隨機參數(shù)二叉樹期權(quán)定價及其模擬研究

PAGEPAGE10隨機參數(shù)二叉樹期權(quán)定價方法及其模擬研究付德才（廈門大學(xué)，廈門361005）摘要：本文將股票波動性隨機變化的因素考慮到二叉樹期權(quán)定價模型中，得到了可以用數(shù)值計算方法實現(xiàn)的一個期權(quán)定價方法，該公式比傳統(tǒng)二叉樹模型更能反映股票波動的異方差性。以五糧液認(rèn)購權(quán)證與五糧液認(rèn)沽權(quán)證為樣本，運用馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法對其進(jìn)行了模擬分析，并與B-S模型進(jìn)行了比較。關(guān)鍵詞：期權(quán)定價；二叉樹模型；權(quán)證模型作者簡介：付德才，廈門大學(xué)管理學(xué)院博士生，研究方向：資產(chǎn)定價。中圖分類號：F8309文獻(xiàn)標(biāo)識碼：ARandomBinominalOptionPricingModelandSimulationFuDecai(XiamenUniversity,Xiamen,361005)Abstract:.Inthispaper,wemakearevisionfortheCRR-RBoptionpricingmodelbasedonthefactthatstockvolatilityisvariable,andwegetanewoptionpricingformulawhichcanbecalculatedbycomputationmethod.Thenewformulareflectsthefluctuationofstockvolatility.WefinallyverifyourmodelusingthedataoftheFive-GrainLiquorcallwarrantandputwarrantinChinesesecuritiesmarket.Weofferin-depthanalysisontheimplementationoftheformula,adoptingHastings-MetropolisalgorithmandMonte-Carlonumericalintegrationofimportancesamplingforcomputingtheformula.Keywords：OptionPricing，Binominaltreemodel定價問題是期權(quán)的核心。期權(quán)定價模型可以分為連續(xù)時間模型和離散時間模型兩類。由于股票收益率的波動性在衍生品定價、特別是期權(quán)定價中的極端重要性，學(xué)術(shù)界和實務(wù)界對于波動性都有很多重要的研究。其中一個方向是考慮標(biāo)的資產(chǎn)波動性不是常數(shù)，而是一個隨機變量。這個方向在近年來得到了深入研究的一個重要原因是大量實證研究表明，股票價格的波動性是隨著時間而變化的。連續(xù)時間下的Black-Scholes期權(quán)定價模型（1973）在一方面進(jìn)行了很多擴展或深化，包括GARCH類和EGARCH類定價方法，這類連續(xù)型的期權(quán)定價一般是沒有封閉解的。目前，對于離散型期權(quán)定價在這一方面的討論還比較少。在本文中，我們從經(jīng)典的離散模型CRR-RB二叉樹期權(quán)定價公式出發(fā)，將波動性變化反映到二叉樹期權(quán)定價公式中，對其進(jìn)行了一定的改進(jìn)。模型的建立在固定參數(shù)下，n期的CRR-RB二叉樹期權(quán)定價公式一般表述為：(1)其中，是期權(quán)價格；是期權(quán)執(zhí)行價格；是股票當(dāng)前價格；是期權(quán)到期的階段數(shù)；為股票價格下降的比例+1；為股票價格上升的比例+1；為無風(fēng)險利率+1；。在模型中假設(shè)，因此。注意到在（1）中關(guān)于二項分布的參數(shù)和是事先就知道的固定參數(shù)。因為和分別代表了股票上漲和下降的幅度，如果和在整個n個時期中都不變，就是說股票的波動性是保持不變的。也就是說，在二叉樹期權(quán)定價公式中股票波動性是固定不變的。為了將股票收益率的波動性是變化的這一情況反映在公式中，下面將和考慮為隨機變量。在（1）式中，二叉樹期權(quán)定價公式可以看作是在給定確定的和情況下的期權(quán)價格，即。也就是說，如果將和視作隨機變量，且其聯(lián)合分布的密度函數(shù)為，那么期權(quán)價格為：由于和位于0到1之間，而且是非對稱的連續(xù)變量，符合Beta分布的特征，而且beta分布具有很好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，因此，為了進(jìn)行進(jìn)一步的分析，假設(shè)：（1）是固定的，而和是隨機變量。（2）和是獨立隨機變量，，Beta分布中的參數(shù)空間：（3）二叉樹模型中的其他假設(shè)保持不變。模型求解由于，因此和都是介于0和1之間的隨機變量。注意到：以及：因此，CRR二叉樹期權(quán)定價公式（1）可以重新寫為：（2）其中，，這樣（4）式的期權(quán)定價就是和的函數(shù)。根據(jù)模型對于的假設(shè)，服從相互獨立的Beta分布，因此的聯(lián)合密度函數(shù)是：（3）其中是beta函數(shù)。根據(jù)（2）式，期權(quán)價格為：經(jīng)過計算，新的期權(quán)定價公式可以寫為：（4）（4）式就是我們得到的在隨機參數(shù)下的一般化期權(quán)二叉樹定價公式。盡管和的形式非常復(fù)雜，但由于這兩個數(shù)列都是絕對收斂的，因此在實際的計算中可以采取近似估計。要得到期權(quán)的理論價格，需要使用數(shù)值方法。模擬分析以上得到的改進(jìn)模型，其解析解無法直接計算，需要通過數(shù)值計算方法才能得到具體的期權(quán)定價。我們采用數(shù)學(xué)中的Hastings-Metropolis算法和重要取樣的Monte-Carlo數(shù)值積分方法。下面對傳統(tǒng)的B-S模型和本文的修正的二叉樹模型進(jìn)行模擬分析與比較。由于我國市場中只有權(quán)證沒有期權(quán)，因此我們采用權(quán)證的數(shù)據(jù)，樣本采用我國證券市場的五糧液認(rèn)購權(quán)證、五糧液認(rèn)沽權(quán)證。通過數(shù)據(jù)分析，我們一方面試圖比較一下各個模型的計算結(jié)果和市場真實價格的關(guān)系，同時也通過多個模型的計算，來看一下我國權(quán)證產(chǎn)品在價格表現(xiàn)上的一些特征和問題。一、樣本分析本章研究是以2021年4月3日至2021年4月2日的五糧液認(rèn)購權(quán)證、五糧液認(rèn)沽權(quán)證、五糧液為研究對象，研究分析它們的價格行為，共243個樣本。其中，所有數(shù)據(jù)均來自于深圳證券交易所和wind咨詢。由圖1五糧液股價對數(shù)收益率描述統(tǒng)計可以看出，偏度大于0，峰度大于3，不是正態(tài)分布，與B-S期權(quán)定價公式以及二叉樹定價公式的假設(shè)并不完全相符合。圖1五糧液股價對數(shù)收益率描述統(tǒng)計二、B-S模型和隨機參數(shù)模型的模擬分析B-S模型有通用的計算軟件可以實現(xiàn)，只需要確定好其中的參數(shù)的計算方法。首先計算歷史波動率。歷史波動率就是從標(biāo)的資產(chǎn)價格的歷史數(shù)據(jù)中計算出價格收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。其中，為股票的收盤價格，為股票價格對數(shù)收益率，為收益率均值，（或者）則為收益率（估計）方差，就是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差（波動率）。上述計算的波動率是日波動率，需要轉(zhuǎn)換為年波動率。轉(zhuǎn)換時，我們按照一年250個交易日進(jìn)行計算。在實際計算時，歷史時間的選擇往往很不容易。從統(tǒng)計的角度來看，時間越長，數(shù)據(jù)越多，獲得的精確度一般越高。但是，資產(chǎn)價格收益率的波動率卻又常常隨時間而變化，太長的時間段反而可能降低波動率的精確度。因此，本文計算波動率時，使用3個月的歷史數(shù)據(jù)。關(guān)于無風(fēng)險利率的選取。一般來說，無風(fēng)險收益率采用1個月或者3個月的國債收益率或者同業(yè)拆借利率較為合適，但由于中國現(xiàn)在的債券市場、同業(yè)拆借市場還不夠健全，有關(guān)數(shù)據(jù)并不能真實反映市場資金利率的實際狀況，因此，采用一年期整存整取存款利率作為無風(fēng)險收益率比較合適。2021年4月3日至2021年4月2日期間，一年期整存整取存款利率為2.52％。對隨機參數(shù)服從獨立Beta分布的隨機參數(shù)二叉樹模型，采用采用數(shù)學(xué)中的Hastings-Metropolis算法和重要取樣的Monte-Carlo數(shù)值積分方法，進(jìn)行了模擬計算。利用以上方法，最終的模擬結(jié)果見圖2、圖3、圖4、圖5。其中偏離度的計算公式為：圖2五糧液認(rèn)購權(quán)證理論與實際價格比較圖圖3五糧液認(rèn)購權(quán)證模擬價格與實際價格偏離度比較圖4五糧液認(rèn)沽權(quán)證理論與實際價格比較圖5五糧液認(rèn)購權(quán)證模擬價格與實際價格偏離度比較通過比較以上模擬結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，第一，盡管B-S模型在數(shù)學(xué)形式上要比本文推導(dǎo)的隨機參數(shù)二叉樹模型簡單，但實際定價效果看，兩者相差不大。這表明B-S模型盡管看似假設(shè)多、形式簡單，但實際上與隨機形式下的定價結(jié)果很接近。B-S模型形式簡潔、計算簡單、結(jié)果比較準(zhǔn)確，應(yīng)用面廣，這也是三十多年來沒有任何一個期權(quán)定價模型完全超越B-S模型的原因所在。第二，對于五糧液認(rèn)購權(quán)證和認(rèn)沽權(quán)證，B-S模型和本文推導(dǎo)的隨機參數(shù)二叉樹模型都相差很大，兩個理論模型的結(jié)果與實際價格的模擬效果都很差。在五糧液認(rèn)購權(quán)證初期，隨機參數(shù)二叉樹模型的效果比較好，B-S模型效果很差。大多數(shù)時點，B-S模型與隨機參數(shù)二叉樹模型模擬五糧液認(rèn)沽權(quán)證的效果很差。第三，對于五糧液認(rèn)沽權(quán)證，B-S模型與隨機參數(shù)二叉樹模型模擬效果都比較差，這并不能說明模型本身存在問題，從市場狀況看，主要是我國證券市場中認(rèn)沽權(quán)證的非理性炒作造成權(quán)證價格極度偏離其內(nèi)在價值。結(jié)論與建議本文從經(jīng)典的CRR-RB的二叉樹期權(quán)定價公式出發(fā)，基于股票波動性是變化的這一事實，對CRR-RB的二叉樹期權(quán)定價公式進(jìn)行了一定的改進(jìn)，將波動性變化反映到二叉樹期權(quán)定價公式，得到了可以用數(shù)值計算方法實現(xiàn)的一個期權(quán)定價方法，該公式比傳統(tǒng)二叉樹模型更能反映股票波動的異方差性。但由于這個公式比較復(fù)雜，只能通過數(shù)值計算方法來實現(xiàn)，我們采用五糧液認(rèn)購權(quán)證與五糧液認(rèn)沽權(quán)證，運用馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法(MarkovchainMonteCarlo)對其進(jìn)行了模擬分析。通過與B-S模型的比較，研究發(fā)現(xiàn)，從模擬效果上看，隨機參數(shù)二叉樹模型與B-S模型相差不大，但計算方法要遠(yuǎn)比B-S模型復(fù)雜得多。B-S模型形式簡潔、計算簡單、結(jié)果比較準(zhǔn)確，應(yīng)用面廣，這也是三十多年來沒有任何一個期權(quán)定價模型完全超越B-S模型的原因所在。對于五糧液認(rèn)沽權(quán)證，B-S模型與隨機參數(shù)二叉樹模型模擬效果都比較差，這并不能說明模型本身存在問題，主要是我國證券市場中認(rèn)沽權(quán)證的非理性炒作造成的。隨著證券市場規(guī)模的擴大與完善，穩(wěn)妥推進(jìn)金融衍生產(chǎn)品市場建設(shè)，對于擴大金融現(xiàn)貨市場規(guī)模，豐富交易品種，改善市場結(jié)構(gòu)，完善市場功能，優(yōu)化資源配置，乃至對于穩(wěn)定資本市場，增強國民經(jīng)濟的抗風(fēng)險能力，具有重要的意義。應(yīng)盡快豐富我國金融衍生品的種類和數(shù)量，特別是盡快推出標(biāo)準(zhǔn)化期權(quán)，使得金融產(chǎn)品的價格與其理論價值合理接近。本文發(fā)展的改進(jìn)的隨機二叉樹模型，以及B-S模型都表明，我國目前的權(quán)證產(chǎn)品，在定價上已經(jīng)嚴(yán)重偏離理論價值，完全是投機炒作，很重要的原因是我國金融衍生品種類和數(shù)量太少，應(yīng)該大力發(fā)展股票期權(quán)等金融衍生品。同時，在發(fā)展期權(quán)的過程中，應(yīng)結(jié)合我國金融市場實際，以B-S模型為基礎(chǔ)，研究更適合我國市場實際的期權(quán)定價公式，多方位揭示期權(quán)的理論價格，作為為投資者提示風(fēng)險的工具。參考文獻(xiàn)：[1]Black,F.,andM.Scholes.ThePricingofOptionsandCorporateLiabilities.JournalofPoliticalEconomy.81(May-June1973),637-59.[2]Boyle,P.P.,andD.Emanuel.DiscretelyAdjustedOptionHedges,JournalofFinancialEconomics,8(1980),259-82.[3]Cox,J.C.,S.A.Ross,andM.Rubinstein.OptionPricing:ASimplifiedApproach,JournalofFinancialEconomics,7(October1979),229-64.[4]Hull,J.C.,andA.White.HedgingtheRisksfromWritingForeignCurrencyOptions,JournalofInternationalMoneyandFinance,6(June1987),131-52.[5]Hull,J.C.,andA.White.TheUseoftheControlVariateTechniqueinOptionPricing,JournalofFinancialandQuantitativeAnalysis,23(September1988),237-51.[6]Omberg.ConditionalHeteroscedasticityandAssetReturns:ANewApproach,Econometrica,59(1990),347-70.[7]Rendleman,R.,andB.Bartter.TwoStateOptionPricing,JournalofFinance,34(1979),1092-1110.[8]Schwartz,E.S.TheValuationofWarrants:ImplementingaNewApproach,JournalofFinancialEconomics,4(2021),79-94.

公司印章管理制度一、目的公司印章是公司對內(nèi)對外行使權(quán)力的標(biāo)志，也是公司名稱的法律體現(xiàn)，因此，必須對印章進(jìn)行規(guī)范化、合理化的嚴(yán)格管理，以保證公司各項業(yè)務(wù)的正常運作，由公司指定專人負(fù)責(zé)管理。二、印章的種類公章，是按照政府規(guī)定，由主管部門批準(zhǔn)刻制的代表公司權(quán)力的印章。專用章，為方便工作專門刻制的用于某種特定用途的印章，如：合同專用章、財務(wù)專用章、業(yè)務(wù)專用章、倉庫簽收章等。3、手章(簽名章)，是以公司法人代表名字刻制的用于公務(wù)的印章。三、印章的管理規(guī)定印章指定專人負(fù)責(zé)保管和使用，保管印章的地方