數(shù)學(xué)建模B題球隊(duì)排名問題答案詳解

高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 .

,

賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號）：

高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時(shí)使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號）： （北京大學(xué)數(shù)學(xué)系,100871）

,在能夠排名次時(shí)對數(shù)據(jù)的可依賴程度做出估計(jì)

文中將看到此模型充分考慮了排名結(jié)果對各場比賽的重要性的反饋影響,基

,而且經(jīng)過簡單修改,它可以適用于任

/

績,要求通過建立數(shù)學(xué)模型,對各隊(duì)進(jìn)行排名次．按照通常的理解,排名的目的是根據(jù)比賽成績排出反映各隊(duì)真實(shí)實(shí)力狀況的一個(gè)順序．為達(dá)到這一點(diǎn),一個(gè)好的排名算法應(yīng)滿足下面一些基本要求：（6

根據(jù)排名目的,我們要求排名順序與成績表反映的各隊(duì)實(shí)力水平的順序是一致的,

球隊(duì)發(fā)揮水平存在正常波動(dòng)而必須提供的,如果這種正常的小波動(dòng)引起名次的巨要求（4）—（7）是為了適應(yīng)實(shí)際比賽中可能會(huì)出現(xiàn)在一些復(fù)雜情況而提首先是可能某兩個(gè)隊(duì)之間沒有打比賽,我們稱之為數(shù)據(jù)（成績）殘缺．對于兩隊(duì)成績殘缺,只能通過它們同其他隊(duì)的比賽成績來判斷它們的實(shí)力比較．如果殘缺元素過多,就有可能導(dǎo)致參賽隊(duì)分成兩組,組與組之間沒有比賽,稱這種情況其次是前后比賽成績矛盾,比如說本文使用的層次分析法的特征根方法已滿足了上述要求,下面將在§2

/

w

,

,…,

)為真實(shí)實(shí)力向量,如果

n i i

在比賽中出色程度時(shí),稱wi i

i j i j i j

ij i j iji

ii

,(iii

ij ji iiij(

)ij

就稱為比賽成績的判斷矩陣,它是可以通過各種方法（見§

i j i j

~

N

w

w

,

ij i j ijw

nn ij ji

ij

i,

j

．稱矩陣

nn

i,

,

j

ij w

wi

w nnj

w

w

i ii

/

定理,一個(gè)判斷矩陣

ww

w

,令w

wi

i,模型的輸入是一張成績表,輸出是關(guān)于

互勝場次相等,則i j

ij ji

i

i

j

m

（三）構(gòu)造輔助矩陣Ａ

m

（三）構(gòu)造輔助矩陣Ａ~

i j

,

ob

ijo

m

ij i j

m

ijd

m

ij ij ijo

b

d

,

1/

ij ij ij ji ij

無比賽成績,則

i j ij ji

的可約性,如果可約則輸出可約信息后退出．～

, i

j

ij ijij

mi

i

j,

miAiij（四）計(jì)算Ａ（四）計(jì)算Ａ

w

/

,…,

,…,

k=0,計(jì)算

,in m

i

,,

m

in

m

;w

i

mi

m

mm

h

h

w

/w

w

/w

wiwjwiwj w ij iji ji j i jij iji

j nnn

mi

m

nnn

ii

P(

)算法的第(一)步可以有多種不同的方法,這在§5

第(三)

第(四)步是一個(gè)排序,可參閱任何一本有關(guān)算法的書．第(五)步我們舉了一個(gè)例子,若算出

2h=47.56,r=48,則在

47.56,它所在的列的

65%左右．

/

A

A

A

中特征根發(fā)的基礎(chǔ),可以在[1]的

頁找到詳細(xì)證明,這里只作簡單說明．先假~A

wA

(

/

)i j

,顯然向量w

w

/

w

w

ni

i

j

j

nw,

i

,niA

階互反矩陣是一致的,當(dāng)且僅當(dāng)

w

的主特征向量,這樣,對于一個(gè)一致矩陣

A（注意：無殘缺）,令A(yù)

ij

w

/w

/Ai

n

（3.3）ni iji

i i

i

i j i j

…

…

…ii iiijii ii ij

A

ij iji

i i

（3.4）

()

ij i j

/

步優(yōu)勢.i j i jiij

j

…

… …

…iiijiii

ji

i

i

i

i

i

(ij

同（3.3）式,令同（3.3）式,令w

/A

i

,n

nijj

()

((),…,())

w

A

e

eA

e

w

…

ijd

ijdij,

ij

其中dij為正數(shù)， w

ww

w,我們的排名是合理的和保序的,下面來看

,

ijij

(

)ij

們認(rèn)為補(bǔ)殘是準(zhǔn)確的.如果令

w

,那么當(dāng)d

/

時(shí),我ij

i

j

wi

/w

j

wi

/w

j,

ij

ij ijij_m

_m

ij

ij i

i

j;ij

i

j;iji

j,miiC

(

)ij

/

A

A

ij

nn

Aw

w~

wj

ij

i

w,

i

,n.i

w

w

/w

w

w

w,

i

…,.

njiji

j

ij

j

i

j

j

i

i

njij

w

(m

w

w,

i

…,.

w

w,

i

,n.由上述命題還可知,CA

ij j i i iji

jn ~ij i ij

~

的主特征向量.這樣,我們只需解Aw

w從上面討論可知,本模型對于殘缺的處理是非常準(zhǔn)確的,滿足了要求（1）,（5）.另外算法第（二）步對成績表的可約性作出了判斷,這也滿足了因?yàn)闅埲倍岢龅囊螅?）.Aw

w

w

,

i

,n.i

n

~

j

ij

j

成績不殘缺,則

,固定

,令

變大,則

w

就會(huì)變大,從i

變大.這實(shí)際上是排名結(jié)果對每場比賽權(quán)重的反饋影響.i這樣的話,若

戰(zhàn)線固定,

排名靠前,

也會(huì)因此受益.這就滿足了要i i

/

~

A

的最大特征根是單的,由上述定理可知,只要判斷

的單特征根,B

~e ~

(A

(A

E

ww

,即主特征向量的變動(dòng)是微

n

i小的,排名是穩(wěn)定的,滿足了要求（2）.很明顯本模型是容忍不一致現(xiàn)象的,即滿足要求（6）.

是一個(gè)殘缺的不一致矩陣時(shí),由它得到的排名向量設(shè)為w

,由名詞約定（1）我們認(rèn)為這既是真實(shí)實(shí)力向量,令ij

ij

ij

/i

j

i,

j

…,.

/

i jw

/w

ij

wiw

/wiji j

j

~

ijw

/wi

j

).

/

i j

ijw

/wi

j

ijwi/wjij

ijwi/wjiji

j

的前后矛盾程度,再由（3.6）,（3.7）可知/

~

rnn

nn

mi

n

im

行零的個(gè)數(shù).iA

r

h

/

~

r

/

的值可以用統(tǒng)計(jì)的方法估出,在本模型中我們只是簡單地取

是先驗(yàn)的,這個(gè)指標(biāo)暫時(shí)還不是準(zhǔn)確的.

的值可以用統(tǒng)計(jì)的方法估出,在本模型中我們只是簡單地取

是先驗(yàn)的,這個(gè)指標(biāo)暫時(shí)還不是準(zhǔn)確的. A

A

h

,也可以通過大量好的和壞的比賽成績比較給出一個(gè)值.這樣,我們的模型就滿足了要求（7）.

我們在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)了上述模型,并對表

中的數(shù)據(jù)進(jìn)行了排名,結(jié)果是令

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

場比賽,全部獲勝,

場比賽全部輸?shù)?所以

與其它隊(duì)的比賽中,只有

,

,

的比賽中,

稍好,而在與 個(gè)隊(duì)的比賽中,

通過與現(xiàn)行的一些排名方法比較,上述模型的優(yōu)勢是很明顯的；1）它存在反饋機(jī)制,并且具有穩(wěn)定性,保證了排名的公平和令人信服；2）能較準(zhǔn)確地處理殘缺,不一致等性質(zhì)差的數(shù)據(jù),對比賽程序沒有嚴(yán)格的要3）靈活機(jī)動(dòng),這包括了它提供了對比賽成績表進(jìn)行取舍的參考指標(biāo),以及它

4）滿足保序性.

/

,必須用到計(jì)算機(jī),而且對指導(dǎo)教練制定,這是無法改進(jìn)的,但這同時(shí)也使球隊(duì)的戰(zhàn)術(shù)水平在比賽中的地位上升,有利于刺激競爭.另外我們還基于另一種思路建立了一個(gè)便于手算的模型,優(yōu)于算法簡單,效果沒有本模型好,本文中省略.

,它只是為了簡單和較合乎常識(shí),這一步在整個(gè)模型里引入的誤差最大

.稍微復(fù)雜一點(diǎn)的方法是根據(jù)成績通過查表或?qū)＜易稍儷@得實(shí)力對比的值.較低,而可依賴程度這個(gè)指標(biāo)并沒有考慮這些情況.如比較下面兩個(gè)判斷矩陣,它

,

,

,

,

,

,

,以避免這種幾乎可約的情形,本模型并沒有作這種

所說的,可依賴程度的計(jì)算中取

不基于本模型的不足,模型的改進(jìn)余地也是很大的.它只使用了層次分析法

,可以考慮使用多個(gè)準(zhǔn)則和遞階層次

,比如將凈勝局?jǐn)?shù),凈勝球數(shù),射門次數(shù),犯規(guī)次數(shù)作為四個(gè)準(zhǔn)則,兩個(gè)層次.甚至能將觀眾反應(yīng)等許多細(xì)小因素考慮在內(nèi),使排名更加反應(yīng)球隊(duì)實(shí)力.[1]王蓮芬,許樹柏,層次分析法引論,中國人民大學(xué)出版社,北京,1990。[2]葉其孝主編,大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)教材,湖南教育出版社,1993。[3]許卓群等編,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),高等教育出版社,1987。[4]杜榮騫編,生物統(tǒng)計(jì)學(xué),高等教育出版社,1985。

/

年數(shù)學(xué)模型競賽征題期間,正好中國足球在世界杯外圍賽中再次失利.

.仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn),在公布的球隊(duì)中有的隊(duì)之間有從來沒比賽過,不少人發(fā)生了如下疑問：1.報(bào)刊上公布的球隊(duì)排序的依據(jù)是什么.也就是說,要求我們建立一個(gè)客觀的評估方法,只依據(jù)過去一段時(shí)間內(nèi)（幾個(gè)賽季或幾年）每個(gè)球隊(duì)的戰(zhàn)績給出各隊(duì)的優(yōu)劣次序.

,它要求所評估的各隊(duì)中任何兩隊(duì)必須比賽過,而且兩隊(duì)之間比賽的場次要一樣.顯然,在世界范圍內(nèi)取得這樣的數(shù)為了克服傳統(tǒng)競賽圖法的局限性,我們擬出本題供參賽者思考.

1.有很強(qiáng)的實(shí)際背景,而且一旦給出了成功的模型和軟件,它將有很大的使而且也有可能用于社會(huì)領(lǐng)域中其他問題.

分析等諸多數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的方法.也有的作者用到了計(jì)算機(jī)科學(xué)中的各種技巧和分3.是一個(gè)相當(dāng)“開放”的題目.它沒有事先給出的標(biāo)準(zhǔn)答案和最優(yōu)方案,是一個(gè)研究性、探索性較強(qiáng)的題目,給參賽者（甚至每個(gè)人）都留下了足夠的思考空間.雖然賽事已過,但它依然是一個(gè)余味未盡的研究課題.當(dāng)然,與優(yōu)點(diǎn)相關(guān)的自然有不少缺點(diǎn).比如,沒有傳統(tǒng)方法可循,題目顯得粗糙、不成熟.所提供的數(shù)據(jù)也不完全合理,人工的斧鑿痕跡很多等等.對于數(shù)學(xué)模型競賽來說,評判一個(gè)方的優(yōu)劣,我們著眼于三點(diǎn)：1）對于模型的假設(shè)是否合理.2）所建模型構(gòu)思是否新穎,其給出的結(jié)果是否合乎實(shí)際,而且具有一般性.3）敘述是否清楚.基于這種標(biāo)準(zhǔn),我們認(rèn)為有些答卷是十分優(yōu)秀的.

種因素建立了一種曲線性模型.

維向量函數(shù),并建立了求解上面非線性方程組的迭代法.

/

盡管理論上并沒有能證明迭代法的收斂性,但模型的構(gòu)思十分可取.

用圖論的辦法成功地處理了數(shù)據(jù)缺損等方面的困難,建立了一般性的模

種（也包括作者自己設(shè)計(jì)的）數(shù)據(jù)缺損的處理辦法.還有很多思路.如用

數(shù)學(xué)理論,概率論,灰色系統(tǒng)理論等,不能一一枚舉.總之,盡管得獎(jiǎng)?wù)呤巧贁?shù),但每份答案均有其合理的部分,反映出了年輕人的當(dāng)然,

,組織者和參賽者都缺乏經(jīng)驗(yàn)

難免有些不盡人意之處.

,他們著力于賽制的猜手于探索本題的“正確答案”.這不能不說是方法學(xué)上的失誤；也有的參賽者基這種方法沒有能克服傳統(tǒng)方法的弱點(diǎn)（雖然有的作者已經(jīng)分析了這個(gè)弱點(diǎn)）,也了這一具體問題,但沒有一般意義.盡管有如上的偏頗,但參賽者思想活躍及富有探索創(chuàng)新的精神,確實(shí)呈現(xiàn)了參與”的意義上大家都是成功者.

/

,該問題可謂膾炙人 表示兩個(gè)隊(duì)之間沒有比賽).

個(gè)隊(duì)的情況. 數(shù)據(jù)應(yīng)具備什麼樣的條件, 用你的方法才能排出諸隊(duì)的名次.---------------------------------------------------------------------------| T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12----|----------------------------------------------------------------------| 0:1 2:2 2:0 3:1 1:0 0:1 0:2 1:0 1:1T1

| X 1:0 1:0 3:1 1:3 2:1 4:0 1:1 X X| 0:0 0:2 1:0----|----------------------------------------------------------------------| 2:0 0:0 1:1 2:1 1:1 0:0 2:0 0:2T2

| X 0:1 2:0 1:1 0:0 1:1 0:0 X X| 1:3 0:0----|---------------------------------------------------------------------| 4:2 2:1 3:0 1:0 0:1 1:0 0:1T3

| X 1:1 1:4 3:1 2:3 2:0 X X| 0:0----|----------------------------------------------------------------------T4

| 2:3 0:1 0:5 2:1 0:1 0:1| X 2:3 1:3 0:0 1:1 X X----|----------------------------------------------------------------------T5

| X 0:1 X X X X 1:0 0:1| 1:2 1:1----|------------------------------------