直角三角形的性質(zhì)與判定 優(yōu)秀課教案

2直角三角形第1課時(shí)直角三角形的性質(zhì)與判定.復(fù)習(xí)直角三角形的相關(guān)知識(shí)，歸納并掌握直角三角形的性質(zhì)和判定；.學(xué)習(xí)并掌握勾股定理及其逆定理，能夠運(yùn)用其解決問題.（重點(diǎn)，難點(diǎn)）3Z。，即7NC=180°,三個(gè)角沒有90°角，故不是直角三角形.故選D.方法總結(jié)：在判定一個(gè)三角形是否為直角三角形時(shí)要注意直角三角形中有一個(gè)內(nèi)角為90°.［類型二］直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用如圖①，△ABC中，AD±BC于D,CE±AB于E.一、情境導(dǎo)入古埃及人曾經(jīng)用下面的方法畫直角：將一根長(zhǎng)繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后按如圖所示的方法用樁釘釘成一個(gè)三角形，他們認(rèn)為其中一個(gè)角便是直角.你知道這是什么道理嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：直角三角形的性質(zhì)與判定［類型一］判定三角形是否為直角三角形具備下列條件的△A5C中，不是直角三角形的是（）A.ZA+ZB=ZCB.ZA-ZB=ZCC.ZA:ZB:ZC=1：2：3D.ZA=ZB=3ZC解析：由直角三角形內(nèi)角和為180°求得三角形的每一個(gè)角的度數(shù)，再判斷其形狀.A中ZA+ZB=ZC,即2NC=180°,NC=90。，為直角三角形，同理，B,C中均為直角三角形，D選項(xiàng)中ZA=ZB=（1）猜測(cè)Z1與Z2的關(guān)系，并說明理由.（2）如果ZA是鈍角，如圖②，（1）中的結(jié)論是否還成立？解析：（1）根據(jù)垂直的定義可得△ABD和^BCE都是直角三角形，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得Z1+ZB=90°,N2+ZB=90°,從而得解；（2）根據(jù)垂直的定義可得ZD=ZE=90°,然后求出Z1+Z4=90°,N2+Z3=90°,再根據(jù)Z3、Z4是對(duì)頂角解答即可.解：（1）Z1=Z2.VAD±BC,CE±AB,???△ABD和^BCE都是直角三角形，???Z1+ZB=90°,Z2+ZB=90°,.'.Z1=Z2；（2）結(jié)論仍然成立.理由如下：VBD±AC,CE±AB,?'.ZD=ZE=90°,.??Z1+Z4=90°,Z2+Z3=90°,VZ3=Z4（對(duì)頂角相等），，Z1=Z2.方法總結(jié)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，主要利用了直角三角形兩銳角互余，同角或等角的余角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.探究點(diǎn)二：勾股定理

【類型—］直接運(yùn)用勾股定理BD【類型—］直接運(yùn)用勾股定理已知：如圖，在△A5C中，ZACB=90°,45=13cm,BC=5cm,CD±AB于D求：(1)AC的長(zhǎng)；(2)晨abc；(3)CD的長(zhǎng).解析：(1)由于在△ABC中，NACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,根據(jù)勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)；⑵直接利用三角形的面積公式即可求出S△ABC;(3)根據(jù)CD?AB=BC?AC即可求出CD.解：(1)，?,在△ABC中，/ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,?'.AC='/AB2-BC2=12cm；(2SABC=1CB?AC=30cm2；VS△ABC=1AC?BC=2CD?AB，二CD=AC?BCABCD=AC?BCAB6013cm.【類型二】分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用在^ABC中，AB=15,AC=13,BC邊上的高AD=12,試求△ABC周長(zhǎng).解析：本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：(1)當(dāng)^ABC為銳角三角形時(shí)，在RtAABD和RtAACD中，運(yùn)用勾股定理可將BD和CD的長(zhǎng)求出，兩者相加即為BC的長(zhǎng)，從而可將^ABC的周長(zhǎng)求出；(2)當(dāng)4ABC為鈍角三角形時(shí)，在RtAABD和RtAACD中，運(yùn)用勾股定理可將BD和CD的長(zhǎng)求出，兩者相減即為BC的長(zhǎng)，從而可將^ABC的周長(zhǎng)求出.解：此題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：(1)當(dāng)4ABC為銳角三角形時(shí)，在Rt△ABD中，BD=\^AJ22-AD2=\,'152-122=9,在Rt△ACD中，CD=?ACC2-AD2=4132-122=5，二BC=BD+CD=5+9=14,A△ABC的周長(zhǎng)為15+13+14=42；(2)當(dāng)4ABC為鈍角三角形時(shí)，在Rt△ABD中，BD=\/AB2-AD2=--.ji52—122=9.在Rt△ACD中，CD=-JAC2—AD2='■..''132-122=5,?，.BC=9-5=4,?必ABC的周長(zhǎng)為15+13+4=32.???當(dāng)4ABC為銳角三角形時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為42；當(dāng)^ABC為鈍角三角形時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為32.方法總結(jié)：在題目未給出具體圖形時(shí)，應(yīng)考慮三角形是銳角三角形還是鈍角三角形，凡符合題設(shè)的情況都要考慮，體現(xiàn)了分類討論思想，這是解無(wú)圖幾何問題的常用方法.探究點(diǎn)三：勾股定理的逆定理【類型一】判斷三角形的形狀如圖，正方形網(wǎng)格中有△ABC,若小方格邊長(zhǎng)為1,則^ABC的形狀為()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.以上答案都不對(duì)解析：V?正方形小方格邊長(zhǎng)為1,???BC=\；42+62=2\；13,AC=\，'22+32=",13,AB=--,：1+82=\:荏.在△ABC中，:BC2+AC2=52+13=65,AB2=65，,BC2+AC2=AB2,；.AABC是直角三角形.故選A.方法總結(jié)：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大

小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.【類型二】明垂直關(guān)系如圖,利用勾股定理的逆定理證【類型二】明垂直關(guān)系如圖,在正方形A5C。中，AE=EB,AF=^AD,求證：CE±EF.證明：連接CF設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4.???四邊形A5C。為正方形，??.A5=5C=C。=D4=4.\,點(diǎn)￡為AB中點(diǎn)，AF=；AD,AE=BE=2,AF=1,=3.由勾股定理得￡b2=12+22=5,EC2=22+42=20,FC2=42+32=25.???EF2+EC2=FC2,：.XCFE是直角三角形，???/FEC=90°,即EF±CE.方法總結(jié)：利用勾股定理的逆定理可以判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形，所以此定理也是判定垂直關(guān)系的一個(gè)主要方法.【類型三】運(yùn)用勾股定理的逆定理解決面積問題如圖，在四邊形ABCD中，/B=90°,AB=8,BC=6,CD=24,AD=26,求四邊形ABCD的面積.解析：連接AC,根據(jù)已知條件運(yùn)用勾股定理的逆定理可證^ACD為直角三角形，然后代入三角形面積公式將△ABC和△ACD這兩個(gè)直角三角形的面積求出，兩者面積相加即為四邊形ABCD的面積.解：連接AC,VZB=90°,，1BC為直角三角形.???AC2=AB2+BC2=82+62=102,AAC=10.在△ACD中，??2。2+CD2=100+576=676,AD2=262=676,AAC2+CD2=AD2,A△ACD為直角三角形，且ZACD=90°,AS=S44+S-四邊形ABCD△ABC△ACD

1,cJS……=2X6X8+2X10X24=144.方法總結(jié)：此題將求四邊形面積的問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)直角三角形面積和的問題，既考查了對(duì)勾股定理逆定理的掌握情況，又體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題時(shí)的應(yīng)用.探究點(diǎn)四：互逆命題與互逆定理寫出下列各命題的逆命題，并判斷其逆命題是真命題還是假命題.(1)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；(2)垂直于同一條直線的兩直線平行；(3)相等的角是內(nèi)錯(cuò)角；(4)有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形.解析：分別找出各命題的題設(shè)和結(jié)論將其互換即可.解：(1)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.真命題；(2)如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一條直線(在同一平面內(nèi)).真命題;(3)內(nèi)錯(cuò)角相等.假命題；(4)等邊三角形有一個(gè)角是60°.真命題.方法總結(jié)：一個(gè)定理不一定有逆定理，只有當(dāng)它的逆命題為真命題時(shí)，它才有逆定理.三、板書設(shè)計(jì).直角三角形的性質(zhì)與判定直角三角的兩個(gè)銳角互余；有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形..勾股定理及勾股定理的逆定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.本節(jié)課充分發(fā)揮了學(xué)生動(dòng)手操作能力、分類討論能力、交流能力和空間想象能力，讓學(xué)生充分體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)思考的魅力和知識(shí)創(chuàng)新的樂趣，突顯教學(xué)過程中的師生互動(dòng)，使學(xué)生真正成為主動(dòng)學(xué)習(xí)者.第2課時(shí)平行四邊形的判定定理3與兩平行線間的距離.復(fù)習(xí)并鞏固平行四邊形的判定定理1、2；.學(xué)習(xí)并掌握平行四邊形的判定定理3,能夠熟練運(yùn)用平行四邊形的判定定理解決問題；（重點(diǎn)）3.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)總結(jié)出求兩條平行線之間的距離的方法，能夠綜合平行四邊形的性質(zhì)和判定定理解決問題.（重點(diǎn)，難點(diǎn)）一、情境導(dǎo)入小明的父親的手中有一些木條，他想通過適當(dāng)?shù)臏y(cè)量、割剪，釘制一個(gè)平行四邊形框架,你能幫他想出一些辦法來(lái)嗎？你能想出幾種辦法？二、合作探究探究點(diǎn)一：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形［類型—］利用平行四邊形的判定定理⑶判定平行四邊形已知，如圖，45、C。相交于點(diǎn)0,49=50,E、F分別是OC、OD中點(diǎn).求證：（1）△AOC/△BOD；（2）四邊形AFBE是平行四邊形.解析：（1）利用已知條件和全等三角形的判定方法即可證明△AOC/△BOD;（2）此題已知AO=BO,要證四邊形AFBE是平行四邊形，根據(jù)全等三角形，只需證OE=OF就可以了.'AO=OB,證明：（1）：AC〃BD,；?/C=Z。.在^AOC和^BOD中，?「<NAOC=ZBOD,:、△、/C=ND,AOC必BOD（AAS）；（2）V△AOC/△BOD,；CO=DO.?:E、F分別是OC>OD的中點(diǎn)，；OF=2OD,OE=2OC,；EO=FO,又VAO=BO,；?四邊形AFBE是平行四邊形.方法總結(jié)：在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察題目所給的條件，仔細(xì)選擇適合于題目的判定方法進(jìn)行解答，避免混用判定方法.熟練掌握平行四邊形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵.【類型二］利用平行四邊形的判定定理⑶證明線段或角相等如圖，在平行四邊形A5C。中，AC交5。于點(diǎn)。，點(diǎn)￡,廠分別是04,0。的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷線段。尸的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論.解析：根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分得出OA=OC,OB=O。，利用中點(diǎn)的意義得出OE=OF,從而利用平行四邊形的判定定理“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”判定BFDE是平行四邊形，從而得出BE=DF,BE〃DF.解：BE=DF,BE〃DF.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以O(shè)A=OC,OB=OD.因?yàn)镋,F分別是OA,OC的中點(diǎn)，所以O(shè)E=OF,所以四邊形BFDE是平行四邊形，所以BE=DF,BE〃DF.方法總結(jié)：平行四邊形的性質(zhì)也是證明線段相等或平行的重要方法.探究點(diǎn)二：平行線間的距離如圖，已知/1〃12，點(diǎn)E,F在11上，點(diǎn)G,H在12上，試說明^EGO與^FHO的面積相等.解析：結(jié)合平行線間的距離相等和三角形的面積公式即可證明.證明：???1J',??.點(diǎn)E,F到/之間的距離都相等，設(shè)為h.：,S人““=1GH?h,Si122△EGH2△FGH=2GH^h，?S△EGH=S△FGH，?S△EGH-S△GOH=S△FGH-S△GOH，?S△EGO=S△FHO'方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是明確三角形的中線把三角形的面積等分成了相等的兩部分，同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等.探究點(diǎn)三：平行四邊形判定和性質(zhì)的綜合如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AG〃CD交BC于點(diǎn)G,點(diǎn)E、F分別為AG、CD的中點(diǎn)，連接DE、FG.(1)求證：四邊形DEGF是平行四邊形；(2)如果點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，且BC=12,DC=10,求四邊形AGCD的面積.解析：(1)求出平行四邊形AGCD,推出CD=46,推出EG=DF,EG〃DF，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；(2)由點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，BC=12,得到BG=CG=1BC=6,根據(jù)四邊形AGCD是平行四邊形可知AG=DC=10,根據(jù)勾股定理得AB=8,求出四邊形AGCD的面積為6X8=48.解：AD//BC,二四邊形AGC。是平行四邊形，：.AG=DC：：E./分另IJ為4G、。。的中點(diǎn)，???G￡=2AG,DF=gDC，即GE=DF,GE〃DF,??.四邊形DEGF是平行四邊形;(2),?,點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，BC=12,ABG=CG=2BC=6.?四邊形AGCD是平行四邊形，DC=10,AG=DC=10,在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理得AB=8,??.四邊形AGCD