數(shù)學建模典型例題

數(shù)學建模典型例題數(shù)學建模典型例題數(shù)學建模典型例題資料僅供參考文件編號：2022年4月數(shù)學建模典型例題版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：一、人體重變化某人的食量是10467焦/天，最基本新陳代謝要自動消耗其中的5038焦/天。每天的體育運動消耗熱量大約是69焦/（千克?天）乘以他的體重（千克）。假設以脂肪形式貯存的熱量100%地有效，而1千克脂肪含熱量41868焦。試研究此人體重隨時間變化的規(guī)律。問題分析人體重W（t）隨時間t變化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假設人體重隨時間的變化是連續(xù)變化過程，因此可以通過研究在△t時間內體重W的變化值列出微分方程。模型假設以脂肪形式貯存的熱量100%有效當補充能量多于消耗能量時，多余能量以脂肪形式貯存假設體重的變化是一個連續(xù)函數(shù)初始體重為W0模型建立假設在△t時間內：體重的變化量為W（t+△t）-W(t)；身體一天內的熱量的剩余為（*W（t））將其乘以△t即為一小段時間內剩下的熱量；轉換成微分方程為：d[W(t+△t)-W(t)]=(*W(t))dt；四、模型求解d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686W(0)=W0解得：5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686)即：W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686)當t趨于無窮時，w=81;二、投資策略模型問題重述一家公司要投資一個車隊并嘗試著決定保留汽車時間的最佳方案。5年后，它將賣出所有剩余汽車并讓一家外圍公司提供運輸。在策劃下一個5年計劃時，這家公司評估在年i的開始買進汽車并在年j的開始賣出汽車，將有凈成本aij（購入價減去折舊加上運營和維修成本）。以千元計數(shù)aij的由下面的表給出：aij年2年3年4年5年6年14691220年2571116年36813年4811年510請尋找什么時間買進和賣出汽車的最便宜的策略。問題分析本問題是尋找成本最低的投資策略，可視為尋找最短路徑問題。因此可利用圖論法分析，用Dijkstra算法找出最短路徑，即為最低成本的投資策略。條件假設除購入價折舊以及運營和維護成本外無其他費用；模型建立二5117三64166138四一91281120五10六運用Dijikstra算法1234560469122069122091220122020可發(fā)現(xiàn)，在第二次運算后，數(shù)據再無變化，可見最小路徑已經出現(xiàn)即在第一年買進200輛，在第三年全部賣出，第三年再買進200第六年全部賣出。三、飛機與防空炮的最優(yōu)策略問題重述：紅方攻擊藍方一目標，紅方有2架飛機，藍方有四門防空炮，紅方只要有一架飛機突破藍方的防衛(wèi)則紅方勝。其中共有四個區(qū)域，紅方可以其中任意一個接近目標，藍方可以任意布置防空炮，但一門炮只能防守一個區(qū)域，其射中概率為1。那么雙方各采取什么策略問題分析該問題顯然是紅方與藍方的博弈問題，因此可以用博弈論模型來分析本問題。對策參與者為兩方（紅藍兩方）紅軍有兩種行動方案，即兩架飛機一起行動、兩架飛機分開行動。藍軍有三種防御方案，即四個區(qū)域非別布置防空炮（記為1-1-1-1）、一個區(qū)域布置兩架一個沒有另外兩個分別布置一個（記為2-1-1-0）、兩個區(qū)域分別布置兩架飛機另外兩個沒有（記為2-2-0-0）。顯然是不需要在某個區(qū)域布置3個防空炮的。三、問題假設：紅藍雙方均不知道對方的策略。藍方可以在一個區(qū)域內布置3,4門大炮，但是大炮數(shù)量大于飛機的數(shù)量，而一門大炮已經可以擊落一架飛機，因而這種方案不可取。紅方有兩種方案，一是讓兩架飛機分別通過兩個區(qū)域去攻擊目標，另一種是讓兩架飛機通過同一區(qū)域去攻擊目標。假設藍方四門大炮以及紅方的兩架飛機均派上用場，且雙方必須同時作出決策。模型建立行動及其產生的結果紅方藍方2架一起兩架分開1-1-1-12-1-12-2-0-0由此可得贏得矩陣藍方為A，紅方為BA=10B=01沒有鞍點，故用混合策略模型解決本問題設藍方采取行動i的概率為xi(i=1，2，3)，紅方采取行動j的概率為yj(j=1,2)，則藍方與紅方策略集分別為：S1=｛x=（x1，x2，x3）0<xi<1,∑xi=1｝，

S2=｛y=（y1，y2）0<yi<1,∑yi=1｝。模型求解下列線性規(guī)劃問題的解就是藍軍的最優(yōu)混合策略x*Maxv10*x1+*x2+*x3>v1x1+*x2+*x3>v1x1+x2+x3=1xi<=1下列線性規(guī)劃問題的解就是紅軍的最優(yōu)混合策略y*Minv2y2<v2*y1+*y2<v2*y1+*y2<v2y1+y2=1yi<=1四、雷達計量保障人員分配開展雷達裝備計量保障工作中，合理分配計量保障人員是提高計量保障效能的關鍵。所謂合理分配是指將計量保障人員根據其專業(yè)特長、技術能力分配到不同的工作崗位上，并且使得所有人員能夠發(fā)揮出最大的軍事效益?，F(xiàn)某雷達團共部署12種型號共16部雷達，部署情況及計量保障任務分區(qū)情況如表所示：區(qū)域部署雷達計量保障任務劃分計量保障任務數(shù)量區(qū)域1（雷達一營）區(qū)域2（雷達二營）區(qū)域3（雷達三營）A、A、B、C、D、EC、F、G、H、ID、F、J、K、LA、B1、B2、C、D、E、C、F、G、H1、H2、ID、F、J、K、L1、L2666說明：1．保障任務分區(qū)域進行保障；2．B、H、L型雷達分為兩個保障任務，分別為B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷達為一個保障任務；3．同一區(qū)域多部相同雷達等同于一部雷達的保障任務；4．不同區(qū)域的相同雷達看作不同保障任務；5．每個保障人員只能保障一個任務；6．每個保障任務只由一個保障人員完成。雷達的重要性由其性能和所擔負的作戰(zhàn)任務共同決定，即使同一型號的雷達在不同區(qū)域其重要性也可能不同。各雷達的重要性如下表所示（表中下標表示雷達所在保障區(qū)域）：雷達A1B1C1D1E1C2F2G2H2I2D3F3J3K3L3重要性該雷達團修理所現(xiàn)在有10名待分配計量保障人員，他們針對不同保障任務的計量保障能力量化指標如下表所示：人員AB1B2CDEFGH1H2IJKL1L2Mw1000Mw2000Mw300000Mw40000Mw50Mw600Mw7000Mw800Mw9Mw10000問題：如何給該團三個營分配計量保障人員，使他們發(fā)揮最大軍事效益？一、問題分析：該問題是人員指派問題，目的是得到最大效益。根據保障能力測試與雷達重要性定義出效益矩陣，用0—1整數(shù)規(guī)劃方法來求解，得到最大效益矩陣。模型假設1．保障任務分區(qū)域進行保障；2．B、H、L型雷達分為兩個保障任務，分別為B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷達為一個保障任務；3．同一區(qū)域多部相同雷達等同于一部雷達的保障任務；4．不同區(qū)域的相同雷達看作不同保障任務；5．每個保障人員只能保障一個任務；6．每個保障任務只由一個保障人員完成。三、模型建立根據題目列出保障人員能力量化指標矩陣：根據題目，設保障任務的重要性向量，bi表示第i個任務的重要性。列出保障任務重要性向量：我們用二者的乘積表示效益矩陣：。我們設元素rij表示第i個人完成j件事的效益,Xij表示第i個人去保障第j件任務，如果是，其值為1，否則為0。利用這一個矩陣和0-1規(guī)劃，我們就可以列出方程：,m<=nmodel:sets:M/1..10/;N/1..18/:a;allowed(M,N):b,r,x;endsetsdata:a=;b=00000000000000000000000000000000;enddatamax=@sum(allowed(i,j):x(i,j)*r(i,j));@for(M(i):@for(N(j)