2020高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì) 1.8 最小二乘估計(jì)課后梯度測(cè)評(píng)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE13-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1.8最小二乘估計(jì)一、選擇題1．過(guò)三點(diǎn)（3，10）,(7，20），(11,24）的線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程是()A．y＝1。75－5。75x B．y＝－1.75＋5。75xC．y＝5.75＋1。75x D．y＝5。75－1。75x答案C解析根據(jù)求線(xiàn)性回歸方程的方法,利用公式可得到答案．2．抽測(cè)10只某種白熾燈的使用壽命x，結(jié)果如下(單位:h)：1067,919,1196,785，t，936,918,1156,920，918，若eq\o（x,\s\up6（－)）＝997，則t大約是(）A．1120 B．1124C．1155 D．1128答案C3．在線(xiàn)性回歸方程中，b表示（）A．當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí)，y增加a的數(shù)量B．當(dāng)y增加一個(gè)單位時(shí)，x增加b的數(shù)量C．當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí),y的平均變化量D．當(dāng)y增加一個(gè)單位時(shí)，x的平均變化量答案C解析本題主要考查線(xiàn)性回歸方程中a，b的含義．4．由一組樣本數(shù)據(jù)（x1,y1)，(x2，y2)，…,（xn，yn）得到線(xiàn)性回歸方程y＝bx＋a，那么下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．直線(xiàn)y＝bx＋a必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（eq\o（x,\s\up6（－)）,eq\o（y，\s\up6(－）)）B．直線(xiàn)y＝bx＋a至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)（x1，y1），(x2,y2)，…,(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn)C．直線(xiàn)y＝bx＋a的斜率為b＝eq\f(\i\su(i＝1,n，x）iyi－n\o(x,\s\up6（－)）\o(y，\s\up6(－)），\i\su(i＝1，n，x)\o\al(2,i）－n\o（x，\s\up6（－))2)D．直線(xiàn)y＝bx＋a和各點(diǎn)(x1，y1），（x2，y2)，…,(xn，yn）的偏差的平方和eq\i\su(i＝1，n，［）yi－（bxi＋a）]2是該坐標(biāo)平面上所有直線(xiàn)與這些點(diǎn)的偏差的平方和中最小的答案B解析理解線(xiàn)性回歸方程的真正含義．因?yàn)閑q\o(y,\s\up6(－)）＝beq\o（x,\s\up6(－))＋a，其中eq\o（x，\s\up6(－))＝eq\f(1,n)（x1＋x2＋…＋xn),eq\o(y，\s\up6（－))＝eq\f（1，n)(y1＋y2＋…＋yn）,顯然回歸直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（eq\o(x，\s\up6（－)),eq\o（y,\s\up6（－)))．故A是正確的．回歸直線(xiàn)最能近似刻畫(huà)點(diǎn)(x1，y1），（x2，y2），…，(xn，yn）的變化趨勢(shì)，但并不一定經(jīng)過(guò)某些點(diǎn)．故B是錯(cuò)誤的．對(duì)于C、D只需了解相應(yīng)概念便會(huì)得出正確結(jié)論．5．下列敘述中:①變量間關(guān)系有函數(shù)關(guān)系，還有相關(guān)關(guān)系；②回歸函數(shù)即用函數(shù)關(guān)系近似地描述相互關(guān)系；③eq\o（∑，\s\up6(n),\s\do4（i＝1)）xi＝x1＋x2＋…＋xn；④線(xiàn)性回歸方程eq\o（y,\s\up6（^））＝bx＋a中,b＝eq\f(\o(∑，\s\up6（n），\s\do4（i＝1)）xi－\o(x,\s\up6(－)）yi－\o(y,\s\up6（－）),\o(∑,\s\up6(n）,\s\do4（i＝1))xi－\o(x，\s\up6（－）)2)，a＝eq\o(y，\s\up6(－)）－beq\o(x，\s\up6(－)）;⑤線(xiàn)性回歸方程一定可以近似地表示所有相關(guān)關(guān)系．其中正確的有（）A．①②③ B．①②④⑤C．①②③④ D．③④⑤答案C解析利用直接法逐個(gè)判斷可知,①②③④正確，而⑤線(xiàn)性回歸方程可以近似地表示具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，而不能表示其他相關(guān)關(guān)系．6．某化工廠為預(yù)測(cè)某產(chǎn)品的回收率y,需要研究它和原料有效成份含量x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8對(duì)觀察值，計(jì)算得：eq\o（∑,\s\up6(8),\s\do4（i＝1))xi＝52，eq\o（∑,\s\up6(8）,\s\do4(i＝1））yi＝228,eq\o（∑，\s\up6(8),\s\do4（i＝1))xeq\o\al（2,i)＝478，eq\o（∑，\s\up6（8）,\s\do4(i＝1))xiyi＝1849，則y與x的回歸方程是()A.eq\o（y,\s\up6（^)）＝11.47＋2。62xB.eq\o（y,\s\up6（^))＝－11.47＋2.62xC.eq\o（y,\s\up6（^））＝2.62＋22。47xD.eq\o（y,\s\up6（^））＝11。47－2.62x答案A解析把題目所給的數(shù)據(jù)代入公式分別求系數(shù)a和b即可．二、填空題7．調(diào)查了某地若干戶(hù)家庭的年收入x（單位：萬(wàn)元）和年飲食支出y(單位：萬(wàn)元），調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的回歸直線(xiàn)方程：eq\o（y，\s\up6（^））＝0。254x＋0。321.由回歸直線(xiàn)方程可知，家庭年收入每增加1萬(wàn)元,年飲食支出平均增加________萬(wàn)元．答案0.254解析本小題主要考查了利用回歸直線(xiàn)方程，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)．以x＋1代x，得0.254(x＋1)＋0。321,與0.254x＋0。321相減可得,年飲食支出平均增加0.254萬(wàn)元．8．某商店統(tǒng)計(jì)了最近6個(gè)月某商品的進(jìn)價(jià)x與售價(jià)y（單位:元）的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下:x3528912y46391214則eq\o（x,\s\up6(－)）＝________，eq\o（y,\s\up6(－))＝________,eq\o(∑，\s\up6(6),\s\do4(i＝1）)xeq\o\al(2，i)＝________,eq\o（∑,\s\up6(6），\s\do4（i＝1)）xiyi＝________，回歸方程為_(kāi)_______．答案6。58327396eq\o（y，\s\up6（^))＝1.4x＋0.571解析根據(jù)公式代入即可求得，也可以利用計(jì)算器求得，eq\o(x,\s\up6(－))＝6.5，eq\o(y，\s\up6(－）)＝8，eq\o（∑，\s\up6（6),\s\do4（i＝1））xeq\o\al(2，i）＝327,eq\o（∑，\s\up6（6），\s\do4（i＝1）)xiyi＝396,回歸方程為eq\o（y，\s\up6(^）)＝1.4x＋0.571。9．假設(shè)學(xué)生在初中的英語(yǔ)成績(jī)和高一英語(yǔ)成績(jī)是線(xiàn)性相關(guān)的．現(xiàn)有10名學(xué)生的初中英語(yǔ)成績(jī)(x)和高一英語(yǔ)成績(jī)(y）如下:x74717268767367706574y76757170767965776272則由此得到的回歸直線(xiàn)的斜率為_(kāi)_______．（保留到小數(shù)點(diǎn)后第4位）答案1。2182解析求斜率即求回歸方程中的b，按照公式進(jìn)行即可，即需要依次計(jì)算出eq\o（x，\s\up6（－))＝71,eq\o(∑,\s\up6（10）,\s\do4（i＝1)）xeq\o\al（2,i）＝50520，eq\o（y,\s\up6(－）)＝72。3，eq\o（∑,\s\up6(10)，\s\do4(i＝1）)xiyi＝51467，所以b＝eq\f（51467－10×71×72。3,50520－10×712)≈1。2182，所以斜率為1。2182。三、解答題10．在10年期間，一城市居民的年收入與某種商品的銷(xiāo)售額有如下數(shù)據(jù)：(1）畫(huà)出散點(diǎn)圖；（2)如果散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)大致分布在一條直線(xiàn)的附近,求y與x之間的線(xiàn)性回歸方程．解（1)散點(diǎn)圖如圖．（2）由圖可知，y與x線(xiàn)性相關(guān)，列表計(jì)算如下：所以b＝eq\f（15202.9－10×37。97×39。1，14663.67－10×37。972）≈1.447，a＝39.1－1。447×37.97≈－15。843，因此,所求線(xiàn)性回歸方程為y＝1.447x－15.843。11．PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2。5微米的顆粒物(也稱(chēng)可入肺顆粒物)，為了探究車(chē)流量與PM2。5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某時(shí)間段車(chē)流量與PM2。5濃度的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間周一周二周三周四周五車(chē)流量x(萬(wàn)輛）100102108114116濃度y（微克/立方米）7880848890（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y與x的線(xiàn)性回歸方程;(2)若周六同一時(shí)段車(chē)流量是200萬(wàn)輛，試根據(jù)(1)求出的線(xiàn)性回歸方程，預(yù)測(cè)此時(shí)PM2.5的濃度為多少？解(1)由條件可知，eq\o(x,\s\up6(－）)＝eq\f（1,5)eq\i\su(i＝1,5，x)i＝eq\f(540，5)＝108，eq\o（y，\s\up6（－))＝eq\f(1,5）eq\i\su(i＝1，5，y)i＝eq\f（420,5）＝84,eq\i\su（i＝1，5，)(xi－eq\o(x,\s\up6(－))）(yi－eq\o(y，\s\up6（－））)＝（－8）×(－6）＋（－6)×(－4)＋0×0＋6×4＋8×6＝144，eq\i\su(i＝1，5,)（xi－eq\o（x,\s\up6（－）)）2＝(－8）2＋（－6）2＋02＋62＋82＝200，b＝eq\f（\i\su（i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up6（－))yi－\o（y,\s\up6(－)）,\i\su（i＝1，5,)xi－\o(x，\s\up6(－)）2)＝eq\f(144,200）＝0.72，a＝eq\o（y，\s\up6(－)）－beq\o(x,\s\up6（－)）＝84－0.72×108＝6。24,故y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為eq\o（y，\s\up6(^）)＝0。72x＋6.24.（2）當(dāng)x＝200時(shí)，eq\o（y,\s\up6(^）)＝0.72×200＋6。24＝150.24.所以可以預(yù)測(cè)此時(shí)PM2。5的濃度約為150。24微克/立方米．12．某地最近十年糧食需求量逐年上升,下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20102012201420162018需求量（萬(wàn)噸)236246257276286（1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線(xiàn)方程eq\o（y，\s\up6（^））＝bx＋a；(2)利用（1)中所求出的直線(xiàn)方程預(yù)測(cè)該地2020年的糧食需求量．解本題考查回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用、回歸直線(xiàn)的意義和求法、數(shù)據(jù)處理的基本方法和能力，考查運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的能力．（1）由所給數(shù)據(jù)看出,年需求量與年份之間是近似直線(xiàn)上升，下面來(lái)求回歸直線(xiàn)方程．為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份－2014－4－2024需求量－257－21－1101929對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù),容易算得eq\o（x,\s\up6（－））＝0，eq\o（y，\s\up6(－))＝3。2，b＝eq\f(－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29,42＋22＋22＋42）＝eq\f(260，40)＝6。5，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x，\s\up6(－))＝3。2.由上述計(jì)算結(jié)果，知所求回歸直線(xiàn)方程為eq\o(y，\s\up6(^）)－257＝b（x－2014)＋a＝6。5（x－2014）＋3。2，即eq\o(y，\s\up6（^）)＝6.5(x－2014）＋260。2.①（2）利用直線(xiàn)方程①，可預(yù)測(cè)2020年的糧食需求量為6．5×(2020－2014）＋260。2＝6.5×6＋260.2＝299.2(萬(wàn)噸)≈300（萬(wàn)噸)．(未寫(xiě)近似值不扣分)13．日常生活中，某些東西所含的熱量比較高，對(duì)我們的身體有一定的影響,下表給出了不同類(lèi)型八種餅干的數(shù)據(jù),第一列數(shù)據(jù)表示八種餅干各含熱量的百分比，第二列數(shù)據(jù)表示顧客對(duì)八種餅干所給予分?jǐn)?shù)（百分制)．品種所含熱量的百分比口味記錄1258923489320804197852675620717196582462(1）求出回歸直線(xiàn)方程;（2）關(guān)于兩個(gè)變量之間的關(guān)系,你能得出什么結(jié)論？(3）為什么人們更喜歡吃位于回歸直線(xiàn)上方的餅干而不是下方的餅干？解(1)先把數(shù)據(jù)列成表：由上表分別計(jì)算x，y的平均數(shù)得eq\o(x，\s\up6(－））＝eq\f（187,8),eq\o（y，\s\up6（－）)＝eq\f（609,8），代入公式eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（b＝\f（\o(∑，\s\up6(n）,\s\do4（i＝1）)xiyi－n\o（x，\s\up6（－)）\o（y，\s\up6(－)),\o（∑,\s\up6(n),\s\do4（i＝1)）x\o\al（2，i)－n\o(x，\s\up6（－）)2），a＝\o(y，\s\up6（－))－b\o(x，\s\up6(－)）,)）得b＝eq\f(14426－8×\f（187,8）×\f（609,8),4555－8×\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(187,8））)2）＝eq\f（190。625，183.875)≈