高中物理奧林匹克競賽專題9.平衡態(tài)習(xí)題思考題

7/77/77/7習(xí)題9-1.在容積V=3L的容器中盛有理想氣體,氣體密度為=1.3g/L。容器與大氣相通排出一局部氣體后,氣壓下降了0.78atm。假設(shè)溫度不變,求排出氣體的質(zhì)量。解：根據(jù)題意,可得：,所以當(dāng)溫度不變時,氣體的壓強(qiáng)和密度成正比,初始密度為1.3g/L,后來的密度為：那么排除的氣體的質(zhì)量為：大氣壓為1atm,容器與大氣相通即=1atm,也就是=1+0.78=1.78atm9-2.有一截面均勻的封閉圓筒,中間被一光滑的活塞分割成兩邊。如果其中的一邊裝有0.1kg某一溫度的氫氣,為了使活塞停留在圓筒的正中央,那么另一邊裝入的同一溫度的氧氣質(zhì)量為多少？解：根據(jù)題意,溫度相同的兩個氣體,活塞停留在圓筒的正中央,那么兩邊的體積和壓強(qiáng)相同,又：所以兩個氣體摩爾數(shù)相同,可得：,代入數(shù)據(jù)：,所以：=1.6kg9-3.如下圖,兩容器的體積相同,裝有相同質(zhì)量的氮氣和氧氣。用一內(nèi)壁光滑的水平細(xì)玻璃管相通,管的正中間有一小滴水銀。要保持水銀滴在管的正中間,并維持氧氣溫度比氮氣溫度高30oC,那么氮氣的溫度應(yīng)是多少？解：根據(jù)題意,水銀滴停留在管的正中央,那么兩邊的體積和壓強(qiáng)相同,又：,所以,可得到：T1=210K。9-4.高壓氧瓶：,,每天用,,為保證瓶內(nèi),能用幾天？解：根據(jù)題意,可得：9-5.如圖,長金屬管下端封閉,上端開口,置于壓強(qiáng)為的大氣中。在封閉端加熱達(dá),另一端保持,設(shè)溫度沿管長均勻變化?，F(xiàn)封閉開口端,并使管子冷卻到,求管內(nèi)壓強(qiáng)。解：根據(jù)題意管子一端,另一端保持,所以函數(shù)其中。當(dāng)封閉開口端,并使管子冷卻到時,兩式相等,所以9-6.氫分子的質(zhì)量為,如果每秒有個氫分子沿著與容器器壁的法線成角的方向以的速率撞擊在面積上(碰撞是完全彈性的),那么器壁所承受的壓強(qiáng)為多少？解：根據(jù)氣體壓強(qiáng)公式：9-7.一容器內(nèi)儲有氧氣,其壓強(qiáng)p=1.0atm,溫度T=300K,求容器內(nèi)氧氣的〔1〕分子數(shù)密度；〔2〕分子間的平均距離；〔3〕分子的平均平動動能；〔4〕分子的方均根速度。解：(1)由氣體狀態(tài)方程p=nkT得n=p/(kT)=(1×1.013×10５)/(1.38×10-23×300)=2.45×1025(2)分子間的平均距離可近似計算(3)分子的平均平動動能=(3/2)kT=(3/2)×1.38×10-23×300=6.21×10-21J(4)方均根速度9-8.在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下,假設(shè)氧氣(視為剛性雙原子分子的理想氣體)和氦氣的體積比,那么其內(nèi)能之比為多少？解：根據(jù),可得：,那么內(nèi)能之比為：9-9.水蒸氣分解為同溫度的氫氣和氧氣,即H2O→H2→+0.5O2,內(nèi)能增加了多少？解：水蒸氣分解后,一份的三原子的內(nèi)能變成了1.5份的雙原子的內(nèi)能,所以內(nèi)能的變化為：9-10.體積為20L的鋼瓶中盛有氧氣〔視為剛性雙原子氣體〕,使用一段時間后,測得瓶中氣體的壓強(qiáng)為2atm,此時氧氣的內(nèi)能為多少？解：由理想氣體狀態(tài)方程：,以及雙原子氣體內(nèi)能公式：可得到：9-11.某種理想氣體,其分子方均根率為400m/s,當(dāng)起壓強(qiáng)為1atm時,求氣體的密度。解：由氣體方程：可得到：所以：9-12.容器的體積為2V0,絕熱板C將其隔為體積相等的A、B兩個局部,A內(nèi)儲有1mol單原子理想氣體,B內(nèi)儲有2mol雙原子理想氣體,A、B兩局部的壓強(qiáng)均為p0?！?〕求A、B兩局部氣體各自的內(nèi)能；〔2〕現(xiàn)抽出絕熱板C,求兩種氣體混合后到達(dá)平衡時的壓強(qiáng)和溫度。解：〔1〕由理想氣體內(nèi)能公式：A中氣體為1mol單原子理想氣體：B中氣體為2mol雙原子理想氣體：〔2〕混合前總內(nèi)能由于所以混合后,溫度為,內(nèi)能不變9-13.金屬導(dǎo)體中的電子,在金屬內(nèi)部作無規(guī)那么運動〔與容器中的氣體分子類似〕,設(shè)金屬中共有大速率電子速率在之間的概率為：式中為常數(shù)．那么電子的平均速率為多少？答：9-14.大量粒子〔個〕的速率分布函數(shù)圖象如下圖,試求：〔1〕速率小于的分子數(shù)約為多少？〔2〕速率處在到之間的分子數(shù)約為多少？〔3〕所有個粒子的平均速率為多少？〔4〕速率大于的那些分子的平均速率為多少？解：根據(jù)題意：所以速率小于的分子數(shù)：〔2〕速率處在到之間的分子數(shù)：〔3〕所有個粒子的平均速率：先寫出這個分段函數(shù)的表達(dá)式：f〔v〕=〔〕0〔〕〔4〕速率大于的那些分子的平均速率9-15.理想氣體分子沿方向的速度分布函數(shù)：,試據(jù)此推導(dǎo)壓強(qiáng)公式〔：〕.解：壓強(qiáng)的計算式為：所以關(guān)鍵在求出N個分子在x方向上速度分量平方的平均值：,根據(jù)速度分布函數(shù),可得：那么利用,可得：9-16.在麥克斯韋分布下,〔1〕計算溫度和時氧氣分子最可幾速率和；〔2〕計算在這兩溫度下的最可幾速率附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率；〔3〕計算時氧分子在處單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子的比率。解：根據(jù)最可幾速率的定義：〔1〕溫度：〔2〕在最可幾速率附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率就是麥克斯韋分布函數(shù)：T=300K,V=394m/s代入：T=600K,V=558m/s代入：〔3〕計算時氧分子在處單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子的比率。即將T=300K,v=788m/s代入：得：9-17.試將質(zhì)量為的單原子理想氣體速率分布函數(shù)改寫成按動能分布的函數(shù)形式,然后求出其最可幾動能及平均動能。解：根據(jù)題意將中所有的速度用來代替,那么得到：=。其最可幾動能也就是所對應(yīng)的動能,為平均動能9-18.一容器體積為,一導(dǎo)熱隔板把它分成相等的兩半,開始時左邊盛有壓強(qiáng)為的理想氣體,右邊為真空。在隔板上有一面積為的小孔,求翻開小孔后左右兩邊壓強(qiáng)和與時間的關(guān)系〔單位時間與器壁單位面積相撞的分子數(shù)為〕。解：設(shè)某時刻左、右分子數(shù)分別為N、N0-N,那么在dt內(nèi)左面分子數(shù)變化為由P=NkT/V得：,由此解得由N1+N2=N0可得p1+p2=p0,9-19.試求升高到什么高度時大氣壓強(qiáng)將減至地面的75%。設(shè)空氣的溫度為,空氣的摩爾質(zhì)量為。解：根據(jù)題意：,由求：T=273k；=,那么；。把這些值代入,那么可得：壓強(qiáng)隨高度變化的規(guī)律z=(RT)/(μg)ln(p０/p)z=(8.31×273/0.0289×9.8)ln(1/0.75)=2.3×10３m9-20.氣缸內(nèi)盛有一定量的氫氣(可視作理想氣體),當(dāng)溫度不變而壓強(qiáng)增大一倍時,氫氣分子的平均碰撞頻率和平均自由程的變化情況怎樣？解：根據(jù)平均碰撞頻率的定義：以及,,可得到,所以當(dāng)溫度不變而壓強(qiáng)增大一倍時,氫氣分子的平均碰撞頻率也將增大一倍。而平均自由程的概念為：所以當(dāng)溫度不變而壓強(qiáng)增大一倍時,氫氣分子的平均自由程將減小一倍。9-21.〔1〕分子的有效直徑的數(shù)量級是多少？〔2〕在常溫下,氣體分子的平均速率的數(shù)量級是多少？〔3〕在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氣體分子的碰撞頻率的數(shù)量級是多少？解：〔1〕由,假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下一摩爾的氣體,其體積為,有效直徑為：,大約為10-10m?！?〕,大約為100——1000m/s?！?〕,大約為108——109/s。思考題9-1.氣體在平衡狀態(tài)時有何特征？平衡態(tài)與穩(wěn)定態(tài)有什么不同？氣體的平衡態(tài)與力學(xué)中所指的平衡有什么不同？答：平衡態(tài)的特征:(1)系統(tǒng)與外界在宏觀上無能量和物質(zhì)的交換(2)系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間改變。熱平衡態(tài)是指:在無外界的影響下,不管系統(tǒng)初始狀態(tài)如何,經(jīng)過足夠長的時間后,系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間改變的穩(wěn)定狀態(tài)。它與穩(wěn)定態(tài)或力學(xué)中的平衡不是一個概念。 1.平衡態(tài)是一種熱動平衡狀態(tài)。處在平衡態(tài)的大量分子并不是靜止的,它們?nèi)栽谧鳠徇\動,而且因為碰撞,每個分子的速度經(jīng)常在變,但是系統(tǒng)的宏觀量不隨時間改變。例如：粒子數(shù)問題：箱子假想分成兩相同體積的局部,到達(dá)平衡時,兩側(cè)粒子有的穿越界線,但兩側(cè)粒子數(shù)相同。2平衡態(tài)是一種理想狀態(tài)9-2.對一定量的氣體來說,當(dāng)溫度不變時,氣體的壓強(qiáng)隨體積的減小面增大；當(dāng)體積不變時,壓強(qiáng)隨溫度的升高而增大。從宏觀來看,這兩種變化同樣使壓強(qiáng)增大；從微觀來看,它們是否有區(qū)別?答：有區(qū)別。從微觀上看：當(dāng)溫度不變時,氣體的壓強(qiáng)隨體積的減小而增大是因為：當(dāng)一定時,體積減小,n越大,即單位時間內(nèi)碰撞到器壁的分子越多,那么P就越大；當(dāng)體積不變時,壓強(qiáng)隨溫度的升高而增大是因為：當(dāng)n一定時,越大,即單位時間內(nèi)分子對器壁的碰撞越厲害,那么P就越大。9-3.在推導(dǎo)理想氣體壓強(qiáng)公式的過程中,什么地方用到了理想氣體的分子模型?什么地方用到了平衡態(tài)的概念?什么地方用到了統(tǒng)計平均的概念？壓強(qiáng)的微觀統(tǒng)計意義是什么?答：壓強(qiáng)的求解公式中用到了理想氣體的分子模型,把分子作為質(zhì)點來研究；對每個分子狀態(tài)的假定用到了平衡態(tài)的概念；從一個分子對器壁的作用力推廣到所有分子對器壁的作用力,計算分子的平均速度都用到了統(tǒng)計平均的概念；壓強(qiáng)的微觀統(tǒng)計意義是壓強(qiáng)是大量分子碰撞器壁的平均效果,是對大量分子對時間對面積的一個統(tǒng)計平均值。對一個分子而言,它對器壁的碰撞是偶然的,但就大量分子而言,其碰撞的統(tǒng)計平均效果就表現(xiàn)為持續(xù)的均勻壓強(qiáng)。9-4.容器內(nèi)有質(zhì)量為,摩爾質(zhì)量為的理想氣體,設(shè)容器以速度作定向運動,今使容器突然停止,問：〔1〕氣體的定向運動機(jī)械能轉(zhuǎn)化什么形式的能量？〔2〕下面兩種氣體分子速度平方的平均值增加多少？eq\o\ac(○,1)單原子分子；②雙原子分子；〔3〕如果容器再從靜止加速到原來速度,那么容器內(nèi)理想氣體的溫度是否還會改變?為什么?答：〔1〕一般來說,氣體的宏觀運動不會影響其微觀的內(nèi)動能,但是當(dāng)容器突然停止運動時,大量分子的定向運動的動能將通過與器壁的以及分子間的碰撞而轉(zhuǎn)換為熱運動的能量,會使容器內(nèi)氣體的問題有所升高?！?〕,所以：,溫度增加多少,其速度平方的平均值也做相應(yīng)的增加?！?〕宏觀量溫度是一個統(tǒng)計概念,是大量分子無規(guī)那么熱運動的集體表現(xiàn),是分子平均平動動能的量度,分子熱運動是相對質(zhì)心參照系的,平動動能是系統(tǒng)的內(nèi)動能．溫度與系統(tǒng)的整體運動無關(guān)．所以當(dāng)容器再從靜止加速到原來速度,那么容器內(nèi)理想氣體的溫度不會改變。9.5表達(dá)以下式的物理意義：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕.答：(1)在平衡態(tài)下,分子熱運動能量平均地分配在分子每一個自由度上的能量均為。(2)在平衡態(tài)下,分子平均平動動能。(3)在平衡態(tài)下,自由度為i的分子平均總能量。(4)1摩爾自由度為i的分子組成的系統(tǒng)內(nèi)能為。(5)由質(zhì)量為M,摩爾質(zhì)量為Mmol,自由度為i的分子組成的系統(tǒng)的內(nèi)能為。(6)由質(zhì)量為M,摩爾質(zhì)量為Mmol,自由度為i的分子組成的系統(tǒng)的內(nèi)能的變化為。9-6.氦氣、氧氣分子數(shù)均為,,速率分布曲線如圖,且陰影面積為,求：〔1〕哪條是氦氣的速率分布