課件而且是一種思維模式

數(shù)學不僅是一種工具而且是一種思維模式數(shù)學不僅是一種知識而且是一種素養(yǎng)數(shù)學不僅是一種科學而且是一種文化1積線性代數(shù)與解析幾::23緒緒一、話說數(shù)學——對數(shù)學的再認數(shù)學的基本研究對象的高度的抽象論證方法的演繹性與邏輯的嚴應用的極其廣泛4數(shù)學素指通過數(shù)學教育而獲得的一種理性思辯意和能力、理性的思維模式和研究精神5觀點；理解數(shù)學思維；學會數(shù)學方法數(shù)學語言；了解數(shù)學思想；提高數(shù)學素質(zhì)。際問題出發(fā)，抽象、概括出數(shù)學模型，以便6二、話說微積幾何與代數(shù)：離散變概率論與數(shù)理統(tǒng)計： 數(shù)學建摸，數(shù)值計算，上機：7微積分的內(nèi)一元微積分常微分方程多元微積分 級

上學期內(nèi) 下學期內(nèi)微積分的對初等數(shù)學:研究對象為常量,以靜止觀點研高等數(shù)學:研究對象為變量,運動和辯證法進入了微積分的方法極限的方法8三、學會學認識數(shù)學的重要性,培養(yǎng)濃厚的學 一門科學只有當它成功地運用數(shù)學時,才能達到真正完善的地步.要辨證而又唯物地了解自然就必須熟悉數(shù)學學數(shù)學最好的方式是做數(shù)聰明在于學習,天才在于積累9做好三個過聽課過程：預習——聽課——復學習過程：理解——練習——綜合——再練看書過程：先由薄到厚（加進自己的理解再由厚到薄（對知識概括總結(jié)：《微積分》下冊科參 《微積分輔導》，上下冊 交或別的《微積分》、《高等數(shù)學》輔導準備1個練習本，課上準備2個作業(yè)本(寫上學號)，每周一交作最終成績3次月考成績各1010第一 函函數(shù)研究對1.1集合與函集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的aM

aMA

M{

x所具有的特征2例A2

1

x5,xR 2

{a

a,bQ若x

A,就有xB,則稱A是B

A數(shù)集分類:N----自然數(shù) 整數(shù)Q----有理數(shù) 實數(shù)數(shù)集間的關(guān)

N

Q

B,且B

A,A與B

記作A

C{

x23x2

AC.不含任何元素的集合稱為

(記作

xR,x

10}規(guī)定空集為任何集合的子區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).任意abR,且a

(a,

{xa

x

[a,b]

{xa

x 半開區(qū)

[a,b){xa

x

ba稱為區(qū)間(a,b]

{xa

x

[a,)

{xa

(a,)

{xax}o(,

{

x

(,b]{

xR(,)

{x

x

設a與是兩個實數(shù)

且

x

}稱為a的鄰域點a叫做這鄰域的

叫做這鄰域的半U(a,

{

xa{

a

x

a

}

,aa

a 點a鄰域U(a,

{

0xa

U(a,a

a 點a的左鄰域

(a

,a)點a的右鄰域

(a,a函數(shù)的概定義設xyD如果對于每個數(shù)xD, 變量y按照一定法則總y是x的函數(shù)y因變

f(

當

D時稱

(x0)為函x0處的函數(shù)值全體組成W

(D)

{yy

f(

xD稱為函數(shù)的值域函數(shù)的兩要素:定義域與對應約定域是自變量所能取的使算式有意義例如，例如，

y1x211x21x

DD:求下列函數(shù)的定義域

log(x1)(16

x2

y

2x1 2xx2 ln(2

16x2

4

x解(1

x1

xxx

定義域

x1 2x

3

x 0x

2xx2

x

定義域

(1,1)2

1 2

1

x函數(shù)的圖點集

{(x,y)y

f(

xD稱為函數(shù)y

fx)的圖形yyyy(x,y)oxDx圖形為平面上的一條例如

f(x)

2x2

xxy12y12xox幾個特殊的函符號函 ysgnx

當x 1o當x1o

當x取整函

[x]表示不超

x的最大整 4 22

-4-3-2-

o-112 4 2.5 階梯曲雷函0yD(x)0

當x是有理數(shù)時當x是無理數(shù)時y1 無理數(shù) 有理數(shù)取最值函f(x)g(f(x)g(x)oy

f(

g(xf(x)g(f(x)g(x)oy

f(

g(x例設

(x)

0x

,x

f

f

f并求函數(shù)

f(

3)解f(1)

f

f(1.2)

f(x)

0x

xf(

3)

0x

1

3

x

x3

2

xf(

設

0，函數(shù)值

f )x 11x21求函數(shù)y

f(x)

(x

0)的解析表達式解(任意，All的首字母(存在，Exsit的首字母設1u

（變量代換則fu1u

1 11u211x2fx1x2x

(x函數(shù)的的一些重要的性有界若X

D,

0,x

X,

f(

M成立則稱函f(x)在X上有.否則 o有界-

-

D,M,x

X,

f(x)

Mfx)

D,M,x

X,

f(x)

Mfx)在Xfx)在X上有界

fx)在X有上界又有下單調(diào)

fx)

區(qū)間

如果對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2

當x1

x2時恒 f(x1)

f(x2

f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增yyyf(f(x2OxI

如果對于區(qū)間

上任意兩點x1及x2

當x1

恒有

f(x2

f(x)在區(qū)間Iyyyyf(f(x1f(x2OxI奇偶設D

對于xD,f(x)

f(

fx)為偶函數(shù)yyyf(f(x)-f(x)oxx偶函設D關(guān)于原點對

對于xD,f(x)

f(x)

fx)為奇函數(shù)yyyf(f(x)oxxf(周期如果

D,都有

(x

則稱

(x)為周T稱為

x)（一般指最小正周期y2y2πOπ2x注:周期函數(shù)不一定存在最小正周例如,常值函

f(x)生成函數(shù)的運f(x)

g(

f(x)

g(f(x)g(

fx(g(x)反函定義設函yf(x)的值域為W,如果對于中任y值從關(guān)系yf(x)中可確定唯一的x值

則稱變量x為變量y的函數(shù)x

f1(f1(y)稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù) 上y=f(x)反函數(shù)記y

f1(注意(1yf(x)的圖形與其反函數(shù)xf-1(y)的圖重合

yf(x)的圖形與其反

yf-1(x)的圖形于直線y

x對稱yf1x)yyQ(byyQ(b,a)P(a,Ox(2)只有一一對應的函數(shù)才有反

y

定義域為(,

值域[0,

但對y(0

),都有兩

x2

與之對應,x不是y的函數(shù)yyyyx2yyy

不存在反函數(shù)而yx2

定義域限制為(0

),就有反函數(shù)x求反函數(shù)的把x從方y(tǒng)f(x)中解出把剛才所得的表達式中的x與y對換即得所求函數(shù)的反函數(shù)y=f-1(x).如指數(shù)函

y

定義域

y

y(,

),值域為

0,

其反函數(shù)

y

lg

并稱為對數(shù)函數(shù)

ylg1x1x如y u

u1

x2 yy

f(u)的定義域Df

,而函數(shù)ux)的值域為ZDf

y

)(x)

f[x為x的復合函數(shù)x自變

u

y因變設有函數(shù)u

g(x)

sinx,函數(shù)y

f(u)

u2則函數(shù)g和f構(gòu)成的復合函(f

g)(x)

f[g(x)]

f

x)

2例y

arcsin

u2

x2;

x2

復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構(gòu) y

u, u

vx,ycotcot23.3.一個復雜的函數(shù)根據(jù)需要也可分解為若干簡單函數(shù)y1x2,ye1uvv1x2u,v都是中間變量.復合函數(shù)的定義域是x2

(x)

求f

f(

(1x1x1f2(x)11x2x21x21212x

(

f(x) f

f(

f

1x11x1x1x1x2)21212xf(x)

1x1x

f(x)) 12x12x

f(x

f 12x12x13x2112x2x212x2由以上兩式

fn(x)1nxx數(shù)學歸1nxxex

x

x

x

(x)x,

x

(x)

x2

xf[

(x)解f

(x)

(x)(1)當x時x

(

x

2

x

f[(x)]

ex2x

(

1

0x

2;f[(x)]

ex2x

(

x

2

1

ffxexxx,(x)xx 2,xf(2當x)時f(x)(x)(x)(x)xx

(

x2

1

f[(x)]xx 綜上所

ex2

x

f[(x)]x2f[(x)]

x222

1

xex

1 0x2x2

x設fx)

ex2

1

x并且x求

及其定義解題此題是復合解題

u(x),從題目條件分析u和x的關(guān)

x),

f((x))

f(u)

eu2eu2

1

u

x).

x

(x)

ln(1

x初等函基本初等函常值函y

y

(C常數(shù)y 定義域為(,

),冪函

yx

(是常yyx

yy y 定義域與的取值有關(guān)指數(shù)函ya

(a

yexx1y x1a

ya

定義域為(,

),值域為(0

).43對數(shù)函yloga

(a

yln y

loga(aO

xylog1a定義域為(0,

),值域為(,

5)三角函正弦函

ysiny1ysin

2

2定義域為(,

),

值域

yycscx sin1（余割函數(shù)余弦函

ycosyysecx 1（正割函數(shù)1

ycos 2

2

2定義域為(,

),

值域為正切函

ytan余切函余切函ycotyycot2O22 定義x值域nyyyytan22O22x定義x2n1πn2y 定義域

ysin

(,

),

2

y2y

值域反三角函數(shù)都是多值函數(shù) 但是,可以選取這些函數(shù) 單值支

主

yarcsin定義π

值域

π,π

反余弦函yyπ

Arccos主

yarccos定義

值

[0,反正切函

yArctan

反余切函

yyπ yπ yarctanOx2yπ主yarccotπ2Ox

定義

值域

π,π

值域(022 22 初等函由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運和有限次復合步驟所的函數(shù),稱為初等函

并可用一個式子表由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運和有限次復合步驟所的函數(shù),稱為初等函

并可用一個式子表1ln(31ln(3xy

3sinx2

8a

ln(1

x21都是初等函yx

x3

x5

x7

,

不是初等函雙曲函

D:

ex