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3.4基本不等式:2022/12/143.4基本不等式:2022/12/111

2002年國際數(shù)學(xué)大會(ICM-2002)在北京召開,此屆大會紀(jì)念封上的會標(biāo)圖案,其中央正是經(jīng)過藝術(shù)處理的“弦圖”。它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就,又像一只轉(zhuǎn)動著的風(fēng)車,歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)家。

一、問題引入2022/12/142002年國際數(shù)學(xué)大會(I2新課探究2022/12/14新課探究2022/12/113新課探究2022/12/14新課探究2022/12/114一般地,對于任意實數(shù),我們有

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立思考:如何證明?2022/12/14一般地,對于任意實數(shù),我們有當(dāng)且僅5證明:當(dāng)且僅當(dāng)時,此時2022/12/14證明:當(dāng)且僅當(dāng)時,62.代數(shù)意義:幾何平均數(shù)小于等于算術(shù)平均數(shù)2.代數(shù)證明:3.幾何意義:半弦長小于等于半徑(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立)二、新課講解算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)3.幾何證明:從數(shù)列角度看:兩個正數(shù)的等比中項小于等于它們的等差中項1.思考:如果當(dāng)用去替換中的,能得到什么結(jié)論?基本不等式探究32022/12/142.代數(shù)意義:幾何平均數(shù)小于等于算術(shù)平均數(shù)2.代數(shù)證明:3.72022/12/142022/12/118當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取“=”號能否用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明?小組合作:2022/12/14當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取“=”號能否用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明?小組9在右圖中,AB是圓的直徑,點C是AB上的一點,設(shè)AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD。基本不等式的幾何意義是:“半徑不小于半弦?!盓P98探究2022/12/14在右圖中,AB是圓的直徑,基本不等式的幾何意義是:“半徑不小10oabABPQ1.如圖,AB是圓o的直徑,Q是AB上任一點,AQ=a,BQ=b,過點Q作垂直于AB的弦PQ,連AP,BP,則半弦PQ=____,半徑AO=_____幾何意義:圓的半徑不小于圓內(nèi)半弦長探究4動態(tài)演示你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?2.PQ與AO的大小關(guān)系怎樣?2022/12/14oabABPQ1.如圖,AB是圓o的直徑,Q是AB上任一點,11證明:要證只要證

()①

②要證②,只要證

()③

要證③,只要證(-

)

④顯然:是成立的,當(dāng)且僅當(dāng)時④④中的等號成立.證明:當(dāng)時,.探究32022/12/14證明:要證只要證(12平方2022/12/14平方2022/12/1113基本不等式:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.重要不等式:注意:(1)不同點:兩個不等式的適用范圍不同。(2)相同點:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立。2022/12/14基本不等式:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,142.基本不等式(均值定理)1.兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2.兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項。此定理又可敘述為:2022/12/142.基本不等式1.兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)151.重要不等式2.基本不等式(均值定理)注意:基本不等式成立的要素:(1):看是否均為正數(shù)(2):看不等號的方向(3):看等號是否能取到簡言之:一正二定三相等2022/12/141.重要不等式2.基本不等式(均值定理)注意:基本不等式成立161.基本不等式:a=b基本不等式的變形:知識要點:(當(dāng)且僅當(dāng)________時取“=”號).(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號).如果a≥0,b≥0,那么

≥2022/12/141.基本不等式:a=b基本不等式的變形:知識要點:(當(dāng)且僅17

重要變形2(由小到大)2022/12/14重要變形2(由小到大)2022/12/1118應(yīng)用基本不等式求最值的條件:

a與b為正實數(shù)若等號成立,a與b必須能夠相等一正二定三相等積定和最小和定積最大(a>0,b>0)2022/12/14應(yīng)用基本不等式求最值的條件:a與b為正實數(shù)若等號成立,a與b19基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立結(jié)論1:兩個正數(shù)積為定值,則和有最小值結(jié)論2:兩個正數(shù)和為定值,則積有最大值2022/12/14基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立結(jié)論1:兩個正20例題:2022/12/14例題:2022/12/1121練習(xí):2022/12/14練習(xí):2022/12/1122例3.求函數(shù)的最大值,及此時x的值。解:,因為x>0,所以得因此f(x)≤2022/12/14例3.求函數(shù)23當(dāng)且僅當(dāng),即時,式中等號成立。由于x>0,所以,式中等號成立,因此,此時。2022/12/14當(dāng)且僅當(dāng),即時,式24例4、已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1,求的最小值錯解:即的最小值為過程中兩次運(yùn)用了均值不等式中取“=”號過渡,而這兩次取“=”號的條件是不同的,故結(jié)果錯。錯因:2022/12/14例4、已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1,求的最小值錯解:即25已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1,求的最小值解:當(dāng)且僅當(dāng)即:時取“=”號即此時正確解答是:2022/12/14已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1,求的最小值解:當(dāng)且僅當(dāng)即:時262、已知則xy的最大值是

。1、當(dāng)x>0時,的最小值為

,此時x=

。21

3、若實數(shù),且,則的最小值是()

A、10B、C、D、D2022/12/142、已知1、當(dāng)x>0時,的最小值為274、在下列函數(shù)中,最小值為2的是()

A、B、C、D、C2022/12/144、在下列函數(shù)中,最小值為2的是()C2022/12/28

下面幾道題的解答可能有錯,如果錯了,那么錯在哪里?1.已知函數(shù),求函數(shù)的最小值和此時x的取值.

運(yùn)用均值不等式的過程中,忽略了“正數(shù)”這個條件.2022/12/14下面幾道題的解答可能有錯,如果錯了,那么錯在哪里?1.293.4基本不等式:2022/12/143.4基本不等式:2022/12/1130

2002年國際數(shù)學(xué)大會(ICM-2002)在北京召開,此屆大會紀(jì)念封上的會標(biāo)圖案,其中央正是經(jīng)過藝術(shù)處理的“弦圖”。它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就,又像一只轉(zhuǎn)動著的風(fēng)車,歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)家。

一、問題引入2022/12/142002年國際數(shù)學(xué)大會(I31新課探究2022/12/14新課探究2022/12/1132新課探究2022/12/14新課探究2022/12/1133一般地,對于任意實數(shù),我們有

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立思考:如何證明?2022/12/14一般地,對于任意實數(shù),我們有當(dāng)且僅34證明:當(dāng)且僅當(dāng)時,此時2022/12/14證明:當(dāng)且僅當(dāng)時,352.代數(shù)意義:幾何平均數(shù)小于等于算術(shù)平均數(shù)2.代數(shù)證明:3.幾何意義:半弦長小于等于半徑(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立)二、新課講解算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)3.幾何證明:從數(shù)列角度看:兩個正數(shù)的等比中項小于等于它們的等差中項1.思考:如果當(dāng)用去替換中的,能得到什么結(jié)論?基本不等式探究32022/12/142.代數(shù)意義:幾何平均數(shù)小于等于算術(shù)平均數(shù)2.代數(shù)證明:3.362022/12/142022/12/1137當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取“=”號能否用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明?小組合作:2022/12/14當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取“=”號能否用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明?小組38在右圖中,AB是圓的直徑,點C是AB上的一點,設(shè)AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD。基本不等式的幾何意義是:“半徑不小于半弦。”EP98探究2022/12/14在右圖中,AB是圓的直徑,基本不等式的幾何意義是:“半徑不小39oabABPQ1.如圖,AB是圓o的直徑,Q是AB上任一點,AQ=a,BQ=b,過點Q作垂直于AB的弦PQ,連AP,BP,則半弦PQ=____,半徑AO=_____幾何意義:圓的半徑不小于圓內(nèi)半弦長探究4動態(tài)演示你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?2.PQ與AO的大小關(guān)系怎樣?2022/12/14oabABPQ1.如圖,AB是圓o的直徑,Q是AB上任一點,40證明:要證只要證

()①

②要證②,只要證

()③

要證③,只要證(-

)

④顯然:是成立的,當(dāng)且僅當(dāng)時④④中的等號成立.證明:當(dāng)時,.探究32022/12/14證明:要證只要證(41平方2022/12/14平方2022/12/1142基本不等式:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.重要不等式:注意:(1)不同點:兩個不等式的適用范圍不同。(2)相同點:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立。2022/12/14基本不等式:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,432.基本不等式(均值定理)1.兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2.兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項。此定理又可敘述為:2022/12/142.基本不等式1.兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)441.重要不等式2.基本不等式(均值定理)注意:基本不等式成立的要素:(1):看是否均為正數(shù)(2):看不等號的方向(3):看等號是否能取到簡言之:一正二定三相等2022/12/141.重要不等式2.基本不等式(均值定理)注意:基本不等式成立451.基本不等式:a=b基本不等式的變形:知識要點:(當(dāng)且僅當(dāng)________時取“=”號).(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號).如果a≥0,b≥0,那么

≥2022/12/141.基本不等式:a=b基本不等式的變形:知識要點:(當(dāng)且僅46

重要變形2(由小到大)2022/12/14重要變形2(由小到大)2022/12/1147應(yīng)用基本不等式求最值的條件:

a與b為正實數(shù)若等號成立,a與b必須能夠相等一正二定三相等積定和最小和定積最大(a>0,b>0)2022/12/14應(yīng)用基本不等式求最值的條件:a與b為正實數(shù)若等號成立,a與b48基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立結(jié)論1:兩個正數(shù)積為定值,則和有最小值結(jié)論2:兩個正數(shù)和為定值,則積有最大值2022/12/14基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立結(jié)論1:兩個正49例題:2022/12/14例題:2022/12/1150練習(xí):2022/12/14練習(xí):2022/12/1151例3.求函數(shù)的最大值,及此時x的值。解:,因為x>0,所以得因此f(x)≤2022/12/14例3.求函數(shù)52當(dāng)且僅當(dāng),即時,式中等號成立。由于x>0,所以,式中等號成立,因此,此時。2022/12/14當(dāng)且僅當(dāng),即時,式53例4、已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1,求的最小值錯解:即的最小值為過程中兩次運(yùn)用了均值不等式中取“=”號過渡,而這兩次取“=”號的條件是不同的,故結(jié)果錯

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