教師資格證考試《數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力》(高級中學(xué))真題

教師資格證考試《數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力》(高級中學(xué))真題1[單選題]（江南博哥）下列命題不正確的是（）A.有理數(shù)集對于乘法運(yùn)算封閉B.有理數(shù)可以比較大小C.有理數(shù)集是實(shí)數(shù)集的子集D.有理數(shù)集不是復(fù)數(shù)集的子集正確答案：D參考解析：一個(gè)有理數(shù)乘另一個(gè)有理數(shù)的積仍然是有理數(shù)，即有理數(shù)對于乘法運(yùn)算是封閉的，A項(xiàng)正確。有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)構(gòu)成單射，任何兩個(gè)有理數(shù)都可以比較大小，B項(xiàng)正確。實(shí)數(shù)集包括有理數(shù)集和無理數(shù)集，而實(shí)數(shù)集又是復(fù)數(shù)集的真子集，所以有理數(shù)集是實(shí)數(shù)集的子集，也是復(fù)數(shù)集的子集，故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤。2[單選題]設(shè)a，b為非零向量，下列命題正確的是（）(易錯(cuò))(1)a×b垂直于a；(2)a×b垂直于b；(3)a×b平行于a；(4)a×b平行于b。正確的個(gè)數(shù)是（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)正確答案：C參考解析：本題考查向量積的知識(shí)。向量積的定義，設(shè)向量c由向量a與b按如下方式確定：①向量c的模|c|=|a||b|sinθ，θ為向量a與b的夾角；②向量c的方向既垂直于向量a，又垂直于向量b，且其指向符合右手定則，則向量c叫作向量a與b的向量積，記作c=a×b。根據(jù)向量積的定義，可知題干中的(1)(2)正確，(3)(4)錯(cuò)誤。故本題選C。3[單選題]設(shè)?(x)為開區(qū)間(a，b)上的可導(dǎo)函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.?(x)在(a，b)上必有最大值B.?(x)在(a，b)上必一致連續(xù)C.?(x)在(a，b)上必有界D.?(x)在(a，b)上必連續(xù)正確答案：D參考解析：根據(jù)微積分的知識(shí)，可導(dǎo)的函數(shù)必連續(xù)，

4[單選題]A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無窮多個(gè)正確答案：B參考解析：n個(gè)未知量的非齊次線性方程組AX=b有解的充要條件是其系數(shù)矩陣A的秩等于其增廣矩陣B的秩。而當(dāng)r(4)=r(B)=n時(shí)，方程組有唯一解，當(dāng)r(4)=r(B)<n時(shí)，方程組有無窮多個(gè)解；當(dāng)r(4)<r(B)時(shí)，方程組無解。本題中，因

5[單選題]邊長為4的正方體木塊，各面均涂成紅色，將其鋸成64個(gè)邊長為1的小正方體，并將它們攪勻混在一起，隨機(jī)抽取一個(gè)小正方體，恰有兩面為紅色的概率是（）A.B.C.D.正確答案：A參考解析：鋸成64個(gè)邊長為1的小正方體后，涂色的面有以下幾種情況：涂3面的小正方體分別在大正方體的8個(gè)頂點(diǎn)處，共有8個(gè)；涂2面的小正方體分別是大正方體的每條棱的中間的2個(gè)，而大正方體共有12條棱，那么，涂2面的小正方體有2×12=24個(gè)；涂1面的小正方體分別是每個(gè)面的中間的4個(gè)，而大正方體共有6個(gè)面，那么，涂1面的小正方體有4×6=24個(gè)；6個(gè)面都沒有涂色的小正方體有64-8-24-24=8個(gè)，則隨機(jī)抽取一個(gè)小正方體，恰有兩面為紅色的概率是

6[單選題]在空間直角坐標(biāo)系中，拋物柱面y2=2x與平面x-y-2=0的交為（）A.橢圓B.兩條平行直線C.拋物線D.雙曲線正確答案：B參考解析：拋物柱面y2=2x與平面x-y-2=0可看作是xOy平面內(nèi)的曲線y2=2x與直線x-y-2=0沿平行。軸方向平移得到的面。聯(lián)立方程y2=2x與方程x-y-2=0，消去y得x2-6x+4=0，其中△=62-4×4×1=20＞0，故在zOy片面內(nèi)曲線y2=2x與直線x-y-2=0的交是兩個(gè)點(diǎn)。沿著平行于2軸的方向平移這兩個(gè)點(diǎn)，就得到了兩條平行直線，即拋物柱面y2=2x與平面x-y-2=0的交為平行于z軸的兩條平行直線。7[單選題]下面不屬于“尺規(guī)作圖三大問題”的是（）(?？?A.三等分任意角B.作一個(gè)立方體使之體積等于已知立方體體積的二倍C.作一個(gè)正方形使之面積等于已知圓的面積D.作一個(gè)正方形使之面積等于已知正方形面積的二倍正確答案：D參考解析：“尺規(guī)作圖三大問題”是指三等分角，即三等分任意角；立方倍積，即作一個(gè)立方體使之體積等于已知立方體體積的二倍；化圓為方，即作一個(gè)正方形使之面積等于已知圓的謠積。8[單選題]下列內(nèi)容屬于高中數(shù)學(xué)必修課程內(nèi)容的是（）A.風(fēng)險(xiǎn)與決策B.平面向量C.數(shù)列與差分D.矩陣與變換正確答案：B參考解析：平面向量是高中數(shù)學(xué)必修4的內(nèi)容，風(fēng)險(xiǎn)與決策是高中數(shù)學(xué)選修4—9的內(nèi)容，數(shù)列與差分是高中數(shù)學(xué)選修4—3的內(nèi)容，矩陣與變換是選修4—2的內(nèi)容。9[簡答題]參考解析：

10[簡答題]求三次曲面x2-2y2+x2+xy+1=0過點(diǎn)(1，2，2)的切平面的法向量。(常者)參考解析：11[簡答題]設(shè)acosx+bsinx是R到R的函數(shù)，V={acosx+bsinx|a，b∈R}是函數(shù)集合，對?∈V，令D?(x)=?′(x)，即D將一個(gè)函數(shù)變成它的導(dǎo)函數(shù)，證明D是V到V上既單又滿的映射。參考解析：

因此D是V到V上的單射。綜上可知V到V既是單射又是滿射，即D是V到V上既單又滿的映射。12[簡答題]簡述確定中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法的依據(jù)。參考解析：教學(xué)方法是教師引導(dǎo)學(xué)生掌握知識(shí)、技能，獲得身心發(fā)展而共同活動(dòng)的方法。選擇中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法的依據(jù)：(1)依據(jù)教學(xué)的目的和任務(wù)選擇教學(xué)方法；(2)根據(jù)教材內(nèi)容的特點(diǎn)選擇教學(xué)方法；(3)依據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況選擇教學(xué)方法；(4)依據(jù)教師本身的素質(zhì)選擇教學(xué)方法；(5)依據(jù)各種教學(xué)方法的職能、適用范圍和使用條件選擇教學(xué)方法；(6)依據(jù)教學(xué)時(shí)間和效率的要求選擇教學(xué)方法。13[簡答題]簡述你對《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實(shí)驗(yàn))中“探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式”這一目標(biāo)的理解。參考解析：“探索”是過程與方法目標(biāo)行為動(dòng)詞，“掌握”是知識(shí)與技能目標(biāo)行為動(dòng)詞。“探索和掌握兩點(diǎn)間距離公式”這一目標(biāo)的設(shè)置，要求學(xué)生不僅要記住該公式的內(nèi)容，還需要掌握該公式的推導(dǎo)過程，聯(lián)系知識(shí)問的內(nèi)在關(guān)系，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備。探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系。兩點(diǎn)間的距離公式是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一，在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位。探索兩點(diǎn)間的距離公式的過程中需要數(shù)軸、直角坐標(biāo)系、直角三角形、勾股定理等知識(shí)，而兩點(diǎn)間的距離公式又是幾何中最簡單的一種距離，點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線間的距離、兩平行平面間的距離、異面直線公垂線段的長度等計(jì)算最終都可以歸結(jié)為兩點(diǎn)間的距離。學(xué)生經(jīng)歷探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式的學(xué)習(xí)過程，能夠更好地體會(huì)并理解這些知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，這對學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心很有幫助。探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，形成正確的數(shù)學(xué)觀。探索兩點(diǎn)間的距離公式經(jīng)歷將幾何問題代數(shù)化的過程，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系。兩點(diǎn)問的距離公式是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的重要橋梁和工具。利用距離公式分析代數(shù)結(jié)果的幾何意義，也有助于最終解決幾何問題。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這樣的數(shù)形結(jié)合的過程，對發(fā)展學(xué)生的推理能力很有益處。14[簡答題]設(shè)f(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)>0。若f′(x)-3x2f(x)=0，且f(0)=1，求f(x)。參考解析：

15[簡答題]論述在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何理解與處理好面向全體學(xué)生與關(guān)注學(xué)生個(gè)體差異的關(guān)系。參考解析：教學(xué)活動(dòng)應(yīng)努力使全體學(xué)生達(dá)到課程目標(biāo)的基本要求，同時(shí)要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，促進(jìn)每個(gè)學(xué)生在原有基礎(chǔ)上的發(fā)展。①對于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，教師要給予及時(shí)的關(guān)注與幫助，鼓勵(lì)他們主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，并嘗試用自己的方式解決問題、發(fā)表自己的看法；要及時(shí)地肯定他們的點(diǎn)滴進(jìn)步，耐心地引導(dǎo)他們分析產(chǎn)生困難或錯(cuò)誤的原因，并鼓勵(lì)他們自己去改正，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。對于學(xué)有余力并對數(shù)學(xué)有興趣的學(xué)生，教師要為他們提供足夠的材料和思維空間，指導(dǎo)他們閱讀，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能。在教學(xué)活動(dòng)中，要鼓勵(lì)與提倡解決問題策略的多樣化，恰當(dāng)評價(jià)學(xué)生在解決問題過程中所表現(xiàn)出的不同水平。問題情境的設(shè)計(jì)、教學(xué)過程的展開、練習(xí)的安排等要盡可能地讓所有學(xué)生都能主動(dòng)參與，提出各自解決問題的策略。引導(dǎo)學(xué)生通過與他人的交流選擇合適的策略，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提高思維水平。16[簡答題]案例：教學(xué)片段：通過前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)得到了異面直線的概念，即不在同一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線。為了進(jìn)一步理解這一概念，請同學(xué)們回答下面的問題：如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′的棱所在的直線中，與線段A′B所在直線成異面直線的有幾條?對于這個(gè)問題，甲、乙兩位同學(xué)舉手回答，甲同學(xué)回答5條，乙同學(xué)回答6條。教師只肯定了乙同學(xué)后，就要求學(xué)生們做另一組題目。問題：(1)針對教師的教學(xué)處理，談?wù)勀愕目捶ǎ?10分)(2)假如你是這位教師，教學(xué)中應(yīng)如何處理甲同學(xué)這種“找不全”的現(xiàn)象?(10分)參考解析：(1)我認(rèn)為這位老師的教學(xué)處理不太妥當(dāng)。首先，教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與，交往互動(dòng)，共同發(fā)展的過程。教師在提問了兩名學(xué)生得到答案后。只肯定了乙同學(xué)，就進(jìn)行后續(xù)的教學(xué)，沒有做到面向全體學(xué)生，違背了新課標(biāo)改革中教育觀的要求。其次，在兩位同學(xué)回答后，只有結(jié)果性評價(jià)，沒有過程性評價(jià)，不利于學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。最后，針對其中的錯(cuò)誤答案，沒有引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤原因，沒有很好地起到組織者、引導(dǎo)者以及合作者的作用。(2)①甲同學(xué)這種“找不全”的現(xiàn)象可能是由于對異面直線的概念理解不清，導(dǎo)致找不全。教師在日常教學(xué)過程中，應(yīng)多運(yùn)用這些學(xué)習(xí)概念，使學(xué)生在認(rèn)識(shí)上獲得鞏固加深，培養(yǎng)和提高他們運(yùn)用概念，分析問題和解決問題的能力，形成新認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生善于總結(jié)，從一個(gè)概念出發(fā)，把關(guān)聯(lián)概念、派生概念串聯(lián)成線，相互對比，既直觀形象，又有利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。如在本題中，教師可以對兩條直線平行、相交、異面的三種位置關(guān)系一同研究，相互對照，有利于學(xué)生對概念的掌握。②甲同學(xué)這種“找不全”的現(xiàn)象還可鞥呢是由于解題方法不得當(dāng)，思維缺少調(diào)理性，導(dǎo)致遺漏。針對這一問題，用條件、結(jié)論的改變拓展學(xué)生的思維，如提問某個(gè)類型的典型題目選擇哪一種解法最佳，為什么要選擇這種解題方法，要講充分，方能讓學(xué)生真正掌握，還要注意解題方法的比較、總結(jié)這一細(xì)節(jié)，學(xué)生才能進(jìn)一步認(rèn)識(shí)規(guī)律。如本題尋找異面直線的問題，可以轉(zhuǎn)化為尋找共面直線，這樣就大幅度地降低了本題目的難度，有利于學(xué)生對該知識(shí)的理解。17[簡答題]針對“二項(xiàng)式定理”的教學(xué)，教師制定了如下的教學(xué)目標(biāo)：①掌握二項(xiàng)式定理，能用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)二項(xiàng)式定理；②經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理的過程。依據(jù)這一教學(xué)目標(biāo)，請完成下列任務(wù)：(1)設(shè)計(jì)一個(gè)發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理的教學(xué)引入片段，并說明設(shè)計(jì)意圖；(15分)(2)給出引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)二項(xiàng)式定理的基本步驟。(15分)參考解析：(1)看一看以下式子，展開式是什么?有多少項(xiàng)?

通過上面的等式，大家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一定的規(guī)律，展開式的首項(xiàng)和末項(xiàng)的系數(shù)均為1，中間項(xiàng)系數(shù)為其“肩上”的兩個(gè)數(shù)字之和。

那么(a+b)n是否也有這樣的規(guī)律呢?你能準(zhǔn)確寫出這些項(xiàng)嗎?引出新課。設(shè)計(jì)意圖：通過這樣的導(dǎo)入設(shè)計(jì)，首先創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及求知欲，有利于后續(xù)課堂的繼續(xù)推進(jìn)，另外在引導(dǎo)的過程中，先從簡單的式子人手，再一步步深入，符合學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，也為其在后續(xù)推導(dǎo)(a+b)n的過程中提供一定的方法和依據(jù)。(2)推導(dǎo)二項(xiàng)式定理的基本步驟：

推導(dǎo)思路如下：(a+b)2是2個(gè)(a+b)相乘，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，每個(gè)(a+