2020高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程 點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線間的距離練習(xí)（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第27課時(shí)點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線間的距離對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P73知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)到直線的距離1．若點(diǎn)(1，a）到直線x－y＋1＝0的距離是eq\f（3\r（2）,2）,則實(shí)數(shù)a為（)A．－1B．5C．－1或5D．－3或3答案C解析由點(diǎn)到直線的距離公式得eq\f(｜1－a＋1｜，\r（2)）＝eq\f(3\r（2)，2），∴a＝－1或5．2．已知兩點(diǎn)A（1,1）和B（－1，4）到直線x＋my＋3＝0的距離相等,則m為(）A．0或－eq\f（2,3）B．eq\f（2,3）或－eq\f（6，5）C．－eq\f(2，3)或eq\f（2,3）D．0或eq\f（2,3）答案B解析由題意知直線x＋my＋3＝0與AB平行或過AB的中點(diǎn)，則有－eq\f（1,m）＝eq\f(4－1，－1－1）或eq\f（1－1，2)＋m×eq\f（1＋4,2）＋3＝0，∴m＝eq\f(2,3）或m＝－eq\f(6，5)．知識(shí)點(diǎn)二兩平行線間的距離3．兩條平行直線3x－4y－3＝0和mx－8y＋5＝0間的距離是（)A．eq\f(11，10)B．eq\f(8,5)C．eq\f(15,7）D．eq\f（4，5）答案A解析由兩直線平行，得m＝6，所以mx－8y＋5＝0可化成3x－4y＋eq\f(5，2)＝0，因此兩條平行線間的距離d＝eq\f（\a\vs4\al(\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（－3－\f（5,2））））,\r（32＋42）)＝eq\f（11,10)，故選A．4．已知直線l與兩直線l1：2x－y＋3＝0和l2:2x－y－1＝0平行且距離相等,則l的方程為________．答案2x－y＋1＝0解析設(shè)所求的直線方程為2x－y＋c＝0（c≠3，c≠－1)，分別在l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0上取點(diǎn)A(0，3）和B(0，－1）,則此兩點(diǎn)到2x－y＋c＝0的距離相等,即eq\f（|－3＋c|,\r(22＋－12)）＝eq\f（｜1＋c｜,\r（22＋－12))，解得c＝1,故直線l的方程為2x－y＋1＝0．知識(shí)點(diǎn)三距離公式的應(yīng)用5．已知點(diǎn)P（m，n)是直線2x＋y＋5＝0上任意一點(diǎn),則eq\r（m2＋n2）的最小值為________．答案eq\r（5)解析因?yàn)閑q\r（m2＋n2）是點(diǎn)P（m，n）與原點(diǎn)O間的距離，所以根據(jù)直線的性質(zhì),原點(diǎn)O到直線2x＋y＋5＝0的距離就是eq\r(m2＋n2）的最小值．根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝eq\f（5，\r（22＋12）)＝eq\r(5)．故答案為eq\r（5)．6．已知直線l1：x＋y－1＝0，現(xiàn)將直線l1向上平移到l2的位置，若l1,l2和兩坐標(biāo)軸圍成的梯形的面積為4，求直線l2的方程(如圖)．解∵l1∥l2,可設(shè)l2的方程為x＋y－m＝0．l2與x軸，y軸分別交于B,C,l1與x軸，y軸分別交于A，D，得A(1，0），D（0，1），B（m,0），C(0,m)．∵l2在l1的上方，∴m〉1．∵S梯形ABCD＝S△OBC－S△AOD，∴4＝eq\f(1，2）m2－eq\f(1，2）,解得m＝3或m＝－3（舍去)．故所求直線的方程為x＋y－3＝0．對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P73一、選擇題1．已知兩點(diǎn)A（3，2）和B(－1，4）到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則m的值為(）A．0或－eq\f(1，2)B．eq\f(1，2）或－6C．－eq\f（1，2）或eq\f（1，2）D．0或eq\f(1，2)答案B解析依題意得eq\f（|3m＋5｜,\r（m2＋1））＝eq\f(|－m＋7｜,\r（m2＋1））,即|3m＋5｜＝|m－7|，∴(3m＋5)2＝(m－7)2，展開合并同類項(xiàng)得8m2＋44m－24＝0,即2m2＋11m－6＝0，解得m＝eq\f（1，2)或m＝－6．2．點(diǎn)P（x,y)在直線x＋y－4＝0上，則x2＋y2的最小值是()A．8B．2eq\r(2）C．eq\r（2)D．16答案A解析由題知所求即為原點(diǎn)到直線x＋y－4＝0的距離的平方,即eq\f(0＋0－42，12＋12）＝eq\f（16,2）＝8．故選A．3．若動(dòng)點(diǎn)A（x1，y1），B(x2，y2）分別在直線l1：x＋y－11＝0和l2:x＋y－1＝0上移動(dòng)，則AB中點(diǎn)M所在直線的方程為()A．x－y－6＝0B．x＋y＋6＝0C．x－y＋6＝0D．x＋y－6＝0答案D解析由題意，得點(diǎn)M所在的直線與直線l1,l2平行，所以設(shè)為x＋y＋n＝0，此直線到直線l1和l2的距離相等，所以eq\f(|n＋11|,\r（2））＝eq\f(｜n＋1|，\r(2）），解得n＝－6，所以所求直線的方程為x＋y－6＝0．故選D．4．直線2x＋3y－4＝0關(guān)于點(diǎn)(2，1)對(duì)稱的直線方程是(）A．3x－2y－4＝0B．2x＋3y＋6＝0C．3x－2y－10＝0D．2x＋3y－10＝0答案D解析設(shè)所求直線的方程為2x＋3y＋C＝0,由題意可知eq\f(|4＋3－4|,\r（22＋32))＝eq\f（｜4＋3＋C|,\r（22＋32）)．∴C＝－4(舍）或C＝－10，故所求直線的方程為2x＋3y－10＝0．5．若動(dòng)點(diǎn)A（x1，y1），B(x2，y2）分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動(dòng),則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為(）A．3eq\r(2)B．2C．eq\r（2）D．4答案A解析由題意,知點(diǎn)M在直線l1與l2之間且與兩直線距離相等的直線上,設(shè)該直線方程為x＋y＋c＝0，則eq\f（|c＋7｜，\r（2））＝eq\f(｜c(diǎn)＋5|，\r(2)）,即c＝－6，∴點(diǎn)M在直線x＋y－6＝0上，∴點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值就是原點(diǎn)到直線x＋y－6＝0的距離，即eq\f(｜－6|，\r(2））＝3eq\r(2)．二、填空題6．如果已知兩點(diǎn)O（0，0)，A(4，－1）到直線mx＋m2y＋6＝0的距離相等，那么m可取不同實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為________．答案3解析解方程eq\f(6,\r（m2＋m4))＝eq\f(｜4m－m2＋6|,\r(m2＋m4）)（m≠0)，得m＝6或m＝－2或m＝4．7．直線l在x軸上的截距為1，又點(diǎn)A（－2，－1)，B（4,5)到l的距離相等，則l的方程為________．答案x－y－1＝0或x＝1解析顯然l⊥x軸時(shí)符合要求,此時(shí)l的方程為x＝1．設(shè)l的斜率為k，則l的方程為y＝k(x－1）,即kx－y－k＝0．∵點(diǎn)A，B到l的距離相等,∴eq\f（｜－2k＋1－k|，\r(k2＋1））＝eq\f（｜4k－5－k|,\r(k2＋1)），∴|1－3k|＝|3k－5|,∴k＝1，∴l(xiāng)的方程為x－y－1＝0．8．已知平面上一點(diǎn)M（5，0），若直線上存在點(diǎn)P使｜PM｜＝4，則稱該直線為“切割型直線”．下列直線是“切割型直線”的有________．①y＝x＋1②y＝2③y＝eq\f(4，3）x④y＝2x＋1答案②③解析可通過求各直線上的點(diǎn)到點(diǎn)M的最小距離,即點(diǎn)M到直線的距離d來分析．①d＝eq\f（5＋1，\r(2)）＝3eq\r(2）〉4，故直線上不存在點(diǎn)到點(diǎn)M的距離等于4,不是“切割型直線"；②d＝2〈4，所以在直線上可以找到兩個(gè)不同的點(diǎn)，使之到點(diǎn)M的距離等于4，是“切割型直線”；③d＝eq\f(20，\r(32＋42)）＝4，直線上存在一點(diǎn)，使之到點(diǎn)M的距離等于4,是“切割型直線”；④d＝eq\f(11，\r(5））＝eq\f（11\r（5），5）〉4,故直線上不存在點(diǎn)到點(diǎn)M的距離等于4，不是“切割型直線"．故填②③．三、解答題9．已知直線l1：ax＋by＋1＝0(a,b不同時(shí)為0），l2：（a－2）x＋y＋a＝0．(1)若b＝0且l1⊥l2,求實(shí)數(shù)a的值；(2）當(dāng)b＝3且l1∥l2時(shí)，求直線l1與l2間的距離．解(1）當(dāng)b＝0時(shí)，l1：ax＋1＝0,由l1⊥l2知a－2＝0，解得a＝2．（2）當(dāng)b＝3時(shí)，l1：ax＋3y＋1＝0，當(dāng)l1∥l2時(shí)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3a－2＝0，,3a－1≠0，)）解得a＝3，此時(shí)，l1的方程為3x＋3y＋1＝0，l2的方程為x＋y＋3＝0，即3x＋3y＋9＝0，則它們之間的距離為d＝eq\f(|9－1｜,\r(32＋32）)＝eq\f（4\r(2）,3)．10．過點(diǎn)M（2，4）作兩條互相垂直的直線，分別交x,y軸的正半軸于點(diǎn)A,B,若四邊形OAMB的面積被直線AB平分，求直線AB的方程．解設(shè)直線AB的方程為eq\f(x，a）＋eq\f（y,b)＝1（a＞0,b＞0），∴A（a，0)，B（0，b）．∵M(jìn)A⊥MB，∴（a－2)×(－2)＋（－4）×（b－4）＝0，即a＝10－2b．∵a＞0，b＞0，∴0＜b＜5，0＜a＜10．∵直線AB的一般式方程為bx＋ay－ab＝0，∴點(diǎn)M到直線AB的距離d＝eq\f（｜2b＋4a－ab｜，\r(a2＋b2))．∴△MAB的面積S1＝eq\f(1,2）d|AB｜＝eq\f(1,2)|2b＋4a－ab｜＝