李雅普諾夫穩(wěn)定性理論

講

李雅普諾夫穩(wěn)定性理論李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!目錄非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義

及李雅普諾夫，第二方法拉塞爾不變集理論Barbalat引理類李雅普諾夫引理穩(wěn)定性分析方法概述一致最終有界李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!1.1非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念非線性系統(tǒng)的定義：含有非線性元件的系統(tǒng)，稱之為非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)的分類：非本質(zhì)非線性能夠用小偏差線性化方法進行線性化處理的非線性。本質(zhì)非線性用小偏差線性化方法不能解決的非線性。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!非線性系統(tǒng)的運動形式（1）非線性系統(tǒng)在小偏離時單調(diào)變化，大偏離時很可能就出現(xiàn)振蕩。（2）非線性系統(tǒng)的動態(tài)響應不服從疊加原理。1.1非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!幾種典型的非線性特性1.1非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!當系統(tǒng)前向通道中串有死區(qū)特性的元件時，最主要的影響是增大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了定位精度。減小了系統(tǒng)的開環(huán)增益，提高了系統(tǒng)的平穩(wěn)性，減弱動態(tài)響應的振蕩傾向。不靈敏區(qū)（死區(qū)）特性的影響1.1非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!飽和特性使系統(tǒng)開環(huán)增益下降，對動態(tài)響應的平穩(wěn)性有利。如果飽和點過低，則在提高系統(tǒng)平穩(wěn)性的同時，將使系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度有所下降。帶飽和的控制系統(tǒng)，一般在大起始偏離下總是具有收斂的性質(zhì)，系統(tǒng)最終可能穩(wěn)定，最壞的情況就是自振，而不會造成愈偏愈大的不穩(wěn)定狀態(tài)。1.1非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念飽和特性的影響李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!降低了定位精度，增大了系統(tǒng)的靜差。使系統(tǒng)動態(tài)響應的振蕩加劇，穩(wěn)定性變壞?；丨h(huán)（間隙）特性的影響1.1非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!理想繼電控制系統(tǒng)最終多半處于自振工作狀態(tài)?？衫美^電控制實現(xiàn)快速跟蹤。帶死區(qū)的繼電特性，將會增加系統(tǒng)的定位誤差，對其他動態(tài)性能的影響，類似于死區(qū)、飽和非線性特性的綜合效果。1.1非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念繼電器特性的影響李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!關(guān)于李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本概念李雅普諾夫第二方法是一種普遍適用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)及時變系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析的方法。李雅普諾夫給出了對任何系統(tǒng)都普遍適用的穩(wěn)定性的一般定義。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)初始條件外界信號的類型和大小非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!系統(tǒng)的平衡狀態(tài)：若系統(tǒng)(1-1)存在狀態(tài)矢量使得：，對所有t，(1-3)成立，則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。說明:

1）對于任一個系統(tǒng),不一定都存在平衡狀態(tài).2)如果一個系統(tǒng)存在平衡狀態(tài),其平衡狀態(tài)也不一定是唯一的.3)當平衡態(tài)的任意小鄰域內(nèi)存在系統(tǒng)的別的平衡態(tài)時，稱此平衡態(tài)為孤立的平衡態(tài)。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!：狀態(tài)向量x與平衡狀態(tài)xe的距離。為歐幾里德范數(shù)。當很小時，則稱s()為xe的鄰域。點集s()：以xe為中心，為半徑的超球體。若xs()：如系統(tǒng)的解位于球域s()內(nèi)，則：表明系統(tǒng)由初態(tài)x0或短暫擾動所引起的自由響應是有界的。

與穩(wěn)定性相關(guān)的幾個定義1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法則，其中李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!如果系統(tǒng)對于任意選定的實數(shù)>0，都存在另一實數(shù)(，t0)>0，使當：時，從任意初態(tài)x0出發(fā)的解都滿足：則稱平衡狀態(tài)xe為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。李雅普諾夫意義下穩(wěn)定其中實數(shù)與有關(guān)，一般情況下也與t0有關(guān)。如果與t0無關(guān)，則稱這種平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!如果平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的，而且當t無限增長時，軌線不僅不超出s()，而且最終收斂于xe，則稱這種平衡狀態(tài)xe漸近穩(wěn)定。漸近穩(wěn)定從工程意義上說，漸近穩(wěn)定比穩(wěn)定更重要。但漸近穩(wěn)定是一個局部概念，通常只確定某平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性并不意味著整個系統(tǒng)就能正常運行。因此，如何確定漸近穩(wěn)定的最大區(qū)域，并且盡可能擴大其范圍是尤其重要的。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!如果對于某個實數(shù)>0和任一實數(shù)>0，不管這個實數(shù)多么小，由s()內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線，至少有一個軌線越過s()，則稱這種平衡狀態(tài)xe不穩(wěn)定。不穩(wěn)定1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!李雅普諾夫法以上討論的都是指系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性，或稱內(nèi)部穩(wěn)定性。但從工程意義上看，往往更重視系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定性。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)線性定常系統(tǒng)∑＝（A，b，c）李雅普諾夫法簡稱間接法。它的基本思路是通過系統(tǒng)狀態(tài)方程的解來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于線性定常系統(tǒng)，只需解出特征方程的根即可作出穩(wěn)定性判斷。對于非線性不很嚴重的系統(tǒng)，則可通過線性化處理，取其一次近似得到線性化方程，然后再根據(jù)其特征根來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（1-4）平衡狀態(tài)漸進穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征值均具有負實部。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!

（2）由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可見傳遞函數(shù)的極點s＝－1位于s的左半平面，故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。這是因為具有正實部的特征值＝+1被系統(tǒng)的零點s＝+1對消了，所以在系統(tǒng)的輸入輸出特性中沒被表現(xiàn)出來。由此可見，只有當系統(tǒng)的傳遞函數(shù)W（s）不出現(xiàn)零、極點對消現(xiàn)象，并且矩陣A的特征值與系統(tǒng)傳遞函數(shù)W（s）的極點相同，此時系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性才與其輸出穩(wěn)定性相一致。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!（3），則稱是負定的。預備知識設(shè)是向量x的標量函數(shù)，且在x=0處，恒有對所有在定義域中的任何非零向量x，如果成立：（1），則稱是正定的。（2），則稱是半正定(非負定)的。（4），則稱是半負定(非正定)的。（5），或則稱

是不定的。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!12/10/2022二次型函數(shù)，若P為實對稱陣，則必存在正交矩陣T，通過變換，使之化為：此稱為二次型函數(shù)的標準型，為P的特征值，則正定的充要條件是P的特征值均大于0。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法預備知識李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!希爾維斯特判據(jù)設(shè)實對稱陣

為其各階順序主子式，即矩陣P或V(x)定號性的充要條件是：1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法預備知識李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!解：二次型可以寫為,,

例

證明如下二次型函數(shù)是正定的。可見此二次型函數(shù)是正定的，即1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法預備知識李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!定理2：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果平衡狀態(tài)即，如果存在標量函數(shù)V(x)滿足：1）對所有x具有一階連續(xù)偏導數(shù)。2）是正定的；3）若是負定的；或者為半負定，對任意初始狀態(tài)，除去x=0外，有不恒為0。則平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。進一步當，有，則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法幾個穩(wěn)定性判據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!（1），則此時，系統(tǒng)軌跡將在某個曲面上，而不能收斂于原點，因此不是漸近穩(wěn)定。（2）不恒等于0，說明軌跡在某個時刻與曲面

相交，但仍會收斂于原點，所以是漸近穩(wěn)定。（3）穩(wěn)定判據(jù)只是充分條件而非必要條件！1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法說明：李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!例

已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程，試分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：其為線性系統(tǒng)，故是其唯一平衡點。將矩陣形式的狀態(tài)方程展開得到：取標量函數(shù)(李雅譜諾夫函數(shù))：且當

時，

。其為半負定，不恒為0，漸近穩(wěn)定。所以系統(tǒng)在其原點處大范圍漸近穩(wěn)定。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!（1）V(x)是正定的標量函數(shù)，V(x)具有一階連續(xù)偏導數(shù)；（2）并不是對所有的系統(tǒng)都能找到V(x)來證明該系統(tǒng)穩(wěn)定或者不穩(wěn)定；（3）V(x)如果能找到，一般是不唯一的，但關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論是一致的；（4）V(x)最簡單的形式是二次型；（5）V(x)只是提供平衡點附近的運動情況，絲毫不能反映域外運動的任何信息；（6）構(gòu)造V(x)需要一定的技巧。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法對李雅譜諾夫函數(shù)的討論李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!例考慮系統(tǒng)

在平衡點的穩(wěn)定性。選取李氏函數(shù)為:由于（），故原點是穩(wěn)定的.如果選取李氏函數(shù)為:則有，從而得到系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.1.3拉薩爾不變性定理李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!定理1(拉薩爾不變性原理)(1)存在適當?shù)恼龜?shù)l，使得是有界的；(2)則對于任意初始狀態(tài)，當時，狀態(tài)軌跡將趨于S內(nèi)的最大不變集M。其中最大不變集是指S內(nèi)所有不變集的并集。對于給定的自治系統(tǒng)，若存在連續(xù)可微的標量函數(shù)V(x)，滿足：1.3拉薩爾不變性定理李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!定理3（拉薩爾漸近穩(wěn)定性定理）設(shè)，及為定理1中定義的集合。如果集合S

除外不包含其它解，則平衡點是局部漸近穩(wěn)定的。定理4（拉薩爾全局漸近穩(wěn)定性定理）設(shè)V滿足定理2的條件。如果集合S

除外不包含其它解，則平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。1.3拉薩爾不變性定理李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!當李雅普洛夫函數(shù)的導數(shù)為負半定時，拉薩爾不變性理論為判斷自治系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性提供了一種可能的方法。而對于非自治系統(tǒng)（如模型參考自適應控制系統(tǒng)），則不適用。Barbalat引理為非自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析提供了一種重要的工具。1.4Barbalat引理李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!Barbalat引理Barbalat引理

：如果可微函數(shù)f(t)當t時存在有界極限，且一致連續(xù)，則t時。注：1、可微函數(shù)一致連續(xù)的充分條件是其導數(shù)有界。該條件是驗證函數(shù)是否一致連續(xù)的簡單方法。2、Barbalat引理的一個直接而有用的推論：

如果可微函數(shù)f(t)當t時存在有界極限，f二階導數(shù)存在且有界，則當t時，f一階導數(shù)0。1.4Barbalat引理李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!其中e和是跟蹤誤差和參數(shù)誤差，(t)是有界連續(xù)函數(shù)。例

考慮帶有未知參數(shù)的一階自適應控制系統(tǒng)的閉環(huán)誤差系統(tǒng)方程為考察有下界函數(shù)其導數(shù)為故有界，從而一致連續(xù)。由Barbalat引理得故，從而e和有界。但是不能根據(jù)不變集原理推出e的收斂性。為了應用Barbalat引理，考查的一致連續(xù)性：1.5類李雅普諾夫引理李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!

1.6穩(wěn)定性分析方法概述李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!

1.7一致最終有界基本概念與引理李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!最終一致有界的李雅普諾夫定理

1.7一致最終有界李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性（1）非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，則除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)外，很重要的一點是與系統(tǒng)起始偏離的大小密切相連。（2）不能籠統(tǒng)地泛指某個非線性系統(tǒng)穩(wěn)定與否，而必須明確是在什么條件、什么范圍下的穩(wěn)定性。1.1非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!非線性系統(tǒng)的自振非線性系統(tǒng)的自振卻在一定范圍內(nèi)能夠長期存在，不會由于參數(shù)的一些變化而消失。1.1非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!不靈敏區(qū)（死區(qū)）特性表示輸入

表示輸出△表示不靈敏區(qū)，也常稱死區(qū)。1.1非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!飽和特性，等效增益為常值，即線性段斜率；而，輸出飽和，等效增益隨輸入信號的加大逐漸減小。1.1非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!回環(huán)（間隙）特性

表示輸入表示輸出b表示間隙。1.1非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!繼電器特性(a)理想繼電特性(b)死區(qū)繼電特性(c)一般的繼電特性1.1非線性系統(tǒng)相關(guān)基本概念李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的理論框架第一方法第二方法穩(wěn)定性分析1892年俄國數(shù)學家李雅普諾夫SISO的代數(shù)分析方法解析方法Routh判據(jù)Houwitz判據(jù)根據(jù)SISO閉環(huán)特征方程的系數(shù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性根據(jù)狀態(tài)方程A陣判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!系統(tǒng)狀態(tài)的運動及平衡狀態(tài)狀態(tài)軌跡：設(shè)所研究系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為(1-1)設(shè)(1-1)在給定初始條件下,有唯一解：(1-2)式中：x—n維狀態(tài)矢量；f—與x同維的矢量函數(shù)；是和時間t的函數(shù)；一般f為時變的非線性函數(shù)，如果不含t，則為定常的非線性函數(shù).。式(1-2)描述了系統(tǒng)(1-1)在n維狀態(tài)空間中從初始條件出發(fā)的一條狀態(tài)運動的軌跡，簡稱為系統(tǒng)的運動和狀態(tài)軌線。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!5)由于任意一個已知的平衡狀態(tài),都可以通過坐標變換將其變換到坐標原點處。所以今后將只討論系統(tǒng)在坐標原點處的穩(wěn)定性就可以了。6)穩(wěn)定性問題都是相對于某個平衡狀態(tài)而言的。(這一點從線性定常系統(tǒng)中的描述中可以得到理解)7)如果一個系統(tǒng)有多個平衡點。由于每個平衡點處系統(tǒng)的穩(wěn)定性可能是不同的。對有多個平衡點的系統(tǒng)來說，要討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性必須逐個對各平衡點的穩(wěn)定性都要逐個討論。4)對于線性定常系統(tǒng)，當A為非奇異矩陣時，的解是系統(tǒng)唯一存在的平衡狀態(tài)，當A為非奇異時，則會有無窮多個。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!李雅普諾夫根據(jù)系統(tǒng)自由響應是否有界把系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為四種情況：李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定、不穩(wěn)定。李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定不穩(wěn)定1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!若對應于每一個s()，都存在一個s()，使當t無限增長使，從s()出發(fā)的狀態(tài)軌線(系統(tǒng)的響應)總不離開s()，即系統(tǒng)響應的幅值是有界的，則稱平衡狀態(tài)xe為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定，簡稱為穩(wěn)定。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!如果平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的，而且從狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)出發(fā)的軌線都具有漸近穩(wěn)定性，稱這種平衡狀態(tài)xe大范圍漸近穩(wěn)定。大范圍漸近穩(wěn)定顯然，大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是在整個狀態(tài)空間中只有一個平衡狀態(tài)。對于線性系統(tǒng)來說，由于滿足疊加原理，如果平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則必然是大范圍漸近穩(wěn)定的。對于非線性系統(tǒng)，使xe為漸近穩(wěn)定平衡狀態(tài)的球域s()一般是不大的，常稱這種平衡狀態(tài)為小范圍漸近穩(wěn)定。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!球域s()限制著初始狀態(tài)x0的取值，球域s()規(guī)定了系統(tǒng)自由響應的邊界。則稱xe漸近穩(wěn)定如果x(t)為有界，則稱xe穩(wěn)定。如果x(t)不僅有界而且有：如果x(t)為無界，則稱xe不穩(wěn)定。在經(jīng)典控制理論中，只有漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)才稱做穩(wěn)定系統(tǒng)。只在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定，但不是漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)則稱臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，這在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。漸近穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定Lyapunov意義下穩(wěn)定(Re(s)<0)臨界情況(Re(s)=0)不穩(wěn)定(Re(s)>0)經(jīng)典控制理論(線性系統(tǒng)）1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!

如果系統(tǒng)對于有界輸入u所引起的輸出y是有界的，則稱系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定。線性定常系統(tǒng)∑＝（A，b，c）輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)（1-5）的極點全部位于s的左半平面。例

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性。解（1）由A陣的特征方程可得特征值。故系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸進穩(wěn)定的。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!李雅普諾夫第二法李氏第二法（直接法）：通過構(gòu)造李氏函數(shù)，從能量的角度直接判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。逐漸衰減至最小值漸近穩(wěn)定儲能不變李氏穩(wěn)定儲能越來越大不穩(wěn)定系統(tǒng)被激勵儲能隨時間思路：對于一個給定的系統(tǒng)，如果能夠找到一個正定的標量函數(shù)V(x)（廣義能量函數(shù)）,顯然可以根據(jù)該函數(shù)的導數(shù)來確定能量隨著時間的推移是減小的，還是增加的，或者是保持不變的。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!設(shè)為n個變量，則其二次型標量函數(shù)可寫為：二次型標量函數(shù)其中，P為實對稱矩陣。例如：1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法預備知識李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁!矩陣P的符號性質(zhì)定義如下：設(shè)P為n×n實對稱陣，為由P決定的二次型函數(shù)，則（1）正定，則P正定矩陣，記為P>0;（2）負定，則P負定矩陣，記為P<0;（3）半正定，則P半正定矩陣，記為P≥0;（4）半負定，則P半負定矩陣，記為P≤0;1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法預備知識李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁!(2)若，則P

負定；(1)若，則P

正定；(3)若，則P

半正定；(4)若，則P

半負定；1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法預備知識李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁!

定理1：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

如果平衡狀態(tài)即。如果存在標量函數(shù)V(x)滿足：1）對所有x具有一階連續(xù)偏導數(shù)。2）

是正定的；3）若

是半負定的。則平衡狀態(tài)為在李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。幾個穩(wěn)定性判據(jù)1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁!定理3：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果平衡狀態(tài)即如果存在標量函數(shù)V(x)滿足：1）

對所有x具有一階連續(xù)偏導數(shù)。2）是正定的；3）若是正定的。則平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法幾個穩(wěn)定性判據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁!

解:顯然，原點是系統(tǒng)平衡點，取則

又因為當時，有，所以系統(tǒng)在原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的。例已知系統(tǒng)試用李雅普諾夫第二方法判斷其穩(wěn)定性。令1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第55頁!另選一個李雅普諾夫函數(shù)：當時，，所以系統(tǒng)在其原點處大范圍漸近穩(wěn)定。1.2李雅普諾夫穩(wěn)定性及判別方法李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第56頁!有時，李雅普洛夫函數(shù)的導數(shù)僅僅是負半定的，通過其它的方法我們?nèi)杂锌赡芘袛嘞到y(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。拉薩爾不變性定理就是一種可供選擇的方法，它延伸了李亞普諾夫函數(shù)的概念。與李雅普洛夫定理不同，拉塞爾引理不要求V(x)正定。1.3拉薩爾不變性定理李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第57頁!定義考慮自治非線性系統(tǒng)。狀態(tài)的集合M稱為該系統(tǒng)的不變集，系指對于任意初始狀態(tài)，有，成立。對于自治非線性系統(tǒng)和標量函數(shù)V(x)，在狀態(tài)空間中定義如下集合：1.3拉薩爾不變性定理李雅普諾夫穩(wěn)定性理論共66頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第58頁!對于自治非線性系統(tǒng)，若存在連續(xù)可微的標量函數(shù)V(x)，滿足：(1)V(