二面角及其度量全國一等獎教學設計

高二（下）數(shù)學理科學案13、14——二面角及其度量學習目標：掌握二面角的概念，會找簡單圖形中二面角的平面角；掌握求二面角大小的基本方法、步驟知識學習一、【教材知識梳理】1平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做_________，從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫_________，這條直線叫做二面角的__________，每個半平面叫__________。棱為，兩個面分別為的二面角，記作____________。2在二面角的棱長任取一點，在兩個半平面內(nèi)分別作射線，，則叫做二面角的____________。OOABOAB，設，則與二面角________。二、【課前檢測】1設，分別是平面的法向量，則平面與構(gòu)成的二面角的平面角為（）ABCD不能確定2在正方體中，截面和截面的夾角的余弦值是（）ABCD3將正方形沿對象線折成直二面角，則二面角的平面角的余弦值是___________。4如圖，在長體中，，，求下列兩個平面所成的角：（1）平面與平面；（2）平面與平面；（3）平面與平面。三、學習過程二面角的求法：1．幾何法：二面角轉(zhuǎn)化為其平面角，要掌握以下三種基本做法：①直接利用定義，圖4（1）。②利用三垂線定理及其逆定理，圖4（2）最常用。③作棱的垂面，圖4（3）。AAOBMNAOPABOP4（1）4（2）4（3）圖4另外，特別注意觀察圖形本身是否已含有所求的平面角；2．向量法：①從平面的法向量考慮，設分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量的夾角為，則有或（圖5）圖5②如果AB、CD分別是二面角的兩個面內(nèi)與棱垂直的異面直線，則二面角的大小為。四典型示例分析：（1）用定義求二面角CDBA例１：在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC=AB，求二面角CDBAAABDCBDC2利用三垂線定理求二面角例2：如圖,ABCD-A1B1C1D1是長方體,側(cè)棱AA1長為1,底面為正方體且邊長為2,E是棱BC的中點,求面C1DE與面CDE所成二面角的正切值DDABECC1B1D1OAA1思考：能否用面積攝影法來求例3：已知：二面角的度數(shù)為，在面內(nèi)有，它在內(nèi)的射影為，它們的面積分別為，求證：（3）利用空間向量求二面角例4：已知四棱錐，AC＝6cm，BD＝8cm，求CD的長。變式：⑴如圖二面角α－－β中，CA⊥于A，BD⊥于B，又知AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，CD＝，求二面角α－－β的大小。⑵如圖在60°的二面角α－－β中CA⊥于A，BD⊥于B，又知AC＝6cm，BD＝8cm，CD＝，求CD在棱上的射影AB的長。例2：已知為直角梯形，，垂直平面，，求平面與夾角的正切【變式訓練2】是邊長為1的正三角形，平面，且，求二面角的余弦值三、課堂小結(jié)：本節(jié)課學了哪些重要內(nèi)容試著寫下吧【思維導圖】四、【課堂達標練習】1在正方體中，二面角的平面角的正切值為（）BCD2若二面角的兩個半平面的法向量分別為和，則這個二面角的余弦值是（）BCD3已知正三棱錐的棱長都為1，求側(cè)面與底面的夾角。4已知是圓的直徑，且，垂直圓所在的平面，且，是圓上一點，且求二面角的大小。5如圖，在直三接柱中，（1）證明：；（2）求二面角的大小。達標檢測：1若平面求二面角余弦值。2（1）已知一正三棱錐的棱長都等于，求側(cè)面與底面所成二面角的余弦。（2）已知一正四棱錐的棱長都等于，求側(cè)面與底面所成二面角的余弦?！?如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2,BC=,E、F分別是AD，PC的中點。（1）證明：PC平面BEF；（2）求平面BEF與平面BAP夾角的大小?！?如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱BC,CC1上的點，CF=AB=2CE，（1）求異面直線EF與A1D1所成角的余弦值；（2）證明AF⊥平面A1ED；（3）求二面角A1-ED-F的正弦值。★5如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCDⅠ證明：PA⊥BD；Ⅱ若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值?！?如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AD（1）證明：D1E⊥A1D；（2）當E為AB的中點時，求點E到面ACD