直線與圓的方程

第七章直線和圓的方程?知識梳理1.直線方程的五種形式平行點與圓的位置關(guān)系重合垂直直線點斜式圓與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系用二元一次不等式表示平面區(qū)域簡單應(yīng)用直線和圓直線方程?知識梳理1.直線方程的五種形式平行點與圓的位置關(guān)系重合垂直直線點斜式圓與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系用二元一次不等式表示平面區(qū)域簡單應(yīng)用直線和圓直線方程傾斜角和斜率兩條直線的位置關(guān)系幫式條件73程運用范圍點斜式已知斜率K點8,我y-y『k(x—通斜率存在斜■截式已知斜率k,y等上截距by^kx+b斜率存在兩點式過兩息區(qū)jr3國,yj:f_支f工2f斜率存在且不貳0握:±七;FiEyJ截距式知直鏤在冬y珈上的截取bF=1ab截距存在且不力0（斜幸存在且不過原點J一般式Ax+By+C=O/+于wo

2.直線的傾斜角、斜率及直線的方向向量及位置關(guān)系:(1)直線的傾斜角在平面直角坐標系中，對于一條與％軸相交的直線，如果把％軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為a，那么a就叫做直線的傾斜角.直線和％軸平行或重合時，直線的傾斜角為0°,直線傾斜角取值范圍0°<a<180°.(2)直線的斜率傾斜角a不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k表示，即k=tana(aW90°).傾斜角是90°的直線沒有斜率；傾斜角不是90°的直線都有斜率，其取值范圍是(-8,+8).(4)求直線斜率的方法①定義法：已知直線的傾斜角為a，且aW90°,則斜率k=tana.②公式法：已知直線過兩點P(%，％)、P(%，V)，且%W/，則斜率k=.11122212x■x21平面直角坐標系內(nèi)，每一條直線都有傾斜角，但不是每一條直線都有斜率.對于直線上任意兩點P1(x1,yJ、P2(x2,y2),當(dāng)x1=x2時，直線斜率k不存在，傾斜角a=90°；當(dāng)x1Wx2時，直線斜率存在，是一實數(shù)，并且k三0時，a=arctank,k<0時，a=n+arctank.(5)到角與夾角：若直線11,12的斜率分別為k1,匕，將11繞它們的交點逆時針旋轉(zhuǎn)到與12重合所轉(zhuǎn)過的最小正角叫11到12的角；11與12所成的角中不超過900的正角叫兩者的夾k■k7k■k711■kk12角。若記到角為e,夾角為a，則e=211■kk12(6)平行與垂直：若直線11與12的斜率分別為k1,k2。且兩者不重合，則11//12的充要條件是k1=k2；11■12的充要條件是k1k2=-1。(7)兩點P1(x1,y1)與P2(x2,y2)間的距離公式：IP1P2r(x1■x2)2■(y1■y2)2。|Ax■By■C|(8)點P(x八,y八)到直線1:Ax+By+C=0的距離公式：d■——0000<A2■B23．直線系的方程：若已知兩直線的方程是11：A1x+B1y+C1=0與12：A2x+B2y+C2=0,則過11,12交點的直線方程為A1x+B1y+C1+入(A2x+B2y+C2)=0；與12平行的直線方程為A1x+B1y+C=0(C■C1).4．簡單的線性規(guī)劃問題:若直線1方程為Ax+By+C=0.若B>0,則Ax+By+C>0表示的區(qū)域為1上方(或稱右方)的部分，Ax+By+C<0表示的區(qū)域為1下方(或稱左方)的部分。注:解決簡單的線性規(guī)劃問題的一般步驟：(1)確定各變量，并以x和y表示；(2)寫出線性約束條件和線性目標函數(shù)；(3)畫出滿足約束條件的可行域；(4)求出最優(yōu)解。（一）主要知識及方法：.點P?,b1關(guān)于％軸的對稱點的坐標為關(guān)于y軸的對稱點的坐標為;關(guān)于y■x的對稱點的坐標為;關(guān)于y■■的對稱點的坐標為.點P?,b■關(guān)于直線ax■by?c■0的對稱點的坐標的求法：?設(shè)所求的對稱點P1的坐標為?，y■，00■a■xb■y■一一則PP,的中點■2~0-,2-0-1一定在直線ax■by■c■0上?1直線PP與直線ax■by■c■0的斜率互為負倒數(shù)，即Yb+ax■a■b■03.直線ax?by■c■0關(guān)于直線ax■by■c■0的對稱直線方程的求法：111①到角相等；②在已知直線上去兩點（其中一點可以是交點，若相交）求這兩點關(guān)于對稱軸的對稱點，再求過這兩點的直線方程；③軌跡法相關(guān)點法；④待定系數(shù)法，利用對稱軸所在直線上任一點到兩對稱直線的距離相等，….點y嗔于定點?,b1的對稱點為?a■x,2b■y■,曲線C：/y?0關(guān)于定點?,b■的對稱曲線方程為f?a■x,2b■yH0.直線系方程：■線y■kx■b（k為常數(shù)，b參數(shù)；k為參數(shù)，b位常數(shù)）■嗎定點*直線系方程為■左囁％■工00000.嗎直線A￥?gy?C?0平行的直線系方程為Ar?gy?CHO(CHC)11■嗎直線Ax?ByBCHO垂直的直線系方程為BxBAy?mHO■嗎;直線/：〃由匕#°卬和/：1111L■/?y■{7■■—%■/7y-c

111222〃尸叫丁?。2?)的交點的直線系的方程為(不含G例1(1)求點41,2)關(guān)于直線工■y■2■0的對稱點(2)求A(3,4)關(guān)于直線y■2工■3的對稱點(3)一張坐標紙，對折后，點A(0,4)與點B(8,0)重疊，若點C(6,8)與D(m,n)重疊，求m+n；2li：X"y"1"012：3%"y"3"01練習(xí)：(2)求直線3工■4y■5■0關(guān)于直線x=3對稱的直線方程；(3)求直線3工■4y■5■0關(guān)于直線2工■2y■3■0對稱的直線方程;例3(1)已知A(1,2),B(1E,0)，在直線y■工■1上找一點P，使IPAI■IPBI最小，并求最小值；(2)已知A(1,2),B(4,BE)，在直線y■工■1上找一點P，使IIPAI■IPBII最大，并求最大值；例4光線由點A(2,3)射到直線工■y■1■0反射，反射光線經(jīng)過點B(1,1)求反射光線所在直線方程。練習(xí)：1、光線從4?,2）射出，被X軸反射后經(jīng)過點B（3,2）,求入射光線所在直線方程;2、光線沿著直線11：x■2J■5■0射向直線12:2x■2j■7■。，求反射光線所在直線方程。3、直線1關(guān)于直線x■2的對稱直線方程是3x■2j■1■0，求直線1的傾斜角；4、直線2x■j■3■0和直線2x■j■1■0關(guān)于直線1對稱，求直線1的方程；5、一張坐標紙對折后，點A（0，2）與點B（4，0）重疊，若點C（2，3）與D（m，n）重疊，求m+n；6、求直線2x■j■2■0關(guān)于點A（2,3）對車的直線方程7、11：x■j■2■0與12:7x■j■4■0關(guān)于直線1對稱，求直線1的方程；8（選）、入射光線沿直線11：2x■j■3■0射到x軸后反射，這時又沿著直線12射到y(tǒng)軸,由y軸再反射沿著直線13射出，求直線13的方程；

二、圓的方程及有關(guān)問題（一）、圓及圓的一般方程.圓的一般方程：X2■J2■Dx■Ey■F■0（D2■E2■4F■0）.推導(dǎo)：圓心為C（q,b），半徑為r的圓的標準方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．TOC\o"1-5"\h\z（x－a）2．+（y－b）2．=r2．.①．．．．．．．．．．．．．．．展開整理得：x2■y2■2ax■2by■a2■b2■r2■0令DBIEa,E?險b,F■a2■b2■r2,則得x2■y2■Dx■Ey■F■0②DED2■E2■4F將方程②左邊配方得：（x■—）2■（y■—）2■乙乙I（1）當(dāng)D（1）當(dāng)D2■E2■4F■0時，方程②表示以為圓心2■E2■4F為半DE由方程②得xDE由方程②得x■■—,y■■—,它表示一個點（2）當(dāng)D2■E2■4F■0時，（3）當(dāng)D2■E2■4F■0時，方程②沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形。因此，當(dāng)D2■E2■4F■0時，方程②表示一個圓，方程②叫做圓的一般方程。3圓的一般方程的特點（1）x2,y2的系數(shù)相同且不等于零；（2）不含xy的項。具有以上兩個特點的二元二次方程入2■Bxy■Cy2■Dx■Ey■F■0僅符合方程②的形式，還需要滿足D2■E2■4F■0的條件，才能表示圓，因此，上述兩個特點是二元二次方程Ax2■Bxy■Cy2■Dx■Ey■F■0表示圓的必要條件，不是充分條件。4、圓的標準方程：圓心是點（a,b），半徑為r的圓的標準方程為（x-a）2+（y-b）2=r2,其參數(shù)方程為■■y數(shù)方程為■■y（e為參數(shù)）?！鯾■rsin■(二)、直線與圓直線和圓的位置關(guān)系，制定直線和圓的位置關(guān)系主要有兩種方法，方法：1、方法一:利用判別式來討論位置關(guān)系方法二:圓心到直線的距離d和半?■0直線和園相交徑r的大小加以比較■■0直線和園相切■d■r直線和園相交0直線和園相離id■r直線和園相切■d■r直線和園相離2．圓的弦長的求法：(1)幾何法：當(dāng)直線和圓相交時，設(shè)弦長為1，弦心距為d，半徑為r，根據(jù)垂徑定理，(-)2■d2■r2則有：2；(2)代數(shù)法：設(shè)1的斜率為k，1與圓交點分別為A(xi，yjB(x2,y2)，則IABIB、1■k2Ix■x*.1■—Iy■yIABkk2AB注意：求直線被圓截得的弦長問題一般用幾何法。3．直線與圓相切⑴若點P(X0，y0)在圓X2"y2"rI則過點P點的切線方程為：XX0■yy0■r2；(2)已知斜率為k且與圓x2"y2-r2相切的切線方程為：y"kx"rx1"k2；已知斜率為k且與圓(x■a)2■(y■b)2■r2相切的切線方程的求法，可設(shè)切線為y■kx■m，然后利用圓心到切線的距離等于半徑列出方程求m；⑶當(dāng)點P(x0，y0)在圓外面時，可設(shè)切方程為y■y0"k(x'x0)，利用圓心到直線之距等于半徑即d■r，求出k即可，或利用■■0，求出k，若求得k只有一值，則還應(yīng)該有一條斜率不存在的直線x■x0，此時應(yīng)補上。(4)當(dāng)直線1和圓°相切時，切點的坐標為1的方程和圓°的方程聯(lián)立的方程組的解，或過圓心與切線1垂直的直線與切線1聯(lián)立的方程組的解。(5)若點P(x0，y0)在圓x2"y2"r2外一點；則過點P點的切線的切點弦方程為：xx■yy■r200；若點P(x0，y0)在圓(x-a)2"y-b)2"r2；則過點P點的切線的切點弦方程為：(x■a)(x■a)■(y■b)(y■b)■r200；題型二：圓的方程的綜合應(yīng)用例2：已知方程x2■J2■ax■2ay■2a2■aH■0(1)若此方程表示圓，求實數(shù)a的范圍；()求此方程表示的圓的面積最大時的值及此時圓的方程?！咀兪脚c拓展】：已知方程x2■y2■2(t■3)x■2(1■4t2)y■1614■9■0(t■R)表示的圖形是圓。()求的取值范圍；()其中面積最大的圓的方程。題型三：與圓有關(guān)的最值問題例已知圓的方程為(X■2)2■(J?)2■2,求圓上的點到直線的距離的最大值和最小值?！咀兪脚c拓展】已知圓C：(X■3)2■(j■4)2■1,點A(-1,0),B(1,0),點P在圓上運動，求d■PA2■PB2的最值及相應(yīng)的點P的坐標。（二）、直線與圓（例：已知圓的方程是x2+y2=r2,求經(jīng)過圓上一點M（%0,y0）的切線的方程。2.求圓的方程例：求圓的圓心在直線y=-4x上，并且與直線a：x+y—1=0相切，求切于點p（3、-2）的圓的方程。解：求圓的方程存在下列兩種思路思路1：思路2：4.求字母參數(shù)取值范圍例：已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0,一定點為A（1、2）,要使過定點（1、2）,作圓的切線有兩條，求a的取值范圍。㈡直線與圓相交一條直線與圓相交可以求相交弦長例：已知圓的方程為：x2+y2=9，直線y=x+1與圓相交于A、B,求相交弦的長。㈢直線與圓相離已知圓的方程x2—2x+y2+6y=6,求圓與直線4x-3y+12=0的距離的最大值和最小值。三、圓與圓．、兩圓的位置關(guān)系：（1）代數(shù)法：解兩個圓的方程所組成的二元二次方程組；若方程組有兩組不同的實數(shù)解，則兩圓相交；若方程組有兩組相同的實數(shù)解，則兩圓相切；若無實數(shù)解，兩圓相離。（）幾何法：設(shè)圓O的半徑為r，圓O的半徑為rTOC\o"1-5"\h\z1122①兩圓外離?lOO?r■r；②兩圓外切?lOOIBr■r；12121212③兩圓相交■Ir■rI?OOHr■r；④兩圓內(nèi)切■IOOmr■rI；2112121221⑤兩圓內(nèi)含?IOOIHr■rI；1221注意：判斷兩圓的位置關(guān)系多用幾何法。2．兩圓相切時，兩圓心所在直線經(jīng)過切點，外切時有3條公切線，內(nèi)切時有1條公切線。3．兩圓外離時，有4條公切線，兩圓相交時，有2條公切線，兩圓連心線垂直平分公共弦。注意：兩圓相交時，相交弦的方程是將兩圓方程相減，消去l2和J2后得到的直線方程。4．圓系方程：（1）經(jīng)過兩個圓C：%2■y2-D1x-E1y■F1■。與圓c：x2■y2-D2x■Ey■F2■0的交點的11112222圓系方程是x2■y2■Dix■E1y■{■,x2■y2■”■E2y■Q■0（不含圓c，）；2當(dāng)時，表示過兩個圓交點的直線；⑵經(jīng)過直線/：心■By■C"0與圓x2■y2■Dx■Ey'F"0的交點的圓系方程是x2■y2■Dx■Ey■F■?Ax■By■C）■0（■■■）；靈活使用圓系方程解題，可以起到簡化計算的目的，避免求交點坐標。題型一圓與圓位置關(guān)系的判斷判斷下列兩圓的位置關(guān)系。（1）C：x2■y2■2x■3■0，C：x2■y2■4x■2y■3■0；12（2）C：x2■y2■2y■0，C：x2■y2■2<3x■6■0。12題型二兩圓相交例2已知兩圓X2■J2■25和x2■y2■4x■2y■20■0相交于A、B兩點。求弦AB所在直線方程；求A、B兩點坐標；求弦長AB?！咀兪脚c拓展】若兩圓x2■y2■r2和(x■2)2■(y■2)2■R2相交，其中一個交點為(1,3)，求另一個交點坐標。題型三圓系方程的綜合應(yīng)用例已知圓的方程為x2■y2■2ax■2(a■2)y■2■0，其中a■。且a■R。(1)求證：當(dāng)a為不等于1的實數(shù)時，上述圓過定點。(2)求圓心的軌跡方程。(3)求恒與圓相切的直線方程。一、選擇題(4分X12=48分)1、過定點P(2,1),且傾斜角是直線l：x—y—1=0的傾斜角兩倍的直線方程為()(A)x－2y－1=0(B)2x－y－1=0(C)y－1=2(x－2)(D)x=22、下列四個命題中的真命題是()(A)經(jīng)過定點P0(x心0)的直線都可以用方程y—y0=k(x—x0)表示(B)經(jīng)過兩個任意不同的點P1(x1,y1),P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y—y1)(x2—x1)=(x—x1)(y2—y)表示xy(。)不經(jīng)過原點的直線都可以用方程■:■1表示ab(D)經(jīng)過定點A(0,b)的直線都可以用方程y=kx+b表示3、直線l與兩直線y=1,x—y—7=0分別交于P,Q兩點，線段PQ的中點是(1,—1),則直TOC\o"1-5"\h\z線l的斜率是()(A)(A)_(C)—_(D)—_2324、已知兩條直線11：=x；12:x—y=0,其中a為實數(shù)，當(dāng)這兩條直線的夾角在(0,)內(nèi)變JL乙動時，a的取值范圍是()(A)(0,1)(B)(233)(C)(!,1)■(1八：3)(D)(1,v3)15、已知3■x■6,3x■y■2x，則x+y的最大值和最小值分別是()(A)4,18(B)4,8(C)18,4(D)8,46、直線y=」3-x繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后所得直線與圓(x—2)2+y2=3的位置關(guān)系是()(A)直線過圓心(B)直線與圓相交，但不過圓心(C)直線與圓相切(D)直線與圓沒有公共點7、圓x2+y2—4x+2y+c=0與y軸交于A、B兩點，圓心為P，若NAPB=90°,則c的值為()(A)—3(B)3(C)8(D)—2”8、圓x2+y2—4x+4y+6=0截直線x—y—5=0所得的弦長等于()5<2(A)<6(B)--(C)1(D)529、若直線：ax+by=4與圓C：x2+y2=4有兩個不同的交點，那么點P(a,b)與圓C的位置關(guān)系是()(A)在圓外(B)在圓上(C)在圓內(nèi)(D)不確定10、過圓x2+y2=4外一點M(4,—1)引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程為()(A)4x—y—4=0(B)4x＋y—4=0(C)4x＋y＋4=0(D)4x—y＋4=0

11、動點在圓12+y2=1上移動時，它與定點B(3,0)連線的中點軌跡方程是()31(A)(%+3)2+y2=4(B)(%-3)2+y2=1(C)(2i-3)2+4y2=1(D)(i+-