汽車電工電子技術(2版)第2章正弦交流電路課件

第2章正弦交流電路2.1正弦交流電的基本概念2.2單相正弦交流電路2.3三相正弦交流電路本章小結第2章正弦交流電路2.1正弦交流電的基本概12.1正弦交流電的基本概念

2.1.1交流電的概念

隨時間按正弦函數(shù)變化的電動勢、電壓和電流總稱為正弦交流電，它們的表達式為

(2-1)

式中，小寫字母e、u、i是這些量的瞬時值。2.1正弦交流電的基本概念

2.1.1交流電2圖2-1所示為正弦電動勢的波形圖。圖中橫坐標用時間t(s)、弧度ωt(rad)或電角度ωt(°)表示。圖2-1所示為正弦電動勢的波形圖。圖中橫坐標用時間t(s3圖2-1正弦電動勢波形圖圖2-1正弦電動勢波形圖42.1.2正弦交流電的三要素

1.周期、頻率和角頻率

正弦量交變一次所需的時間稱為周期，用字母T表示，單位為秒(s)，如圖2-1所示。一秒內正弦量的交變次數(shù)稱為頻率，用字母f表示，單位為赫茲(Hz)，簡稱赫。顯然，頻率與周期互為倒數(shù)，即

(2-2)2.1.2正弦交流電的三要素

1.周期、頻率和角頻5正弦量每秒鐘所經歷電角度稱為角頻率，用字母ω表示，單位為弧度每秒(rad/s)。由于正弦量交變一周為2π弧度，故角頻率與頻率的關系為

(2-3)正弦量每秒鐘所經歷電角度稱為角頻率，用字母ω表示，單位為6

例2-1頻率為50Hz的交流電，其周期與頻率各為多少？

解因為

所以例2-1頻率為50Hz的交流電，其周期與頻率各為多7

2.相位、初相位和相位差

在圖2-2中，e1和e2是兩個頻率相等的正弦電動勢，但是它們的初相位是不同的。它們的函數(shù)式是

(2-4)

當t=0時，e1=Em1sinj1，e2=Em2sinj2，它們的初相位角分別為j1和j2。當j1≠j2時，e1和e2的初始值不相等。2.相位、初相位和相位差

在圖2-2中，e1和e28圖2-2正弦電動勢的相位圖2-2正弦電動勢的相位9兩個同頻率正弦量的初相位角之差稱為相位角差，簡稱相位差，用j表示。式(2-4)中，e1和e2的相位差為兩個同頻率正弦量的初相位角之差稱為相位角差，簡稱相位差，10圖2-3同相與反相的正弦量(a)e1與e2同相；(b)e1與e2反相圖2-3同相與反相的正弦量11

3.最大值和有效值

設有一電阻R，通以交變電流i，在一周期內產生的熱量為

(2-5)

同是該電阻R，通以直流電路I，在時間T內產生的熱量為

(2-6)3.最大值和有效值

設有一電阻R，通以交變電流i，12熱效應相等的條件為QAC=QDC，因此可得交流電的有效值為

(2-7)熱效應相等的條件為QAC=QDC，因此可得交流電的有效13有效值又稱均方根值，用大寫字母表示。在正弦交流電中，代入式(2-7)得其有效值為

(2-8)

即有效值又稱均方根值，用大寫字母表示。在正弦交流電中，代入14同理得電動勢和電壓的有效值為

(2-9)同理得電動勢和電壓的有效值為

152.1.3正弦交流電的表示法

1.相量法

用來表示正弦量的復數(shù)稱為相量。復數(shù)是相量法的基礎，所以相量法又稱為復數(shù)符號法。正弦電動勢Emsin(ωt+j)寫成相量式時為

(2-10)2.1.3正弦交流電的表示法

1.相量法

用16

例2-2已知

求e1和e2的和。

解用相量法求和。e1和e2的相量式為

相量的和為例2-2已知

求e1和e2的和。

解用相量法17將上式轉換成極坐標式為

式中，j為e的初相位。

從相量式可得e的函數(shù)式將上式轉換成極坐標式為

式中，j為e的初相位。

18

2.相量圖

相量可以用有向線段在復平面上表示出來。線段的長度代表相應正弦量的最大值或有效值，稱為相量的模；線段與橫軸的夾角表示正弦量的初相位，稱為相量的輻角；線段是以角頻率ω按逆時針方向旋轉的。圖2-4是正弦電動勢e1和e2

的相量在復平面上的表示法。同頻率的若干相量畫在同一個復平面上便構成了相量圖。2.相量圖

相量可以用有向線段在復平面上表示出來。19圖2-4復平面上的相亮圖2-4復平面上的相亮20

3.j的幾何意義

j既是一個虛數(shù)單位，同時又是一個旋轉因子。因為任何相量與j相乘意味著該相量按逆時針方向旋轉了90°。例如，

在圖2-5中，設相量的模為1、輻角為30°，其相量式為

相量每乘j一次，意味著逆時針轉90°。圖2-5中畫出了相量每次乘j以后的旋轉情況。不難證明，相量每乘(－j)一次，則順時針旋轉90°。3.j的幾何意義

j既是一個虛數(shù)單位，同時又是一個21圖2-5相量乘以j圖2-5相量乘以j22

4.相量的加法和減法

在圖2-6中，為參考相量，導前于的相位角為j1。若要計算與之和，則

式中，E為合成相量的模，其值為4.相量的加法和減法

在圖2-6中，為參考相量23圖2-6相量的加法和減法圖2-6相量的加法和減法24

j為合成相量的輻角，其值為

若欲求的差，則

的模和輻角都可以從圖2-6所示的相量圖上求得。j為合成相量的輻角，其值為

若欲求的25

例2-3

已知

求e=e1+e2。

解設為參考相量，為使的初相位等于零，將各相量的初相位都增加30°，導前于的相位差仍為60°，如圖2-7所示。e1與e2的相量和為

其中例2-3已知

求e=e1+e2。

解設為26圖2-7例2-3圖圖2-7例2-3圖27在設定為參考相位時曾將各相量的初相量增加了30°，所以在寫函數(shù)式時，e的初相位要減去30°，得在設定為參考相位時曾將各相量的初相量增加了30°，所282.2單相正弦交流電路

2.2.1單一參數(shù)交流電路

1.純電阻電路

根據圖2-8(a)中u和i的參考方向，電壓與電流的一般關系式為

u=Ri

(2-11)2.2單相正弦交流電路

2.2.1單一參數(shù)29圖2-8電阻電路中的電壓與電流(a)一般表示；(b)相量表示；(c)相量圖；(d)波形圖圖2-8電阻電路中的電壓與電流30對于正弦電路，設電流為i=Imsinωt，則電壓為

(2-12)

式中，電壓的有效值為

U=RI(2-13)

式(2-12)寫成相量式為

(2-14)對于正弦電路，設電流為i=Imsinωt，則電壓為

31在任一瞬間，電阻元件中的電流瞬時值與加在電阻元件兩端的電壓瞬時值的乘積，稱為電阻的瞬時功率，用pR來表示，即

(2-15)

因為電壓與電流同相，所以pR在任一瞬時的數(shù)值都是正值，如圖2-8(d)所示。因此，電阻元件總是從電源吸收功率，是一種耗能元件。在任一瞬間，電阻元件中的電流瞬時值與加在電阻元件兩端的電32在一個周期內耗能的平均值稱為平均功率或有功功率，用PR來表示，即

(2-16)

在電阻電路中，計算平均功率時，使用的電壓和電流都是有效值。有功功率的單位是瓦特(W)。在一個周期內耗能的平均值稱為平均功率或有功功率，用PR來33從以上分析可得出有關純電阻電路的如下結論：

(1)電壓與電流的瞬時值、有效值、最大值和相量值均符合歐姆定律，即

(2)電壓與電流同相。

(3)電阻元件是耗能元件。

(4)有功功率為從以上分析可得出有關純電阻電路的如下結論：

(1)34

例2-4已知加在電阻元件兩端的電壓

R＝110Ω，求I、i、

解例2-4已知加在電阻元件兩端的電壓

R＝110Ω，35

2.純電感電路

在圖2-9(a)中將線圈當作是一個理想的電感元件，圖中標出了電流、電動勢和電壓的參考方向。根據電磁感應定律，當線圈中的電流變化時，線圈中將產生自感電動勢，其大小與電流的變化率成正比，即

(2-17)2.純電感電路

在圖2-9(a)中將線圈當作是一個36圖2-9電感電路中的電壓和電流(a)一般表示；(b)相量表示；(c)相量圖；(d)波形圖圖2-9電感電路中的電壓和電流37其電壓和電動勢、電流的關系為

(2-18)其電壓和電動勢、電流的關系為

38設線圈電流為i=Imsinωt，則電壓為

(2-19)

式中，設線圈電流為i=Imsinωt，則電壓為

39可見，當線圈電壓為定值時，ωL越大，則電流越小，所以ωL有阻礙電流的作用，稱之為電感性電抗，簡稱感抗，用XL表示(單位為歐姆)，即感抗XL為

(2-20)

由此得電感電路中電壓與電流的數(shù)值關系為

(2-21)可見，當線圈電壓為定值時，ωL越大，則電流越小，所以ωL40式(2-19)寫成相量式為

(2-22)

由式(2-22)可知，相量等于相量乘以jXL，由此也可得出導前于電流90°的結論。圖2-9(b)所示為電路參數(shù)的相量表示法，圖2-9(c)所示為純電感電路中電壓和電流的相量圖，圖2-9(d)為純電感電路中電壓和電流的波形圖。式(2-19)寫成相量式為

41純電感電路瞬時功率為

(2-23)

式(2-23)表明，電感電路中瞬時功率pL是以2ωt的角頻率變化的，如圖2-9(d)所示。當pL為正時，電感元件從電源吸取功率，將電能轉為磁能，此時電感線圈起著負載的作用；當

pL為負時，磁能又轉為電能，回送到電源，此時電感線圈起著電源的作用。純電感電路瞬時功率為

42

pL在一個周期內的平均值為

(2-24)

式(2-24)說明在一個周期內電感線圈“吞吐”能量相等，沒有能量損耗，故有功功率為零，所以電感元件不是耗能元件，而是儲能元件。pL在一個周期內的平均值為

(243為了衡量電感線圈與電源之間的能量互換的大小，采用瞬時功率pL的最大值來表示。這個能量互換的最大值為電感電路無功功率，用QL表示，即

(2-25)

無功功率的單位是乏(var)，以便與有功功率的單位區(qū)別。無功功率有功率量綱，但無功率實質，因為這并非是消耗的功率，“無功”由此得名。為了衡量電感線圈與電源之間的能量互換的大小，采用瞬時功率44從上述分析可得出有關純電感電路的以下結論：

(1)電壓與電流的一般關系式為從上述分析可得出有關純電感電路的以下結論：

(1)45(2)電壓與電流的相量式為

或(2)電壓與電流的相量式為

或46純電感電路中電流滯后于電壓的相位角90°，如果不考慮相位關系，有

或

(2-26)

式中，感抗XL=ωLI=2πfL。純電感電路中電流滯后于電壓的相位角90°，如果不考慮相位47(3)電感元件是儲能元件。

其有功功率

PL=0

其無功功率(3)電感元件是儲能元件。

其有功功率

48

例2-5已知通過一純電感空芯線圈的電流

電感L=127mH，求線圈兩端的電壓U和u、和QL，并作的相量圖。

解

例2-5已知通過一純電感空芯線圈的電流

49故得

的相量圖如圖2-10所示。由圖可知，電壓導前電流90°。故得

的相量圖如圖2-10所示。50圖2-10例2-5圖圖2-10例2-5圖51

3.純電容電路

電容器是由中間有絕緣層的兩個金屬薄片構成的，理想電容元件的圖形符號如圖2-11(a)所示。3.純電容電路

電容器是由中間有絕緣層的兩個金屬薄52圖2-11電容電路中的電壓和電流(a)一般表示；(b)相量表示；(c)相量圖；(d)波形圖圖2-11電容電路中的電壓和電流53電容器充電或放電時的電流為

(2-27)

設u=Umsinωt，則

(2-28)電容器充電或放電時的電流為

54式中，I為電流的有效值，即式中，I為電流的有效值，即55可見當電壓為定值時，越大，純電容電路的電流越小，所以有阻礙電流的作用，稱為電容性電抗，簡稱容抗，用XC表示，其單位為歐(Ω)，即

(2-29)可見當電壓為定值時，越大，純電容電路的電流越小，所以56因此，純電容電路中電壓與電流的數(shù)值關系可寫成

(2-30)因此，純電容電路中電壓與電流的數(shù)值關系可寫成

57從式(2-28)可以看出，在電容電路中，電壓與電流之間是不同相的，電流導前于電壓的相位角為90°。式(2-28)的相量表示式為

上式也可寫為

(2-31)從式(2-28)可以看出，在電容電路中，電壓與電流之間是58純電容電路瞬時功率pC為

(2-32)

瞬時功率波形如圖2-11(d)所示。當pC為正時，電容器充電，電場儲能；當pC為負時，電容器放電，電場能又送回

電源。純電容電路瞬時功率pC為

59

pC在一個周期內的平均值為

(2-33)

式(2-33)說明與電感器一樣，電容器在一個周期內“吞吐”能量相等，不消耗能量，有功功率為零，也是儲能元件。pC在一個周期內的平均值為

60同理，電容器與電源之間能量互換過程中，瞬時功率pC最大值為無功功率，用QC表示，即

(2-34)同理，電容器與電源之間能量互換過程中，瞬時功率pC最大值61從以上分析得到如下結論：

(1)電容電路中電壓與電流關系的一般表達式是

或從以上分析得到如下結論：

(1)電容電路中電壓與電62(2)在正弦電路中，電壓與電流的相量式為

或

可見電容電流導前于電壓90°。如果只考慮數(shù)值關系，則(2)在正弦電路中，電壓與電流的相量式為

63(3)電容元件是儲能元件。

有功功率

PC=0

無功功率(3)電容元件是儲能元件。

有功功率

64

例2-60.2μF電容器上的電壓u=40sin(105t－50°)V。求I、和i，并畫出的相量圖。

解

從圖2-12可以看出，電容上電流導前于電壓90°。例2-60.2μF電容器上的電壓u=40sin(65圖2-12例2-6圖圖2-12例2-6圖662.2.2RL串聯(lián)交流電路

在RL串聯(lián)電路中，設同一電流為參考量,參照圖2-13參考方向，根據基爾霍夫電壓定律用相量列出電壓方程，有

而得

(2-35)

在已知電源電壓和元件參數(shù)的情況下，可求得電流

(2-36)

式中，Z=R+jXL，稱為電路的阻抗。2.2.2RL串聯(lián)交流電路

在RL串聯(lián)電路中，設同一67圖2-13RL串聯(lián)電路圖2-13RL串聯(lián)電路68阻抗

(2-37)

其中，阻抗模

(2-38)阻抗

69阻抗角j是電壓之間的相位差，即

或

(2-39)

阻抗、阻抗模的單位都是歐姆。阻抗角j是電壓之間的相位差，即

或

70由式(2-38)可知，R、XL和|Z|三者之間符合一個直角三角形三邊之間關系，此三角形稱為阻抗三角形，如圖2-14所示。阻抗是復數(shù)，但不代表正弦量，即阻抗是標量，所以Z上面不加點。阻抗三角形不應畫成相量。由式(2-38)可知，R、XL和|Z|三者之間符合一個直71圖2-14阻抗三角形圖2-14阻抗三角形72電路中電流、電壓關系利用相量法分析就方便多了。根據圖2-13中設定的電流和電壓的參考方向，畫出RL串聯(lián)電路的相量圖，設電流為參考相量，畫出各電壓的相量：

得相量圖如圖2-15所示，與的合成相量即為總電壓，從圖中可知總電壓導前電流j角。構成的直角三角形稱為電壓三角形。根據電壓三角形求得

(2-40)電路中電流、電壓關系利用相量法分析就方便多了。根據圖2-73圖2-15電壓三角形圖2-15電壓三角形74相量的相位差角為

或

(2-41)相量的相位差角為

或

75由此可見，j角的大小與電流、電壓的量值無關，而是取決于電路的電阻和感抗大小。

在RL串聯(lián)電路中，電阻元件要消耗功率，所以有功功率

由于UR=Ucosj，故有功功率可表示為

(2-42)由此可見，j角的大小與電流、電壓的量值無關，而是取決于電76在RL串聯(lián)電路中，電感元件要與電源互換能量，所以無功功率

(2-43)

在這里，將UI，即電壓與電流有效值的乘積稱為視在功率，其單位是伏安(V·A)，用S表示，即

S=UI(2-44)

視在功率可以表明一個電氣設備做功的能力,所以一般交流發(fā)電機及變壓器等設備的銘牌上標出的都是額定視在功率。在RL串聯(lián)電路中，電感元件要與電源互換能量，所以無功功率77綜上所述，有功功率和視在功率的關系為

(2-45)

根據式(2-45)的關系可畫出功率三角形,如圖2-16所示,因為功率不是相量,所以在功率三角形上不應畫出相量。在同一電路上阻抗三角形、電壓三角形、功率三角形都是相似的。綜上所述，有功功率和視在功率的關系為

78圖2-16功率三角形圖2-16功率三角形79

例2-7已知RL串聯(lián)電路中，總電壓

R=8Ω，L=19.1mH，求電路中電流I和，電壓uR和uL，功率因數(shù)cosj及功率P、Q、S。

解

即例2-7已知RL串聯(lián)電路中，總電壓

R=8Ω，L=80因為因為81所以所以82有功功率

無功功率

視在功率有功功率

無功功率

83

例2-8一個線圈接在50Hz、220V的交流電源上，測得線圈的功率為20W，電流為0.5A。若把線圈的等效電路看做是由R與L串聯(lián)而成的，求R與L。

解由于功率表測得的是消耗的平均功率P，故得線圈的等效電阻為例2-8一個線圈接在50Hz、220V的交流電源84線圈阻抗

線圈電抗

線圈電感線圈阻抗

線圈電抗

線圈電感85

例2-9一個線圈接在正弦電源上,已知U=100V，I=5A，相位差角j=60°。求：(1)線圈的阻抗模；(2)將線圈看做是RL串聯(lián)電路時的等效電阻和感抗；(3)阻抗。

解(1)阻抗模為例2-9一個線圈接在正弦電源上,已知U=100V86(2)由阻抗三角形可得

等效電阻為

等效感抗為

(3)阻抗為(2)由阻抗三角形可得

等效電阻為

等872.2.3RLC串聯(lián)交流電路及串聯(lián)諧振

圖2-17為電阻、電感和電容的串聯(lián)電路，圖中各參數(shù)都用相量的形式標出，為理想電壓源的電壓。在正弦交流電路中，所謂理想電壓源，指的是電動勢的最大值和頻率是常量，而且沒有內阻抗，所以電源的端電壓等于其電動勢，

與負載大小無關。2.2.3RLC串聯(lián)交流電路及串聯(lián)諧振

圖2-17為88圖2-17RLC串聯(lián)電路圖2-17RLC串聯(lián)電路89

1.RLC串聯(lián)電路

在串聯(lián)電路中，各元件的電流相同，元件電壓與總電壓的關系可根據基爾霍夫第二定律，用相量形式列出電壓方程。參照圖2-17中的參考方向，有

(2-46)

由于故得1.RLC串聯(lián)電路

在串聯(lián)電路中，各元件的電流相同90由于故得

(2-47)

在已知電源電壓和元件參數(shù)的情況下，可求得電流

(2-48)由于故得

91式(2-48)可寫成類似于歐姆定律的形式

(2-49)式(2-48)可寫成類似于歐姆定律的形式

92式中，R+j(XL－XC)稱為電路的阻抗，用大寫的Z代表。阻抗的實部為電阻，虛部為感抗與容抗的差，稱為電抗，用X表示，即

阻抗

(2-50)

電抗式中，R+j(XL－XC)稱為電路的阻抗，用大寫的Z代表。阻93阻抗模

(2-51)

相位差

(2-52)阻抗模

(2-51)

相位94根據圖2-18(a)中設定的電流和電壓的參考方向，可畫出RLC串聯(lián)電路的相量圖，如圖2-18(b)或圖2-18(c)所示。根據圖2-18(a)中設定的電流和電壓的參考方向，可畫出95圖2-18RLC串聯(lián)電路及相量圖圖2-18RLC串聯(lián)電路及相量圖96由相量構成的電壓三角形如圖2-19(a)所示，其中

或這三個電壓的數(shù)值關系為

(2-53)

相量的相位差角為

(2-54)由相量構成的電壓三角形如圖2-19(a)97在RLC串聯(lián)電路中，電壓三角形、阻抗三角形、功率三角形是相似的，如圖2-19所示。從以上分析可得負載的功率：

有功功率

無功功率

視在功率

S=UI在RLC串聯(lián)電路中，電壓三角形、阻抗三角形、功率三角形是98圖2-19電壓、阻抗、功率關系(a)電壓三角形；(b)阻抗三角形；(c)功率三角形圖2-19電壓、阻抗、功率關系99

例2-10

已知線圈的參數(shù)為R=6Ω,XL＝8Ω,與XC＝2Ω的電容器串聯(lián)后接在220V的正弦交流電源上。求：(1)電流I和；(2)電流與電源電壓的相位差；(3)線圈的電壓

解(1)設例2-10已知線圈的參數(shù)為R=6Ω,XL＝8Ω100(2)電壓的初相位為0°，電流的初相位為－45°，故知電流滯后于電壓的相位差角j=0－(－45°)=45°。

(3)(2)電壓的初相位為0°，電流的初相位為－45°，故知101

2.串聯(lián)諧振

1)串聯(lián)諧振的條件

圖2-20為RLC串聯(lián)電路諧振時的相量圖。電路的阻抗Z=R+j(XL－XC)。要使電路呈電阻性，阻抗的虛部應等于零，故得串聯(lián)諧振的條件為XL=XC，即2πfL=2.串聯(lián)諧振

1)串聯(lián)諧振的條件

圖2-20102圖2-20串聯(lián)諧振相量圖圖2-20串聯(lián)諧振相量圖103由此得諧振頻率為

(2-55)

f0稱為電路的固有頻率，其值取決于電路參數(shù)L和C，是電路的一種固有屬性。當電源的頻率等于固有頻率時，RLC串聯(lián)電路就產生諧振。若電源的頻率是固定的，那么調整L或C的數(shù)值，使電路固有頻率等于電源頻率，也會產生諧振。由此得諧振頻率為

(2-55)

1042)串聯(lián)諧振的特征

(1)串聯(lián)諧振時電路的阻抗最小，諧振電流最大，即

(2)電壓與電流同相，電路的cosj=1。2)串聯(lián)諧振的特征

(1)串聯(lián)諧振時電路的阻抗最105(3)UL=UC，ULC=0；若XL=XC>R，則UL=UC>U，即電路電感和電容元件的電壓大于總電壓。

由于XL=XC，|Z|=R，故得

(2-56)

若XL=XC>R，則UL=UC>U。(3)UL=UC，ULC=0；若XL=XC>R，則UL106

例2-11在RLC串聯(lián)電路中,已知R＝20Ω，L＝500μH，C＝161.5pF。(1)求諧振頻率f0；(2)若信號電壓U=1mV，

求UL。

解(1)諧振頻率例2-11在RLC串聯(lián)電路中,已知R＝20Ω，L107(2)

應用式(2-56)得

可見,通過串聯(lián)諧振可使信號電壓從1mV提高到88mV。(2)

應用式(2-56)得

可見,通1082.2.4R、L與C并聯(lián)交流電路及并聯(lián)諧振

1.R、L與C并聯(lián)交流電路

含有一定電阻的電感性負載和電容器并聯(lián)，在實際電路中是經常出現(xiàn)的，如圖2-21(a)所示。由于是并聯(lián)電路，其支路兩端的電壓是相同的，所以在用相量圖分析時，可以電壓

作為參考相量，如圖2-21(b)所示。元件電流與總電流的關系可根據基爾霍夫第一定律確定。2.2.4R、L與C并聯(lián)交流電路及并聯(lián)諧振

1.109圖2-21R、L與C并聯(lián)電路及相量圖圖2-21R、L與C并聯(lián)電路及相量圖110用相量形式列出電流方程，參照圖2-21(a)中的參考方向，有

(2-57)

R、L支路中的電流

式中，Z1是電感性負載的阻抗。用相量形式列出電流方程，參照圖2-21(a)中的參考方向111

IL滯后于電壓，滯后角度為j1，其值為

電容支路中的電流為

式中，Z2是電容性負載的阻抗。IL滯后于電壓，滯后角度為j1，其值為

112的相位導前電壓的角度是π/2。

由式(2-57)得

(2-58)的相位導前電壓的角度是π/2。

由式(2-5113為了便于計算，把分解為兩個分量，見圖2-21(b)：一個是的水平分量它與電壓同相位，稱為的有功分量；另一個是的垂直分量它與電壓有π/2的相位差，稱為的無功分量。但必須指出，

并非是電阻上通過的電流，也不是感抗上通過的電流，在電阻和感抗上通過的電流都等于。我們把一條支路上的電流分解為兩個分量的目的，不過是為了便于計算。作了上述分解以后，便可求得

(2-59)為了便于計算，把分解為兩個分量，見圖2-21(b)：114總電流與電壓之間的相位差可由下式求得

(2-60)

當IC<ILsinj1時，總電流滯后于電壓，整個并聯(lián)電路相當于一個電感性的負載；當IC>ILsinj1時，總電流導前于電壓，整個電路相當于一個電容性負載；當IC=ILsinj1時，總電流與電壓同相，整個電路相當于一個純電阻性負載，此時總電流的有效值最小?？傠娏髋c電壓之間的相位差可由下式求得

115從以上分析可以看出，在電感性負載的兩端并聯(lián)適當?shù)碾娙萜骱?，可以起下述兩方面的作用?/p>

(1)使總電流減小，即比負載上的電流I1還要小，這是因為相位相反，相互抵消的緣故。

(2)使總電流與電壓間的相位差j小于感性負載上的電流與電壓間的相位差j

1，這樣就提高了電路的功率因數(shù)，減小了電路的無功功率，即從以上分析可以看出，在電感性負載的兩端并聯(lián)適當?shù)碾娙萜骱?16

例2-12如圖2-21(a)，設已知：R＝10Ω，L＝55.1mH，C＝80μF，電壓U＝220V，f＝50Hz，求總電流I。

解

例2-12如圖2-21(a)，設已知：R＝10Ω，117汽車電工電子技術(2版)第2章正弦交流電路課件118由圖可知，總電流

提高電感性電路功率因數(shù)的常用方法是在電路兩端并聯(lián)電容器。由圖可知，總電流

119電容C的數(shù)值可由相量圖求得。在圖2-21(b)中，有

(2-61)

并聯(lián)電容器并不影響原有負載的工作，也不改變原有負載的功率，故有電容C的數(shù)值可由相量圖求得。在圖2-21(b)中，有

120代入式(2-61)，得

(2-62)

代入式(2-61)，得

(2-62121由于

故得

(2-63)

式中，j1和j分別是并聯(lián)電容器前、后相位角。由于

故得

122

2.并聯(lián)諧振

1)并聯(lián)諧振的條件

圖2-22是線圈RL與電容器C的并聯(lián)諧振的相量圖。當電路諧振時，同相，故從相量圖可得諧振條件為

(2-64)

由于2.并聯(lián)諧振

1)并聯(lián)諧振的條件

圖2-22123圖2-22并聯(lián)諧振相量圖圖2-22并聯(lián)諧振相量圖124將以上各式代入式(2-64)中得

將XL=2πfL、XC=代入上式，整理后得諧振頻率將以上各式代入式(2-64)中得

將XL=2π125如果線圈的電阻較小，上式可近似為

(2-66)

與式(2-55)比較，可見在這種情況下，并聯(lián)諧振的條件與串聯(lián)諧振相同。如果線圈的電阻較小，上式可近似為

1262)并聯(lián)諧振的特征

(1)從相量圖可知，若R<<XL，則j1≈90°，且IC≈IL，I≈0。換言之，電路在諧振時呈現(xiàn)出最大的等效阻抗，這與串聯(lián)諧振時的情況相反。

(2)電壓與總電流同相，電路的cosj=1。

(3)若R較小時，線圈和電容器中的電流會比總電流大，即支路電流大于總電流，這從相量圖可以看出。2)并聯(lián)諧振的特征

(1)從相量圖可知，若R<<127因為

若

可認為因為

若

可認為128因R<<XL，且IL≈IC，故得

(2-67)

并聯(lián)諧振時電感電流與電容電流大小相等、相位相反，互相抵消，因此并聯(lián)諧振又稱為電流諧振。因R<<XL，且IL≈IC，故得

129

例2-13在圖2-21(a)中，已知L＝500μH，C＝234pF，

R＝20Ω。(1)求f0；(2)設I＝1μA，求諧振時的IC。

解(1)

故得例2-13在圖2-21(a)中，已知L＝500μH130(2)

應用式(2-67)，得

所以電容器電流是總電流的73倍。(2)

應用式(2-67)，得

1312.3三相正弦交流電路

2.3.1三相電源

1.三相電動勢的產生

三相電網的電動勢是由三相發(fā)電機產生的。三相發(fā)電機的結構原理如圖2-25所示。2.3三相正弦交流電路

2.3.1三相電源132圖2-25三相發(fā)電機原理圖圖2-25三相發(fā)電機原理圖133各相繞組的匝數(shù)和形狀都相同，圖2-26所示為U相繞組的示意圖。各相繞組的匝數(shù)和形狀都相同，圖2-26所示為U相繞組的示134圖2-26定子繞組示意圖圖2-26定子繞組示意圖135設三個繞組中正弦電動勢的瞬時值為e1、e2和e3，則其有效值為E1、E2和E3，最大值為E1m、E2m和E3m。由于每相繞組的匝數(shù)和形狀相同，而且是由同一個磁極旋轉時產生的，所以三個電動勢的有效值或最大值彼此相等。

設三個繞組中正弦電動勢的瞬時值為e1、e2和e3，則其有136由于三相繞組以同一速度切割磁力線，所以三個電動勢的頻率相等，即

(2-68)

式中，n為轉子的旋轉速度，單位為r/min(轉每分)；p為磁極的對數(shù)。例如，在圖2-25中，磁極數(shù)為2，p等于1。若轉速為3000r/min，則電動勢的頻率為50Hz。由于三相繞組以同一速度切割磁力線，所以三個電動勢的頻率相137當磁極對數(shù)p為1(二極)時，轉子旋轉一圈，電動勢變化

一個周期。但由于三個繞組在空間互差120°，所以電動勢之間有120°的相位差。從圖2-27可以看出，電動勢e2滯后于e1120°，e3又滯后于e2120°。當磁極對數(shù)p為1(二極)時，轉子旋轉一圈，電動勢變化

一138圖2-27三相電動勢波形圖圖2-27三相電動勢波形圖139在三相發(fā)電機中，三個電動勢的最大值和頻率都是相同的，在相位上互相差120°，這樣的電動勢就稱為三相對稱電動勢。

三相對稱電動勢的函數(shù)表達式為

(2-69)在三相發(fā)電機中，三個電動勢的最大值和頻率都是相同的，在相140它們的波形如圖2-27所示，用相量表示為

(2-70)

相量圖如圖2-28所示。它們的波形如圖2-27所示，用相量表示為

141圖2-28三相電動勢相量圖圖2-28三相電動勢相量圖142

2.三相電源的星形連接

在三相制的電力系統(tǒng)中，電源的三個繞組不是獨立向負載供電的，而是按一定方式連接起來，形成一個整體。連接的方式有星形(Y形)和三角形(△形)兩種，如圖2-29所示。

較為常見的是星形連接三相四線制供電系統(tǒng)，其接法見圖

2-29(a)。2.三相電源的星形連接

在三相制的電力系統(tǒng)中，電143圖2-29三相電源的連接方法(a)星形連接；(b)三角形連接圖2-29三相電源的連接方法144在三相四線制供電系統(tǒng)中，相線與中線之間的電壓稱為相電壓，用U1、U2和U3表示；相線與相線之間的電壓稱為線電壓，用U12、U23和U31表示。相電壓和線電壓的參考方向如圖2-30所示。在三相四線制供電系統(tǒng)中，相線與中線之間的電壓稱為相電壓，145圖2-30星形連接的相電壓與線電壓圖2-30星形連接的相電壓與線電壓146如果忽略電源三相繞組以及導線中的阻抗，那么三個相電壓就等于相對應的三個電動勢。因為三個電動勢是對稱的，所以三個相電壓也是對稱的。故得

(2-71)如果忽略電源三相繞組以及導線中的阻抗，那么三個相電壓就等147按圖2-30所設的電壓參考方向，有

(2-72)按圖2-30所設的電壓參考方向，有

148將式(2-71)代入式(2-72)，再將相電壓的有效值用UP表示，得

(2-73)將式(2-71)代入式(2-72)，再將相電壓的有效值用149圖2-31為星形連接時相電壓和線電壓的相量圖?？梢姡斚嚯妷簩ΨQ時，線電壓也是對稱的。線電壓的有效值為相電壓有效值的倍。在相位關系上，各線電壓分別導前于相應的相電壓30°。若將線電壓用UL表示，則

(2-74)

我國低壓供電線路的標準電壓為相電壓220V，故線電壓等于380V。圖2-31為星形連接時相電壓和線電壓的相量圖?？梢?，當相1502.3.2三相負載的星形(Y)連接

三相負載可以根據對電壓的要求連接成星形或三角形。圖2-32為三相四線制供電線路上的星形接法的負載。這種接法的特點是各單相負載(如電燈泡)的一端連接在相線上，另一

端都連接在中性線上。三相負載(如三相電動機)有星形和三

角形兩種接法，圖2-32中畫出了三個繞組作星形接法的電動

機示意圖。2.3.2三相負載的星形(Y)連接

三相負載可以根據151圖2-32三相電網中的星形負載圖2-32三相電網中的星形負載152三相負載作星形連接時的電路可畫成圖2-33所示的形式。圖中，Z1、Z2和Z3為各相負載的阻抗，U1U2、V1V2、W1W2為三相電源的繞組。如果不計連接導線的阻抗，負載承受的電壓就是電源的相電壓，而且每相負載與電源構成一個單獨回路，任何一相負載的工作都不受其他兩相工作的影響，所以各相電流的計算方法和單相電路一樣，即

(2-75)三相負載作星形連接時的電路可畫成圖2-33所示的形式。圖153根據圖2-33中電流的參考方向，中性線電流為

(2-76)根據圖2-33中電流的參考方向，中性線電流為

154圖2-33三相負載的星形連接圖2-33三相負載的星形連接155如果三相負載是對稱的，即阻抗Z1、Z2和Z3彼此相等，則電流的有效值也相等，在相位上互差120°，是一組對稱的三相電流，如圖2-34所示，所以中性線電流如果三相負載是對稱的，即阻抗Z1、Z2和Z3彼此相等，則156圖2-34對稱星形負載相量圖圖2-34對稱星形負載相量圖157

例2-14在如圖2-35所示的三相四線制的供電線路中，已知電壓為380/220V，三相負載都是白熾燈，其中L1相電阻R1為11Ω，L2相電阻R2為22Ω，L3相電阻R3為44Ω。求各線電流，并作相量圖。例2-14在如圖2-35所示的三相四線制的供電線路中158圖2-35例2-14圖圖2-35例2-14圖159

解在圖2-35中，設解在圖2-35中，設160得各線電流為得各線電流為161圖2-36例2-14圖圖2-36例2-14圖1622.3.3三相負載的三角形(△)連接

圖2-37所示為三相電網中三角形接法的負載。在線電壓為380V的三相電源上，若單相負載的額定電壓為380V，比如交流電焊機燈，就要連接在電源的兩根相線之間。當這樣的單相負載較多時，就分別接在各相線之間，使電網的三相負載比較均衡。負載的這種接法稱為三角形連接。此外，有些三相對稱負載，如正常運行時三個繞組接成三角形的三相電動機，它的三個繞組也分別跨接在三根相線之間。2.3.3三相負載的三角形(△)連接

圖2-37所示163圖2-37三相電網中的三角形負載圖2-37三相電網中的三角形負載164在分析計算三角形連接的電路時，各相電壓(就是線電壓)和相電流的參考方向可按電源的正相序依次設定，即相電壓為相電流為如圖2-38

所示。在分析計算三角形連接的電路時，各相電壓(就是線電壓)和相165圖2-38三相負載的三角形連接圖2-38三相負載的三角形連接166由此可得相電流為

(2-77)由此可得相電流為

167根據基爾霍夫電流定律得線電流為

(2-78)

如果是三相對稱負載，即Z12＝Z23＝Z31，那么相電流和線電流一定也是對稱的，即I12＝I23＝I31＝IP，I1＝I2＝I3＝IL，它們的絕對值相等，在相位上互差120°。如圖2-39所示為對稱三角形負載的電壓和電流的相量圖。根據基爾霍夫電流定律得線電流為

168圖2-39對稱三角形負載相量圖圖2-39對稱三角形負載相量圖169從相量圖可以看出，三相對稱三角形負載的線電流與相應的相電流的相位關系是滯后于滯后于

滯后于在數(shù)值上線電流IL為相電流IP

的即

(2-79)從相量圖可以看出，三相對稱三角形負載的線電流與相應的相電170在三相負載中，不論如何連接，總的有功功率等于各相有功功率之和，即

(2-80)

若三相負載對稱，則各相功率相同，故三相總功率可簡化為

(2-81)在三相負載中，不論如何連接，總的有功功率等于各相有功功率171式中，UP為相電壓；IP為相電流；cosj為每相負載的功率因數(shù)。同理，無功功率和視在功率分別為

(2-82)

(2-83)式中，UP為相電壓；IP為相電流；cosj為每相負載的功率因172對于三相對稱星形負載，由于三相功率若以線電壓和線電流表示，則有

對于三相對稱三角形負載，由于UP=UL，IP=則有對于三相對稱星形負載，由于三相功率若以線173可見，對于三相對稱負載，不論是星形或三角形接法，都可以用同一個公式來表示，即

(2-84)

式中，cosj為每相負載的功率因數(shù)?？梢?，對于三相對稱負載，不論是星形或三角形接法，都可以用174同理可寫出三相對稱負載的無功功率和視在功率分別為

(2-85)

(2-86)同理可寫出三相對稱負載的無功功率和視在功率分別為

175

例2-15在圖2-40中，已知Z12、Z23和Z31均為16+j12Ω，電源電壓為380V，求各電流表的讀數(shù)。例2-15在圖2-40中，已知Z12、Z23和Z31176圖2-40例2-15圖圖2-40例2-15圖177

解本題為三角形接法的對稱負載，各相阻抗均為

各相電流為

各線電流為

所以各電流表的讀數(shù)都是32.9A。解本題為三角形接法的對稱負載，各相阻抗均為

各相178

例2-16上題中，若Z23改為8+j6Ω，其余條件不變，求各電流表的讀數(shù)。

解設

各電壓和電流的參考方向與圖2-38中的參考方向相同。例2-16上題中，若Z23改為8+j6Ω，其余條件179根據式(2-77)得各相電流為根據式(2-77)得各相電流為180根據式(2-78)得各線電流為

因此，電流表A1的讀數(shù)(I1)為32.9A，電流表A2和A3的讀數(shù)(I2和I3)都為50.3A。根據式(2-78)得各線電流為

因181

例2-17在圖2-41中，星形連接和三角形連接負載的每相阻抗都為4+j3Ω，電源的線電壓為380V。分別計算兩種接法三相負載的總功率。例2-17在圖2-41中，星形連接和三角形連接負載的182圖2-41例2-17圖圖2-41例2-17圖183

解每相負載阻抗的絕對值為

每相負載的功率因數(shù)為解每相負載阻抗的絕對值為

每相負載的184對于星形負載，有

對于星形負載，有

185對于三角形負載，有

由此可見，當電源的線電壓相同時，三角形負載的功率是星形負載的3倍。這是由于三角形負載的每相電壓是星形

負載每相電壓的而功率是與電壓的平方成正比關

系的。對于三角形負載，有

186本章小結

本章主要介紹正弦交流電路的基本知識、電路元件的伏安關系及正弦交流(單相與三相)電路的計算方法。本章小結

本章主要介紹正弦交流187

1.正弦交流電的基本概念

(1)交流電通常由交流發(fā)電機產生，隨時間按正弦函數(shù)變化的電動勢、電壓和電流統(tǒng)稱為正弦交流電。

(2)正弦交流電的三要素：①周期、頻率和角頻率；②相位、初相位和相位差；③最大值和有效值。三要素確定了，正弦量也就確定了。

(3)正弦交流電的表示法：①函數(shù)式；②波形圖；③相量法。著重介紹相量法(又稱復數(shù)符號法)，用復數(shù)來表示正弦量。相量式表示分為直角坐標式和極坐標式正弦量可轉化成相量式，運用復數(shù)計算交流電路更簡便。1.正弦交流電的基本概念

(1)交流電通常由交188

2.單相正弦交流電路

(1)單一參數(shù)純R、純L、純C的交流電路的電壓與電流關系表示式、相位關系；純R電路電壓與電流同相、純L電路電壓導前電流90°，純C電路電壓滯后電流90°；有功功率、

無功功率反映了元件的耗能與儲能情況，感抗XL=ωL，容抗

相量圖畫法。

(2)RL串聯(lián)電路的電壓與電流關系表示式；相位關系：電壓導前電流j角；阻抗Z計算；有功功率、無功功率和視在功率表達式；功率因數(shù)cosj含義；電壓三角形(相量)、阻抗三角形和功率三角形相似；由相量圖求解電路參數(shù)。2.單相正弦交流電路

(1)單一參數(shù)純R、純L189(3)RLC串聯(lián)電路及串聯(lián)諧振。

①RLC串聯(lián)電路的電壓與電流關系表達式；阻抗值計算；有功功率、無功功率和視在功率表達式。相位關系由

XL與XC差值確定，若：

XL>XC，則j>0，電感性負載；

XL<XC，則j<0，電容性負載；

XL=XC，則j=0，電阻性負載。(3)RLC串聯(lián)電路及串聯(lián)諧振。

①RLC串190②串聯(lián)諧振(電壓諧振)。

當時，電路呈電阻性，串聯(lián)諧振。諧振時阻抗值最小，電流最大；電壓與電流同相，若XL=XC>R，則UL=UC>U。②串聯(lián)諧振(電壓諧振)。

當191(4)R、L與C并聯(lián)電路及并聯(lián)諧振

①R、L與C并聯(lián)電路、提高功率因數(shù)cosj>cosj1，減小無功功率UIsinj<UIsinj1；相位關系由IC與ILsinj1確定，若：

ILsinj1>IC，則j>0，電感性負載；

ILsinj1<IC，則j<0，電容性負載；

ILsinj1=IC，則j=0，電阻性負載。(4)R、L與C并聯(lián)電路及并聯(lián)諧振

①R、L與C192②并聯(lián)諧振(電流諧振)。

當時，電路呈電阻性，串聯(lián)諧振。諧振時阻抗值最大，電流最小，電壓與總電流同相。若XL>>R，則IL=IC>I，提高功率因數(shù)，采用并聯(lián)電

容器。②并聯(lián)諧振(電流諧振)。

當193

3.三相交流電路

1)三相電源

一般星形連接、三相四線制供應兩種電壓：線電壓UL和相電壓UP。三相對稱電動勢的最大值和頻率相同，相位互差120°；相位關系上各線電壓分別導前相應的相電壓30°。

2)三相負載星形連接

若三相負載對稱，線電壓導前相應相電壓30°，中性線電流為零。

若三相負載不對稱，必須設置中性線且中性線上不準設熔斷器和開關。3.三相交流電路

1)三相電源

一般星形連接1943)三相負載三角形連接

三相對稱負載，線電流滯后相應相電流30°。

三相電路功率，對于三相對稱負載，不論是星形還是三角形接法，有功功率P=無功功率

視在功率3)三相負載三角形連接

三相對稱負載，195第2章正弦交流電路2.1正弦交流電的基本概念2.2單相正弦交流電路2.3三相正弦交流電路本章小結第2章正弦交流電路2.1正弦交流電的基本概1962.1正弦交流電的基本概念

2.1.1交流電的概念

隨時間按正弦函數(shù)變化的電動勢、電壓和電流總稱為正弦交流電，它們的表達式為

(2-1)

式中，小寫字母e、u、i是這些量的瞬時值。2.1正弦交流電的基本概念

2.1.1交流電197圖2-1所示為正弦電動勢的波形圖。圖中橫坐標用時間t(s)、弧度ωt(rad)或電角度ωt(°)表示。圖2-1所示為正弦電動勢的波形圖。圖中橫坐標用時間t(s198圖2-1正弦電動勢波形圖圖2-1正弦電動勢波形圖1992.1.2正弦交流電的三要素

1.周期、頻率和角頻率

正弦量交變一次所需的時間稱為周期，用字母T表示，單位為秒(s)，如圖2-1所示。一秒內正弦量的交變次數(shù)稱為頻率，用字母f表示，單位為赫茲(Hz)，簡稱赫。顯然，頻率與周期互為倒數(shù)，即

(2-2)2.1.2正弦交流電的三要素

1.周期、頻率和角頻200正弦量每秒鐘所經歷電角度稱為角頻率，用字母ω表示，單位為弧度每秒(rad/s)。由于正弦量交變一周為2π弧度，故角頻率與頻率的關系為

(2-3)正弦量每秒鐘所經歷電角度稱為角頻率，用字母ω表示，單位為201

例2-1頻率為50Hz的交流電，其周期與頻率各為多少？

解因為

所以例2-1頻率為50Hz的交流電，其周期與頻率各為多202

2.相位、初相位和相位差

在圖2-2中，e1和e2是兩個頻率相等的正弦電動勢，但是它們的初相位是不同的。它們的函數(shù)式是

(2-4)

當t=0時，e1=Em1sinj1，e2=Em2sinj2，它們的初相位角分別為j1和j2。當j1≠j2時，e1和e2的初始值不相等。2.相位、初相位和相位差

在圖2-2中，e1和e2203圖2-2正弦電動勢的相位圖2-2正弦電動勢的相位204兩個同頻率正弦量的初相位角之差稱為相位角差，簡稱相位差，用j表示。式(2-4)中，e1和e2的相位差為兩個同頻率正弦量的初相位角之差稱為相位角差，簡稱相位差，205圖2-3同相與反相的正弦量(a)e1與e2同相；(b)e1與e2反相圖2-3同相與反相的正弦量206

3.最大值和有效值

設有一電阻R，通以交變電流i，在一周期內產生的熱量為

(2-5)

同是該電阻R，通以直流電路I，在時間T內產生的熱量為

(2-6)3.最大值和有效值

設有一電阻R，通以交變電流i，207熱效應相等的條件為QAC=QDC，因此可得交流電的有效值為

(2-7)熱效應相等的條件為QAC=QDC，因此可得交流電的有效208有效值又稱均方根值，用大寫字母表示。在正弦交流電中，代入式(2-7)得其有效值為

(2-8)

即有效值又稱均方根值，用大寫字母表示。在正弦交流電中，代入209同理得電動勢和電壓的有效值為

(2-9)同理得電動勢和電壓的有效值為

2102.1.3正弦交流電的表示法