初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題選講最大最小值含答案

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題選講(初三.20)最大最小值一、內(nèi)容提要求二次函數(shù)y二ax2+bx+c(aH0)，的最大、最小值常用兩種方法:①配方法：原函數(shù)可化為y=a(x+2)2+4ae-b22a4a4ae-b2y二一最小值4A4ae-b2y二一最小值4A，=4ae-b2最大值4ab???若a>0時(shí)，當(dāng)x=—匕時(shí),2ab若a<0時(shí)，當(dāng)x=—時(shí)，y2a②判別式法：原函數(shù)可化為關(guān)于x的二次方程ax2+bx+c—y=0.Vx在全體實(shí)數(shù)取值時(shí),△20即b2—即b2—4a(c—y)20,4ay24ac—b2.若我。，詳3，這時(shí)取等號(hào)，則y為最小值氣產(chǎn);4a4a若a<0,yW4ae-^，這時(shí)取等號(hào)，則y為最大值4ae-4a4a有時(shí)自變量x定在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值，求最大、最小值時(shí)，要用到臨界點(diǎn)，一般用配方法方便.用上述兩種方法，可推出如下兩個(gè)定理：定理一：兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，其積最大.最大值是定值平方的四分之一.例如：兩正數(shù)X和y,如果x+y=10,那么xy的積有最大值，最大值是25.定理二：兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，其和最小.最小值是定值的算術(shù)平方根的2倍.例如：兩正數(shù)x和y,如果xy=16,那么x+y有最小值，最小值是8.證明定理一,可用配方法,也叫構(gòu)造函數(shù)法.設(shè)a>0,b>0,a+b=k.（k為定值）.那B么ab=a（k—a）=—a2+ka=—（a—k）2+1.24當(dāng)a=*時(shí)，ab有最大值竺.24證明定理二,用判別式法,也叫構(gòu)造方程法.設(shè)a>0,b>0,ab=k（k為定值），再設(shè)y=a+b.k那么y=a+k,a2—ya+k=0.（這是關(guān)于a的二次議程方程）aTa為正實(shí)數(shù),22?°?△三0.?°?△三0.即（一y）2—4k三0,y2—4k三0.??yW—2pk（不合題意舍去）；y±2.k.??y=2、.；k.最小值解方程組”+匕=2尹，得a=b=.k.[ab=k.???當(dāng)a=b=、/k時(shí)，a+b有最小值2Jk.在幾何中，求最大、最小值還有下列定理：定理三：一條邊和它的對(duì)角都有定值的三角形，其他兩邊的和有最大值.當(dāng)這兩邊相等時(shí)，其和的值最大.定理四：一條邊和這邊上的高都有定值的三角形，其他兩邊的和有最小值.當(dāng)這兩邊相等時(shí)，其和的值最小.定理五：周長(zhǎng)相等的正多邊形，邊數(shù)較多的面積較大；任何正多邊形的面積都小于同周長(zhǎng)的圓面積.二、例題例1.已知：3x2+2y2=6x,x和y都是實(shí)數(shù)，求：X2+y2的最大、最小值.解：由已知y2=竺二竺,Ty是實(shí)數(shù)，???y2±0.2即_三0，6x—3x2三0，x2—2xW0.

解得0WxW2.這是在區(qū)間內(nèi)求最大、最小值，一般用配方法，6x-3x21/x9X2+y2=x2+二一(x—3)2+222在區(qū)間0WxW2中，當(dāng)x=2時(shí)，X2+y2有最大值4.???當(dāng)x=0時(shí)，X2+y2=0是最小值.例2.已知：一個(gè)矩形周長(zhǎng)的數(shù)值與它面積的數(shù)值相等.求：這個(gè)矩形周長(zhǎng)、面積的最小值.解：用構(gòu)造方程法.設(shè)矩形的長(zhǎng)，寬分別為a,b其周長(zhǎng)、面積的數(shù)值為k.那么2(a+b)=ab=k.口口a+b=—k，即］2ab=k.??.a和b是方程X2—kx+k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.2Ta,b都是正實(shí)數(shù)，???△±0.k即(——)2—4k±0.2解得k±16；或解得k±16；或kW0.kW0不合題意舍去.???當(dāng)k±16取等號(hào)時(shí)，a+b,ab的值最小，最小值是16.即這個(gè)矩形周長(zhǎng)、面積的最小值是16.例3.如圖△ABC的邊BC=a,高AD=h,要剪下一個(gè)矩形EFGH，問(wèn)EH取多少長(zhǎng)時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？解：用構(gòu)造函數(shù)法設(shè)EH=x,S=y,則GH二2矩形x?.?△ahgs^abc，ax(h-x)ahahy=h一產(chǎn)-訐r.???當(dāng)x=2時(shí)，y最大值=罟即當(dāng)eh=2時(shí)，矩形面積的最大值是罟例4.如圖已知：直線m〃n，A，B，C都是定點(diǎn)，AB=a,AC=b,點(diǎn)P在AC上,BP的延長(zhǎng)線交直線m于D.問(wèn)：點(diǎn)P在什么位置時(shí)，S+S最小?△PAB△PCD解：設(shè)ZBAC=a，PA=x,則PC二b—x.°?°m〃n，.CD°?°m〃n，?ABPA???CD=a(-x)xS+S=△PAB△PCDS+S=△PAB△PCD2axSina+2叮(b_x)Sina=2=2aSina/b2一2bx+x2、(x+)=2aSina(2x+=2aSina(2x+竺-2b).xb2???2xX=2b2(定值),x根據(jù)定理二，2x+有最小值.xb2b21—???當(dāng)2x=了,x=2<2b時(shí),S+S的最小值是(遼—l)abSina.△PABAPCD例5.已知：RtAABC中，內(nèi)切圓O的半徑例5.已知：RtAABC中，內(nèi)切圓O的半徑r=1.求：S的最小值.△ABC解:VS=-ab△ABC2??ab=2S.△AV2r=a+b—c,?V2r=a+b—c,?c=a+b－2r.??a+b—2r=??a+b—2r=、：a2+b2兩邊平方,得a2+b2+4r2+2ab—4(a+b)r=a2+b2.4r2+2ab—4(a+b)r=0.用r=1,ab=2S代入，得4+4S—4(a+b)=0.△△a+b=S+1.△???ab=2S且a+b=S+1.△△?°?a,b是方程???ab=2S且a+b=S+1.△△?°?a,b是方程X2—(S+l)x+2S=0的兩個(gè)根.△△*?*a,b是正實(shí)數(shù)，???△三0,即[—(S+1)]2—4X2S三0,△△S2—6S+1三0.△△解得S±3+2邁或SW3—2邁.△△SW3—2v2不合題意舍去.△?S的最小值是3+2邁.△ABC例6.已知：.如圖△ABC中，AB=<6+邁,ZC=30。.求：a+b的最大值.解：設(shè)a+b=y,則b=y—a.根據(jù)余弦定理，得(\：6+、：2)2=a2+(y—a)2—2a(y—a)Cos30。寫(xiě)成關(guān)于a的二次方程：(2+“3)a2—(2+p3)ya+y2—(8+4、.：3)=0.Ta是實(shí)數(shù)，?△±0.即(2+\；3)2y2—4(2+1；3)[y2—(8+4丐3)]±0,y2—(8+4、；3)2WO.

—(8+4p3)WyW(8+4p3).a+b的最大值是8+4、.：3.又解：根據(jù)定理三TAB和ZC都有定值.???當(dāng)a=b時(shí)，a+b的值最大.由余弦定理，（.6<2）2二a2+b2—2abCos30可求出a二b=4+2J3三、練習(xí)x,x,x,x,x滿足.x+x+x+x+x=.xxxxx，那么.x的最大值是TOC\o"1-5"\h\z1234512345123455若矩形周長(zhǎng)是定值20cm，那么當(dāng)長(zhǎng)和寬分別為_(kāi)___,____時(shí)，其面積最大，最大面積是.面積為100cm2的矩形周長(zhǎng)的最大值是?a,b均為正數(shù)且a+b=ab,那么a+b的最小值是?9若x>0,則x+—的最小值是?x6A"C~°如圖直線上有A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)?那么到A，B，C，D距離之和為最小值的點(diǎn)，位于.，其和的最小值等于定線段??△DEF△DEF如右圖△ABC中，AB=2,AC=3,I,II,III是以AB,BC,CA為邊的正方形，則陰影部份的面積的和的最大值是.下列四個(gè)數(shù)中最大的是()(A)tan48。+cot48。..(B)sin48。+cos48。.(C)tan48。+cos48。.(D)cot48。+sin48。.9?已知拋物線y=—X2+2x+8與橫軸交于B,C兩點(diǎn)，點(diǎn)D平分BC,若在橫軸上側(cè)的點(diǎn)A為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且ZBAC為銳角，則AD的取值范圍是如圖△ABC中，ZC=RtZ,CA=CB=1，點(diǎn)P在AB上,△ABC中，AB=AC=a，以BC為邊向外作等邊三角形BDC，問(wèn)當(dāng)ZBAC取什么度數(shù)時(shí)AD最長(zhǎng)？已知X2+2y2=1,x,y都是實(shí)數(shù)，求2x+5y2的最大值、最小值.△ABC中ZB二60。,AC=1，求BA+BC的最大值及這時(shí)三角形的形狀.直角三角形的面積有定值k,求它的內(nèi)切圓半徑的最大值.D,E,F分別在△ABC的邊BC、AC、AB上，若BD:DC=CE:EA=AF:FA=k:(1—k)(0<k<1).問(wèn)k取何值時(shí)，S的值最??？

△ABC中，BC=2，高AD=1，點(diǎn)P,E,F分別在邊BC,AC,AB上，且四邊形PEAF是平行四邊形?問(wèn)點(diǎn)P在BC的什么位置時(shí)，S的值最大？PEAF參考答案5.5，525.40cm46上,BC+AD.最大值是9,TS二1X3X2XSinBAC,ZBAC=90度時(shí)值最大.△2(A).3<ADW9P在AB中點(diǎn)時(shí)，S=1,S=-?至二x△最大值8△22x與J2—X的和有定值，當(dāng)x=「2—x時(shí)，S值最大.△當(dāng)ZBAC=120度時(shí)，AD最大，在△ABD中，設(shè)ZBAD=a由正弦定理當(dāng)150°—a=90。時(shí),AD當(dāng)150°—a=90。時(shí),AD最大.==2a,Sin(18O—30-a)Sin30°