初二幾何中常用輔助線的添加

初二幾何中常用輔助線的添加一.教學(xué)內(nèi)容：寒假專題初二幾何中常用輔助線的添加一）添加輔助線構(gòu)造全等三角形例1.已知：AB〃CD,AD〃BC。求證：AB=CD分析：證明線段相等的方法有：（1）中線的定義;（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；（3）等式的性質(zhì)。在本題中，我們可通過連結(jié)AC，構(gòu)造全等三角形來證明線段相等。證明：連結(jié)AC???AB〃CD,AD〃BC.\Z1=Z3,Z2=Z4在AABC和ACDA中Vl=Z3￡比二Z4=Z2???△ABCMCDA（ASA）???AB=CD（二）截長(zhǎng)補(bǔ)短法引輔助線當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c有下列情況時(shí)：,如直接證不出來，可采用截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等，這兩種方法放在一起叫截長(zhǎng)補(bǔ)短法。通過線段的截長(zhǎng)補(bǔ)短，構(gòu)造全等把分散的條件集中起來。例2.如圖，AABC中,ZACB=2ZB,Z1=Z2O求證：AB=AC+CD證法一：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至點(diǎn)F,使得AF=AB在AABD和AAED中AB=AF弋厶二Z2AD=ADZ.AABD^^AFD(SAS)???ZB=ZFVZACB=2ZB???ZACB=2ZF而ZACB=ZF+ZFDC/.ZF=ZFDC???CD=CF而AF=AC+CF???AF=AC+CD???AB=AC+CD證法二：（截長(zhǎng)法）在AB上截取AE=AC,連結(jié)DE在AAED和AACD中^AE=AC<Zl=Z2AD二AD???△AEDMACD(SAS):.DE=DC,ZAED=ZC'：XAED=^B+ZEDS,ZACB=2Z52Z5=Z5+Z5Z55乙EDE:.EB=ED=DC.'.AB=AE+EB=AC^rDC例3?如圖，在RtAABC中，AB=AC,ZBAC=90°,Z1=Z2,CE丄BD交BD的延長(zhǎng)線于E,證明：BD=2CE。分析：這是一道證明一條線段等于另一條線段的2倍的問題，可構(gòu)造線段2CE,轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問題，分別延長(zhǎng)BA,CE交于F,證△BEF9ABEC,得込昭押，再證厶ABDMACF,得BD=CF。證明：分別延長(zhǎng)BA、CE交于點(diǎn)FTBE丄CF?ZBEF=ZBEC=90°在△BEF和ABEC中V1=Z2<BE=BEAbef=ZBEC?■△BEF竺ABEC(ASA):.CE=陋二學(xué)F???ZBAC=90°,BE丄CF???ZBAC=ZCAF=90°,Z1+ZBDA=9O°,Z1+ZBFC=90°???ZBDA=ZBFC在AABD和AACF中^ZBAC=Zcaf:Zbda=ZbfcAB=AC/.△ABD^AACF(AAS)???BD=CF???BD=2CE(三)加倍法和折半法證明一條線段是另一條線段的兩倍，常用如下方法：將較短線段延長(zhǎng)一倍，然后證明它和較長(zhǎng)線段相等，或?qū)⑤^長(zhǎng)線段折半，然后證明它和較短線段相等，這種方法稱為加倍法和折半法。例4.已知：如圖，AD是AABC的中線，AE是AABD的中線，AB=DC,ZBAD=ZBDAO求證：AC=2AE分析：欲證AC=2AE,只要取AC的中點(diǎn)，證其一半與AE相等，或延長(zhǎng)AE至等長(zhǎng)，證其與AC相等，由于AE是△ABD的中線，故考慮延長(zhǎng)AE至F,使EF=AE,證AF=AC。（此種方法我們又稱為中線倍長(zhǎng)法）只要證△ABF^^ADC,觀察圖形發(fā)現(xiàn)，可以證明AADE^△FBE,則可得出BF=AD,尚需條件ZADC=ZFBA,而這可由外角的性質(zhì)推出。證明：延長(zhǎng)AE至F,使EF=AE,連結(jié)BF???AE是AABD的中線???BE=ED在△BEF和ADEA中磁=EA<^BEF=XDSABE^DE■?△BEF竺ADEA/.ZEBF=ZBDA,BF=DAVZBAD=ZBDA/.ZEBF=ZBAD■：^adc=乙abd+AbadZfba=Zabd-^Zsb^:.^ADC=ZFBA在△ADC和AFBA中^AB=DC<^FBA=^ADC=DA△ADC竺&BA?AC=AF又???AF=2AEAC=2AE四）利用角平分線的性質(zhì)來添加輔助線有角平分線（或證明是角平分線）時(shí)，常過角平分線上的點(diǎn)向角兩邊作垂線段，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等證題。例5.已知:△ABC的ZB、ZC的外角平分線交于點(diǎn)P。求證：AP平分ZBAC證明：過P點(diǎn)作PD丄AC于D點(diǎn)，PF丄AB于F點(diǎn)，PE丄BC于E點(diǎn)???PC,BP為AABC的ZB.ZC的外角平分線PD丄AC，PE丄BC???PD=PE（角平分線性質(zhì)）同理：PF=PE???PD=PF（等量代換）?AP平分ZBAC（角平分線性質(zhì)逆定理）例6?已知：如圖,Z1=Z2,P為BN上一點(diǎn)，且PD丄BC于D,AB+BC=2BD。求證:ZBAP+ZBCP=180°分析：要證ZBAP+ZBCP=180°,而由圖可知ZBAP+ZEAP=180°,故只要證ZEAP=ZBCP即可。由Z1=Z

2,PD丄BC,想到過P點(diǎn)向BA作垂線PE,有PE=PD,BE=BD,又由A^BC=2BD，得AE=CD,故厶APE9ACPD,從而有ZEAP=ZBCP,問題得證。證明：過點(diǎn)P作PE丄BA于E???PD丄BC,Z1=Z2???PE=PD(角平分線的性質(zhì))在RtABPE和Rt^BPD中TP二BP\PE=PD:.Rt^BPE^RtABPD(HL)???BE=BD'：AB^rBC=2BDBC=CD^rBDAB=BE-AE:.AE=CT'：PELBE,PDLBC?：ZPEB=ZPDC=90°在APEA和APDC中應(yīng)=PD:￡P(guān)EB=ZPDCAE=CD?：APEA今APDC:.ZPCB=ZEAPVZBAP+ZEAP=180°：.ZBAP+ZBCP=180°ZE=厶亙、AF1CD9ZE=厶亙、AF1CD9垂足為F,1.已知，如圖，AB=AE,BC=ED,求證：CF=DF

ADADBC3.已知AD是AABC的中線，E在BC的延長(zhǎng)線上，CE=AB，匕—趙