第矢量分析與場(chǎng)論課件

第矢量分析與場(chǎng)論第矢量分析與場(chǎng)論1（優(yōu)選）第矢量分析與場(chǎng)論（優(yōu)選）第矢量分析與場(chǎng)論例如，矢量A可以表示成

A=aA（111）其中，A是矢量A的大小;a代表矢量A的方向，a=A/A，其大小等于1。例如，矢量A可以表示成圖1-1直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的投影圖1-1直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的投影一個(gè)大小為零的矢量稱為空矢（NullVector）或零矢（ZeroVector），一個(gè)大小為1的矢量稱為單位矢量（UnitVector）。在直角坐標(biāo)系中，用單位矢量ax、ay、az表征矢量分別沿x、y、z軸分量的方向。

空間的一點(diǎn)P(X,Y,Z)能夠由它在三個(gè)相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定，如圖11所示。從原點(diǎn)指向點(diǎn)P的矢量r稱為位置矢量(PositionVector)，它在直角坐標(biāo)系中表示為

r=axX+ayY+azZ（112）一個(gè)大小為零的矢量稱為空矢（Nul式中，X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z軸上的投影。任一矢量A在三維正交坐標(biāo)系中都可以給出其三個(gè)分量。例如，在直角坐標(biāo)系中，矢量A的三個(gè)分量分別是Ax、Ay、Az，利用三個(gè)單位矢量ax、ay、az可以將矢量A表示成

A=axAx+ayAy+azAz（113）矢量A的大小為AA=(A2x+A2y+A2z)1/2（114）式中，X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z軸上矢量的代數(shù)運(yùn)算1.矢量的加法和減法任意兩個(gè)矢量A與B相加等于兩個(gè)矢量對(duì)應(yīng)分量相加，它們的和仍然為矢量，即C=A+B=ax(Ax+Bx)+ay(Ay+By)+az(Az+Bz)(115)任意兩個(gè)矢量A與B的差等于將其中的一個(gè)矢量變號(hào)后再相加，即

D=AB=A+(B)=ax(AxBx)+ay(AyBy)+az(AzBz)(116)矢量的代數(shù)運(yùn)算2.矢量的乘積矢量的乘積包括標(biāo)量積和矢量積。1）標(biāo)量積

任意兩個(gè)矢量A與B的標(biāo)量積(ScalarProduct)是一個(gè)標(biāo)量，它等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的余弦之乘積，如圖12所示，記為

A·B=ABcosθ(117)2.矢量的乘積圖1-2標(biāo)量積的圖示圖1-2標(biāo)量積的圖示例如，直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式ax·ay=ay·az=ax·az=0

ax·ax=ay·ay=az·az=1任意兩矢量的標(biāo)量積，用矢量的三個(gè)分量表示為

A·B=AxBx+AyBy+AzBz(119)

標(biāo)量積服從交換律和分配律，即

A·B=B·A(1110)A·(B+C)=A·B+A·C(1111)(1-1-8)例如，直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式(1-1-8設(shè)標(biāo)量場(chǎng)u，根據(jù)梯度的性質(zhì)標(biāo)量場(chǎng)的梯度F是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，則由斯托克斯定理知，無(wú)旋場(chǎng)沿閉合路徑的積分必然為零，即B=aρz2sinφ+aφz2cosφ+az2ρzsinφ3有一個(gè)二維矢量場(chǎng)F(r)=ax(y)+ay(x)，在矢量分析中，一個(gè)重要的定理是（1414）當(dāng)選定了直角坐標(biāo)系后，它就可以寫(xiě)成如下形式（2）A=axyz+ayxz+azxy在直角坐標(biāo)系中，可將u表示為式（129）和（1210）表明如果矢量A是在圓柱坐標(biāo)系給定的，根據(jù)式（1210）可以得到直角坐標(biāo)系的表達(dá)式；【例12】設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn)，它在空間任一點(diǎn)P(x,y,z)處所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為它們與沿各自坐標(biāo)增量之比分別為當(dāng)選定了直角坐標(biāo)系后，它就可以寫(xiě)成如下形式式中，cosα,cosβ,cosγ為l方向的方向余弦。表示一個(gè)以z軸作軸線的半徑為ρ的圓柱面，ρ的變?nèi)绻鲜降臉O限存在，則稱此極限為矢量場(chǎng)A在點(diǎn)P處的散度（Divergence），記作隨著C的取值不同，得到一系列不同的等值面，如圖118所示。2）矢量積任意兩個(gè)矢量A與B的矢量積（VectorProduct）是一個(gè)矢量，矢量積的大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積，其方向垂直于矢量A與B組成的平面，如圖13所示，記為C=A×B=anABsinθ(1112)

an=aA×aB（右手螺旋）設(shè)標(biāo)量場(chǎng)u，根據(jù)梯度的性質(zhì)標(biāo)量場(chǎng)的梯度F是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，圖1-3矢量積的圖示及右手螺旋

(a)矢量積的圖示；(b)右手螺旋圖1-3矢量積的圖示及右手螺旋矢量積又稱為叉積(CrossProduct)，如果兩個(gè)不為零的矢量的叉積等于零，則這兩個(gè)矢量必然相互平行，或者說(shuō)，兩個(gè)相互平行矢量的叉積一定等于零。矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律，即

A×B=B×A(1113)

A×(B+C)=A×B+A×C(1114)矢量積又稱為叉積(CrossPro直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式

ax×ay=az,ay×az=ax,az×ax=ayax×ax=ay×ay=az×az=0

在直角坐標(biāo)系中，矢量的叉積還可以表示為(1-1-15)

=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)(1-1-16)矢量的其他運(yùn)算詳見(jiàn)附錄一。直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式(1-1-15)=1.2圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系空間任一點(diǎn)P的位置可以用圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)變量(ρ,φ,z)來(lái)表示，如圖14所示。其中，ρ是位置矢量OP在xy面上的投影，φ是從+x軸到位置矢量OP在xy面上的投影之間的夾角，z是OP在z軸上的投影。由圖14可以看出，圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為1.2圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系

x=ρcosφ

y=ρsinφz=z

（1-2-1）如同直角坐標(biāo)系一樣，圓柱坐標(biāo)系也具有三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)面，如圖1-5所示。

式（129）和（1210）表明如果矢量A是在圓柱坐標(biāo)系給定的，根據(jù)式（1210）可以得到直角坐標(biāo)系的表達(dá)式；1.任意兩個(gè)矢量A與B的矢量積（VectorProduct）是一個(gè)矢量，矢量積的大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積，其方向垂直于矢量A與B組成的平面，如圖13所示，記為矢量A的大小為A2圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系（1）若A·B=A·C，則是否意味著B(niǎo)總等于C呢？試討論之；A·B=ABcosθ(117)12（1）若矢量場(chǎng)A=(2+16r2)az，在半徑為2和0≤θ≤π/2的半球面上計(jì)算的值；1.任意兩個(gè)矢量A與B相加等于兩個(gè)矢量對(duì)應(yīng)分量相加，它們的和仍然為矢量，即例如，直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式由于三個(gè)面相交成直角，因此能夠建立互相垂直的坐標(biāo)軸ρ、φ和z，相應(yīng)的單位矢量為aρ、aφ和az，分別指向ρ、φ和z增加的方向。式中，cosα,cosβ,cosγ為l方向的方向余弦。1）標(biāo)量積aρ·aρ=aφ·aφ=az·az=1在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式為Q(x′,y′,z′)，求:（2）若矢量場(chǎng)A=10cos2φaz，求穿過(guò)xy平面上半徑為2的圓面的通量。C=ax(3y22x)+ay3x2+az2z圖1-4圓柱坐標(biāo)系一點(diǎn)的投影式（129）和（1210）表明如果矢量A是在圓柱坐標(biāo)系給定圖1-5圓柱坐標(biāo)系三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)圖1-5圓柱坐標(biāo)系三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)坐標(biāo)面（1-2-2）表示一個(gè)以z軸作軸線的半徑為ρ的圓柱面，ρ的變化范圍為0≤ρ<∞。坐標(biāo)面（1-2-3）坐標(biāo)面（1-2-2）表示一個(gè)以z軸作軸線的表示一個(gè)以z軸為界的半平面，φ的變化范圍為0≤φ≤2π。坐標(biāo)面

z=常數(shù)（124）

表示一個(gè)平行于xy平面的平面。z的變化范圍為∞<z<+∞。表示一個(gè)以z軸為界的半平面，φ的變化范圍為0≤φ≤由于三個(gè)面相交成直角，因此能夠建立互相垂直的坐標(biāo)軸ρ、φ和z，相應(yīng)的單位矢量為aρ、aφ和az，分別指向ρ、φ和z增加的方向。應(yīng)該指出圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)單位矢量（與直角坐標(biāo)系的不同）除az外，aρ和aφ都不是常矢量，它們的方向隨P點(diǎn)的位置不同而變化，但aρ、aφ和az三者始終保持正交關(guān)系，并遵循右手螺旋法則，即aρ×aφ=az,aφ×az=aρ,az×aρ=aφaρ×aρ=aφ×aφ=az×az=0（1-2-5）由于三個(gè)面相交成直角，因此能夠建立

aρ·aφ=aφ·az=aρ·az=0aρ·aρ=aφ·aφ=az·az=1（1-2-6）圓柱坐標(biāo)系的位置矢量r可以表示為

r=aρρ+azz（1-2-7）aρ·aφ=aφ·az=aρ·az=0（圖1-6圓柱坐標(biāo)系單位矢量的變換圖1-6圓柱坐標(biāo)系單位矢量的變換圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量aρ和aφ在單位矢量ax和ay上的投影示于圖16，顯然

aρ=axcosφ+aysinφaφ=ax(sinφ)+aycosφ（128）

圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量aρ和aφ在圖1-2標(biāo)量積的圖示（1）A=axx3+ayy3+az(3zx)在點(diǎn)P(1,0,1)；（1）方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影，即一個(gè)大小為零的矢量稱為空矢（NullVector）或零矢（ZeroVector），一個(gè)大小為1的矢量稱為單位矢量（UnitVector）。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)一個(gè)矢量場(chǎng)的兩類源(ρ,J)在空間的分布確定時(shí)，該矢量場(chǎng)就唯一地確定了，這一規(guī)律稱為亥姆霍茲定理(HelmholtzTheorem)。2.如果S是一個(gè)閉曲面，則通過(guò)閉合曲面的總通量可表示為設(shè)有矢量場(chǎng)A，在場(chǎng)中任一點(diǎn)P處作一個(gè)包含P點(diǎn)在內(nèi)的任一閉合曲面S，設(shè)S所限定的體積為ΔV，當(dāng)體積ΔV以任意方式縮向P點(diǎn)時(shí)，取下列極限:例如，在直角坐標(biāo)系中，矢量A的三個(gè)分量分別是Ax、Ay、Az，利用三個(gè)單位矢量ax、ay、az可以將矢量A表示成1.圖1-4圓柱坐標(biāo)系一點(diǎn)的投影的坐標(biāo)面，如圖1-5所示。表示一個(gè)以z軸為界的半平面，φ的變化范圍為0≤φ≤2π。▽×A=J（154）1.求E的矢量線方程并畫(huà)出矢量線圖。（2）從六面體內(nèi)穿出的通量，并驗(yàn)證高斯散度定理。（2）該矢量沿半徑為3的四分之一圓盤(pán)的線積分，如圖117所示，驗(yàn)證斯托克斯定理。dS=ndS（136）它們與沿各自坐標(biāo)增量之比分別為然而從場(chǎng)中的給定點(diǎn)P出發(fā)，標(biāo)量場(chǎng)u在不同方向上的變化率一般說(shuō)來(lái)是不同的，那么，可以設(shè)想，必定在某個(gè)方向上變化率為最大。所以，直角坐標(biāo)系中的單位矢量變換到圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量的表達(dá)式寫(xiě)成矩陣形式為

（1-2-9）圖1-2標(biāo)量積的圖示所以，將上式求逆即可得到從圓柱坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為（1-2-10）將上式求逆即可得到從圓柱坐標(biāo)系到直式（129）和（1210）表明如果矢量A是在圓柱坐標(biāo)系給定的，根據(jù)式（1210）可以得到直角坐標(biāo)系的表達(dá)式；反之，若矢量A是在直角坐標(biāo)系給定的，則根據(jù)式（129）可以得到圓柱坐標(biāo)系的表達(dá)式。圓柱坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)P沿ρ、φ和z方向的長(zhǎng)度增量分別為dlρ=dρ,dlφ=ρdφ,dlz=dz（1211）它們與沿各自坐標(biāo)增量之比分別為（1-2-12）式（129）和（1210）表明如果矢量A是在圓柱坐圓柱坐標(biāo)三個(gè)坐標(biāo)面的面元矢量分別為

dSρ=aρρdφdz（1213）dSφ=aφdρdz（1214）

dSz=azρdφdρ（1215）

體積元為dV=ρdφdρdz（1216）

圓柱坐標(biāo)三個(gè)坐標(biāo)面的面元矢量分別為球坐標(biāo)系在球坐標(biāo)系中，空間一點(diǎn)P唯一地用三個(gè)坐標(biāo)變量(r,θ,φ)來(lái)表示，如圖17所示。此處，位置矢量r又稱為矢徑(RadiusVector)，r是其大小，θ是位置矢量r與z軸的夾角，φ是從+x軸到位置矢量r在xy面上的投影OM之間的夾角。球坐標(biāo)系由圖17可以看出，球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為

x=rsinθcosφy=rsinθsinφz=rcosθ（1217）同樣，球坐標(biāo)也有三個(gè)坐標(biāo)面，如圖18所示。坐標(biāo)面（1-2-18）表示一個(gè)半徑為r的球面，r的變化范圍為0≤r<∞。由圖17可以看出，球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為

（1-2圖1-7球坐標(biāo)系一點(diǎn)的投影圖1-7球坐標(biāo)系一點(diǎn)的投影圖1-8球坐標(biāo)系三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)面圖1-8球坐標(biāo)系三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)面坐標(biāo)面

θ=常數(shù)表示一個(gè)以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、以z軸為軸線的圓錐面，θ的變化范圍為0≤θ≤π。坐標(biāo)面（1-2-19）表示一個(gè)以z軸為界的半平面，φ的變化范圍為0≤φ<2π。坐標(biāo)面（1-2-19）表示一個(gè)以z軸為界的半平面球坐標(biāo)系的位置矢量可以表示為

r=arr(1220)

球坐標(biāo)系中任意點(diǎn)P(r,θ,φ)的三個(gè)單位矢量為ar、aθ和aφ，它們互相正交且遵循右手螺旋法則，即

ar×aθ=aφ,aθ×aφ=ar,aφ×ar=aθar×ar=aθ×aθ=aφ×aφ=0ar·aθ=aθ·aφ=ar·aφ=0ar·ar=aθ·aθ=aφ·aφ=1（1-2-21）（1-2-22）球坐標(biāo)系的位置矢量可以表示為（1-2-21）（1-2

圖1-9球坐標(biāo)的三個(gè)單位矢量在ax、ay和az

上的投影圖1-9球坐標(biāo)的三個(gè)單位矢量單位矢量ar、aθ和aφ在單位矢量ax、ay和az上的投影分別示于圖19(a)、(b)和(c)。由圖19可以得到直角坐標(biāo)系中的單位矢量變換到球坐標(biāo)的表達(dá)式為（1-2-23）單位矢量ar、aθ和aφ在單位矢量a將上式求逆即可得到球坐標(biāo)中的單位矢量變換到直角坐標(biāo)的表達(dá)式為（1-2-24）將上式求逆即可得到球坐標(biāo)中的單位矢式（1223）和（1224）表明如果矢量A是在球坐標(biāo)系給定的，根據(jù)式（1224）可以得到直角坐標(biāo)系的表達(dá)式；反之，若矢量A是在直角坐標(biāo)系給定的，則根據(jù)式（1223）可以得到球坐標(biāo)系的表達(dá)式。空間一點(diǎn)P沿r、θ和φ方向的長(zhǎng)度增量分別為dlr=dr,dlθ=rdθ,dlφ=rsinθdφ（1225）則球坐標(biāo)中的拉梅常數(shù)為（1-2-26）式（1223）和（1224）表明如果矢量A是在球而沿球面、θ=常數(shù)平面和φ=常數(shù)平面的三個(gè)面元矢量分別為dSr=arr2sinθdθdφ（1227）

dSθ=aθrsinθdrdφ（1228）

dSφ=aφrdrdθ（1229）

球坐標(biāo)的體積元為

dV=r2sinθdrdθdφ（1230）

而沿球面、θ=常數(shù)平面和φ=常數(shù)平面【例11】將圓柱坐標(biāo)系中的矢量表達(dá)式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系的表達(dá)形式?！纠?1】將圓柱坐標(biāo)系中的矢量表達(dá)

1.3矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)的矢量線矢量場(chǎng)空間中任意一點(diǎn)P處的矢量可以用一個(gè)矢性函數(shù)A=A(P)來(lái)表示。當(dāng)選定了直角坐標(biāo)系后，它就可以寫(xiě)成如下形式A=A(x,y,z)（131）1.3矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)的矢量線設(shè)Ax,Ay,Az為矢性函數(shù)A在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量，且假定它們都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則A又可以表示為

A=axAx(x,y,z)+ayAy(x,y,z)+azAz(x,y,z)（132）所謂矢量線(ＶectorLine)，乃是這樣一些曲線在曲線上的每一點(diǎn)處，場(chǎng)的矢量都位于該點(diǎn)處的切線上（如圖110所示），像靜電場(chǎng)的電力線、磁場(chǎng)的磁力線、流速場(chǎng)中的流線等，都是矢量線的例子。設(shè)Ax,Ay,Az為矢性函數(shù)A在圖1-10力線圖圖1-10力線圖現(xiàn)在我們來(lái)討論矢量線方程的表達(dá)式。設(shè)P為矢量線上任一點(diǎn)，其矢徑為r，則根據(jù)矢量線的定義，必有

A×dr=0（133）在直角坐標(biāo)系中，矢徑r的表達(dá)式為r=axx+ayy+azz（134）將其代入式（133）即得矢量場(chǎng)的矢量線滿足的微分方程為（1-3-5）現(xiàn)在我們來(lái)討論矢量線方程的表達(dá)式。（圖1-7球坐標(biāo)系一點(diǎn)的投影任意兩矢量的標(biāo)量積，用矢量的三個(gè)分量表示為式中，cosα,cosβ,cosγ為l方向的方向余弦。任意兩個(gè)矢量A與B的標(biāo)量積(ScalarProduct)是一個(gè)標(biāo)量，它等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的余弦之乘積，如圖12所示，記為設(shè)有矢量場(chǎng)A，在場(chǎng)中任一點(diǎn)P處作一個(gè)包含P點(diǎn)在內(nèi)的任一閉合曲面S，設(shè)S所限定的體積為ΔV，當(dāng)體積ΔV以任意方式縮向P點(diǎn)時(shí)，取下列極限:（2）若矢量場(chǎng)A=10cos2φaz，求穿過(guò)xy平面上半徑為2的圓面的通量。▽·(▽×A)≡0（1326）θ=常數(shù)的極限存在，則稱它為函數(shù)u(P)在點(diǎn)P0處沿l方向的方向?qū)?shù)(DirectionalDerivative)，記為（1）該矢量場(chǎng)的旋度;由圖17可以看出，球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為其中，ρ是位置矢量OP在xy面上的投影，φ是從+x軸到位置矢量OP在xy面上的投影之間的夾角，z是OP在z軸上的投影。2圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系B=aρz2sinφ+aφz2cosφ+az2ρzsinφ（2）A=axyz+ayxz+azxyaφ=ax(sinφ)+aycosφ（128）1.式（129）和（1210）表明如果矢量A是在圓柱坐標(biāo)系給定的，根據(jù)式（1210）可以得到直角坐標(biāo)系的表達(dá)式；式（1319）為旋度矢量在n方向的投影，如圖116所示，即(a)矢量積的圖示；【例12】設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn)，它在空間任一點(diǎn)P(x,y,z)處所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為式中，q、ε0

均為常數(shù)，r=axx+ayy+azz為P點(diǎn)的位置矢量。求E的矢量線方程并畫(huà)出矢量線圖。圖1-7球坐標(biāo)系一點(diǎn)的投影圖1-11點(diǎn)電荷的電場(chǎng)矢量線圖1-11點(diǎn)電荷的電場(chǎng)矢量線矢量場(chǎng)的通量及散度1.矢量場(chǎng)的通量在矢量場(chǎng)A中取一個(gè)面元dS及與該面元垂直的單位矢量n（外法向矢量，如圖112所示），則面元矢量表示為dS=ndS（136）矢量場(chǎng)的通量及散度圖1-12矢量場(chǎng)的通量及散度圖1-12矢量場(chǎng)的通量及散度由于所取的面元dS很小，因此可認(rèn)為在面元上各點(diǎn)矢量場(chǎng)A的值相同，A與面元dS的標(biāo)量積稱為矢量場(chǎng)A穿過(guò)dS的通量(Ｆlux)，記作A·dS=ＡcosθdS（137）因此矢量場(chǎng)A穿過(guò)整個(gè)曲面S的通量為（1-3-8）由于所取的面元dS很小，因此可認(rèn)為如果S是一個(gè)閉曲面，則通過(guò)閉合曲面的總通量可表示為（1-3-9）如果S是一個(gè)閉曲面，則通過(guò)閉合曲面

2.矢量場(chǎng)的散度

1）散度的定義設(shè)有矢量場(chǎng)A，在場(chǎng)中任一點(diǎn)P處作一個(gè)包含P點(diǎn)在內(nèi)的任一閉合曲面S，設(shè)S所限定的體積為ΔV，當(dāng)體積ΔV以任意方式縮向P點(diǎn)時(shí)，取下列極限:（1-3-10）2.矢量場(chǎng)的散度（1-3-10）如果上式的極限存在，則稱此極限為矢量場(chǎng)A在點(diǎn)P處的散度（Divergence），記作（1-3-11）顯然，式（1-3-11）的物理意義是從點(diǎn)P單位體積內(nèi)散發(fā)的通量。在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式為（1-3-12）如果上式的極限存在，則稱此極限為矢2）哈米爾頓（Hamilton）算子為了方便，我們引入一個(gè)矢性微分算子，在直角坐標(biāo)系中有（1-3-13）2）哈米爾頓（Hamilton）算式（1313）稱作哈米爾頓算子，記號(hào)(讀作del)是一個(gè)微分符號(hào)，同時(shí)又要當(dāng)作矢量看待。算子與矢性函數(shù)A的點(diǎn)積為一標(biāo)量函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式可以寫(xiě)為（1-3-14）即式（1313）稱作哈米爾頓算子，記號(hào)(讀作del矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式分別為（1-3-15）（1-3-16）矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的3）高斯散度定理（DivergenceTheorem）在矢量分析中，一個(gè)重要的定理是（1-3-17）上式稱為散度定理。3）高斯散度定理（DivergenceTheorem）（【例13】在矢量場(chǎng)A=axx2+ayxy+azyz中，有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的立方體，它的一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)上，如圖113所示。試求（1）矢量場(chǎng)A的散度;（2）從六面體內(nèi)穿出的通量，并驗(yàn)證高斯散度定理。【例13】在矢量場(chǎng)A=axx2+a▽·B=0直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式矢量的其他運(yùn)算詳見(jiàn)附錄一。在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式為▽·(▽×A)≡0（1326）（5）A×(B×C)和(A×B)×C。（2）矢量A和B的夾角θAB；y=rsinθsinφ因此矢量場(chǎng)A穿過(guò)整個(gè)曲面S的通量為求E的矢量線方程并畫(huà)出矢量線圖。A=A1+A2（151）（1）u=xyz+x2球坐標(biāo)的體積元為直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式任意兩個(gè)矢量A與B相加等于兩個(gè)矢量對(duì)應(yīng)分量相加，它們的和仍然為矢量，即12（1）若矢量場(chǎng)A=(2+16r2)az，在半徑為2和0≤θ≤π/2的半球面上計(jì)算的值；式（1-3-28）表明：矢量場(chǎng)A的旋度沿曲面S法向分量的如上可見(jiàn)，矢量場(chǎng)A的散度代表著形成矢量場(chǎng)的一種源——標(biāo)量源ρ，而矢量場(chǎng)A的旋度代表著形成矢量場(chǎng)的另一種源——矢量源J。它們與沿各自坐標(biāo)增量之比分別為由于三個(gè)面相交成直角，因此能夠建立互相垂直的坐標(biāo)軸ρ、φ和z，相應(yīng)的單位矢量為aρ、aφ和az，分別指向ρ、φ和z增加的方向。如在靜電場(chǎng)中，已知電場(chǎng)強(qiáng)度，就可求得電位函數(shù)（第2章中介紹）。圖1-13單位立方體▽·B=0圖1-13單位立方體矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度

1.環(huán)量的定義設(shè)有矢量場(chǎng)A，l為場(chǎng)中的一條封閉的有向曲線，定義矢量場(chǎng)A環(huán)繞閉合路徑l的線

積分為該矢量的環(huán)量（Circulation），記作（如圖114所示）（1-3-18）矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度（1-3-18）矢量的環(huán)量和矢量穿過(guò)閉合面的通量一樣，都是描繪矢量場(chǎng)A性質(zhì)的重要物理量，同樣都是積分量。為了知道場(chǎng)中每個(gè)點(diǎn)上旋渦源的性質(zhì)，我們引入矢量場(chǎng)旋度的概念。矢量的環(huán)量和矢量穿過(guò)閉合面的通量一樣圖1-14矢量場(chǎng)的環(huán)量圖1-14矢量場(chǎng)的環(huán)量圖1-15閉合曲線方向與面元的方向示意圖圖1-15閉合曲線方向與面元的2.矢量場(chǎng)的旋度1）旋度的定義

設(shè)P為矢量場(chǎng)中的任一點(diǎn)，作一個(gè)包含P點(diǎn)的微小面元ΔS，其周界為l，它的正向與面元ΔS的法向矢量n成右手螺旋關(guān)系(如圖115所示)。當(dāng)曲面ΔS在P點(diǎn)處保持以n為法矢不變的條件下，以任意方式縮向P點(diǎn)，若其極限（1-3-19）2.矢量場(chǎng)的旋度（1-3-1圖1-16旋度及其投影圖1-16旋度及其投影稱固定矢量R為矢量A的旋度（Curl或Rotation），記作rotA=R（1320）式（1319）為旋度矢量在n方向的投影，如圖116所示，即（1-3-21）稱固定矢量R為矢量A的旋度（Curl或Rotation因此，矢量場(chǎng)的旋度仍為矢量。在直角坐標(biāo)系中，旋度的表達(dá)式為（1-3-22）因此，矢量場(chǎng)的旋度仍為矢量。在直為方便起見(jiàn)，也引入算子，則旋度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為（1-3-23）為方便起見(jiàn)，也引入算子，則旋度矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的旋度表達(dá)式分別為（1-3-24）（1-3-25）矢量函數(shù)A在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的任意兩矢量的標(biāo)量積，用矢量的三個(gè)分量表示為它們與沿各自坐標(biāo)增量之比分別為C=5ax2az當(dāng)選定了直角坐標(biāo)系后，它就可以寫(xiě)成如下形式C=ax(3y22x)+ay3x2+az2z圓柱坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)P沿ρ、φ和z方向的長(zhǎng)度增量分別為（3）A·B和A×B;從原點(diǎn)指向點(diǎn)P的矢量r稱為位置矢量(PositionVector)，它在直角坐標(biāo)系中表示為（2）u=4x2y+y2z4xz8試計(jì)算的值，式中的閉合曲面S是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的單位立方體，r為立方體表面上任一點(diǎn)的位置矢量。也就是說(shuō)，梯度就是該等值面的法向矢量。在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式可以寫(xiě)為面積分等于該矢量沿圍繞此面積曲線邊界的線積分（證明從略）。ar·ar=aθ·aθ=aφ·aφ=114在球坐標(biāo)系中，已知標(biāo)量函數(shù)或者從矢量場(chǎng)的通量和環(huán)量?jī)蓚€(gè)方面去研究，即1.圖1-8球坐標(biāo)系三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)面圖1-14矢量場(chǎng)的環(huán)量旋度的一個(gè)重要性質(zhì)就是任意矢量旋度的散度恒等于零，即

▽·(▽×A)≡0（1326）

這就是說(shuō)，如果有一個(gè)矢量場(chǎng)B的散度等于零，則該矢量B就可以用另一個(gè)矢量A的旋度來(lái)表示，即當(dāng)▽·B=0則有B=▽×A（1327）任意兩矢量的標(biāo)量積，用矢量的三個(gè)分量表示為2）斯托克斯定理（Stokes'Theorem）矢量分析中另一個(gè)重要定理是

（1-3-28）式（1-3-28）稱為斯托克斯定理，其中S是閉合路徑l所圍成的面積，它的方向與l的方向成右手螺旋關(guān)系。式（1-3-28）表明：矢量場(chǎng)A的旋度沿曲面S法向分量的面積分等于該矢量沿圍繞此面積曲線邊界的線積分（證明從略）。

2）斯托克斯定理（Stokes'Theorem）（1-3圖1–17四分之一圓盤(pán)圖1–17四分之一圓盤(pán)【例14】已知一矢量場(chǎng)F=axxyay2x,試求

（1）該矢量場(chǎng)的旋度;（2）該矢量沿半徑為3的四分之一圓盤(pán)的線積分，如圖117所示，驗(yàn)證斯托克斯定理?！纠?4】已知一矢量場(chǎng)F=axxyay21.4標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)的等值面一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)u可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來(lái)表示。在直角坐標(biāo)系中，可將u表示為

u=u(x,y,z)（141）

令

u(x,y,z)=C,C為任意常數(shù)（142）1.4標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)的等值面式（142）在幾何上一般表示一個(gè)曲面，在這個(gè)曲面上的各點(diǎn)，雖然坐標(biāo)(x,y,z)不同，但函數(shù)值相等，稱此曲面為標(biāo)量場(chǎng)u的等值面。隨著C的取值不同，得到一系列不同的等值面，如圖118所示。同理，對(duì)于由二維函數(shù)v=v(x,y)所給定的平面標(biāo)量場(chǎng)，可按v(x,y)=C得到一系列不同值的等值線。式（142）在幾何上一般表示一個(gè)曲面，在這個(gè)曲面上圖1–18標(biāo)量場(chǎng)的等值面圖1–18標(biāo)量場(chǎng)的等值面方向?qū)?shù)1.方向?qū)?shù)的定義設(shè)P0為標(biāo)量場(chǎng)u=u(P)中的一點(diǎn)，從點(diǎn)P0出發(fā)引出一條射線l，如圖119所示。在l上P0點(diǎn)鄰近取一點(diǎn)P，記線段P0P=Δl，如果當(dāng)P→P0時(shí)，的極限存在，則稱它為函數(shù)u(P)在點(diǎn)P0處沿l方向的方向?qū)?shù)(DirectionalDerivative)，記為（1-4-3）方向?qū)?shù)（1-4-3）圖1-19方向?qū)?shù)圖1-19方向?qū)?shù)

2.方向?qū)?shù)的計(jì)算公式

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)u=u(x,y,z)在P0(x0,y0,z0)處可微，則有（1-4-4）式（1-4-4）中，當(dāng)Δl→0時(shí)δ→0。2.方向?qū)?shù)的計(jì)算公式（1-4-將上式兩邊同除以Δl并取極限得到方向?qū)?shù)的計(jì)算公式（1-4-5）式中，cosα,cosβ,cosγ為l方向的方向余弦。將上式兩邊同除以Δl并取極限得到方向標(biāo)量場(chǎng)的梯度

1.梯度的定義方向?qū)?shù)為我們解決了函數(shù)u(P)在給定點(diǎn)處沿某個(gè)方向的變化率問(wèn)題。然而從場(chǎng)中的給定點(diǎn)P出發(fā)，標(biāo)量場(chǎng)u在不同方向上的變化率一般說(shuō)來(lái)是不同的，那么，可以設(shè)想，必定在某個(gè)方向上變化率為最大。為此，我們定義一個(gè)矢量G，其方向就是函數(shù)u在點(diǎn)P處變化率為最大的方向，其大小就是這個(gè)最大變化率的值，這個(gè)矢量G稱為函數(shù)u在點(diǎn)P處的梯度（Gradient），記為（1-4-6）標(biāo)量場(chǎng)的梯度（1-4-6）算子▽與標(biāo)量函數(shù)u相乘為一矢量函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中，梯度又可以表示為（1-4-7）另外，以后我們還經(jīng)常用到標(biāo)量拉普拉斯算子(LaplaceOperator)，即

▽2=▽·▽（1-4-8）在直角坐標(biāo)系中標(biāo)量函數(shù)的拉普拉斯表達(dá)式為（1-4-9）算子▽與標(biāo)量函數(shù)u相乘為一矢量函數(shù)。標(biāo)量函數(shù)u在圓柱坐標(biāo)系中的梯度和拉普拉斯表達(dá)式分別為（1-4-10）（1-4-11）標(biāo)量函數(shù)u在圓柱坐標(biāo)系中的梯度和拉普標(biāo)量函數(shù)u在球坐標(biāo)系中的梯度和拉普拉斯表達(dá)式分別為（1-4-12）（1-4-13）標(biāo)量函數(shù)u在球坐標(biāo)系中的梯度和拉普拉2.梯度的性質(zhì)梯度有以下重要性質(zhì)（1）方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影，即

（1414）

（2）標(biāo)量場(chǎng)u中每一點(diǎn)P處的梯度，垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面，且指向函數(shù)u(P)增大的方向。也就是說(shuō)，梯度就是該等值面的法向矢量。2.梯度的性質(zhì)（3）▽×▽u≡0（1415）式（1415）表明如果一個(gè)矢量場(chǎng)F滿足▽×F=0，即F是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，則矢量場(chǎng)F可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)u的梯度來(lái)表示，即F=▽u，該標(biāo)量函數(shù)稱為勢(shì)函數(shù)(PotentialFunction)，對(duì)應(yīng)的矢量場(chǎng)稱為有勢(shì)場(chǎng)。如靜電場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度就可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來(lái)表示。（3）3.梯度的積分設(shè)標(biāo)量場(chǎng)u，根據(jù)梯度的性質(zhì)標(biāo)量場(chǎng)的梯度F是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，則由斯托克斯定理知，無(wú)旋場(chǎng)沿閉合路徑的積分必然為零，即而3.梯度的積分而圖1-20無(wú)旋場(chǎng)沿不同路徑的積分圖1-20無(wú)旋場(chǎng)沿不同路徑的積分(如圖120所示)，即

這說(shuō)明積分與路徑無(wú)關(guān)，僅與始點(diǎn)P1和終點(diǎn)P2的位置有關(guān)。又(如圖120所示)，即

這說(shuō)明積分與路徑無(wú)假如選定始點(diǎn)P1為不動(dòng)的固定點(diǎn)（參考點(diǎn)），P2點(diǎn)為任意動(dòng)點(diǎn)，則P2點(diǎn)的函數(shù)值可表示為（1-4-16）式（1-4-16）表明：如果已知一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，選定一個(gè)參考點(diǎn)，就可由式（1-4-16）求得其標(biāo)量場(chǎng)u。如在靜電場(chǎng)中，已知電場(chǎng)強(qiáng)度，就可求得電位函數(shù)（第2章中介紹）。假如選定始點(diǎn)P1為不動(dòng)的固定點(diǎn)（參考1.5亥姆霍茲定理設(shè)一個(gè)矢量場(chǎng)A既有散度，又有旋度，則可將其分解為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)分量A1和一個(gè)無(wú)散場(chǎng)分量A2之和，即

A=A1+A2（151）

其中無(wú)旋場(chǎng)分量A1的散度不等于零，設(shè)為ρ，無(wú)散場(chǎng)分量A2的旋度不等于零，設(shè)為J，因此有▽·A=▽·(A1+A2)=▽·A1=ρ（152）▽×A=▽×(A1+A2)=▽×A2=J（153）1.5亥姆霍茲定理設(shè)一個(gè)矢量場(chǎng)A既如上可見(jiàn)，矢量場(chǎng)A的散度代表著形成矢量場(chǎng)的一種源——標(biāo)量源ρ，而矢量場(chǎng)A的旋度代表著形成矢量場(chǎng)的另一種源——矢量源J。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)一個(gè)矢量場(chǎng)的兩類源(ρ,J)

在空間的分布確定時(shí)，該矢量場(chǎng)就唯一地確定了，這一規(guī)律稱為亥姆霍茲定理(HelmholtzTheorem)。如上可見(jiàn)，矢量場(chǎng)A的散度代表著形成亥姆霍茲定理告訴我們，研究任意一個(gè)矢量場(chǎng)（如電場(chǎng)、磁場(chǎng)等）都應(yīng)該從散度和旋度兩個(gè)方面去進(jìn)行，其中▽·A=ρ▽×A=J（154）

稱此為矢量場(chǎng)基本方程的微分形式。亥姆霍茲定理告訴我們，研究任意或者從矢量場(chǎng)的通量和環(huán)量?jī)蓚€(gè)方面去研究，即（1-5-5）上式稱為矢量場(chǎng)基本方程的積分形式?；蛘邚氖噶繄?chǎng)的通量和環(huán)量?jī)蓚€(gè)方面去研究，即（1-5-5）習(xí)題1.1已知A、B和C為任意矢量，（1）若A·B=A·C，則是否意味著B(niǎo)總等于C呢？試討論之；（2）試證明A·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B)。習(xí)題1.1已知A、B和C為1.2給定三個(gè)矢量A、B和C如下A=ax+2ay3azB=4ay+azC=5ax2az求:（1）矢量A的單位矢量aA；（2）矢量A和B的夾角θAB；（3）A·B和A×B;（4）A·(B×C)和(A×B)·C；（5）A×(B×C)和(A×B)×C。1.2給定三個(gè)矢量A、B和C如下1.3有一個(gè)二維矢量場(chǎng)F(r)=ax(y)+ay(x)，求其矢量線方程，并定性畫(huà)出該矢量場(chǎng)圖形。1.4已知直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P1(3,1,4)和P2(2,2,3):（1）在直角坐標(biāo)系中寫(xiě)出點(diǎn)P1、P2的位置矢量r1和r2；（2）求點(diǎn)P1到P2的距離矢量的大小和方向;（3）求矢量r1在r2的投影。1.3有一個(gè)二維矢量場(chǎng)F(r)=ax(y)+ay(x)1.6求數(shù)量場(chǎng)ψ=ln(x2+y2+z2)通過(guò)點(diǎn)P(1,2,3)的等值面方程。1.7用球坐標(biāo)表示的場(chǎng)，求:（1）在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)(3,4,5)處的|E|和Ez；（2）E與矢量B=2ax2ay+az之間的夾角。1.6求數(shù)量場(chǎng)ψ=ln(x2+y21.8試計(jì)算的值，式中的閉合曲面S是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的單位立方體，r為立方體表面上任一點(diǎn)的位置矢量。

1.9求標(biāo)量場(chǎng)ψ(x,y,z)=6x2y3+ez在點(diǎn)P(2,1,0)的梯度。1.10在圓柱體x2+y2=9和平面x=0、y=0、z=0及z=2所包圍的區(qū)域，設(shè)此區(qū)域的表面為S:（1）求矢量場(chǎng)A沿閉合曲面S的通量，其中矢量場(chǎng)A的表達(dá)式為

A=ax3x2+ay(3y+z)+az(3zx)（2）驗(yàn)證散度定理。1.8試計(jì)算1.11從P(0,0,0)到Q(1,1,0)計(jì)算,其中矢量場(chǎng)A的表達(dá)式為A=ax4xay14y2曲線C沿下列路徑（1）x=t,y=t2;（2）從(0,0,0)沿x軸到(1,0,0)，再沿x=1到(1,1,0)；（3）此矢量場(chǎng)為保守場(chǎng)嗎？1.11從P(0,0,0)到Q(1.12（1）若矢量場(chǎng)A=(2+16r2)az，在半徑為2和0≤θ≤π/2的半球面上計(jì)算的值；（2）若矢量場(chǎng)A=10cos2φaz，求穿過(guò)xy平面上半徑為2的圓面的通量。1.13求矢量A=axx+ayxy2沿圓周x2+y2=a2的線積分，再求▽×A對(duì)此圓周所包圍的表面積分，驗(yàn)證斯托克斯定理。1.14在球坐標(biāo)系中，已知標(biāo)量函數(shù)，其中pe和ε0均為常數(shù)，求矢量場(chǎng)E=▽?duì)铡?.12（1）若矢量場(chǎng)A=(2+1.15求下列標(biāo)量場(chǎng)的梯度（1）u=xyz+x2（2）u=4x2y+y2z4xz（3）u=5yz+x31.16求下列矢量場(chǎng)在給定點(diǎn)的散度（1）A=axx3+ayy3+az(3zx)在點(diǎn)P(1,0,1)；（2）A=axx2y+ayyz+az3z2在點(diǎn)P(1,1,0)。1.17求下列矢量場(chǎng)的旋度（1）A=axx2+ayy2+az3z2（2）A=axyz+ayxz+azxy1.15求下列標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.18現(xiàn)有三個(gè)矢量場(chǎng)A、B和C，已知:A=arsinθcosφ+aθcosθcosφaφsinφB=aρz2sinφ+aφz2cosφ+az2ρzsinφC=ax(3y22x)+ay3x2+az2z（1）試問(wèn):哪些矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)?哪些矢量場(chǎng)為無(wú)散場(chǎng)？（2）試問(wèn)哪些矢量場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來(lái)表示？哪些矢量場(chǎng)可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來(lái)表示？（3）求出它們的源分布。1.18現(xiàn)有三個(gè)矢量場(chǎng)A、B和C，已知:1.19已知直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P(x,y,z)和點(diǎn)Q(x′,y′,z′)，求:（1）P點(diǎn)的位置矢量r和Q點(diǎn)的位置矢量r′；（2）從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離矢量R；（3）▽×r和▽·r;（4）▽。

1.20證明矢量場(chǎng)

A=ax(y2+2xz2)+ay(2xyz)+az(2x2zy+2z)

為有勢(shì)場(chǎng)。1.19已知直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P(x第矢量分析與場(chǎng)論第矢量分析與場(chǎng)論104（優(yōu)選）第矢量分析與場(chǎng)論（優(yōu)選）第矢量分析與場(chǎng)論例如，矢量A可以表示成

A=aA（111）其中，A是矢量A的大小;a代表矢量A的方向，a=A/A，其大小等于1。例如，矢量A可以表示成圖1-1直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的投影圖1-1直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的投影一個(gè)大小為零的矢量稱為空矢（NullVector）或零矢（ZeroVector），一個(gè)大小為1的矢量稱為單位矢量（UnitVector）。在直角坐標(biāo)系中，用單位矢量ax、ay、az表征矢量分別沿x、y、z軸分量的方向。

空間的一點(diǎn)P(X,Y,Z)能夠由它在三個(gè)相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定，如圖11所示。從原點(diǎn)指向點(diǎn)P的矢量r稱為位置矢量(PositionVector)，它在直角坐標(biāo)系中表示為

r=axX+ayY+azZ（112）一個(gè)大小為零的矢量稱為空矢（Nul式中，X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z軸上的投影。任一矢量A在三維正交坐標(biāo)系中都可以給出其三個(gè)分量。例如，在直角坐標(biāo)系中，矢量A的三個(gè)分量分別是Ax、Ay、Az，利用三個(gè)單位矢量ax、ay、az可以將矢量A表示成

A=axAx+ayAy+azAz（113）矢量A的大小為AA=(A2x+A2y+A2z)1/2（114）式中，X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z軸上矢量的代數(shù)運(yùn)算1.矢量的加法和減法任意兩個(gè)矢量A與B相加等于兩個(gè)矢量對(duì)應(yīng)分量相加，它們的和仍然為矢量，即C=A+B=ax(Ax+Bx)+ay(Ay+By)+az(Az+Bz)(115)任意兩個(gè)矢量A與B的差等于將其中的一個(gè)矢量變號(hào)后再相加，即

D=AB=A+(B)=ax(AxBx)+ay(AyBy)+az(AzBz)(116)矢量的代數(shù)運(yùn)算2.矢量的乘積矢量的乘積包括標(biāo)量積和矢量積。1）標(biāo)量積

任意兩個(gè)矢量A與B的標(biāo)量積(ScalarProduct)是一個(gè)標(biāo)量，它等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的余弦之乘積，如圖12所示，記為

A·B=ABcosθ(117)2.矢量的乘積圖1-2標(biāo)量積的圖示圖1-2標(biāo)量積的圖示例如，直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式ax·ay=ay·az=ax·az=0

ax·ax=ay·ay=az·az=1任意兩矢量的標(biāo)量積，用矢量的三個(gè)分量表示為

A·B=AxBx+AyBy+AzBz(119)

標(biāo)量積服從交換律和分配律，即

A·B=B·A(1110)A·(B+C)=A·B+A·C(1111)(1-1-8)例如，直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式(1-1-8設(shè)標(biāo)量場(chǎng)u，根據(jù)梯度的性質(zhì)標(biāo)量場(chǎng)的梯度F是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，則由斯托克斯定理知，無(wú)旋場(chǎng)沿閉合路徑的積分必然為零，即B=aρz2sinφ+aφz2cosφ+az2ρzsinφ3有一個(gè)二維矢量場(chǎng)F(r)=ax(y)+ay(x)，在矢量分析中，一個(gè)重要的定理是（1414）當(dāng)選定了直角坐標(biāo)系后，它就可以寫(xiě)成如下形式（2）A=axyz+ayxz+azxy在直角坐標(biāo)系中，可將u表示為式（129）和（1210）表明如果矢量A是在圓柱坐標(biāo)系給定的，根據(jù)式（1210）可以得到直角坐標(biāo)系的表達(dá)式；【例12】設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn)，它在空間任一點(diǎn)P(x,y,z)處所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為它們與沿各自坐標(biāo)增量之比分別為當(dāng)選定了直角坐標(biāo)系后，它就可以寫(xiě)成如下形式式中，cosα,cosβ,cosγ為l方向的方向余弦。表示一個(gè)以z軸作軸線的半徑為ρ的圓柱面，ρ的變?nèi)绻鲜降臉O限存在，則稱此極限為矢量場(chǎng)A在點(diǎn)P處的散度（Divergence），記作隨著C的取值不同，得到一系列不同的等值面，如圖118所示。2）矢量積任意兩個(gè)矢量A與B的矢量積（VectorProduct）是一個(gè)矢量，矢量積的大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積，其方向垂直于矢量A與B組成的平面，如圖13所示，記為C=A×B=anABsinθ(1112)

an=aA×aB（右手螺旋）設(shè)標(biāo)量場(chǎng)u，根據(jù)梯度的性質(zhì)標(biāo)量場(chǎng)的梯度F是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，圖1-3矢量積的圖示及右手螺旋

(a)矢量積的圖示；(b)右手螺旋圖1-3矢量積的圖示及右手螺旋矢量積又稱為叉積(CrossProduct)，如果兩個(gè)不為零的矢量的叉積等于零，則這兩個(gè)矢量必然相互平行，或者說(shuō)，兩個(gè)相互平行矢量的叉積一定等于零。矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律，即

A×B=B×A(1113)

A×(B+C)=A×B+A×C(1114)矢量積又稱為叉積(CrossPro直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式

ax×ay=az,ay×az=ax,az×ax=ayax×ax=ay×ay=az×az=0

在直角坐標(biāo)系中，矢量的叉積還可以表示為(1-1-15)

=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)(1-1-16)矢量的其他運(yùn)算詳見(jiàn)附錄一。直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式(1-1-15)=1.2圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系空間任一點(diǎn)P的位置可以用圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)變量(ρ,φ,z)來(lái)表示，如圖14所示。其中，ρ是位置矢量OP在xy面上的投影，φ是從+x軸到位置矢量OP在xy面上的投影之間的夾角，z是OP在z軸上的投影。由圖14可以看出，圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系為1.2圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系

x=ρcosφ

y=ρsinφz=z

（1-2-1）如同直角坐標(biāo)系一樣，圓柱坐標(biāo)系也具有三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)面，如圖1-5所示。

式（129）和（1210）表明如果矢量A是在圓柱坐標(biāo)系給定的，根據(jù)式（1210）可以得到直角坐標(biāo)系的表達(dá)式；1.任意兩個(gè)矢量A與B的矢量積（VectorProduct）是一個(gè)矢量，矢量積的大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積，其方向垂直于矢量A與B組成的平面，如圖13所示，記為矢量A的大小為A2圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系（1）若A·B=A·C，則是否意味著B(niǎo)總等于C呢？試討論之；A·B=ABcosθ(117)12（1）若矢量場(chǎng)A=(2+16r2)az，在半徑為2和0≤θ≤π/2的半球面上計(jì)算的值；1.任意兩個(gè)矢量A與B相加等于兩個(gè)矢量對(duì)應(yīng)分量相加，它們的和仍然為矢量，即例如，直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式由于三個(gè)面相交成直角，因此能夠建立互相垂直的坐標(biāo)軸ρ、φ和z，相應(yīng)的單位矢量為aρ、aφ和az，分別指向ρ、φ和z增加的方向。式中，cosα,cosβ,cosγ為l方向的方向余弦。1）標(biāo)量積aρ·aρ=aφ·aφ=az·az=1在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式為Q(x′,y′,z′)，求:（2）若矢量場(chǎng)A=10cos2φaz，求穿過(guò)xy平面上半徑為2的圓面的通量。C=ax(3y22x)+ay3x2+az2z圖1-4圓柱坐標(biāo)系一點(diǎn)的投影式（129）和（1210）表明如果矢量A是在圓柱坐標(biāo)系給定圖1-5圓柱坐標(biāo)系三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)圖1-5圓柱坐標(biāo)系三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)坐標(biāo)面（1-2-2）表示一個(gè)以z軸作軸線的半徑為ρ的圓柱面，ρ的變化范圍為0≤ρ<∞。坐標(biāo)面（1-2-3）坐標(biāo)面（1-2-2）表示一個(gè)以z軸作軸線的表示一個(gè)以z軸為界的半平面，φ的變化范圍為0≤φ≤2π。坐標(biāo)面

z=常數(shù)（124）

表示一個(gè)平行于xy平面的平面。z的變化范圍為∞<z<+∞。表示一個(gè)以z軸為界的半平面，φ的變化范圍為0≤φ≤由于三個(gè)面相交成直角，因此能夠建立互相垂直的坐標(biāo)軸ρ、φ和z，相應(yīng)的單位矢量為aρ、aφ和az，分別指向ρ、φ和z增加的方向。應(yīng)該指出圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)單位矢量（與直角坐標(biāo)系的不同）除az外，aρ和aφ都不是常矢量，它們的方向隨P點(diǎn)的位置不同而變化，但aρ、aφ和az三者始終保持正交關(guān)系，并遵循右手螺旋法則，即aρ×aφ=az,aφ×az=aρ,az×aρ=aφaρ×aρ=aφ×aφ=az×az=0（1-2-5）由于三個(gè)面相交成直角，因此能夠建立

aρ·aφ=aφ·az=aρ·az=0aρ·aρ=aφ·aφ=az·az=1（1-2-6）圓柱坐標(biāo)系的位置矢量r可以表示為

r=aρρ+azz（1-2-7）aρ·aφ=aφ·az=aρ·az=0（圖1-6圓柱坐標(biāo)系單位矢量的變換圖1-6圓柱坐標(biāo)系單位矢量的變換圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量aρ和aφ在單位矢量ax和ay上的投影示于圖16，顯然

aρ=axcosφ+aysinφaφ=ax(sinφ)+aycosφ（128）

圓柱坐標(biāo)系中的單位矢量aρ和aφ在圖1-2標(biāo)量積的圖示（1）A=axx3+ayy3+az(3zx)在點(diǎn)P(1,0,1)；（1）方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影，即一個(gè)大小為零的矢量稱為空矢（NullVector）或零矢（ZeroVector），一個(gè)大小為1的矢量稱為單位矢量（UnitVector）。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)一個(gè)矢量場(chǎng)的兩類源(ρ,J)在空間的分布確定時(shí)，該矢量場(chǎng)就唯一地確定了，這一規(guī)律稱為亥姆霍茲定理(HelmholtzTheorem)。2.如果S是一個(gè)閉曲面，則通過(guò)閉合曲面的總通量可表示為設(shè)有矢量場(chǎng)A，在場(chǎng)中任一點(diǎn)P處作一個(gè)包含P點(diǎn)在內(nèi)的任一閉合曲面S，設(shè)S所限定的體積為ΔV，當(dāng)體積ΔV以任意方式縮向P點(diǎn)時(shí)，取下列極限:例如，在直角坐標(biāo)系中，矢量A的三個(gè)分量分別是Ax、Ay、Az，利用三個(gè)單位矢量ax、ay、az可以將矢量A表示成1.圖1-4圓柱坐標(biāo)系一點(diǎn)的投影的坐標(biāo)面，如圖1-5所示。表示一個(gè)以z軸為界的半平面，φ的變化范圍為0≤φ≤2π。▽×A=J（154）1.求E的矢量線方程并畫(huà)出矢量線圖。（2）從六面體內(nèi)穿出的通量，并驗(yàn)證高斯散度定理。（2）該矢量沿半徑為3的四分之一圓盤(pán)的線積分，如圖117所示，驗(yàn)證斯托克斯定理。dS=ndS（136）它們與沿各自坐標(biāo)增量之比分別為然而從場(chǎng)中的給定點(diǎn)P出發(fā)，標(biāo)量場(chǎng)u在不同方向上的變化率一般說(shuō)