由于是一個(gè)數(shù)值，也是一個(gè)數(shù)值，則說明和存在倍數(shù)關(guān)系，由于是任意向量，不一定存在倍數(shù)關(guān)系，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上不同于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的周長(zhǎng)為 B．面積的最大值為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為BCD【分析】計(jì)算周長(zhǎng)得到6，A錯(cuò)誤，，B正確，，根據(jù)定義域得到范圍，C正確，，得到值域，得到答案.【詳解】根據(jù)題意：，，，的周長(zhǎng)為，A錯(cuò)誤；面積的為，當(dāng)在上下頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，B正確；設(shè)，則，，故，C正確；，設(shè)，，則，故的取值范圍為，D正確.故選：BCD.11．已知直線和圓，則下列說法正確的是（

）A．存在，使得直線與圓相切B．若直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為C．對(duì)任意，圓上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為D．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，曲線恒過直線與圓的交點(diǎn)BCD【分析】根據(jù)直線經(jīng)過的定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷A不正確；根據(jù)圓心到直線的距離的最大值求出的最小值，可判斷B正確；根據(jù)圓心到直線的距離，可判斷C正確；將曲線的方程化為，可判斷D正確.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，且，即定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以不存在，使得直線與圓相切，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)閳A心到直線的距離的最大值為，所以的最小值為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以，所以對(duì)任意，圓上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線，曲線，即就是過直線與圓的交點(diǎn)的曲線方程，故D正確.故選：BCD.12．已知是橢圓長(zhǎng)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．直線與的斜率之積為定值B．C．的外接圓半徑的最大值為D．直線與的交點(diǎn)在雙曲線上BCD【分析】由、是橢圓長(zhǎng)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)．設(shè)，在橢圓上，，，直接求解直線與的斜率之積，可得定值；在根據(jù)向量坐標(biāo)的運(yùn)算即可判斷；當(dāng)在短軸頂點(diǎn)時(shí)，可得△的外接圓半徑的最大值為；設(shè)出，求解直線與的交點(diǎn)，滿足雙曲線，從而可以判斷．【詳解】設(shè)，則、是橢圓長(zhǎng)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)．，則，故不正確．由，，，故正確．當(dāng)在短軸頂點(diǎn)時(shí)，，，，由正弦定理：，可得△的外接圓半徑的最大值；故正確．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，，直線的方程為：直線的方程為：②兩式相乘：可得，由代入化簡(jiǎn)可得，即直線與的交點(diǎn)在雙曲線上；故正確．故選：．本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查正弦定理，考查設(shè)而不求的思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、填空題13．已知向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，則點(diǎn)P到平面的距離為______．##【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到平面距離的向量求法計(jì)算作答.【詳解】依題意，，而平面的法向量為，所以點(diǎn)P到平面的距離.故14．在平面直角坐標(biāo)系中，若圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為________.【分析】直線為兩個(gè)圓心的中垂線，分別求圓心，利用點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】若圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線為兩個(gè)圓心的中垂線，的圓心為，的圓心為.，中點(diǎn)為可得直線為，整理得.故答案為.15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)，若直線的斜率分別為，則______．【分析】設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得，利用兩點(diǎn)連線斜率公式可化簡(jiǎn)得到，代入韋達(dá)定理的結(jié)論即可得到結(jié)果.【詳解】由拋物線方程知：，則可設(shè)，，，由得：，；.故答案為.16．如圖，多面體ABCDEF中，面ABCD為正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，G為棱BC的中點(diǎn)，H為棱DE上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)H為DE的中點(diǎn)時(shí)，GH∥平面ABE；②存在點(diǎn)H，使得GH⊥AE；③三棱錐B?GHF的體積為定值；④三棱錐E?BCF的外接球的表面積為．其中正確的結(jié)論序號(hào)為________．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）①③④【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，以及線線垂直的判定，結(jié)合棱錐體積的計(jì)算公式，以及棱錐外接球半徑的求解，對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行逐一求解和分析即可.【詳解】對(duì)①：當(dāng)H為DE的中點(diǎn)時(shí)，取中點(diǎn)為，連接，如下所示：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故可得//，，根據(jù)已知條件可知：//，故//，故四邊形為平行四邊形，則//，又面面，故//面，故①正確；對(duì)②：因?yàn)槊婷?，故，又四邊形為矩形，故，則兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：則，設(shè)，，若GH⊥AE，則，即，解得，不滿足題意，故②錯(cuò)誤；對(duì)③：，因?yàn)榫鶠槎c(diǎn)，故為定值，又//面面，故//面，又點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)到面的距離是定值，故三棱錐的體積為定值，則③正確；對(duì)④：取△的外心為，過作平面的垂線，則三棱錐的外接球的球心一定在上因?yàn)槊?，面面，則，又，面，故面,又面，則//，故在同一個(gè)平面，則過作，連接如圖所示.在△中，容易知，則由余弦定理可得，故，則由正弦定理可得；設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，在△中，，，又，故由勾股定理可知：，即，解得：，則該棱錐外接球的表面積，故④正確.故①③④.本題考察線面平行的證明，線線垂直的判定，以及三棱錐體積的計(jì)算和外接球半徑的求解，屬綜合困難題.四、解答題17．已知的頂點(diǎn)，AC邊上的高BD所在直線方程為．AC邊上的中線BE所在直線方程為．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及BC邊所在直線方程．(1)；(2)；.【分析】（1）解直線BD與直線BE的方程組成的方程組，即可得點(diǎn)B的坐標(biāo).（2）求出直線AC的方程，與直線BE的方程聯(lián)立求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線BC方程作答.【詳解】（1）依題意，點(diǎn)B是直線BD與直線BE的交點(diǎn)，由解得，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是.（2）因，則設(shè)直線AC的方程為，而點(diǎn)，則，解得，直線AC：，由解得，于是得邊AC的中點(diǎn)，因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為，直線BC的方程為，即，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，BC邊所在直線方程.18．如圖，已知直四棱柱中，底面是菱形，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)求異面直線和所成角的余弦值；(2)求直線與平面所成角的正弦值.(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法結(jié)合空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解；（2）由（1）中的坐標(biāo)系先求出平面的法向量，再結(jié)合空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】（1）解：連結(jié)，使.因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S?軸的正方向，以四棱柱上下底面的中心連線指向上底面的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)，由，底面是菱形，所以.所以，，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，設(shè)異面直線和所成角為，則.異面直線和所成角的余弦值為.（2）解：由（1）可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，由（1）知設(shè)直線與平面所成角為，則.直線與平面所成角的正弦值為.19．已知圓C的圓心C在直線上，且與直線相切于點(diǎn)．(1)求圓C的方程；(2)若過點(diǎn)的直線l被圓C截得的弦AB長(zhǎng)為6，求直線l的方程．(1)；(2)或.【分析】（1）求出直線PC的方程，再與直線聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)即可求解作答.（2）求出圓心C到直線l的距離，設(shè)出直線l的方程，借助點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算作答.【詳解】（1）設(shè)與直線垂直的直線方程為，依題意，點(diǎn)在直線上，即有，解得，于是得圓心C所在直線：，由解得，則圓心，半徑，所以圓C的方程為.（2）因直線l被圓C截得的弦AB長(zhǎng)為6，則圓心C到直線l的距離，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：，圓心C到此直線的距離為2，則直線l：，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，即，圓心C到此直線的距離，解得，于是有，所以直線l的方程為或.20．如圖在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)線段上是否存在，使得它到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）先證得，再由側(cè)面底面證得平面即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面以及平面的法向量，由向量夾角公式求得余弦，再計(jì)算正弦即可；（3）設(shè)出點(diǎn)，由點(diǎn)面距離的向量求法解出即可求出的值.【詳解】（1），為的中點(diǎn)，，側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，平面；（2）底面為直角梯形，其中，，，，又平面，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易得平面的法向量，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)二面角夾角為，則，則，二面角的正弦值為；（3）設(shè)線段上存在，使得它到平面的距離為，，到平面的距離，解得或(舍去)，則，則．21．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的圓M與直線相切，設(shè)圓心M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點(diǎn)的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．(1)曲線的方程為；(2)線段AB的長(zhǎng)為6.【分析】（1）根據(jù)題意得到，化簡(jiǎn)得到答案.（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)垂直關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，再計(jì)算弦長(zhǎng)得到答案.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)為曲線C上任意一點(diǎn)，因?yàn)閳AM過點(diǎn)且與直線相切，所以與點(diǎn)M到直線的距離相等，故，整理得，所以曲線的方程為；（2）過點(diǎn)的斜率為0的直線與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不滿足要求，過點(diǎn)的斜率不存在的直線為，直線與拋物線的交點(diǎn)為，，此時(shí)線段AB的垂直平分線為，不滿足要求，所以直線斜率存在且不為，設(shè)直線方程為，，由得，，方程的判別式，設(shè)，，則，設(shè)線段中點(diǎn)，，，因?yàn)榫€段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)，所以直線與直線垂直，故，.，所以線段AB的長(zhǎng)為6.22．已知