初等代數(shù)研究(緒言第一章數(shù))完整課件

第一部分：初等代數(shù)研究贛南師范學院數(shù)計學院曾建國2010年8月《中學數(shù)學研究》1第一部分：初等代數(shù)研究贛南師范學院數(shù)計學院曾建國《中學緒言問題：1.自然數(shù)是如何產(chǎn)生的？2.為什么1+1=2？3.為什么“負負得正”？4.什么是解析式、代數(shù)式？二者有無差別？5.兩直線平行，則同位角相等。為什么？……作為未來的中學數(shù)學教師，我們必須掌握中學課本以外的一些知識,如：①數(shù)學知識的歷史背景②對有關(guān)知識的更深層次的理解教給學生一杯水，教師必須先有一桶水！2緒言問題：教給學生一杯水，教師必須先有一桶水！2緒言§1關(guān)于代數(shù)學發(fā)展的幾個歷史觀點

0、代數(shù)學簡史代數(shù)學起源可以追溯到公元前1800年左右，代數(shù)學奠基于16世紀和17世紀初。公元820年前后時，花剌子模（穆罕默德·伊本·穆斯·阿里·花剌子模-數(shù)學家和天文學家）的著作《Kitabaljabrw’al-mugabala》，意思是“整理”和“對比”。到14世紀，aljabr演變成了algebra，這就是拉丁文的“代數(shù)學”。其中Algoritmi是花拉子模的拉丁譯名，現(xiàn)代術(shù)語“算法”（Algorithm）即源于此。1859年清代數(shù)學家李善蘭譯algebra為“代數(shù)學”。3緒言§1關(guān)于代數(shù)學發(fā)展的幾個歷史觀點0、代數(shù)學簡史3緒言§1關(guān)于代數(shù)學發(fā)展的幾個歷史觀點

0、代數(shù)學簡史

初等代數(shù)的形成高等代數(shù)的創(chuàng)建抽象代數(shù)的產(chǎn)生和深化用字母代替數(shù)、方程的出現(xiàn)《九章算術(shù)》中正負數(shù)的使用（公元1世紀）丟番圖采用符號（公元250年）~16世紀方程理論的形成（矩陣、行列式）16~18世紀近世代數(shù)研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)19世紀~至今4緒言§1關(guān)于代數(shù)學發(fā)展的幾個歷史觀點0、代數(shù)學簡史緒言§1關(guān)于代數(shù)學發(fā)展的幾個歷史觀點

一、代數(shù)學是研究字母運算的科學（~18世紀后期）

韋達是第一個系統(tǒng)使用字母，從而使符號化代數(shù)實現(xiàn)的數(shù)學家。

1768年，歐拉發(fā)表《對代數(shù)的完整的介紹》，系統(tǒng)地論述了方程理論和其它代數(shù)知識，表明初等代數(shù)已經(jīng)完全形成。認為代數(shù)學是研究字母運算的科學，這是代數(shù)學的原始觀點，這種觀點一直延續(xù)到18世紀后期。5緒言§1關(guān)于代數(shù)學發(fā)展的幾個歷史觀點一、代數(shù)學是研究二、代數(shù)學是研究方程理論的科學（18世紀后期~19世紀后期）三、代數(shù)學是研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的科學（19世紀~）§1關(guān)于代數(shù)學發(fā)展的幾個歷史觀點代數(shù)學以研究方程理論為中心，包括矩陣、行列式、二次型在內(nèi)的高等代數(shù)內(nèi)容。19世紀，在伽羅瓦群以后，代數(shù)的研究內(nèi)容從原來以研究代數(shù)方程的理論為中心，轉(zhuǎn)變到研究定義在任意性質(zhì)的元素集上的代數(shù)運算規(guī)律和性質(zhì)。緒言6二、代數(shù)學是研究方程理論的科學三、代數(shù)學是研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的第一章數(shù)§1數(shù)系的擴展§2整數(shù)的整除性7第一章數(shù)7數(shù)的概念的形成大約是在30萬年以前Ⅰ最早是手指計數(shù)。十進制、五進制多發(fā)于此Ⅱ石子計數(shù)。但計數(shù)的石子堆很難長久保存信息Ⅲ結(jié)繩計數(shù)、刻痕計數(shù)1、數(shù)的形成和發(fā)展§1數(shù)系的擴展8數(shù)的概念的形成大約是在30萬年以前Ⅰ最早是手指計數(shù)。十進制、1937年，捷克出土的幼狼脛骨上邊有55道刻痕。距今約3萬年。日本琉球群島的結(jié)繩?！?數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展臺灣高山族的結(jié)繩（現(xiàn)藏中央民族大學）中國古籍上記有伏羲“結(jié)繩而治”。91937年，捷克出土的幼狼脛骨上邊有55道刻痕。距今約3萬年一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展正整數(shù)正有理數(shù)非負有理數(shù)實數(shù)復(fù)數(shù)添負數(shù)添零添正分數(shù)有理數(shù)添無理數(shù)添虛數(shù)從歷史上看，人類對于數(shù)的認識，大體上是按照如下順序進行的:10一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展正整數(shù)正一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展以下是按時間順序列舉的世界上幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：11一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展以下是按世界上幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：12世界上幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：12世界上幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：13世界上幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：13一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展2、數(shù)的擴展方法與擴展原則不同于歷史上人們認識數(shù)的過程中數(shù)集擴充的順序，“數(shù)系”的邏輯擴展應(yīng)該如下所示的順序:數(shù)系（numbersystem）——通常是指對加法和乘法運算封閉的數(shù)集。主要有自然數(shù)系、整數(shù)系、有理數(shù)系、實數(shù)系和復(fù)數(shù)系。14一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展2、數(shù)的擴展方法與擴展原則一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展數(shù)系（集）擴充一般有兩種方法：

一是添加元素法。二是構(gòu)造法。所謂構(gòu)造法指的是先用舊數(shù)集A中的數(shù)為材料構(gòu)成一個新數(shù)集B，然后指出新數(shù)集B中某一真子集與A相等（嚴格講，是B的某個真子集與A同構(gòu)），復(fù)數(shù)系的建立就是采用這一種方法.

15一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展數(shù)系（集一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展數(shù)集擴充應(yīng)遵循的原則：從數(shù)集A擴充為數(shù)集B，必須遵循下列原則：

（1）A?B，即A是B的真子集；（2）A中已定義的元素之間的基本關(guān)系和運算，在B中也有相應(yīng)的定義，并且B中的定義，對于B的子集A中的元素來說，與原來A中的定義一致；（3）在A中不是總能施行的某種運算，在B中總能施行（在A中無解的某類方程，在集B中有解）；（4）B是滿足上述三個原則的A的所有擴充中的最小擴充.

16一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展數(shù)集擴充二、正整數(shù)理論§1數(shù)系的擴展

盡管早在30萬年以前，人們可能已經(jīng)開始形成了數(shù)的概念，但自然數(shù)理論的完善、即把自然數(shù)作為嚴格的邏輯系統(tǒng)，采用公理化的方法來研究，卻直到19世紀末才得以實現(xiàn)。17二、正整數(shù)理論§1數(shù)系的擴展盡管早在30建立自然數(shù)（正整數(shù)）理論的幾種方案①康托爾的集合論為基礎(chǔ)建立自然數(shù)基數(shù)理論②皮亞諾以公理法為基礎(chǔ)建立自然數(shù)序數(shù)理論③羅素等人試圖用純邏輯學建立自然數(shù)理論二、正整數(shù)理論§1數(shù)系的擴展18建立自然數(shù)（正整數(shù)）理論的幾種方案①康托爾的集合論為基礎(chǔ)建立§1數(shù)系的擴展二、正整數(shù)理論1、正整數(shù)的基數(shù)理論1874年康托爾創(chuàng)立了集合論，在此基礎(chǔ)上，建立起自然數(shù)（正整數(shù)）的基數(shù)理論：（1）集合等價

如果集合A和B的元素之間可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系，就稱集合A和B等價，記作A～B．集合的等價具有性質(zhì)：

①A～A（反身性）②A～B，則B～A（對稱性）③A～B，B～C，A～C（傳遞性）（小學如何教：認識“2”）19§1數(shù)系的擴展二、正整數(shù)理論1、正整數(shù)的基數(shù)理論1874§1數(shù)系的擴展（2）集合的基數(shù)（勢）彼此等價的所有集合的共同特征的標志叫做基數(shù)．（3）正整數(shù)的定義定義1.非空有限集合的基數(shù)叫做正整數(shù)。空集的基數(shù)叫做0，集合的A的基數(shù)記作|A|。1、正整數(shù)的基數(shù)理論一切正整數(shù)組成的集合，叫做正整數(shù)集，記為N*。幼兒園的小朋友如何認識“1”和“2”？老師其實就是這樣教的．20§1數(shù)系的擴展（2）集合的基數(shù)（勢）1、正整數(shù)的基數(shù)理論（4）正整數(shù)的順序定義2

設(shè)非空有限集合A和B的基數(shù)分別a和b．（1）若A～B，則稱a等于b，記作a=b（2）若A?A′～B，則稱a大于b，記作a＞b（圖示）

（3）若A～B′?B

，則稱a小于b，記作a＜b

定理1

自然數(shù)順序關(guān)系具有下列性質(zhì)：⑴設(shè)a，b∈N*當且僅當a＜b時，b＞a(對逆性)⑵設(shè)a，b∈N*若a＜b且b＜c，則a＜c(傳遞性)⑶對任意a，b∈N*，在a＜b，a=b，a＞b中有且只有一個成立（正整數(shù)的全序性（三歧性））

§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論自然數(shù)的相等關(guān)系具有反身性、對稱性、傳遞性．自然數(shù)的相等關(guān)系是一個等價關(guān)系．21（4）正整數(shù)的順序§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論自然（5）正整數(shù)的加法運算

定義3

設(shè)A和B是非空有限集，A∩B=?，

|A|=a，|B|=b，如果A∪B=C，則稱|C|=c為a與b的和，記作a+b=c．其中a，b叫做加數(shù)，求和的運算叫做加法.

定理2

自然數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律和加法單調(diào)律（1）a+b=b+a交換律（2）（a+b)+c=a+(b+c)結(jié)合律（3）a>ba+c>b+ca=ba+c=b+c加法單調(diào)律a<ba+c<b+c證明：§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論22（5）正整數(shù)的加法運算§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論（6）正整數(shù)的乘法運算定義4

設(shè)有b個互不相交的等價有限集Ai，它們的基數(shù)都等于a，即|Ai|=a(i=1,2,…，b)，A1∪

A2∪

…∪Ab

=C，則稱|C|=

c為a與b的積，記作a·b=c(或a×b=c)，其中a，b叫做乘數(shù)或因數(shù)，求積的運算叫做乘法．由定義可知：

求正整數(shù)a乘以b的積，就是求b個相同加數(shù)a的和。

定理3

自然數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律、乘法對加法的分配律和乘法單調(diào)律．

§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論23（6）正整數(shù)的乘法運算§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論設(shè)a、b、c∈N*

交換律

a·b=b·a結(jié)合律

a·(b·c)=(a·b)·c左分配律c·(a+b)=c·a+c·b右分配律(a+b)·c=a·c+b·c

乘法單調(diào)律a>b則a·c>b·ca=b則a·c=b·ca<b則a·c<b·c

24§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論設(shè)a、b、c∈（7）正整數(shù)的減法和除法定義5

設(shè)a、b∈N*

，如果存在一個正整數(shù)c，使得b+c=a，那么c叫做a與b的差，記作a-b=c。a叫做被減數(shù)，b叫做減數(shù)。求兩數(shù)差的運算叫做減法．定義6設(shè)a、b∈N*，如果存在一個正整數(shù)c，使得b·c=a，那么c叫做a除以b的商，記作a÷b=c（或a/b=c）。a叫做被除數(shù)，b叫做除數(shù)。求兩數(shù)商的運算叫做除法?！?數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論25（7）正整數(shù)的減法和除法§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理

基數(shù)理論刻畫了自然數(shù)在數(shù)量上的意義，但沒有很好地揭示自然數(shù)在順序上的意義。也沒有給出加法、乘法運算的具體方法。序數(shù)理論彌補了這一缺陷。自然數(shù)的序數(shù)理論，是意大利數(shù)學家皮亞諾在他的《算術(shù)原理新方法》（1889年）中提出的．他用公理化方法從順序著眼揭示了自然數(shù)的意義，并給出自然數(shù)加、乘運算的歸納定義.§1數(shù)系的擴展2、正整數(shù)的序數(shù)理論二、正整數(shù)理論26基數(shù)理論刻畫了自然數(shù)在數(shù)量上的意義，但?

（一）皮亞諾公理定義7

一個非空集合N*的元素叫做自然數(shù),如果N*的元素之間有一個基本關(guān)系“后繼”(b后繼于a,記為b=a′)，并滿足下列公理：（1）1∈N*。即N*中存在一個元素1；（2）?a∈N*，有a′≠1。即1不是任何元素的后繼；（3）?a∈N*，存在a′∈

N*；（4）若a′=b′（a，b∈N*），則a=b。即N*中任一元素不會是兩個不同元素的后繼?！?數(shù)系的擴展2、正整數(shù)的序數(shù)理論27?（一）皮亞諾公理§1數(shù)系的擴展2、正整數(shù)的序數(shù)理論2§1數(shù)系的擴展2、正整數(shù)的序數(shù)理論（一）皮亞諾公理（5）（歸納公理）如果M是N*的一個子集，且①1∈M；②若a∈M，則a′∈M.

那么，M=N*.有了這組公理就把正整數(shù)集里的元素完全定下來了。從1出發(fā)，記1′=2，2′=3，…，如此繼續(xù)下去，就得到正整數(shù)數(shù)列：1，2，3，4，…28§1數(shù)系的擴展2、正整數(shù)的序數(shù)理論（一）皮亞諾公理28定義8.正整數(shù)的加法是指這樣的對應(yīng)：對于每一對正整數(shù)a、b，有且僅有一個正整數(shù)（記為a+b）與之對應(yīng)，且具有下列性質(zhì)：（1）對任意a∈N*，a+1=a′，（2）對任意a、b∈N*，a+b′=（a+b）′，其中a、b稱為加數(shù)，a+b稱為a、b的和.

（二）正整數(shù)的加法2、正整數(shù)的序數(shù)理論§1數(shù)系的擴展29定義8.正整數(shù)的加法是指這樣的對應(yīng)：對于每一對正整數(shù)a、b，（三）正整數(shù)的乘法定義9正整數(shù)的乘法是指這樣的對應(yīng)：對于每一對正整數(shù)a、b，有且僅有一個正整數(shù)（記為a·b）與之對應(yīng)，且具有下述性質(zhì)：（1）a·1=a；（2）a·b′=a·b+a.這里a、b稱為乘數(shù)，a·b稱為a、b的積.2、正整數(shù)的序數(shù)理論§1數(shù)系的擴展30（三）正整數(shù)的乘法定義9正整數(shù)的乘法是指這樣的對應(yīng)：對于每（四）正整數(shù)的減法與除法的定義減法設(shè)a、b∈N*，如果存在x∈N，使b+x=a，則稱x為a減去b的差，記作a-b，a叫做被減數(shù)，b叫做減數(shù)，求兩數(shù)差的運算叫做減法.除法設(shè)a、b∈N*，如果存在x∈N*，使b?x=a，則稱x是a除以b的商，記作a/b，a叫做被除數(shù)，b叫做除數(shù)，求兩數(shù)商的運算叫做除法.2、正整數(shù)的序數(shù)理論§1數(shù)系的擴展31（四）正整數(shù)的減法與除法的定義減法設(shè)a、b∈N*，如果存（五）、正整數(shù)的順序關(guān)系定義10

設(shè)a、b∈N*，如果存在一個正整數(shù)k，使a=b+k，就說a大于b，記為a＞b；或說b小于a，記為b＜a.2、正整數(shù)的序數(shù)理論§1數(shù)系的擴展32（五）、正整數(shù)的順序關(guān)系定義10設(shè)a、b∈N*，如果存在2、正整數(shù)的序數(shù)理論根據(jù)正整數(shù)的序數(shù)理論同樣可以證明正整數(shù)的加法、乘法滿足的各種運算律。例1.設(shè)a、b、c∈N*，證明（a+b）+c=a+（b+c）.例2.設(shè)a、b、c∈N*，證明：a·b=b·a§1數(shù)系的擴展332、正整數(shù)的序數(shù)理論根據(jù)正整數(shù)的序數(shù)理論同樣可以證明正整數(shù)的性質(zhì)1

在正整數(shù)集中，消去律成立.即（1）若a+c=b+c，則a=b；（2）若a·c=b·c，則a=b.性質(zhì)2

在正整數(shù)集N*中，1是最小數(shù)，即對于任何正整數(shù)a，a≥1.3、正整數(shù)的性質(zhì)§1數(shù)系的擴展34性質(zhì)1在正整數(shù)集中，消去律成立.即3、正整數(shù)的性質(zhì)§1性質(zhì)3（正整數(shù)的離散性）任兩個相鄰的正整數(shù)a與a′之間，不存在正整數(shù)b，使得a′＞b＞a.性質(zhì)4（阿基米德性質(zhì)）對任意正整數(shù)a、b，必有正整數(shù)n，使na＞b.

3、正整數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)5（最小數(shù)原理）N*的任何一個非空子集必有最小數(shù).§1數(shù)系的擴展35性質(zhì)3（正整數(shù)的離散性）任兩個相鄰的正整數(shù)a與a′之間，不存（1）、第一數(shù)學歸納法設(shè)f（n）是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果1°f（l）成立；2°若f（k）成立，則f（k′）成立.

那么，f（n）對一切正整數(shù)n都成立.4、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展36（1）、第一數(shù)學歸納法設(shè)f（n）是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題設(shè)f（n）是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果

1°f（1）成立；

2°假設(shè)f（m）對所有m<k（k＞1）的正整數(shù)m都成立，那么，f（k）也成立.那么，f（n）對一切正整數(shù)n都成立.（2）、第二數(shù)學歸納法4、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展37設(shè)f（n）是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果（2）、4、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展384、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展384、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展394、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展394、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展404、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展404、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展414、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展41{0}與正整數(shù)集的并集，叫做自然數(shù)集，記作N。5、自然數(shù)集§1數(shù)系的擴展在N中，關(guān)于順序和四則運算須作補充定義：（1）0小于任何正整數(shù)；（2）0+a=a+0=a(a∈N）；（3）a·0=0·a=0(a∈N）.§1作業(yè)：42{0}與正整數(shù)集的并集，叫做自然數(shù)集，記作N。5、自然數(shù)集§三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展為解決算術(shù)數(shù)集（非負有理數(shù)）對于減法不封閉（方程a+x=0不是總有解）這一矛盾，作如下引入一種新數(shù)的嘗試——引入“負數(shù)”：設(shè)a為非負有理數(shù)，方程a+x=0的解表示為x=0-a，簡記為x=-a。當a>0時，稱-a為“負數(shù)”，即

a+(-a)=0(a>0）；

1、負數(shù)的引入43三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展為解決算術(shù)三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展（1）加法運算（2）乘法運算“負負得正”的一種解釋——（3）順序關(guān)系

1、負數(shù)的引入44三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展（1）加法運算1、負數(shù)三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展根據(jù)上面的嘗試、采用上述添元素法的設(shè)想可行，以下按照公理化方法給出有理數(shù)的概念。

2、有理數(shù)的概念3、有理數(shù)的順序4、有理數(shù)的運算45三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展根據(jù)上面的嘗試、采用上三、有理數(shù)集及其性質(zhì)5、有理數(shù)的性質(zhì)46三、有理數(shù)集及其性質(zhì)5、有理數(shù)的性質(zhì)46三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展數(shù)系——對某種運算封閉的數(shù)集。數(shù)環(huán)——至少含有一個數(shù)的數(shù)集，對加法、減法、乘法封閉的數(shù)系。數(shù)域——對除法封閉的數(shù)環(huán)。即對加減乘除運算都封閉的數(shù)系。47三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展數(shù)系——對某種運算封閉三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展性質(zhì)1：有理數(shù)集是數(shù)域，且是最小的數(shù)域。注：Q、R、C都是數(shù)域。性質(zhì)2：有理數(shù)域是一個有序域。性質(zhì)3：對于a、b∈Q，有

（1）a>b?a-b>0；（2）a=b?a-b=0；（3）a<b?a-b<0.48三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展性質(zhì)1：有理數(shù)集是數(shù)域三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展性質(zhì)4（阿基米德性質(zhì)）：對于兩個正有理數(shù)a，b，存在一個正整數(shù)n，使得na>b。性質(zhì)5（有理數(shù)的稠密性）：在任意兩個相異的有理數(shù)之間，總存在無限多個有理數(shù)。性質(zhì)6：有理數(shù)集是一個可數(shù)集.可數(shù)集——可與正整數(shù)列“1，2，3，…”建立一一對應(yīng)的集合。49三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展性質(zhì)4（阿基米德性質(zhì)）四、實數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展性質(zhì)1：實數(shù)集是一個數(shù)域。性質(zhì)2：實數(shù)集是有序域。性質(zhì)3：（阿基米德性質(zhì)）：對于兩個正實數(shù)a，b，存在一個正整數(shù)n，使得na>b。性質(zhì)4：實數(shù)集具有稠密性。性質(zhì)5：實數(shù)集具有連續(xù)性。性質(zhì)6：實數(shù)集是不可數(shù)集.50四、實數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展性質(zhì)1：實數(shù)集是一個數(shù)域四、復(fù)數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展性質(zhì)1：復(fù)數(shù)集是一個數(shù)域。性質(zhì)2：復(fù)數(shù)集不是有序域。性質(zhì)3：復(fù)數(shù)集內(nèi)，開n次方運算總是可實施的，任何非零復(fù)數(shù)有n個不相等的n次方根。性質(zhì)4：復(fù)數(shù)集具有稠密性。復(fù)平面上任一區(qū)域里，都有無限多個復(fù)數(shù)。性質(zhì)5：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的分布是連續(xù)的。51四、復(fù)數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展性質(zhì)1：復(fù)數(shù)集是一個數(shù)域韋達（1540-1603）

法國數(shù)學家，年青時學習法律當過律師，后從事政治活動，當過議會議員，在西班牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍密碼。韋達還致力于數(shù)學研究，第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的多種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與分數(shù)的關(guān)系，韋達在歐洲被尊稱為“代數(shù)學之父”。1579年，韋達出版《應(yīng)用于三角形的數(shù)學定律》。/ency/people/017.htm52韋達（1540-1603）用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘/ency/people/014.htm歐拉(Euler，1707－1783)，瑞士數(shù)學家及自然科學家53/ency/peo康托爾簡介康托爾，德國人。1846年3月3日出生于俄國彼得堡?？低袪栐群缶蛯W于蘇黎世大學、哥廷根大學、法蘭克福大學和柏林大學，主要學習數(shù)學、物理、哲學等課程。1867年獲得柏林大學的哲學博士學位。康托爾是集合論的創(chuàng)始人。為了將有窮集合的元素個數(shù)的概念推廣到無窮集合，他以一一對應(yīng)為原則，提出了集合等價的概念?？低袪栐谏钊胙芯考系膭葸@個概念時，引進了基數(shù)與序數(shù)的理論。54康托爾簡介康托爾，德國人。1846年3月3日出54A～B′?B則

a＜bA?A′～B則a＞b55A～B′?B則a＜b作業(yè)習題一、3.（1）、（2）4.（1）56作業(yè)56§2整數(shù)的整除性一．整數(shù)的整除性的概念、性質(zhì)1.整除的定義：對于兩個整數(shù)a、b(b≠0），若存在一個整數(shù)q，使得a=bq①成立，則稱b整除a，或a被b整除，記作b|a。a叫做b的倍數(shù)，b叫做a的約數(shù)（因數(shù)）。若滿足①的整數(shù)q不存在，就稱a不能被b整除，或b不能整除a，記作b

?a，如2|6，4?

6。57§2整數(shù)的整除性一．整數(shù)的整除性的概念、性質(zhì)若§2整數(shù)的整除性2.性質(zhì)性質(zhì)1若b|a?b除a的余數(shù)為0。性質(zhì)2若a|b，b|a，則|a|=|b|。性質(zhì)3若c|b，b|a，則c|a。（傳遞性）性質(zhì)4

若m|a，m|b，則m|（ka+lb），其中k、l為任意整數(shù)。

推論1

若m|ai（i=1,2,…,n），則m|∑kiai。

推論2

等式中除某一項外，其他所有項都能被m整除，則這一項也能被m整除。性質(zhì)5

若m為質(zhì)數(shù)，且m|ab

，則m|a，或m|b。58§2整數(shù)的整除性58§2整數(shù)的整除性二、素數(shù)與合數(shù)定義：一個大于1的數(shù)，如果它的正因數(shù)只有1和它本身，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)），否則叫做合數(shù)。三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)定理18：若(a,b)=d，則必存在整數(shù)x，y，使ax+by=d推論

若(a,b)=1，則必存在整數(shù)x，y，使ax+by=1.反之也成立，即有(a,b)=1?存在整數(shù)x，y，使ax+by=1.定理19

若a|bm，且（a，b）=1，則a|m；推論

若a|m，b|m，且（a，b）=1，則ab|m；59§2整數(shù)的整除性二、素數(shù)與合數(shù)59§2整數(shù)的整除性習題:P7230~34;38,3934.設(shè)p是大于3的素數(shù)，求證：24|（p2-1)整除的性質(zhì)：若a|m，b|m，且（a，b）=1，則ab|m；60§2整數(shù)的整除性習題:P7260§2整數(shù)的整除性六、同余61§2整數(shù)的整除性六、同余61§2整數(shù)的整除性六、同余62§2整數(shù)的整除性六、同余62§2整數(shù)的整除性六、同余63§2整數(shù)的整除性六、同余63§2整數(shù)的整除性六、同余64§2整數(shù)的整除性六、同余64§2整數(shù)的整除性六、同余例.今天是星期四，則101000天后是星期幾？習題:P7344.求證：5353-3333能被10整除。65§2整數(shù)的整除性六、同余例.今天是星期四，則101000作業(yè)習題：P73第34題

66作業(yè)66第一部分：初等代數(shù)研究贛南師范學院數(shù)計學院曾建國2010年8月《中學數(shù)學研究》67第一部分：初等代數(shù)研究贛南師范學院數(shù)計學院曾建國《中學緒言問題：1.自然數(shù)是如何產(chǎn)生的？2.為什么1+1=2？3.為什么“負負得正”？4.什么是解析式、代數(shù)式？二者有無差別？5.兩直線平行，則同位角相等。為什么？……作為未來的中學數(shù)學教師，我們必須掌握中學課本以外的一些知識,如：①數(shù)學知識的歷史背景②對有關(guān)知識的更深層次的理解教給學生一杯水，教師必須先有一桶水！68緒言問題：教給學生一杯水，教師必須先有一桶水！2緒言§1關(guān)于代數(shù)學發(fā)展的幾個歷史觀點

0、代數(shù)學簡史代數(shù)學起源可以追溯到公元前1800年左右，代數(shù)學奠基于16世紀和17世紀初。公元820年前后時，花剌子模（穆罕默德·伊本·穆斯·阿里·花剌子模-數(shù)學家和天文學家）的著作《Kitabaljabrw’al-mugabala》，意思是“整理”和“對比”。到14世紀，aljabr演變成了algebra，這就是拉丁文的“代數(shù)學”。其中Algoritmi是花拉子模的拉丁譯名，現(xiàn)代術(shù)語“算法”（Algorithm）即源于此。1859年清代數(shù)學家李善蘭譯algebra為“代數(shù)學”。69緒言§1關(guān)于代數(shù)學發(fā)展的幾個歷史觀點0、代數(shù)學簡史3緒言§1關(guān)于代數(shù)學發(fā)展的幾個歷史觀點

0、代數(shù)學簡史

初等代數(shù)的形成高等代數(shù)的創(chuàng)建抽象代數(shù)的產(chǎn)生和深化用字母代替數(shù)、方程的出現(xiàn)《九章算術(shù)》中正負數(shù)的使用（公元1世紀）丟番圖采用符號（公元250年）~16世紀方程理論的形成（矩陣、行列式）16~18世紀近世代數(shù)研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)19世紀~至今70緒言§1關(guān)于代數(shù)學發(fā)展的幾個歷史觀點0、代數(shù)學簡史緒言§1關(guān)于代數(shù)學發(fā)展的幾個歷史觀點

一、代數(shù)學是研究字母運算的科學（~18世紀后期）

韋達是第一個系統(tǒng)使用字母，從而使符號化代數(shù)實現(xiàn)的數(shù)學家。

1768年，歐拉發(fā)表《對代數(shù)的完整的介紹》，系統(tǒng)地論述了方程理論和其它代數(shù)知識，表明初等代數(shù)已經(jīng)完全形成。認為代數(shù)學是研究字母運算的科學，這是代數(shù)學的原始觀點，這種觀點一直延續(xù)到18世紀后期。71緒言§1關(guān)于代數(shù)學發(fā)展的幾個歷史觀點一、代數(shù)學是研究二、代數(shù)學是研究方程理論的科學（18世紀后期~19世紀后期）三、代數(shù)學是研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的科學（19世紀~）§1關(guān)于代數(shù)學發(fā)展的幾個歷史觀點代數(shù)學以研究方程理論為中心，包括矩陣、行列式、二次型在內(nèi)的高等代數(shù)內(nèi)容。19世紀，在伽羅瓦群以后，代數(shù)的研究內(nèi)容從原來以研究代數(shù)方程的理論為中心，轉(zhuǎn)變到研究定義在任意性質(zhì)的元素集上的代數(shù)運算規(guī)律和性質(zhì)。緒言72二、代數(shù)學是研究方程理論的科學三、代數(shù)學是研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的第一章數(shù)§1數(shù)系的擴展§2整數(shù)的整除性73第一章數(shù)7數(shù)的概念的形成大約是在30萬年以前Ⅰ最早是手指計數(shù)。十進制、五進制多發(fā)于此Ⅱ石子計數(shù)。但計數(shù)的石子堆很難長久保存信息Ⅲ結(jié)繩計數(shù)、刻痕計數(shù)1、數(shù)的形成和發(fā)展§1數(shù)系的擴展74數(shù)的概念的形成大約是在30萬年以前Ⅰ最早是手指計數(shù)。十進制、1937年，捷克出土的幼狼脛骨上邊有55道刻痕。距今約3萬年。日本琉球群島的結(jié)繩?！?數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展臺灣高山族的結(jié)繩（現(xiàn)藏中央民族大學）中國古籍上記有伏羲“結(jié)繩而治”。751937年，捷克出土的幼狼脛骨上邊有55道刻痕。距今約3萬年一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展正整數(shù)正有理數(shù)非負有理數(shù)實數(shù)復(fù)數(shù)添負數(shù)添零添正分數(shù)有理數(shù)添無理數(shù)添虛數(shù)從歷史上看，人類對于數(shù)的認識，大體上是按照如下順序進行的:76一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展正整數(shù)正一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展以下是按時間順序列舉的世界上幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：77一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展以下是按世界上幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：78世界上幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：12世界上幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：79世界上幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：13一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展2、數(shù)的擴展方法與擴展原則不同于歷史上人們認識數(shù)的過程中數(shù)集擴充的順序，“數(shù)系”的邏輯擴展應(yīng)該如下所示的順序:數(shù)系（numbersystem）——通常是指對加法和乘法運算封閉的數(shù)集。主要有自然數(shù)系、整數(shù)系、有理數(shù)系、實數(shù)系和復(fù)數(shù)系。80一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展2、數(shù)的擴展方法與擴展原則一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展數(shù)系（集）擴充一般有兩種方法：

一是添加元素法。二是構(gòu)造法。所謂構(gòu)造法指的是先用舊數(shù)集A中的數(shù)為材料構(gòu)成一個新數(shù)集B，然后指出新數(shù)集B中某一真子集與A相等（嚴格講，是B的某個真子集與A同構(gòu)），復(fù)數(shù)系的建立就是采用這一種方法.

81一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展數(shù)系（集一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展數(shù)集擴充應(yīng)遵循的原則：從數(shù)集A擴充為數(shù)集B，必須遵循下列原則：

（1）A?B，即A是B的真子集；（2）A中已定義的元素之間的基本關(guān)系和運算，在B中也有相應(yīng)的定義，并且B中的定義，對于B的子集A中的元素來說，與原來A中的定義一致；（3）在A中不是總能施行的某種運算，在B中總能施行（在A中無解的某類方程，在集B中有解）；（4）B是滿足上述三個原則的A的所有擴充中的最小擴充.

82一、數(shù)的發(fā)展簡史§1數(shù)系的擴展1、數(shù)的形成和發(fā)展數(shù)集擴充二、正整數(shù)理論§1數(shù)系的擴展

盡管早在30萬年以前，人們可能已經(jīng)開始形成了數(shù)的概念，但自然數(shù)理論的完善、即把自然數(shù)作為嚴格的邏輯系統(tǒng)，采用公理化的方法來研究，卻直到19世紀末才得以實現(xiàn)。83二、正整數(shù)理論§1數(shù)系的擴展盡管早在30建立自然數(shù)（正整數(shù)）理論的幾種方案①康托爾的集合論為基礎(chǔ)建立自然數(shù)基數(shù)理論②皮亞諾以公理法為基礎(chǔ)建立自然數(shù)序數(shù)理論③羅素等人試圖用純邏輯學建立自然數(shù)理論二、正整數(shù)理論§1數(shù)系的擴展84建立自然數(shù)（正整數(shù)）理論的幾種方案①康托爾的集合論為基礎(chǔ)建立§1數(shù)系的擴展二、正整數(shù)理論1、正整數(shù)的基數(shù)理論1874年康托爾創(chuàng)立了集合論，在此基礎(chǔ)上，建立起自然數(shù)（正整數(shù)）的基數(shù)理論：（1）集合等價

如果集合A和B的元素之間可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系，就稱集合A和B等價，記作A～B．集合的等價具有性質(zhì)：

①A～A（反身性）②A～B，則B～A（對稱性）③A～B，B～C，A～C（傳遞性）（小學如何教：認識“2”）85§1數(shù)系的擴展二、正整數(shù)理論1、正整數(shù)的基數(shù)理論1874§1數(shù)系的擴展（2）集合的基數(shù)（勢）彼此等價的所有集合的共同特征的標志叫做基數(shù)．（3）正整數(shù)的定義定義1.非空有限集合的基數(shù)叫做正整數(shù)。空集的基數(shù)叫做0，集合的A的基數(shù)記作|A|。1、正整數(shù)的基數(shù)理論一切正整數(shù)組成的集合，叫做正整數(shù)集，記為N*。幼兒園的小朋友如何認識“1”和“2”？老師其實就是這樣教的．86§1數(shù)系的擴展（2）集合的基數(shù)（勢）1、正整數(shù)的基數(shù)理論（4）正整數(shù)的順序定義2

設(shè)非空有限集合A和B的基數(shù)分別a和b．（1）若A～B，則稱a等于b，記作a=b（2）若A?A′～B，則稱a大于b，記作a＞b（圖示）

（3）若A～B′?B

，則稱a小于b，記作a＜b

定理1

自然數(shù)順序關(guān)系具有下列性質(zhì)：⑴設(shè)a，b∈N*當且僅當a＜b時，b＞a(對逆性)⑵設(shè)a，b∈N*若a＜b且b＜c，則a＜c(傳遞性)⑶對任意a，b∈N*，在a＜b，a=b，a＞b中有且只有一個成立（正整數(shù)的全序性（三歧性））

§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論自然數(shù)的相等關(guān)系具有反身性、對稱性、傳遞性．自然數(shù)的相等關(guān)系是一個等價關(guān)系．87（4）正整數(shù)的順序§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論自然（5）正整數(shù)的加法運算

定義3

設(shè)A和B是非空有限集，A∩B=?，

|A|=a，|B|=b，如果A∪B=C，則稱|C|=c為a與b的和，記作a+b=c．其中a，b叫做加數(shù)，求和的運算叫做加法.

定理2

自然數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律和加法單調(diào)律（1）a+b=b+a交換律（2）（a+b)+c=a+(b+c)結(jié)合律（3）a>ba+c>b+ca=ba+c=b+c加法單調(diào)律a<ba+c<b+c證明：§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論88（5）正整數(shù)的加法運算§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論（6）正整數(shù)的乘法運算定義4

設(shè)有b個互不相交的等價有限集Ai，它們的基數(shù)都等于a，即|Ai|=a(i=1,2,…，b)，A1∪

A2∪

…∪Ab

=C，則稱|C|=

c為a與b的積，記作a·b=c(或a×b=c)，其中a，b叫做乘數(shù)或因數(shù)，求積的運算叫做乘法．由定義可知：

求正整數(shù)a乘以b的積，就是求b個相同加數(shù)a的和。

定理3

自然數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律、乘法對加法的分配律和乘法單調(diào)律．

§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論89（6）正整數(shù)的乘法運算§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論設(shè)a、b、c∈N*

交換律

a·b=b·a結(jié)合律

a·(b·c)=(a·b)·c左分配律c·(a+b)=c·a+c·b右分配律(a+b)·c=a·c+b·c

乘法單調(diào)律a>b則a·c>b·ca=b則a·c=b·ca<b則a·c<b·c

90§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論設(shè)a、b、c∈（7）正整數(shù)的減法和除法定義5

設(shè)a、b∈N*

，如果存在一個正整數(shù)c，使得b+c=a，那么c叫做a與b的差，記作a-b=c。a叫做被減數(shù)，b叫做減數(shù)。求兩數(shù)差的運算叫做減法．定義6設(shè)a、b∈N*，如果存在一個正整數(shù)c，使得b·c=a，那么c叫做a除以b的商，記作a÷b=c（或a/b=c）。a叫做被除數(shù)，b叫做除數(shù)。求兩數(shù)商的運算叫做除法。§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理論91（7）正整數(shù)的減法和除法§1數(shù)系的擴展1、正整數(shù)的基數(shù)理

基數(shù)理論刻畫了自然數(shù)在數(shù)量上的意義，但沒有很好地揭示自然數(shù)在順序上的意義。也沒有給出加法、乘法運算的具體方法。序數(shù)理論彌補了這一缺陷。自然數(shù)的序數(shù)理論，是意大利數(shù)學家皮亞諾在他的《算術(shù)原理新方法》（1889年）中提出的．他用公理化方法從順序著眼揭示了自然數(shù)的意義，并給出自然數(shù)加、乘運算的歸納定義.§1數(shù)系的擴展2、正整數(shù)的序數(shù)理論二、正整數(shù)理論92基數(shù)理論刻畫了自然數(shù)在數(shù)量上的意義，但?

（一）皮亞諾公理定義7

一個非空集合N*的元素叫做自然數(shù),如果N*的元素之間有一個基本關(guān)系“后繼”(b后繼于a,記為b=a′)，并滿足下列公理：（1）1∈N*。即N*中存在一個元素1；（2）?a∈N*，有a′≠1。即1不是任何元素的后繼；（3）?a∈N*，存在a′∈

N*；（4）若a′=b′（a，b∈N*），則a=b。即N*中任一元素不會是兩個不同元素的后繼?！?數(shù)系的擴展2、正整數(shù)的序數(shù)理論93?（一）皮亞諾公理§1數(shù)系的擴展2、正整數(shù)的序數(shù)理論2§1數(shù)系的擴展2、正整數(shù)的序數(shù)理論（一）皮亞諾公理（5）（歸納公理）如果M是N*的一個子集，且①1∈M；②若a∈M，則a′∈M.

那么，M=N*.有了這組公理就把正整數(shù)集里的元素完全定下來了。從1出發(fā)，記1′=2，2′=3，…，如此繼續(xù)下去，就得到正整數(shù)數(shù)列：1，2，3，4，…94§1數(shù)系的擴展2、正整數(shù)的序數(shù)理論（一）皮亞諾公理28定義8.正整數(shù)的加法是指這樣的對應(yīng)：對于每一對正整數(shù)a、b，有且僅有一個正整數(shù)（記為a+b）與之對應(yīng)，且具有下列性質(zhì)：（1）對任意a∈N*，a+1=a′，（2）對任意a、b∈N*，a+b′=（a+b）′，其中a、b稱為加數(shù)，a+b稱為a、b的和.

（二）正整數(shù)的加法2、正整數(shù)的序數(shù)理論§1數(shù)系的擴展95定義8.正整數(shù)的加法是指這樣的對應(yīng)：對于每一對正整數(shù)a、b，（三）正整數(shù)的乘法定義9正整數(shù)的乘法是指這樣的對應(yīng)：對于每一對正整數(shù)a、b，有且僅有一個正整數(shù)（記為a·b）與之對應(yīng)，且具有下述性質(zhì)：（1）a·1=a；（2）a·b′=a·b+a.這里a、b稱為乘數(shù)，a·b稱為a、b的積.2、正整數(shù)的序數(shù)理論§1數(shù)系的擴展96（三）正整數(shù)的乘法定義9正整數(shù)的乘法是指這樣的對應(yīng)：對于每（四）正整數(shù)的減法與除法的定義減法設(shè)a、b∈N*，如果存在x∈N，使b+x=a，則稱x為a減去b的差，記作a-b，a叫做被減數(shù)，b叫做減數(shù)，求兩數(shù)差的運算叫做減法.除法設(shè)a、b∈N*，如果存在x∈N*，使b?x=a，則稱x是a除以b的商，記作a/b，a叫做被除數(shù)，b叫做除數(shù)，求兩數(shù)商的運算叫做除法.2、正整數(shù)的序數(shù)理論§1數(shù)系的擴展97（四）正整數(shù)的減法與除法的定義減法設(shè)a、b∈N*，如果存（五）、正整數(shù)的順序關(guān)系定義10

設(shè)a、b∈N*，如果存在一個正整數(shù)k，使a=b+k，就說a大于b，記為a＞b；或說b小于a，記為b＜a.2、正整數(shù)的序數(shù)理論§1數(shù)系的擴展98（五）、正整數(shù)的順序關(guān)系定義10設(shè)a、b∈N*，如果存在2、正整數(shù)的序數(shù)理論根據(jù)正整數(shù)的序數(shù)理論同樣可以證明正整數(shù)的加法、乘法滿足的各種運算律。例1.設(shè)a、b、c∈N*，證明（a+b）+c=a+（b+c）.例2.設(shè)a、b、c∈N*，證明：a·b=b·a§1數(shù)系的擴展992、正整數(shù)的序數(shù)理論根據(jù)正整數(shù)的序數(shù)理論同樣可以證明正整數(shù)的性質(zhì)1

在正整數(shù)集中，消去律成立.即（1）若a+c=b+c，則a=b；（2）若a·c=b·c，則a=b.性質(zhì)2

在正整數(shù)集N*中，1是最小數(shù)，即對于任何正整數(shù)a，a≥1.3、正整數(shù)的性質(zhì)§1數(shù)系的擴展100性質(zhì)1在正整數(shù)集中，消去律成立.即3、正整數(shù)的性質(zhì)§1性質(zhì)3（正整數(shù)的離散性）任兩個相鄰的正整數(shù)a與a′之間，不存在正整數(shù)b，使得a′＞b＞a.性質(zhì)4（阿基米德性質(zhì)）對任意正整數(shù)a、b，必有正整數(shù)n，使na＞b.

3、正整數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)5（最小數(shù)原理）N*的任何一個非空子集必有最小數(shù).§1數(shù)系的擴展101性質(zhì)3（正整數(shù)的離散性）任兩個相鄰的正整數(shù)a與a′之間，不存（1）、第一數(shù)學歸納法設(shè)f（n）是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果1°f（l）成立；2°若f（k）成立，則f（k′）成立.

那么，f（n）對一切正整數(shù)n都成立.4、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展102（1）、第一數(shù)學歸納法設(shè)f（n）是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題設(shè)f（n）是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果

1°f（1）成立；

2°假設(shè)f（m）對所有m<k（k＞1）的正整數(shù)m都成立，那么，f（k）也成立.那么，f（n）對一切正整數(shù)n都成立.（2）、第二數(shù)學歸納法4、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展103設(shè)f（n）是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果（2）、4、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展1044、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展384、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展1054、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展394、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展1064、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展404、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展1074、數(shù)學歸納法§1數(shù)系的擴展41{0}與正整數(shù)集的并集，叫做自然數(shù)集，記作N。5、自然數(shù)集§1數(shù)系的擴展在N中，關(guān)于順序和四則運算須作補充定義：（1）0小于任何正整數(shù)；（2）0+a=a+0=a(a∈N）；（3）a·0=0·a=0(a∈N）.§1作業(yè)：108{0}與正整數(shù)集的并集，叫做自然數(shù)集，記作N。5、自然數(shù)集§三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展為解決算術(shù)數(shù)集（非負有理數(shù)）對于減法不封閉（方程a+x=0不是總有解）這一矛盾，作如下引入一種新數(shù)的嘗試——引入“負數(shù)”：設(shè)a為非負有理數(shù)，方程a+x=0的解表示為x=0-a，簡記為x=-a。當a>0時，稱-a為“負數(shù)”，即

a+(-a)=0(a>0）；

1、負數(shù)的引入109三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展為解決算術(shù)三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展（1）加法運算（2）乘法運算“負負得正”的一種解釋——（3）順序關(guān)系

1、負數(shù)的引入110三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展（1）加法運算1、負數(shù)三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展根據(jù)上面的嘗試、采用上述添元素法的設(shè)想可行，以下按照公理化方法給出有理數(shù)的概念。

2、有理數(shù)的概念3、有理數(shù)的順序4、有理數(shù)的運算111三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展根據(jù)上面的嘗試、采用上三、有理數(shù)集及其性質(zhì)5、有理數(shù)的性質(zhì)112三、有理數(shù)集及其性質(zhì)5、有理數(shù)的性質(zhì)46三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展數(shù)系——對某種運算封閉的數(shù)集。數(shù)環(huán)——至少含有一個數(shù)的數(shù)集，對加法、減法、乘法封閉的數(shù)系。數(shù)域——對除法封閉的數(shù)環(huán)。即對加減乘除運算都封閉的數(shù)系。113三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展數(shù)系——對某種運算封閉三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展性質(zhì)1：有理數(shù)集是數(shù)域，且是最小的數(shù)域。注：Q、R、C都是數(shù)域。性質(zhì)2：有理數(shù)域是一個有序域。性質(zhì)3：對于a、b∈Q，有

（1）a>b?a-b>0；（2）a=b?a-b=0；（3）a<b?a-b<0.114三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展性質(zhì)1：有理數(shù)集是數(shù)域三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展性質(zhì)4（阿基米德性質(zhì)）：對于兩個正有理數(shù)a，b，存在一個正整數(shù)n，使得na>b。性質(zhì)5（有理數(shù)的稠密性）：在任意兩個相異的有理數(shù)之間，總存在無限多個有理數(shù)。性質(zhì)6：有理數(shù)集是一個可數(shù)集.可數(shù)集——可與正整數(shù)列“1，2，3，…”建立一一對應(yīng)的集合。115三、有理數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展性質(zhì)4（阿基米德性質(zhì)）四、實數(shù)集及其性質(zhì)§1數(shù)系的擴展性質(zhì)1：實數(shù)集是一個數(shù)域。性質(zhì)2：實數(shù)集是有序域。性質(zhì)3：（阿基米德性質(zhì)）：對于兩個正實數(shù)a，b，存在一個正整數(shù)n，使得na>b。性質(zhì)4：實數(shù)集具有稠密性。性質(zhì)5：實數(shù)集具有連續(xù)性。性質(zhì)6