ART算法圖像重構(gòu)課件

圖像重建概述圖像重建是圖像處理中的一個重要分支，廣泛地應(yīng)用于物體內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖像的檢測和觀察中，它是一種無損檢測技術(shù)。關(guān)于圖像處理的一些基本內(nèi)容，如對圖像的幾何處理，圖像的增強，還有復(fù)原等，均是從圖像到圖像，即輸入的原始數(shù)據(jù)是圖像，處理后輸出的仍是圖像。而圖像重建是從數(shù)據(jù)到圖像。圖像重建的三種常用檢測模型：透射模型、發(fā)射模型、反射模型圖像重建概述圖像重建是圖像處理中的一個重要分支，廣泛地應(yīng)用于1---我們從CT談起計算機層析成像（ComputedTomography,CT）是通過對物體進行不同角度的射線投影測量來獲取物體橫截面信息的成像技術(shù)。CT的核心技術(shù)是由投影數(shù)據(jù)來重建圖像的理論，其實質(zhì)是由掃描所得到的的投影數(shù)據(jù)來求出成像平面上每個點的衰減系數(shù)值。---我們從CT談起計算機層析成像（ComputedTom2二維投影與CT值當(dāng)強度為的x-ray通過吸收率為μ(x,y)的均勻吸收物體，由于均勻吸收，則I必是指數(shù)下降，則有這里s表示射線經(jīng)過的體內(nèi)距離長度1、我們假設(shè)切片（物體橫截面，斷面）無限薄。

2、我們認(rèn)為,一幅圖像在任意點(x,y)上的灰度值

正比于那個點的相對線性衰減系數(shù)μ(x,y)。二維投影與CT值當(dāng)強度為的x-ray通過吸收率為3CT任意角度掃描經(jīng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換后可得：所以所謂投影是測量值，是吸收系數(shù)沿著射線經(jīng)過直線的積分。實際上的問題是沿著若干條直線的積分估算值來計算μ(x,y)值。而對于任意角度掃描，需要用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)來描述問題，建立置于掃描系統(tǒng)之上的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，即讓射線束與旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的軸平行：所以θ角每旋轉(zhuǎn)1度就可以取一組投影數(shù)據(jù)，可得到180組不同的投影。CT就是在收集各角度θ的投影數(shù)據(jù)后，利用重建算法處理得到物體的圖像。是離散值，是測出值！CT任意角度掃描經(jīng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換后可得：所以所謂投影4Radon變換Radon變換是計算圖像在某一指定角度射線方向上的投影的變換方法。二維函數(shù)f(x,y)的投影是其在確定方向上的線積分，如下圖所示，二維函數(shù)f(x,y)在水平方向的線積分就是f(x,y)在y軸上的投影，二維函數(shù)f(x,y)在垂直方向的線性積分就是f(x,y)在x軸上的投影。Radon變換Radon變換是計算圖像在某一指定角度射線方向5Radon變換（續(xù)）由此，可以沿任意角度計算函數(shù)的投影，計算圖像f(x,y)在任意角度的Radon變換。Radon變換（續(xù)）由此，可以沿任意角度計算函數(shù)的投影6中心切片定理密度函數(shù)在某一方向上的投影函數(shù)的一維傅立葉變換函數(shù)是原密度函數(shù)的二維傅立葉變換函數(shù)在平面上沿同一方向且過原點的直線上值。中心切片定理密度函數(shù)在某一方向上的投影函數(shù)的一維傅立葉變換函7濾波反投影算法的原理1、在不同的角度下取得足夠多的投影數(shù)據(jù)(Radon變換)2、將這些投影數(shù)據(jù)做一維的Fourier變換，那么變換后的這些數(shù)據(jù)將充滿整個(u,v)平面。（許多過原點成不同夾角的直線）3、也就是說，F(xiàn)(u,v)的全部值都為已知，那么我們將其做一次二維的Fourier逆變換就可以得到原始的衰減系數(shù)函數(shù)f(x,y)濾波反投影算法的原理1、在不同的角度下取得足夠多的投影數(shù)據(jù)(8二維傅立葉反變換作坐標(biāo)變換，令：可得出：表示對投影函數(shù)的Fourier變換進行濾波變換，其中是濾波函數(shù)。二維傅立葉反變換作坐標(biāo)變換，令：可得出：表示對投影函數(shù)的Fo9由傅立葉變換性質(zhì)可知．頻域中的濾波運算可等效地在空域中用卷積運算來完成所以要實現(xiàn)對投影數(shù)據(jù)實現(xiàn)圖像重建，可以采取兩步：首先將投影數(shù)據(jù)和響應(yīng)脈沖濾波器進行卷積，然后由式對不同旋轉(zhuǎn)角θ求和，就能實現(xiàn)圖像重建。這就是卷積法進行圖像重建的基本思路和方法。卷積可看作一種濾波手段，卷積投影相當(dāng)于對數(shù)據(jù)先濾波再將結(jié)果逆投影回來，這樣可以使模糊得到校正。所以：式中h(R)為濾波函數(shù)糾的空域形式由傅立葉變換性質(zhì)可知．頻域中的濾波運算可等效地在空域中用卷積10反投影算法舉例基本原理是將所測得的投影值按其原路徑平均的分配到每一點上，各個方向上投影值反投影后，在影像處進行疊加，從而推體出原圖像。而濾波卻是要投影函數(shù)的一維Fourier加上權(quán)重因子。反投影算法舉例基本原理是將所測得的投影值按其原路徑平均的分配11算法舉例123456算法舉例12345612算法舉例根據(jù)反投影算法x1=p5=5 x6=p2+p3+p5=18 …平均化處理，除以投影線數(shù)目xi=xi/6000005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投影重建后原像素值再除以投影線數(shù)，平均化斷層平面中某一點的密度值可看作這一平面內(nèi)所有經(jīng)過該點的射線投影之和的平均值123456算法舉例根據(jù)反投影算法x1=p5=5000005200113偽跡反投影重建后，原來為0的點不再為0，形成偽跡00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像素值再除以投影線數(shù)，平均化偽跡反投影重建后，原來為0的點不再為0，形成偽跡00000514星狀偽跡我們考慮孤立點源反投影重建，中心點A經(jīng)n條投影線投影后，投影值均為1： p1=p2=...=pn=1因此重建后而其他點均為1/n這類偽跡稱為星狀偽跡1/n1/n1/n1/n11/n1/n1/n1/n000010000星狀偽跡我們考慮孤立點源反投影重建，中心點A經(jīng)n條投影線投影15星狀偽跡產(chǎn)生星狀偽跡的原因在于：反投影重建的本質(zhì)是把取自有限物體空間的射線投影均勻地回抹(反投影)到射線所及的無限空間的各點之上，包括原先像素值為零的點（其實就是投影數(shù)據(jù)少產(chǎn)生的?。。。?a)孤立點源(b)反投影重建圖像及星狀偽跡星狀偽跡產(chǎn)生星狀偽跡的原因在于：反投影重建的本質(zhì)是把取自有限16濾波反投影算法濾波反投影法采用先修正、后反投影的做法，其基本方法是：在某一投影角下取得了投影函數(shù)（一維函數(shù)）后，對此一維投影函數(shù)作濾波處理，得到一個經(jīng)過修正的投影函數(shù)；然后再將此修正后的投影函數(shù)作反投影運算，得到所需的密度函數(shù)。濾波反投影法重建圖像有以下幾個步驟：（1）對某一角度下的投影函數(shù)作一維傅立葉變換；（2）對（1）的變換結(jié)果乘上一維權(quán)重因子；（3）對（2）的加權(quán)結(jié)果作一維逆傅立葉變換；（4）用（3）中得出的修正過的投影函數(shù)做直接反投影；（5）改變投影角度，重復(fù)（1）~（4）的過程，直到完成全部180度的反投影。濾波反投影算法濾波反投影法采用先修正、后反投影的做法，其基本17濾波函數(shù)濾波函數(shù)的選取是濾波反投影法的關(guān)鍵問題（1）R-L濾波函數(shù)由于在頻域中用矩形函數(shù)截斷了濾波函數(shù)，在相應(yīng)的空域中造成振蕩響應(yīng)，重建的圖像質(zhì)量也不夠滿意對應(yīng)的頻域形式為：理想的濾波函數(shù)它是在高頻的權(quán)重很大，低頻的權(quán)重很小，所以高頻噪聲就會很大，所以我們才要對其進行修正濾波函數(shù)濾波函數(shù)的選取是濾波反投影法的關(guān)鍵問題對應(yīng)的頻域形18（2）S-L濾波函數(shù) 與R-L濾波函數(shù)不同的是，S-L濾波函數(shù)它的關(guān)鍵是把頻域的陡峭截止改成緩慢截止。 用S-L濾波函數(shù)重建的圖像中振蕩相應(yīng)較小，對含噪聲的數(shù)據(jù)重建出來的圖像質(zhì)量也較R-L濾波函數(shù)重建的圖像質(zhì)量要好。但是，S-L濾波函數(shù)重建的圖像在高頻響應(yīng)方面不如R-L濾波函數(shù)好，這是因為S-L濾波函數(shù)在高頻段偏離了理想的濾波函數(shù)對應(yīng)的頻域形式為：（2）S-L濾波函數(shù)對應(yīng)的頻域形式為：19一、濾波反投影matlab實現(xiàn)

%P=imread('lena.jpg');P=phantom(256);%P=rgb2gray(O);R=radon(P,0:179);I0=iradon(R,0:179,'linear','Ram-Lak');I1=iradon(R,0:179,'linear','Shepp-Logan');I2=iradon(R,0:179,'linear','cosine');I3=iradon(R,0:179,'linear','none');subplot(2,3,1),imshow(P),title('Original')subplot(2,3,2),imshow(I0,[]),title('FBPR-L')subplot(2,3,3),imshow(I1,[]),title('FBPS-L')subplot(2,3,4),imshow(I2,[]),title('FBPcosine')subplot(2,3,5),imshow(I3,[]),title('UnfilteredBP')一、濾波反投影matlab實現(xiàn)%P=imread('len20圖像的細節(jié)對應(yīng)的是高頻部分，輪廓對應(yīng)的是圖像的低頻部分，所以因為沒有濾波，細節(jié)部分恢復(fù)的不好，呈現(xiàn)很“模糊”的情況圖像的細節(jié)對應(yīng)的是高頻部分，輪廓對應(yīng)的是圖像的低頻部分，所以21ART算法圖像重構(gòu)課件22ART算法圖像重構(gòu)課件23ART算法圖像重構(gòu)課件24二、投影數(shù)據(jù)的多少對圖像重建效果的影響一個典型實例：在matlab圖像處理工具箱中，有一個phantom函數(shù)，可以用來創(chuàng)建頭部的剖視圖，首先創(chuàng)建一個頭部的256×256剖視圖，然后分別計算3組不同的Radon變換，第一組采用30個投影，第二組采用90個投影，第三組采用180個投影，用以比較采用不同組數(shù)的投影參數(shù)重建的圖像與原始圖像的差別。二、投影數(shù)據(jù)的多少對圖像重建效果的影響一個典型實例：25Radon逆變換Radon逆變換26

由測試結(jié)果可以看出：第一組采用30個投影，效果較差；第二組采用90個投影，效果較好；第三組采用180個投影，效果很好，與原始的圖像非常接近。這說明可以通過增加投影的數(shù)目，來提高重建圖像的質(zhì)量。由測試結(jié)果可以看出：第一組采用30個投影，效果較27ART算法濾波反投影算法要求投影數(shù)據(jù)必須完全，分布必須均勻。具體地說就是，平移采集投影數(shù)據(jù)時，應(yīng)覆蓋全部物體區(qū)域；相鄰射線間均為d。然而實際應(yīng)用中，有時無法測到大量的投影數(shù)據(jù)。例如做CT時，為了避免心臟器官受輻射過久，為了減少劑量，投影數(shù)據(jù)采集不足；迭代重建算法就能解決上述濾波反投影算法無能為力的場合啦！ART算法濾波反投影算法要求投影數(shù)據(jù)必須完全，分布必須均勻。28ART算法ART（代數(shù)重建法）是一個迭代的過程，它是一開始就在離散域中進行的,首先把圖像離散化，即將欲重建的未知圖像離散成一個J=n*n重建圖像網(wǎng)格。根據(jù)成像的物理過程和相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型建立待重建圖像和投影數(shù)據(jù)之間的代數(shù)方程組，那么圖像重建問題就可以轉(zhuǎn)化為解線性方程組問題。x1x2x3x4x5X6x7x8x9x1x2x3x4x5X6x7x8x91號2號3號4號ART算法ART（代數(shù)重建法）是一個迭代的過程，它是一開始就29迭代重建的模型一重建模型一迭代重建的模型一重建模型一30迭代重建的模型二迭代重建的模型二31迭代重建的模型三x1x2x3x4x5X6x7x8x9迭代重建的模型三x1x2x3x4x5X6x7x8x932x1x2x3x4x5X6x7x8x91號5號4號8號以模型三為例，不失一般性如圖為一3*3像素的圖像的x1,x2,…,x9為相應(yīng)的像素值，則各射線和為：x1x2x3x4x5X6x7x8x91號5號4號8號以模型三33ART算法圖像重構(gòu)課件34迭代重建算法的思路迭代重建算法的思路35求圖像矢量x的方法一求圖像矢量x的方法一36求圖像矢量x的方法二此方法會產(chǎn)生嚴(yán)重的偽跡。不是我們所期望的。但此方法的思想有助于我們理解迭代重建算法。。。求圖像矢量x的方法二此方法會產(chǎn)生嚴(yán)重的偽跡。不是我們所期望的37反投影算法舉例基本原理是將所測得的投影值按其原路徑平均的分配到每一點上，各個方向上投影值反投影后，在影像處進行疊加，從而推體出原圖像。反投影算法舉例基本原理是將所測得的投影值按其原路徑平均的分配38算法舉例123456算法舉例12345639算法舉例根據(jù)反投影算法x1=p5=5 x6=p2+p3+p5=18 …平均化處理，除以投影線數(shù)目xi=xi/6000005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投影重建后原像素值再除以投影線數(shù)，平均化斷層平面中某一點的密度值可看作這一平面內(nèi)所有經(jīng)過該點的射線投影之和的平均值123456算法舉例根據(jù)反投影算法x1=p5=5000005200140偽跡反投影重建后，原來為0的點不再為0，形成偽跡00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像素值再除以投影線數(shù)，平均化偽跡反投影重建后，原來為0的點不再為0，形成偽跡00000541星狀偽跡我們考慮孤立點源反投影重建，中心點A經(jīng)n條投影線投影后，投影值均為1： p1=p2=...=pn=1因此重建后而其他點均為1/n這類偽跡稱為星狀偽跡1/n1/n1/n1/n11/n1/n1/n1/n000010000星狀偽跡我們考慮孤立點源反投影重建，中心點A經(jīng)n條投影線投影42星狀偽跡產(chǎn)生星狀偽跡的原因在于：反投影重建的本質(zhì)是把取自有限物體空間的射線投影均勻地回抹(反投影)到射線所及的無限空間的各點之上，包括原先像素值為零的點（其實就是投影數(shù)據(jù)少產(chǎn)生的！?。。?a)孤立點源(b)反投影重建圖像及星狀偽跡星狀偽跡產(chǎn)生星狀偽跡的原因在于：反投影重建的本質(zhì)是把取自有限43求圖像矢量x的方法三：ART算法求圖像矢量x的方法三：ART算法44ART算法圖像重構(gòu)課件45ART算法圖像重構(gòu)課件46ART算法圖像重構(gòu)課件47分析上述校正過程的幾何意義分析上述校正過程的幾何意義48ART算法圖像重構(gòu)課件49分析上述校正過程的物理意義分析上述校正過程的物理意義50一張圖總結(jié)一下ART算法投影運算，投影運算的結(jié)果與測量數(shù)據(jù)進行比較，反投影運算，以及圖像更新。反投影運算的目的是把投影運算的結(jié)果與測量數(shù)據(jù)之間的差異映射到圖像空間去，并去修正當(dāng)前所估算的圖像一張圖總結(jié)一下ART算法投影運算，投影運算的結(jié)果與測量數(shù)據(jù)進51一條式子總結(jié)ART算法一條式子總結(jié)ART算法52圖像重建概述圖像重建是圖像處理中的一個重要分支，廣泛地應(yīng)用于物體內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖像的檢測和觀察中，它是一種無損檢測技術(shù)。關(guān)于圖像處理的一些基本內(nèi)容，如對圖像的幾何處理，圖像的增強，還有復(fù)原等，均是從圖像到圖像，即輸入的原始數(shù)據(jù)是圖像，處理后輸出的仍是圖像。而圖像重建是從數(shù)據(jù)到圖像。圖像重建的三種常用檢測模型：透射模型、發(fā)射模型、反射模型圖像重建概述圖像重建是圖像處理中的一個重要分支，廣泛地應(yīng)用于53---我們從CT談起計算機層析成像（ComputedTomography,CT）是通過對物體進行不同角度的射線投影測量來獲取物體橫截面信息的成像技術(shù)。CT的核心技術(shù)是由投影數(shù)據(jù)來重建圖像的理論，其實質(zhì)是由掃描所得到的的投影數(shù)據(jù)來求出成像平面上每個點的衰減系數(shù)值。---我們從CT談起計算機層析成像（ComputedTom54二維投影與CT值當(dāng)強度為的x-ray通過吸收率為μ(x,y)的均勻吸收物體，由于均勻吸收，則I必是指數(shù)下降，則有這里s表示射線經(jīng)過的體內(nèi)距離長度1、我們假設(shè)切片（物體橫截面，斷面）無限薄。

2、我們認(rèn)為,一幅圖像在任意點(x,y)上的灰度值

正比于那個點的相對線性衰減系數(shù)μ(x,y)。二維投影與CT值當(dāng)強度為的x-ray通過吸收率為55CT任意角度掃描經(jīng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換后可得：所以所謂投影是測量值，是吸收系數(shù)沿著射線經(jīng)過直線的積分。實際上的問題是沿著若干條直線的積分估算值來計算μ(x,y)值。而對于任意角度掃描，需要用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)來描述問題，建立置于掃描系統(tǒng)之上的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，即讓射線束與旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的軸平行：所以θ角每旋轉(zhuǎn)1度就可以取一組投影數(shù)據(jù)，可得到180組不同的投影。CT就是在收集各角度θ的投影數(shù)據(jù)后，利用重建算法處理得到物體的圖像。是離散值，是測出值！CT任意角度掃描經(jīng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換后可得：所以所謂投影56Radon變換Radon變換是計算圖像在某一指定角度射線方向上的投影的變換方法。二維函數(shù)f(x,y)的投影是其在確定方向上的線積分，如下圖所示，二維函數(shù)f(x,y)在水平方向的線積分就是f(x,y)在y軸上的投影，二維函數(shù)f(x,y)在垂直方向的線性積分就是f(x,y)在x軸上的投影。Radon變換Radon變換是計算圖像在某一指定角度射線方向57Radon變換（續(xù)）由此，可以沿任意角度計算函數(shù)的投影，計算圖像f(x,y)在任意角度的Radon變換。Radon變換（續(xù)）由此，可以沿任意角度計算函數(shù)的投影58中心切片定理密度函數(shù)在某一方向上的投影函數(shù)的一維傅立葉變換函數(shù)是原密度函數(shù)的二維傅立葉變換函數(shù)在平面上沿同一方向且過原點的直線上值。中心切片定理密度函數(shù)在某一方向上的投影函數(shù)的一維傅立葉變換函59濾波反投影算法的原理1、在不同的角度下取得足夠多的投影數(shù)據(jù)(Radon變換)2、將這些投影數(shù)據(jù)做一維的Fourier變換，那么變換后的這些數(shù)據(jù)將充滿整個(u,v)平面。（許多過原點成不同夾角的直線）3、也就是說，F(xiàn)(u,v)的全部值都為已知，那么我們將其做一次二維的Fourier逆變換就可以得到原始的衰減系數(shù)函數(shù)f(x,y)濾波反投影算法的原理1、在不同的角度下取得足夠多的投影數(shù)據(jù)(60二維傅立葉反變換作坐標(biāo)變換，令：可得出：表示對投影函數(shù)的Fourier變換進行濾波變換，其中是濾波函數(shù)。二維傅立葉反變換作坐標(biāo)變換，令：可得出：表示對投影函數(shù)的Fo61由傅立葉變換性質(zhì)可知．頻域中的濾波運算可等效地在空域中用卷積運算來完成所以要實現(xiàn)對投影數(shù)據(jù)實現(xiàn)圖像重建，可以采取兩步：首先將投影數(shù)據(jù)和響應(yīng)脈沖濾波器進行卷積，然后由式對不同旋轉(zhuǎn)角θ求和，就能實現(xiàn)圖像重建。這就是卷積法進行圖像重建的基本思路和方法。卷積可看作一種濾波手段，卷積投影相當(dāng)于對數(shù)據(jù)先濾波再將結(jié)果逆投影回來，這樣可以使模糊得到校正。所以：式中h(R)為濾波函數(shù)糾的空域形式由傅立葉變換性質(zhì)可知．頻域中的濾波運算可等效地在空域中用卷積62反投影算法舉例基本原理是將所測得的投影值按其原路徑平均的分配到每一點上，各個方向上投影值反投影后，在影像處進行疊加，從而推體出原圖像。而濾波卻是要投影函數(shù)的一維Fourier加上權(quán)重因子。反投影算法舉例基本原理是將所測得的投影值按其原路徑平均的分配63算法舉例123456算法舉例12345664算法舉例根據(jù)反投影算法x1=p5=5 x6=p2+p3+p5=18 …平均化處理，除以投影線數(shù)目xi=xi/6000005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投影重建后原像素值再除以投影線數(shù)，平均化斷層平面中某一點的密度值可看作這一平面內(nèi)所有經(jīng)過該點的射線投影之和的平均值123456算法舉例根據(jù)反投影算法x1=p5=5000005200165偽跡反投影重建后，原來為0的點不再為0，形成偽跡00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像素值再除以投影線數(shù)，平均化偽跡反投影重建后，原來為0的點不再為0，形成偽跡00000566星狀偽跡我們考慮孤立點源反投影重建，中心點A經(jīng)n條投影線投影后，投影值均為1： p1=p2=...=pn=1因此重建后而其他點均為1/n這類偽跡稱為星狀偽跡1/n1/n1/n1/n11/n1/n1/n1/n000010000星狀偽跡我們考慮孤立點源反投影重建，中心點A經(jīng)n條投影線投影67星狀偽跡產(chǎn)生星狀偽跡的原因在于：反投影重建的本質(zhì)是把取自有限物體空間的射線投影均勻地回抹(反投影)到射線所及的無限空間的各點之上，包括原先像素值為零的點（其實就是投影數(shù)據(jù)少產(chǎn)生的?。。。?a)孤立點源(b)反投影重建圖像及星狀偽跡星狀偽跡產(chǎn)生星狀偽跡的原因在于：反投影重建的本質(zhì)是把取自有限68濾波反投影算法濾波反投影法采用先修正、后反投影的做法，其基本方法是：在某一投影角下取得了投影函數(shù)（一維函數(shù)）后，對此一維投影函數(shù)作濾波處理，得到一個經(jīng)過修正的投影函數(shù)；然后再將此修正后的投影函數(shù)作反投影運算，得到所需的密度函數(shù)。濾波反投影法重建圖像有以下幾個步驟：（1）對某一角度下的投影函數(shù)作一維傅立葉變換；（2）對（1）的變換結(jié)果乘上一維權(quán)重因子；（3）對（2）的加權(quán)結(jié)果作一維逆傅立葉變換；（4）用（3）中得出的修正過的投影函數(shù)做直接反投影；（5）改變投影角度，重復(fù)（1）~（4）的過程，直到完成全部180度的反投影。濾波反投影算法濾波反投影法采用先修正、后反投影的做法，其基本69濾波函數(shù)濾波函數(shù)的選取是濾波反投影法的關(guān)鍵問題（1）R-L濾波函數(shù)由于在頻域中用矩形函數(shù)截斷了濾波函數(shù)，在相應(yīng)的空域中造成振蕩響應(yīng)，重建的圖像質(zhì)量也不夠滿意對應(yīng)的頻域形式為：理想的濾波函數(shù)它是在高頻的權(quán)重很大，低頻的權(quán)重很小，所以高頻噪聲就會很大，所以我們才要對其進行修正濾波函數(shù)濾波函數(shù)的選取是濾波反投影法的關(guān)鍵問題對應(yīng)的頻域形70（2）S-L濾波函數(shù) 與R-L濾波函數(shù)不同的是，S-L濾波函數(shù)它的關(guān)鍵是把頻域的陡峭截止改成緩慢截止。 用S-L濾波函數(shù)重建的圖像中振蕩相應(yīng)較小，對含噪聲的數(shù)據(jù)重建出來的圖像質(zhì)量也較R-L濾波函數(shù)重建的圖像質(zhì)量要好。但是，S-L濾波函數(shù)重建的圖像在高頻響應(yīng)方面不如R-L濾波函數(shù)好，這是因為S-L濾波函數(shù)在高頻段偏離了理想的濾波函數(shù)對應(yīng)的頻域形式為：（2）S-L濾波函數(shù)對應(yīng)的頻域形式為：71一、濾波反投影matlab實現(xiàn)

%P=imread('lena.jpg');P=phantom(256);%P=rgb2gray(O);R=radon(P,0:179);I0=iradon(R,0:179,'linear','Ram-Lak');I1=iradon(R,0:179,'linear','Shepp-Logan');I2=iradon(R,0:179,'linear','cosine');I3=iradon(R,0:179,'linear','none');subplot(2,3,1),imshow(P),title('Original')subplot(2,3,2),imshow(I0,[]),title('FBPR-L')subplot(2,3,3),imshow(I1,[]),title('FBPS-L')subplot(2,3,4),imshow(I2,[]),title('FBPcosine')subplot(2,3,5),imshow(I3,[]),title('UnfilteredBP')一、濾波反投影matlab實現(xiàn)%P=imread('len72圖像的細節(jié)對應(yīng)的是高頻部分，輪廓對應(yīng)的是圖像的低頻部分，所以因為沒有濾波，細節(jié)部分恢復(fù)的不好，呈現(xiàn)很“模糊”的情況圖像的細節(jié)對應(yīng)的是高頻部分，輪廓對應(yīng)的是圖像的低頻部分，所以73ART算法圖像重構(gòu)課件74ART算法圖像重構(gòu)課件75ART算法圖像重構(gòu)課件76二、投影數(shù)據(jù)的多少對圖像重建效果的影響一個典型實例：在matlab圖像處理工具箱中，有一個phantom函數(shù)，可以用來創(chuàng)建頭部的剖視圖，首先創(chuàng)建一個頭部的256×256剖視圖，然后分別計算3組不同的Radon變換，第一組采用30個投影，第二組采用90個投影，第三組采用180個投影，用以比較采用不同組數(shù)的投影參數(shù)重建的圖像與原始圖像的差別。二、投影數(shù)據(jù)的多少對圖像重建效果的影響一個典型實例：77Radon逆變換Radon逆變換78

由測試結(jié)果可以看出：第一組采用30個投影，效果較差；第二組采用90個投影，效果較好；第三組采用180個投影，效果很好，與原始的圖像非常接近。這說明可以通過增加投影的數(shù)目，來提高重建圖像的質(zhì)量。由測試結(jié)果可以看出：第一組采用30個投影，效果較79ART算法濾波反投影算法要求投影數(shù)據(jù)必須完全，分布必須均勻。具體地說就是，平移采集投影數(shù)據(jù)時，應(yīng)覆蓋全部物體區(qū)域；相鄰射線間均為d。然而實際應(yīng)用中，有時無法測到大量的投影數(shù)據(jù)。例如做CT時，為了避免心臟器官受輻射過久，為了減少劑量，投影數(shù)據(jù)采集不足；迭代重建算法就能解決上述濾波反投影算法無能為力的場合啦！ART算法濾波反投影算法要求投影數(shù)據(jù)必須完全，分布必須均勻。80ART算法ART（代數(shù)重建法）是一個迭代的過程，它是一開始就在離散域中進行的,首先把圖像離散化，即將欲重建的未知圖像離散成一個J=n*n重建圖像網(wǎng)格。根據(jù)成像的物理過程和相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型建立待重建圖像和投影數(shù)據(jù)之間的代數(shù)方程組，那么圖像重建問題就可以轉(zhuǎn)化為解線性方程組問題。x1x2x3x4x5X6x7x8x9x1x2x3x4x5X6x7x8x91號2號3號4號ART算法ART（代數(shù)重建法）是一個迭代的過程，它是一開始就81迭代重建的模型一重建模型一迭代重建的模型一重建模型一82迭代重建的模型二迭代重建的模型二83迭代重建的模型三x1x2x3x4x5X6x7x8x9迭代重建的模型三x1x2x3x4x5X6x7x8x984x1x2x3x4x5X6x7x8x91號5號4號8號以模型三為例，不失一般性如圖為一3*3像素的圖像的x1,x2,…,x9為相應(yīng)的像素值，則各射線和為：x1x2x3x4x5X6x7x8x91號5號4號8號以模型三85ART算法圖像重構(gòu)課件86迭代重建算法的思路迭代重建算法的思路87求圖像矢量x的方法一求圖像矢量x的方法一88求圖像矢量x的方法二此方法會產(chǎn)生嚴(yán)重的偽跡。不是我們所期望的。但此