數(shù)學相似三角形競賽試題匯集

.z.第十六講相似三角形(二)上一講主要講述了相似三角形與比例線段之間的關系的計算與證明，本講主要講述相似三角形的判定與性質的應用．例1如圖2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分線．求證：AB∶AC=BD∶DC．分析設法通過添輔助線構造相似三角形，這里應注意利用角平分線產(chǎn)生等角的條件．證過B引BE∥AC，且與AD的延長線交于E．因為AD平分∠BAC，所以∠1=∠2．又因為BE∥AC，所以∠2=∠3．從而∠1=∠3，AB=BE．顯然△BDE∽△CDA，所以BE∶AC=BD∶DC，所以AB∶AC=BD∶DC．說明這個例題在解決相似三角形有關問題中，常起重要作用，可當作一個定理使用．類似的還有一個關于三角形外角分三角形的邊成比例的命題，這個命題將在練習中出現(xiàn)，請同學們自己試證．在構造相似三角形的方法中，利用平行線的性質(如內(nèi)錯角相等、同位角相等)，將等角"轉移〞到適宜的位置，形成相似三角形是一種常用的方法．例2如圖2-77所示．在△ABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延長線于D，且交AM延長線于F．求證：EF∥AB．分析利用角平分線分三角形中線段成比例的性質，構造三角形，設法證明△MEF∽△MAB，從而EF∥AB．證過B引BG∥AC交AE的延長線于G，交AM的延長線于H．因為AE是∠BAC的平分線，所以∠BAE=∠CAE．因為BG∥AC，所以∠CAE=∠G，∠BAE=∠G，所以BA=BG．又BD⊥AG，所以△ABG是等腰三角形，所以∠ABF=∠HBF，從而AB∶BH=AF∶FH．又M是BC邊的中點，且BH∥AC，易知ABHC是平行四邊形，從而BH=AC，所以AB∶AC=AF∶FH．因為AE是△ABC中∠BAC的平分線，所以AB∶AC=BE∶EC，所以AF∶FH=BE∶EC，即(AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(這是因為ABHC是平行四邊形，所以AM=MH及BM=MC．)．由合分比定理，上式變?yōu)锳M∶MB=FM∶ME．在△MEF與△MAB中，∠EMF=∠AMB，所以△MEF∽△MAB(兩個三角形兩條邊對應成比例，并且夾角相等，則這兩個三角形相似．)．所以∠ABM=∠FEM，所以EF∥AB．例3如圖2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．即可，為此假設能設法利用長度分別為AB，BC，CA及l(fā)=AB＋AC這4條線段，構造一對相似三角形，問題可能解決．注意到，原△ABC中，已含上述4條線段中的三條，因此，不妨以原三角形ABC為根底添加輔助線，構造一個三角形，使它與△ABC相似，期望能解決問題．證延長AB至D，使BD=AC(此時，AD=AB＋AC)，又延長BC至E，使AE=AC，連結ED．下面證明，△ADE∽△ABC．設∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，則∠A+∠B+∠C=7α=180°．由作圖知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以∠ACE=180°-4α＝3α，所以∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．從而∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．又由作圖AE=AC，AE=BD，所以BE=BD，△BDE是等腰三角形，所以∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，所以△ABC∽△DAE，所以例4如圖2-79所示．P，Q分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求證：QH⊥DH.分析要證QH⊥DH，只要證明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，從而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ與△DHC應該相似．證在Rt△PBC中，因為BH⊥PC，所以∠PBC=∠PHB=90°，從而∠PBH=∠PCB．顯然，Rt△PBC∽Rt△BHC，所以由，BP=BQ，BC=DC，所以因為∠ABC=∠BCD=90°，所以∠HBQ=∠HCD，所以△HBQ∽△HCD，∠BHQ=∠DHC，∠BHQ＋∠QHC=∠DHC＋∠QHC．又因為∠BHQ＋∠QHC=90°，所以∠QHD=∠QHC＋DHC=90°，即DH⊥HQ．例5如圖2-80所示．P，Q分別是Rt△ABC兩直角邊AB，AC上兩點，M為斜邊BC的中點，且PM⊥QM．求證：PB2＋QC2=PM2＋QM2．分析與證明假設作MD⊥AB于D，ME⊥AC于E，并連接PQ，則PM2＋QM2=PQ2=AP2＋AQ2．于是求證式等價于PB2+QC2=PA2+QA2，①等價于PB2-PA2=QA2-QC2．②因為M是BC中點，且MD∥AC，ME∥AB，所以D，E分別是AB，AC的中點，即有AD=BD，AE=CE，②等價于(AD＋PD)2-(AD-PD)2=(AE＋EQ)2-(AE-EQ)2，③③等價于AD·PD=AE·EQ．④因為ADME是矩形，所以AD=ME，AE=MD，故④等價于ME·PD=MD·EQ．⑤為此，只要證明△MPD∽△MEQ即可．下面我們來證明這一點．事實上，這兩個三角形都是直角三角形，因此，只要再證明有一對銳角相等即可．由于ADME為矩形，所以∠DME=90°=∠PMQ()．⑥在⑥的兩邊都減去一個公共角∠PME，所得差角相等，即∠PMD=∠QME．⑦由⑥，⑦，所以△MPD∽△MEQ．由此⑤成立，自⑤逆上，步步均可逆推，從而①成立，則原命題獲證．例6如圖2-81所示．△ABC中，E，D是BC邊上的兩個三等分點，AF=2CF，BF=12厘米．求：FM，MN，BN解取AF的中點G，連接DF，EG．由平行線等分線段定理的逆定理知DF∥EG∥BA，所以△CFD∽△CAB，△MFD∽△MBA．所以MB=3MF，從而BF=4FM=12，所以FM=3(厘米)．又在△BDF中，E是BD的中點，且EH∥DF，所以因為EH∥AB，所以△NEH∽△NAB，從而顯然，H是BF的中點，所以故所求的三條線段長分別為練習十六1．如圖2-82所示．在△ABC中，AD是∠BAC的外角∠CAE的平分線．求證：AB∶AC=BD∶DC．2．如圖2-83所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求證：EF∥BC．3．如圖2-84所示．在△ABC內(nèi)有一點P，滿足∠APB=∠BPC=∠CPA．假設2∠B=∠A+∠C，求證：PB2＝PA·PC．(提示：設法證明△PAB∽△PBC．)4．如圖2-85所示．D是等腰直角三角形ABC的直角邊BC的中點，E在斜邊AB上，且AE∶EB=2∶1．求證