數(shù)學(xué)奧數(shù)教案

第第頁數(shù)學(xué)奧數(shù)教案

數(shù)學(xué)奧數(shù)教案1

《奧賽每天練》第46講《平均數(shù)問題》。把幾個不相等的同類數(shù)量,通過移多補(bǔ)少,使它們最終都變得完全相等,這個相等的數(shù)就叫做這幾個同類數(shù)量的平均數(shù)。其基本特征是：在移多補(bǔ)少求平均數(shù)的過程中,幾個初始數(shù)量的總和及數(shù)量的個數(shù)都保持不變。

依據(jù)問題的繁復(fù)程度這種問題被分為兩類：算術(shù)平均數(shù)問題、加權(quán)平均數(shù)問題，兩類問題的基本原理是一樣的。本講就要學(xué)習(xí)把簡約的加權(quán)平均數(shù)轉(zhuǎn)化為算術(shù)平均數(shù)來求解。解決平均數(shù)問題，需要嫻熟掌控以下三個主要數(shù)量關(guān)系式：

總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)

總數(shù)量÷平均數(shù)=總份數(shù)

平均數(shù)×總份數(shù)=總數(shù)量

《奧賽每天練》第46，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題1

【題目】：

甲、乙兩地之間的馬路長30千米，一個人騎自行車從甲地到乙地去時用了2個小時，回來時由于頂風(fēng)用了3小時，求他來回一次平均每小時行了多少千米？

【解析】：

問題“來回一次平均每小時行了多少千米？”中，來回的總路程相當(dāng)于總數(shù)量，來回總時間相當(dāng)于總份數(shù)。

來回總路程為：30×2=60〔千米〕

來回總時間為：3+2=5〔小時〕

即他用5個小時行了60千米的路程，那么平均每小時行：60÷5=12〔千米〕。

《奧賽每天練》第46講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題2

【題目】：

小明前幾次數(shù)學(xué)測驗的平均成果是84分，這次要考100分，才能把平均成果提高到86分，問這一次是第幾次測驗？

【解析】：

我們可以這樣假設(shè)：小明前幾次數(shù)學(xué)測驗都考了84分，而這次就考了100分，總體平均分是86分。題目的意思就是求在這種狀況下的測驗次數(shù)。

想移多補(bǔ)少，從100分里要移走：100-86=14〔分〕；此前每次測驗的分?jǐn)?shù)都要補(bǔ)上：86-84=2〔分〕。14分里有7個2分：14÷2=7。

所以，此前測驗了7次，這一次是第8次測驗。

《奧賽每天練》第46講，拓展提高，習(xí)題1

【題目】：

某一幢居民樓里原有3戶安裝了空調(diào)，后來又增加了一戶。這4臺空調(diào)全部打開時就會燒斷保險絲。因此最多同時運(yùn)用3臺空調(diào)。這樣在24小時內(nèi)平均每戶最多可運(yùn)用空調(diào)多少小時？

【解析】：

我們假定在24小時內(nèi)，有3臺空調(diào)開了24小時，即始終開著，有一臺空調(diào)開了0小時，即始終沒開。求平均每戶開多少小時，就是求這四臺空調(diào)打開時間的平均數(shù)：24×3÷4=18〔小時〕。

《奧賽每天練》第46講，拓展提高，習(xí)題2

【題目】：

有甲、乙、丙3個數(shù)，甲、乙兩數(shù)的和是90，甲、丙兩數(shù)的和是82，乙、丙兩數(shù)的和是86。甲、乙、丙3個數(shù)的平均數(shù)是多少？

【解析】：

分別用□、△、○代表甲、乙、丙三個數(shù)，由題意可得：□+△=90；□+○=82；△+○=86。

所以：〔□+△〕+〔□+○〕+〔△+○〕=90+82+86=258，

即：〔□+△+○〕×2=258，

那么甲、乙、丙三個數(shù)的和為：258÷2=129，

所以甲、乙、丙3個數(shù)的平均數(shù)是：129÷3=43。

數(shù)學(xué)奧數(shù)教案2

《奧賽每天練》第25講《植樹問題》、第26講《上樓梯與植樹》，知識原理是一樣的，都是應(yīng)用一一間隔的規(guī)律解決問題。

一一間隔的規(guī)律是指：兩個不同的物體一一間隔地排成一行，假如兩端的物體相同，那么排在兩端的物體比中間另一種物體多一個；假如兩端的物體不同，那么兩種物體的個數(shù)相同；假如兩個不同的物體一一間隔地排成一個封閉圖形，兩種物體的個數(shù)也是相同的〔把封閉圖形從任意一個點剪開開展，就可以得到與第二種狀況相同的排列〕。

在植樹問題中我們可以把樹苗和間距看作兩種物體，先求出間距的個數(shù)，再利用一一間隔規(guī)律，算出樹苗的棵數(shù)。

在爬樓問題中我們可以把樓層看著兩端物體，把樓梯看做中間物體，再利用一一間隔規(guī)律，依據(jù)樓層求樓梯的層數(shù)。

《奧賽每天練》第25講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題1

【題目】：

有16個同學(xué)排成一排，要求每2名同學(xué)中間放2盆花，需要放幾盆花？

【解析】：

16個同學(xué)排成一排，每兩個同學(xué)之間有一個間隔，共有間隔：16-1=15〔個〕

每個間隔放2盆花，需要擺花：15×2=30〔盆〕。

《奧賽每天練》第25講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題2

【題目】：

某城市進(jìn)行長跑競賽，從市體育館出發(fā)，最末再回到市體育館。全長42千米，沿途等距離設(shè)茶水站7個，求每相鄰兩個茶水站之間的距離。

【解析】：

從題目給出條件：“從市體育館出發(fā)，最末再回到市體育館?！笨芍@次長跑路徑是個封閉圖形，所以茶水站個數(shù)與茶水站之間的間距的個數(shù)是相同的。所以每相鄰兩個茶水站之間的距離是：

42÷7=6〔千米〕

《奧賽每天練》第25講，拓展提高，習(xí)題2

【題目】：

小敏用同樣的速度在學(xué)校的林蔭道上散步，他從第1棵樹走到第6棵樹用了5分鐘，當(dāng)他走了15分鐘時應(yīng)到達(dá)地幾棵樹？

【解析】：

首先要讓孩子弄清：在散步過程中，與時間有徑直數(shù)量關(guān)系的是路程，也就是樹的間距，而不是樹的棵數(shù)。

走到第6棵樹，走來5個間距，用了5分鐘，每分鐘的路程為1個間距：5÷〔6-1〕=1〔個〕。

走15分鐘，共走了15個間距，到達(dá)第16棵樹：15×1+1=16〔棵〕。

《奧賽每天練》第26講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題1

【題目】：

一根木料鋸成4段用了6分鐘，另外有同樣的一根木料以同樣的速度鋸，18分鐘可以鋸幾段？

【解析】：

首先要讓孩子弄清：一、在鋸木頭的過程中，與時間有徑直數(shù)量關(guān)系的是鋸的次數(shù)和每次鋸的時間，而不是鋸的段數(shù)；二、木頭鋸成的段數(shù)總比鋸的次數(shù)多1。

鋸4段需要鋸3次，鋸一次的時間是：6÷〔4-1〕=2〔分〕。

18分鐘可以鋸的次數(shù)是：18÷2=9〔次〕。

18分鐘可以鋸的段數(shù)是：9+1=10〔段〕。

《奧賽每天練》第26講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題2

【題目】：

時鐘6時敲了6下，5秒敲完。那么，這只鐘12時敲12下，幾秒敲完？

【解析】：

與時間有徑直數(shù)量關(guān)系的是鐘每敲兩下之間的時間間隔。

時鐘敲6下，有5個時間間隔共5秒，即每敲兩下之間間隔1秒：5÷〔6-1〕=1〔秒〕。

時鐘敲12下有11個時間間隔，需時間：〔12-1〕×1=11〔秒〕。

《奧賽每天練》第26講，拓展提高，習(xí)題1

【題目】：

一個運(yùn)動員參與馬拉松賽跑，他從第1個茶水站跑到第4個茶水站共用了75分鐘，已知從起點到終點每兩個茶水站相距5千米〔起點和終點都沒有茶水站〕，他跑完全程共花了200分鐘，問馬拉松的賽程是多少千米？

【解析】：

從第1個茶水站到第4個茶水站中間有3個間隔，共用了75分鐘，每跑一個間隔需要時間：75÷〔4-1〕=25〔分鐘〕。

每兩個茶水站相距5千米，即這個運(yùn)動員25分鐘跑了5千米。200分鐘跑的路程也就是馬拉松的賽程：200÷25×5=40〔千米〕。

數(shù)學(xué)奧數(shù)教案3

教學(xué)目標(biāo)：

1、掌控等差數(shù)列的定義，了解等差數(shù)列首項，末項和公差。

2、學(xué)會等差數(shù)列的簡約求和。

教學(xué)重難點：

重點：公式的簡約應(yīng)用

難點：公式的理解

教學(xué)過程：

一、引入：

世界上有一名聞名的數(shù)學(xué)家叫高斯，他在很小的時候，老師給同學(xué)們出了一道數(shù)學(xué)題，讓大家計算：1+2+3+4+5?+99+100=?

高斯認(rèn)真觀測后，很快就計算出了結(jié)果。你們能猜出他是怎么計算的嗎？

高斯解題過程：1+100=2+99=3+98=?=49+52=50+51=101，共有100÷2=50〔個〕。于是

1+2+3+4+5?+99+100=〔1+100〕×100÷2=5050

在這里，涌現(xiàn)了一列數(shù)據(jù)。我們定義：按肯定次序排列的一串?dāng)?shù)叫做數(shù)列。一個數(shù)列，假如從第二項開始，每一項減去它緊前邊的一項，所得的差都相等，就叫做等差數(shù)列。

等差數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做項，其中從左起第一項叫做首項，最末一項叫做末項，項的個數(shù)叫做項數(shù)。等差數(shù)列中相鄰兩項的差叫做公差。

例如：上面高斯求解的問題：首項是1，末項是100，項數(shù)是100，公差是1.我們得出高斯求解方法更多的是告知我們一個求解等差數(shù)列的公式：

等差數(shù)列的和=〔首項+末項〕×項數(shù)÷2例一：找出以下算式當(dāng)中的.首項，末項，項數(shù)和公差。

〔1〕2，5，8，11，14，17，20，23

〔2〕0，4，8，12，16，20，24，28

〔3〕3，15，27，39，51，63

讓同學(xué)上黑板演示結(jié)果。

〔1〕首項2，末項23，項數(shù)8，公差3

〔2〕首項0，末項28，項數(shù)8，公差4

〔3〕首項3，末項63，項數(shù)6，公差12

知道在等差數(shù)列中如何預(yù)備找出首項，末項，項數(shù)及公差以后，更重要的是嫻熟運(yùn)用等差數(shù)列求和公式解決一般等差數(shù)列問題。

例二：1+2+3+4+?+1998+1999.問：算式當(dāng)中的首項，末項，項數(shù)分別是什么？

答：首項是1，末項是1999，項數(shù)是1999。

解析：原式=〔1+1999〕×1999÷2

=20**×1999÷2

=小結(jié)：這是一道一般等差數(shù)列類型題，可以徑直找到求解公式中需要的幾個量。在計算過程中，當(dāng)一個數(shù)乘另外一個數(shù)末尾有零時，先不看末尾的零，計算結(jié)束后，將零的相同個數(shù)添在積的末尾就行。

練習(xí)：

〔1〕1+2+3+4+?+250

〔2〕1+2+3+4+?+200

〔3〕1+3+5+7+?+97+99

數(shù)學(xué)奧數(shù)教案4

年齡問題

年齡問題是學(xué)校奧數(shù)中常見的一類問題。例如：已知兩個人或假設(shè)干個人的年齡，求他們年齡之間的某種數(shù)量關(guān)系等等。年齡問題又往往是和倍、差倍、和差等問題的綜合。它有肯定的難度，因此解題時需抓住其特點。

年齡問題的主要特點是：大小年齡差是個不變的量，而年齡的倍數(shù)卻年年不同。我們可以抓住差不變這個特點，再依據(jù)大小年齡之間的倍數(shù)關(guān)系與年齡之和等條件，解答這類應(yīng)用題。

解答年齡問題的一般方法是：

幾年后年齡=大小年齡差÷倍數(shù)差-小年齡，

幾年前年齡=小年齡-大小年齡差÷倍數(shù)差。

例1爸爸媽媽現(xiàn)在的年齡和是72歲;五年后，爸爸比媽媽大6歲。今年爸爸媽媽二人各多少歲?

分析五年后，爸比媽大6歲，即爸媽的年齡差是6歲。它是一個不變量。所以爸爸、媽媽現(xiàn)在的年齡差仍舊是6歲。這樣原問題就歸結(jié)成“已知爸爸、媽媽的年齡和是72歲，他們的年齡差是6歲，求二人各是幾歲”的和差問題。

解：①爸爸年齡：(72+6)÷2=39(歲)

②媽媽的年齡：39-6=33(歲)

答：爸爸的年齡是39歲，媽媽的年齡是33歲。

例2在一個家庭里，現(xiàn)在全部成員的年齡加在一起是73歲。家庭成員中有父親、母親、一個女兒和一個兒子。父親比母親大3歲，女兒比兒子大2歲。四年前家庭里全部的人的年齡總和是58歲?，F(xiàn)在家里的每個成員各是多少歲?

分析依據(jù)四年前家庭里全部的人的年齡總和是58歲，可以求出到現(xiàn)在每個人長4歲以后的實際年齡和是58+4×4=74(歲)。

但現(xiàn)在實際的年齡總和只有73歲，可見家庭成員中最小的一個兒子今年只有3歲。女兒比兒子大2歲，女兒是3+2=5(歲)。現(xiàn)在父母的年齡和是73-3-5=65(歲)。又知父母年齡

差是3歲，可以求出父母現(xiàn)在的年齡。

解：①從四年前到現(xiàn)在全家人的年齡和應(yīng)為：

58+4×4=74(歲)

②兒子現(xiàn)在幾歲?4-(74-73)=3(歲)

③女兒現(xiàn)在幾歲?3+2=5(歲)

④父親現(xiàn)在年齡：(73-3-5+3)÷2=34(歲)

⑤母親現(xiàn)在年齡：34-3=31(歲)

答：父親現(xiàn)在34歲，母親31歲，女兒5歲，兒子3歲。

例3父親現(xiàn)年50歲，女兒現(xiàn)年14歲。問：幾年前父親年齡是女兒的5倍?

分析父女年齡差是50-14=36(歲)。不論是幾年前還是幾年后，這個差是不變的。當(dāng)父親的年齡恰好是女兒年齡的5倍時，父親仍比女兒大36歲。這36歲是父親比女兒多的5-1=4(倍)所對應(yīng)的年齡。

解：(50-14)÷(5-1)=9(歲)

當(dāng)時女兒9歲，14-9=5(年)，也就是5年前。

答：5年前，父親年齡是女兒的5倍。

例46年前，母親的年齡是兒子的5倍。6年后母子年齡和是78歲。問：母親今年多少歲?

分析6年后母子年齡和是78歲，可以求出母子今年年齡和是78-6×2=66(歲)。6年前母子年齡和是66-6×2=54(歲)。又依據(jù)6年前母子年齡和與母親年齡是兒子的5倍，可以求出6年前母親年齡，再求出母親今年的年齡。

解：①母子今年年齡和：78-6×2=66(歲)

②母子6年前年齡和：66-6×2=54(歲)

③母親6年前的年齡：54÷(5+1)×5=45(歲)

④母親今年的年齡：45+6=51(歲)

答：母親今年是51歲。

例510年前吳昊的年齡是他兒子年齡的7倍。15年后，吳昊的年齡是他兒子的2倍?，F(xiàn)在

父子倆人的年齡各是多少歲?

分析依據(jù)15年后吳昊的年齡是他兒子年齡的2倍，得出父子年齡差等于兒子當(dāng)時的年齡。因此年齡差等于10年前兒子的年齡加上25歲。

10年前吳昊的年齡是他兒子年齡的7倍，父子年齡差相當(dāng)于兒子當(dāng)時年齡的7-1=6倍。

由于年齡差不變，所以兒子10年前的年齡的6-1=5倍正好是25歲，可以求出兒子當(dāng)時的年齡，從而使問題得解。

解：①兒子10年前的年齡：(10+15)÷(7-2)=5(歲)

②兒子現(xiàn)在年齡：5+10=15(歲)

③吳昊現(xiàn)在年齡：5×7+10=45(歲)

答：吳昊現(xiàn)在45歲，兒子15歲。

例6甲對乙說：“我在你這么大歲數(shù)的時候，你的歲數(shù)是我今年歲數(shù)的一半?！币覍渍f：“我到你這么大歲數(shù)的時候，你的歲數(shù)是我今年歲數(shù)的2倍減7。”問：甲、乙二人現(xiàn)在各多少歲?

分析從已知條件中可以看出甲比乙年齡大，甲乙年齡差這是一個不變的量。

甲對乙說“我在你這么大歲數(shù)的時候”，意思是說幾年以前。這幾年就是甲乙的年齡差。因此，甲整句話可理解為：乙今年的歲數(shù)，減去年齡差，正好是甲今年歲數(shù)的一半。

乙對甲說“我到你這么大歲數(shù)的時候”，意思是說幾年后。因此，乙整句話可理解為：甲今年的歲數(shù)，加上年齡差，正好是乙今年歲數(shù)的2倍減去7。

把甲乙的對話用下列圖表示為：

由(3)(4)年齡差=7(歲)

從上圖不難看出，甲現(xiàn)在的年齡是乙?guī)啄昵澳挲g的2倍，1倍相當(dāng)于2個年齡差，2倍相當(dāng)于4個年齡差。乙現(xiàn)在的年齡相當(dāng)3個年齡差。

乙?guī)啄旰蟮哪挲g和甲現(xiàn)在的年齡相等，所以乙?guī)啄旰笙喈?dāng)4個年齡差。甲幾年后的年齡比乙?guī)啄旰蟮哪挲g多一個年齡差，正好是7歲，從而得出年齡差是7歲。

解：①乙現(xiàn)在年齡：7×3=21(歲)

②甲現(xiàn)在年齡：7×4=28(歲)

答：乙現(xiàn)在21歲，甲現(xiàn)在28歲。

數(shù)學(xué)奧數(shù)教案5

一、本講學(xué)習(xí)目標(biāo)

聯(lián)系生活實際，弄清晰工作量、時間、效率之間的關(guān)系，提高解決行程問題的技能。

二、重點難點考點分析

工程問題的實質(zhì)就是工作量、工作時間和工作效率之間的關(guān)系問題。工程問題的解題思路和行程問題相像，需要找出三個基本量之間的關(guān)系，通過三個基本量之間的換算找出解題方法。工程問題當(dāng)中，分?jǐn)?shù)的涌現(xiàn)與運(yùn)算較為常見，因此，解決工程問題首先要學(xué)好分?jǐn)?shù)的四那么運(yùn)算。

三、知識框架

解決工程問題首先弄清行程問題中這三個量的關(guān)系：

工作量=時間×效率(a=t×e)

時間=工作量÷效率(t=a÷e)

效率=工作量÷時間(e=a÷t)

四、概念解析

工作量：工程問題中的工作量是工程問題的總體量，在未知狀況下，可假設(shè)工作量為1;

時間：工程問題中的時間是工程問題的因子量;

效率：和時間一樣，效率也是工程問題的因子量，其地位和形式與時間類似。

五、例題講解

甲、乙兩個工程隊共同完成一項工程需18天，假如甲隊干3天、乙隊干4天那么完成工程的1/5。問：甲、乙兩隊獨立完成該工程各需多少天?

打印一份稿件，甲單獨打需要50分完成，乙單獨打需30分完成。現(xiàn)在甲單獨打假設(shè)干份后，乙接著打完，共42分。問：甲打了稿件的幾分之幾

有甲、乙兩根水管，分別同時給兩個大小相同的水池A和B注水，在相同的時間內(nèi)甲、乙兩管注水量之比是7：5。經(jīng)過2時，A、B兩池中已注入水之和恰好是一池水。此后，甲管的注水速度提高25%，乙管的注水速度降低30%。當(dāng)甲管注滿A池時，乙管還需多長時間注滿B池?

一項工程，甲，乙兩隊合作30天完成。假如甲隊單獨做24天后，乙隊再加入合作，兩隊合作12天后，