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文檔簡(jiǎn)介
高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 .
,
賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)(由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)):
高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽
賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)(由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)):賽區(qū)評(píng)閱記錄(可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用):評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)(由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)):全國(guó)評(píng)閱編號(hào)(由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)): (北京大學(xué)數(shù)學(xué)系,100871)
,在能夠排名次時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)的可依賴(lài)程度做出估計(jì)
文中將看到此模型充分考慮了排名結(jié)果對(duì)各場(chǎng)比賽的重要性的反饋影響,基
,而且經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單修改,它可以適用于任
/
績(jī),要求通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型,對(duì)各隊(duì)進(jìn)行排名次.按照通常的理解,排名的目的是根據(jù)比賽成績(jī)排出反映各隊(duì)真實(shí)實(shí)力狀況的一個(gè)順序.為達(dá)到這一點(diǎn),一個(gè)好的排名算法應(yīng)滿(mǎn)足下面一些基本要求:(6
根據(jù)排名目的,我們要求排名順序與成績(jī)表反映的各隊(duì)實(shí)力水平的順序是一致的,
球隊(duì)發(fā)揮水平存在正常波動(dòng)而必須提供的,如果這種正常的小波動(dòng)引起名次的巨要求(4)—(7)是為了適應(yīng)實(shí)際比賽中可能會(huì)出現(xiàn)在一些復(fù)雜情況而提首先是可能某兩個(gè)隊(duì)之間沒(méi)有打比賽,我們稱(chēng)之為數(shù)據(jù)(成績(jī))殘缺.對(duì)于兩隊(duì)成績(jī)殘缺,只能通過(guò)它們同其他隊(duì)的比賽成績(jī)來(lái)判斷它們的實(shí)力比較.如果殘缺元素過(guò)多,就有可能導(dǎo)致參賽隊(duì)分成兩組,組與組之間沒(méi)有比賽,稱(chēng)這種情況其次是前后比賽成績(jī)矛盾,比如說(shuō)本文使用的層次分析法的特征根方法已滿(mǎn)足了上述要求,下面將在§2
/
w
,
,…,
)為真實(shí)實(shí)力向量,如果
n i i
在比賽中出色程度時(shí),稱(chēng)wi i
i j i j i j
ij i j iji
ii
,(iii
ij ji iiij(
)ij
就稱(chēng)為比賽成績(jī)的判斷矩陣,它是可以通過(guò)各種方法(見(jiàn)§
i j i j
~
N
w
w
,
ij i j ijw
nn ij ji
ij
i,
j
.稱(chēng)矩陣
nn
i,
,
j
ij w
wi
w nnj
w
w
i ii
/
定理,一個(gè)判斷矩陣
ww
w
,令w
wi
i,模型的輸入是一張成績(jī)表,輸出是關(guān)于
互勝場(chǎng)次相等,則i j
ij ji
i
i
j
m
(三)構(gòu)造輔助矩陣A
m
(三)構(gòu)造輔助矩陣A~
i j
,
ob
ijo
m
ij i j
m
ijd
m
ij ij ijo
b
d
,
1/
ij ij ij ji ij
無(wú)比賽成績(jī),則
i j ij ji
的可約性,如果可約則輸出可約信息后退出.~
, i
j
ij ijij
mi
i
j,
miAiij(四)計(jì)算A(四)計(jì)算A
w
/
,…,
,…,
k=0,計(jì)算
,in m
i
,,
m
in
m
;w
i
mi
m
mm
h
h
w
/w
w
/w
wiwjwiwj w ij iji ji j i jij iji
j nnn
mi
m
nnn
ii
P(
)算法的第(一)步可以有多種不同的方法,這在§5
第(三)
第(四)步是一個(gè)排序,可參閱任何一本有關(guān)算法的書(shū).第(五)步我們舉了一個(gè)例子,若算出
2h=47.56,r=48,則在
47.56,它所在的列的
65%左右.
/
A
A
A
中特征根發(fā)的基礎(chǔ),可以在[1]的
頁(yè)找到詳細(xì)證明,這里只作簡(jiǎn)單說(shuō)明.先假~A
wA
(
/
)i j
,顯然向量w
w
/
w
w
ni
i
j
j
nw,
i
,niA
階互反矩陣是一致的,當(dāng)且僅當(dāng)
w
的主特征向量,這樣,對(duì)于一個(gè)一致矩陣
A(注意:無(wú)殘缺),令A(yù)
ij
w
/w
/Ai
n
(3.3)ni iji
i i
i
i j i j
…
…
…ii iiijii ii ij
A
ij iji
i i
(3.4)
()
ij i j
/
步優(yōu)勢(shì).i j i jiij
j
…
… …
…iiijiii
ji
i
i
i
i
i
(ij
同(3.3)式,令同(3.3)式,令w
/A
i
,n
nijj
()
((),…,())
w
A
e
eA
e
w
…
ijd
ijdij,
ij
其中dij為正數(shù), w
ww
w,我們的排名是合理的和保序的,下面來(lái)看
,
ijij
(
)ij
們認(rèn)為補(bǔ)殘是準(zhǔn)確的.如果令
w
,那么當(dāng)d
/
時(shí),我ij
i
j
wi
/w
j
wi
/w
j,
ij
ij ijij_m
_m
ij
ij i
i
j;ij
i
j;iji
j,miiC
(
)ij
/
A
A
ij
nn
Aw
w~
wj
ij
i
w,
i
,n.i
w
w
/w
w
w
w,
i
…,.
njiji
j
ij
j
i
j
j
i
i
njij
w
(m
w
w,
i
…,.
w
w,
i
,n.由上述命題還可知,CA
ij j i i iji
jn ~ij i ij
~
的主特征向量.這樣,我們只需解Aw
w從上面討論可知,本模型對(duì)于殘缺的處理是非常準(zhǔn)確的,滿(mǎn)足了要求(1),(5).另外算法第(二)步對(duì)成績(jī)表的可約性作出了判斷,這也滿(mǎn)足了因?yàn)闅埲倍岢龅囊螅?).Aw
w
w
,
i
,n.i
n
~
j
ij
j
成績(jī)不殘缺,則
,固定
,令
變大,則
w
就會(huì)變大,從i
變大.這實(shí)際上是排名結(jié)果對(duì)每場(chǎng)比賽權(quán)重的反饋影響.i這樣的話(huà),若
戰(zhàn)線(xiàn)固定,
排名靠前,
也會(huì)因此受益.這就滿(mǎn)足了要i i
/
~
A
的最大特征根是單的,由上述定理可知,只要判斷
的單特征根,B
~e ~
(A
(A
E
ww
,即主特征向量的變動(dòng)是微
n
i小的,排名是穩(wěn)定的,滿(mǎn)足了要求(2).很明顯本模型是容忍不一致現(xiàn)象的,即滿(mǎn)足要求(6).
是一個(gè)殘缺的不一致矩陣時(shí),由它得到的排名向量設(shè)為w
,由名詞約定(1)我們認(rèn)為這既是真實(shí)實(shí)力向量,令ij
ij
ij
/i
j
i,
j
…,.
/
i jw
/w
ij
wiw
/wiji j
j
~
ijw
/wi
j
).
/
i j
ijw
/wi
j
ijwi/wjij
ijwi/wjiji
j
的前后矛盾程度,再由(3.6),(3.7)可知/
~
rnn
nn
mi
n
im
行零的個(gè)數(shù).iA
r
h
/
~
r
/
的值可以用統(tǒng)計(jì)的方法估出,在本模型中我們只是簡(jiǎn)單地取
是先驗(yàn)的,這個(gè)指標(biāo)暫時(shí)還不是準(zhǔn)確的.
的值可以用統(tǒng)計(jì)的方法估出,在本模型中我們只是簡(jiǎn)單地取
是先驗(yàn)的,這個(gè)指標(biāo)暫時(shí)還不是準(zhǔn)確的. A
A
h
,也可以通過(guò)大量好的和壞的比賽成績(jī)比較給出一個(gè)值.這樣,我們的模型就滿(mǎn)足了要求(7).
我們?cè)谟?jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)了上述模型,并對(duì)表
中的數(shù)據(jù)進(jìn)行了排名,結(jié)果是令
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
場(chǎng)比賽,全部獲勝,
場(chǎng)比賽全部輸?shù)?所以
與其它隊(duì)的比賽中,只有
,
,
的比賽中,
稍好,而在與 個(gè)隊(duì)的比賽中,
通過(guò)與現(xiàn)行的一些排名方法比較,上述模型的優(yōu)勢(shì)是很明顯的;1)它存在反饋機(jī)制,并且具有穩(wěn)定性,保證了排名的公平和令人信服;2)能較準(zhǔn)確地處理殘缺,不一致等性質(zhì)差的數(shù)據(jù),對(duì)比賽程序沒(méi)有嚴(yán)格的要3)靈活機(jī)動(dòng),這包括了它提供了對(duì)比賽成績(jī)表進(jìn)行取舍的參考指標(biāo),以及它
4)滿(mǎn)足保序性.
/
,必須用到計(jì)算機(jī),而且對(duì)指導(dǎo)教練制定,這是無(wú)法改進(jìn)的,但這同時(shí)也使球隊(duì)的戰(zhàn)術(shù)水平在比賽中的地位上升,有利于刺激競(jìng)爭(zhēng).另外我們還基于另一種思路建立了一個(gè)便于手算的模型,優(yōu)于算法簡(jiǎn)單,效果沒(méi)有本模型好,本文中省略.
,它只是為了簡(jiǎn)單和較合乎常識(shí),這一步在整個(gè)模型里引入的誤差最大
.稍微復(fù)雜一點(diǎn)的方法是根據(jù)成績(jī)通過(guò)查表或?qū)<易稍?xún)獲得實(shí)力對(duì)比的值.較低,而可依賴(lài)程度這個(gè)指標(biāo)并沒(méi)有考慮這些情況.如比較下面兩個(gè)判斷矩陣,它
,
,
,
,
,
,
,以避免這種幾乎可約的情形,本模型并沒(méi)有作這種
所說(shuō)的,可依賴(lài)程度的計(jì)算中取
不基于本模型的不足,模型的改進(jìn)余地也是很大的.它只使用了層次分析法
,可以考慮使用多個(gè)準(zhǔn)則和遞階層次
,比如將凈勝局?jǐn)?shù),凈勝球數(shù),射門(mén)次數(shù),犯規(guī)次數(shù)作為四個(gè)準(zhǔn)則,兩個(gè)層次.甚至能將觀眾反應(yīng)等許多細(xì)小因素考慮在內(nèi),使排名更加反應(yīng)球隊(duì)實(shí)力.[1]王蓮芬,許樹(shù)柏,層次分析法引論,中國(guó)人民大學(xué)出版社,北京,1990。[2]葉其孝主編,大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材,湖南教育出版社,1993。[3]許卓群等編,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),高等教育出版社,1987。[4]杜榮騫編,生物統(tǒng)計(jì)學(xué),高等教育出版社,1985。
/
年數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽征題期間,正好中國(guó)足球在世界杯外圍賽中再次失利.
.仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn),在公布的球隊(duì)中有的隊(duì)之間有從來(lái)沒(méi)比賽過(guò),不少人發(fā)生了如下疑問(wèn):1.報(bào)刊上公布的球隊(duì)排序的依據(jù)是什么.也就是說(shuō),要求我們建立一個(gè)客觀的評(píng)估方法,只依據(jù)過(guò)去一段時(shí)間內(nèi)(幾個(gè)賽季或幾年)每個(gè)球隊(duì)的戰(zhàn)績(jī)給出各隊(duì)的優(yōu)劣次序.
,它要求所評(píng)估的各隊(duì)中任何兩隊(duì)必須比賽過(guò),而且兩隊(duì)之間比賽的場(chǎng)次要一樣.顯然,在世界范圍內(nèi)取得這樣的數(shù)為了克服傳統(tǒng)競(jìng)賽圖法的局限性,我們擬出本題供參賽者思考.
1.有很強(qiáng)的實(shí)際背景,而且一旦給出了成功的模型和軟件,它將有很大的使而且也有可能用于社會(huì)領(lǐng)域中其他問(wèn)題.
分析等諸多數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的方法.也有的作者用到了計(jì)算機(jī)科學(xué)中的各種技巧和分3.是一個(gè)相當(dāng)“開(kāi)放”的題目.它沒(méi)有事先給出的標(biāo)準(zhǔn)答案和最優(yōu)方案,是一個(gè)研究性、探索性較強(qiáng)的題目,給參賽者(甚至每個(gè)人)都留下了足夠的思考空間.雖然賽事已過(guò),但它依然是一個(gè)余味未盡的研究課題.當(dāng)然,與優(yōu)點(diǎn)相關(guān)的自然有不少缺點(diǎn).比如,沒(méi)有傳統(tǒng)方法可循,題目顯得粗糙、不成熟.所提供的數(shù)據(jù)也不完全合理,人工的斧鑿痕跡很多等等.對(duì)于數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽來(lái)說(shuō),評(píng)判一個(gè)方的優(yōu)劣,我們著眼于三點(diǎn):1)對(duì)于模型的假設(shè)是否合理.2)所建模型構(gòu)思是否新穎,其給出的結(jié)果是否合乎實(shí)際,而且具有一般性.3)敘述是否清楚.基于這種標(biāo)準(zhǔn),我們認(rèn)為有些答卷是十分優(yōu)秀的.
種因素建立了一種曲線(xiàn)性模型.
維向量函數(shù),并建立了求解上面非線(xiàn)性方程組的迭代法.
/
盡管理論上并沒(méi)有能證明迭代法的收斂性,但模型的構(gòu)思十分可取.
用圖論的辦法成功地處理了數(shù)據(jù)缺損等方面的困難,建立了一般性的模
種(也包括作者自己設(shè)計(jì)的)數(shù)據(jù)缺損的處理辦法.還有很多思路.如用
數(shù)學(xué)理論,概率論,灰色系統(tǒng)理論等,不能一一枚舉.總之,盡管得獎(jiǎng)?wù)呤巧贁?shù),但每份答案均有其合理的部分,反映出了年輕人的當(dāng)然,
,組織者和參賽者都缺乏經(jīng)驗(yàn)
難免有些不盡人意之處.
,他們著力于賽制的猜手于探索本題的“正確答案”.這不能不說(shuō)是方法學(xué)上的失誤;也有的參賽者基這種方法沒(méi)有能克服傳統(tǒng)方法的弱點(diǎn)(雖然有的作者已經(jīng)分析了這個(gè)弱點(diǎn)),也了這一具體問(wèn)題,但沒(méi)有一般意義.盡管有如上的偏頗,但參賽者思想活躍及富有探索創(chuàng)新的精神,確實(shí)呈現(xiàn)了參與”的意義上大家都是成功者.
/
,該問(wèn)題可謂膾炙人 表示兩個(gè)隊(duì)之間沒(méi)有比賽).
個(gè)隊(duì)的情況. 數(shù)據(jù)應(yīng)具備什麼樣的條件, 用你的方法才能排出諸隊(duì)的名次.---------------------------------------------------------------------------| T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12----|----------------------------------------------------------------------| 0:1 2:2 2:0 3:1 1:0 0:1 0:2 1:0 1:1T1
| X 1:0 1:0 3:1 1:3 2:1 4:0 1:1 X X| 0:0 0:2 1:0----|----------------------------------------------------------------------| 2:0 0:0 1:1 2:1 1:1 0:0 2:0 0:2T2
| X 0:1 2:0 1:1 0:0 1:1 0:0 X X| 1:3 0:0----|---------------------------------------------------------------------| 4:2 2:1 3:0 1:0 0:1 1:0 0:1T3
| X 1:1 1:4 3:1 2:3 2:0 X X| 0:0----|----------------------------------------------------------------------T4
| 2:3 0:1 0:5 2:1 0:1 0:1| X 2:3 1:3 0:0 1:1 X X----|----------------------------------------------------------------------T5
| X 0:1 X X X X 1:0 0:1| 1:2 1:1----|------------------------------------
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