風(fēng)險(xiǎn)厭惡培訓(xùn)講義課件

風(fēng)險(xiǎn)厭惡第7

章風(fēng)險(xiǎn)厭惡第7章1概述作為偏好的一個基本性質(zhì)，我們要求它是凸的，偏好的凸性對參與者的最優(yōu)消費(fèi)/組合選擇有重要的影響。這一章我們將進(jìn)行一些具體研究。

本章從上一章的效用函數(shù)出發(fā)，了解凸性的經(jīng)濟(jì)意義，引出風(fēng)險(xiǎn)厭惡的概念及其度量。最后考慮不同偏好所反應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡之間的比較。

2022/12/162《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江概述作為偏好的一個基本性質(zhì)，我們要求它是凸的，偏好的凸性對參2本章內(nèi)容框架7.1邊際效用遞減7.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義7.3風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量7.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子7.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較7.6一階風(fēng)險(xiǎn)厭惡7.7本章小結(jié)2022/12/163《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江本章內(nèi)容框架7.1邊際效用遞減2022/12/143《金融37.1邊際效用遞減定義7.1:對于函數(shù)u(·)，如果?x,y和

α∈[0,1]，有

u(αx+(1?α)y)≥αu(x)+(1?α)u(y)

（?uE(x)≥Eu(x)）

則我們稱u(·)為凹的。我們立即可以得到下面的定理：

定理7.1:如果凸的連續(xù)偏好由(6.4)式中的期望效用函數(shù)表示，那么相應(yīng)的效用函數(shù)u(·)是凹的。

2022/12/164《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.1邊際效用遞減定義7.1:對于函數(shù)u(·)，如果?x,47.1邊際效用遞減(續(xù))證明：

我們只考慮如下的消費(fèi)計(jì)劃：[c0;c1]=[x;0]。?x>y以及α∈(0,1)，偏好的凸性要求：u(αx+(1?α)y)>αu(x)+(1?α)u(y)

如果我們用不等式代替嚴(yán)格不等式，顯然成立

而當(dāng)α=0和α=1時也滿足

u(αx+(1?α)y)≥αu(x)+(1?α)u(y)

再考慮x和y的關(guān)系。

綜合以上α，以及x，y的取值情況。可知滿足定義7.1的條件，易得：u是凹的2022/12/165《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.1邊際效用遞減(續(xù))證明：

我們只考慮如下的消費(fèi)計(jì)劃：57.1邊際效用遞減(續(xù))定理7.2:如果凹函數(shù)u(·)還是二階可微的，那么u”≤0

證明：令x=z-δ,y=z+δ以及α=1/2,那么,u是凹的意味著u(z)≥1/2[u(z-δ)+u(z+δ)],即：

0≥

如果u是二階可微的，我們可以在上面的不等式中取極限δ→0，從而得到u”≤0。2022/12/166《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.1邊際效用遞減(續(xù))定理7.2:如果凹函數(shù)u(·)還是67.1邊際效用遞減(續(xù))現(xiàn)在我們來考察6.4式的期望效用函數(shù)為凹性的經(jīng)濟(jì)含義，u(·)表示的是消費(fèi)的直接效用，它的一階導(dǎo)數(shù)u′(·)表示的是消費(fèi)的邊際效用。不滿足性要求u′(·)>0，即邊際效用始終為正。偏好的凸性意味著u”(·)

≤0，也就是說邊際效用是消費(fèi)的減函數(shù)。邊際效用遞減意味著當(dāng)消費(fèi)水平上升時，一單位額外消費(fèi)得到的效用遞減。2022/12/167《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.1邊際效用遞減(續(xù))現(xiàn)在我們來考察6.4式的期望效用函77.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義上一節(jié)我們討論了期望效用函數(shù)u(·)的凹性的一個重要含義是邊際效用遞減，這一節(jié)我們將繼續(xù)探討期望效用函數(shù)的另一個重要含義，也就是當(dāng)偏好可以由期望效用表示時，凸性（凹函數(shù)）意味著風(fēng)險(xiǎn)厭惡。這節(jié)重點(diǎn)討論風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義以及它與效用函數(shù)的關(guān)系。2022/12/168《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義上一節(jié)我們討論了期望效用函數(shù)u(·)的87.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義(續(xù))定義7.2:

記

為一個不確定的支付。如果E[]=0，則稱為一個公平賭博。定義7.3:

如果滿足

則稱效用函數(shù)u(·)的參與者是(嚴(yán)格)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義十分清楚。在期望值相同（?E(w+)=E(w)）的不確定性支付和確定性支付之間，一個風(fēng)險(xiǎn)厭惡的參與者總是選擇后者。Eg：2022/12/169《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義(續(xù))定義7.2:記為一個不確97.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義(續(xù))定理7.3:

當(dāng)且僅當(dāng)u是(嚴(yán)格)凹函數(shù)是，參與者是(嚴(yán)格)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的。

證明:風(fēng)險(xiǎn)厭惡?凹函數(shù)

?w1,w2(w1>w2)以及p∈(0,1)，構(gòu)造如下的伯努利賭博

，概率為{p,1?p}，且

很明顯E[]=0。定義那么有

w1=w+g1

,w2=w+g2

風(fēng)險(xiǎn)厭惡意味著（由定義7.3）

2022/12/1610《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義(續(xù))定理7.3:當(dāng)且僅當(dāng)u是(嚴(yán)格107.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義(續(xù))0w+g2ww+g1U(w+g2)U(w)U(w+g1)pU(w+g1)+(1-p)U(w+g2)2022/12/1611《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義(續(xù))0w+g2ww+g1U(w+g2117.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義(續(xù))那么，

因此(據(jù)定義7.1)

，u是凹函數(shù)。凹函數(shù)?風(fēng)險(xiǎn)厭惡

因?yàn)閡是凹函數(shù)，由Jensen不等式，我們有

因此，(據(jù)定義7.3)易得參與者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的。定理7.3證明了當(dāng)偏好可以由期望效用表示時，凸性（凹函數(shù)）意味著風(fēng)險(xiǎn)厭惡。2022/12/1612《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義(續(xù))那么，

因此(據(jù)定義7.1)127.3風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量給出了風(fēng)險(xiǎn)厭惡的一般定義以后，我們很自然的考慮到如何量化，也就是說我們能否有一個風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量，可以讓我們比較不同參與者或者同一參與者在不同情況下的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度？我們應(yīng)該很清楚，一切風(fēng)險(xiǎn)的度量都應(yīng)該與風(fēng)險(xiǎn)本身有關(guān)，對于不同的風(fēng)險(xiǎn)都應(yīng)該有不同的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量。本章節(jié)主要是對小風(fēng)險(xiǎn)的情形進(jìn)行度量，包括絕對風(fēng)險(xiǎn)度量和相對風(fēng)險(xiǎn)度量。2022/12/1613《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量給出了風(fēng)險(xiǎn)厭惡的一般定義以后，我們很自13風(fēng)險(xiǎn)測量指標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)貼水方差舉例：景氣不景氣期望等價A3/181/102/141.6/10B4/200/02/101/102022/12/1614《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江風(fēng)險(xiǎn)測量指標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)貼水景氣不景氣期望等價A3/181/102/147.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))風(fēng)險(xiǎn)厭惡的參與者偏好于確定性支付而不是不確定性支付。這種偏好的強(qiáng)度可以用風(fēng)險(xiǎn)溢價來衡量，其定義如下：定義7.4:

一個參與者參與一個公平賭博所要求的風(fēng)險(xiǎn)溢價π，定義為

(7.1)

也就是說，風(fēng)險(xiǎn)溢價是參與者為了消除風(fēng)險(xiǎn)而愿意放棄的財(cái)富值。上式定義中的?π，被稱為風(fēng)險(xiǎn)賭博的確定性等值CE，CE是一個完全確定的收入量，在此收入水平上所對應(yīng)的效用水平等于不確定條件下期望的效用水平。2022/12/1615《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))風(fēng)險(xiǎn)厭惡的參與者偏好于確定性支付而157.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))另外，我們也可以把它定義成參與者因?yàn)槌袚?dān)風(fēng)險(xiǎn)而要求的最小財(cái)富值：

E[u(w++)]=u(w)

對于相同的風(fēng)險(xiǎn)而言，和π不一定相同。但是我們將看到，對于小風(fēng)險(xiǎn)而言，他們是一樣的。一般來說，風(fēng)險(xiǎn)溢價依賴于風(fēng)險(xiǎn)本身，也就是賭博的性質(zhì)。當(dāng)然，它也依賴于參與者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。2022/12/1616《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))另外，我們也可以把它定義成參與者因167.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))考慮小風(fēng)險(xiǎn)：定義7.5:當(dāng)隨機(jī)變量的取值范圍很小時，稱

為風(fēng)險(xiǎn)小的賭博。一個隨機(jī)變量的取值范圍定義為它的最大值和最小值之差。對于小風(fēng)險(xiǎn)，通過泰勒展開(7.1)式兩邊，我們有等式：

因此小風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價為2022/12/1617《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))考慮小風(fēng)險(xiǎn)：2022/12/141177.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))很容易驗(yàn)證，對于小風(fēng)險(xiǎn)而言，上面給出的風(fēng)險(xiǎn)溢價的另一個定義與π相同。式(7.2)給出的風(fēng)險(xiǎn)溢價有一個很直觀的解釋：對于小風(fēng)險(xiǎn)而言，方差是風(fēng)險(xiǎn)大小的度量。風(fēng)險(xiǎn)溢價與風(fēng)險(xiǎn)的大小成正比，而比例系數(shù)反映了參與者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。除去客觀因素var[]，僅留下反映個體主觀因素的部分，我們得到了風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量，記為A(w)，它的定義如下：2022/12/1618《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))很容易驗(yàn)證，對于小風(fēng)險(xiǎn)而言，上面給187.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))因?yàn)锳(w)是與每單位絕對風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價相聯(lián)系的，因此也被稱為絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡。絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡不僅依賴于效用函數(shù)，它也依賴于財(cái)富水平w。因此我們在風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義中明確地標(biāo)出其對財(cái)富水平的依賴。通常把絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡的倒數(shù)稱作風(fēng)險(xiǎn)容忍系數(shù)：2022/12/1619《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))因?yàn)锳(w)是與每單位絕對風(fēng)險(xiǎn)的197.3相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡Arrow-Pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量是對于給定絕對大小的風(fēng)險(xiǎn)而定義的。它并不考慮風(fēng)險(xiǎn)對于參與者的總財(cái)富的相對大小。我們也可以考慮如下以總財(cái)富作為基數(shù)的賭博和風(fēng)險(xiǎn)溢價：

這里，賭博的盈虧為w，是與總財(cái)富成比例的。相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)溢價也如此。對于小規(guī)模的賭博，我們有2022/12/1620《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡Arrow-Pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量是對207.3相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))這樣就可以得到參與者的相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡，記作R(w)，定義為

因此，如果參與者面臨的風(fēng)險(xiǎn)是與他的財(cái)富成比例的，相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)溢價作為其財(cái)富的一部分，是與他的相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡以及風(fēng)險(xiǎn)相對于財(cái)富的大小成比例的。

2022/12/1621《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))這樣就可以得到參與者的相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡，217.3風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量(續(xù))風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量應(yīng)該是與我們所考慮的風(fēng)險(xiǎn)本身相聯(lián)系的。從他們的定義可以看到，上面引入的絕對和相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡都是相對于小風(fēng)險(xiǎn)而言的，可能不適合面臨大風(fēng)險(xiǎn)時的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量。在定義風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量的同時，我們也得到了對(小)風(fēng)險(xiǎn)本身的一個度量，即方差。2022/12/1622《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量(續(xù))風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量應(yīng)該是與我們所考慮227.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子下面我們來看看幾個關(guān)于效用函數(shù)及其風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量的例子。1.線性或風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)：u(w)=w

A(w)=R(w)=0

風(fēng)險(xiǎn)中性參與者的風(fēng)險(xiǎn)容忍是無窮的。2.負(fù)指數(shù)效用函數(shù)：u(w)=-e-aw

A(w)=a，R(w)=aw

負(fù)指數(shù)效用函數(shù)具有常數(shù)絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(CARA)，對于一個CARA效用函數(shù)，相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡隨著財(cái)富的增加而增加。2022/12/1623《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子下面我們來看看幾個關(guān)于效用函數(shù)及其237.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))3.平方效用函數(shù)：

對于該效用函數(shù)而言，邊際效用為u′(w)=1-aw。當(dāng)w>1/a時它就成了負(fù)值了，為了保證不滿足性，要限制w不能超過1/a。

另一個性質(zhì)是絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡隨財(cái)富的增加而增加。也就是說，當(dāng)參與者的財(cái)富越來越多是，對風(fēng)險(xiǎn)就越來越不能容忍。2022/12/1624《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))3.平方效用函數(shù)：

對于247.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))4.冪指數(shù)效用函數(shù)：

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡隨財(cái)富的增加而遞減，相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡為常數(shù)。具有常數(shù)相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(CRRA)的偏好。其風(fēng)險(xiǎn)容忍對財(cái)富是線性的。5.對數(shù)效用函數(shù)：u(w)=logw

對數(shù)效用函數(shù)可以看成是當(dāng)γ→1時冪指數(shù)效用的極限。因此也屬于CRRA類。2022/12/1625《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))4.冪指數(shù)效用函數(shù)：

絕257.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))6.雙曲線絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(HARA)效用函數(shù)：直接由它們的風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量定義

風(fēng)險(xiǎn)容忍為線性的。這是較大的一類效用函數(shù)，包括前面例舉的所有類型。作為HARA偏好的特例，有：2022/12/1626《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))6.雙曲線絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(HA267.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))

1.風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)：d=∞;

2.平方數(shù)效用函數(shù)：γ=-1且d=1/a;

3.負(fù)指效用函數(shù)：γ→∞且d=1/a;

4.冪指數(shù)效用函數(shù)：d=0,γ>0且γ≠1;

5.對數(shù)效用函數(shù)：d=0且γ→1。

2022/12/1627《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))

1.風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)：d277.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))給定某個偏好，若其絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡隨財(cái)富增加（減少）而增加（減少），即A′(w)>(<)0，則我們稱之為絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡遞增IARA（遞減DARA）如果其相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡隨財(cái)富增加（減少）而增加（減少），即R′(w)>(<)0，則我們稱之為相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡遞增IRRA（遞減DRRA）2022/12/1628《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))給定某個偏好，若其絕對風(fēng)險(xiǎn)厭287.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較前面定義的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量反映了參與者對風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，并且由他們的偏好決定。

這一節(jié)我們將考慮如何使用這樣的度量來幫助我們比較不同參與者對風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度。2022/12/1629《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較前面定義的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量反映了參與者對風(fēng)297.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))記u1(w)和u2(w)為兩個遞增的、二階可微的效用函數(shù)，A1(w)和A2(w)是它們的絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。定理7.4:下面的命題等價(基于上面的假設(shè))

1.A1(w)≥A2(w)，?w;

2.;

3.

4.π1≥π2，對所有的w和公平賭博成立。2022/12/1630《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))記u1(w)和u2(w)為兩個遞307.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))證明：1?2：

因?yàn)閡′(w)>0

，立即可以得到f是凹的，也就是f’’≤0，如果A1(w)≥A2(w)

。2022/12/1631《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))證明：2022/12/1431《317.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))2?3：

因?yàn)閡2是遞增的，存在。定義f(z)=。那么，f(u2(w))=u1(w)可以當(dāng)成3的f(·)，這與上面定義的函數(shù)f(·)完全相同?？梢则?yàn)證一階導(dǎo)大于零且二階導(dǎo)小于零，這就證明了結(jié)論。2022/12/1632《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))2?3：

因?yàn)閡2是遞增的，327.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))3?4：

對于任意的賭博，我們有

因?yàn)閒是凹的，由Jensen不等式就能推出要證明的不等式成立。注意u1(w-π2)=f(u2(w-π2))，我們有π1≥π2。2022/12/1633《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))3?4：

對于任意的賭博，我337.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))4?1：

對于小賭博而言，有π1≥π2，這就意味著A1(w)≥A2(w)。

如果對于?w，A1(w)>A2(w)，那么我們就稱參與者1“總體上”比參與這2更為厭惡風(fēng)險(xiǎn)。2022/12/1634《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))4?1：

對于小賭博而言，有π347.6一階風(fēng)險(xiǎn)厭惡第六章中談到了效用函數(shù)的不可微性與對風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度之間的關(guān)系。這一節(jié)將對其進(jìn)行補(bǔ)充。本章的前幾節(jié)對風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量的討論中，都假設(shè)了效用函數(shù)是可微的，在此基礎(chǔ)上來考慮小風(fēng)險(xiǎn)，引入風(fēng)險(xiǎn)度量。如果效用函數(shù)是不可微的，則要將前面的討論進(jìn)行修正。2022/12/1635《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.6一階風(fēng)險(xiǎn)厭惡第六章中談到了效用函數(shù)的不可微性與對風(fēng)險(xiǎn)357.6一階風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))仍用第六章的效用函數(shù)例子來考慮：

u(w)=a->a+>0

顯然，u(w)在處不可微。假設(shè)財(cái)富水平恰好是。我們來看一個公平的Bernoulli賭博：輸贏概率相等，其值為δ。相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)溢價為：π=?(a--a+)δ

這個博弈的方差是δ2。2022/12/1636《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.6一階風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))仍用第六章的效用函數(shù)例子來考慮：

367.6一階風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))從前面可知，當(dāng)效用函數(shù)可微時，風(fēng)險(xiǎn)溢價和方差成比例（π∝A(w)δ2）。而在其不可微時，風(fēng)險(xiǎn)溢價和方差的平方根成比列，即與風(fēng)險(xiǎn)的規(guī)模（以δ來衡量）成線性關(guān)系。

在δ很小時，它要比可微時大得多，即高一階。這也意味著相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)要大得多，且要高一階。因此，也稱之為一階風(fēng)險(xiǎn)厭惡。前景理論2022/12/1637《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.6一階風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))從前面可知，當(dāng)效用函數(shù)可微時，風(fēng)險(xiǎn)377.7本章小結(jié)期望效用函數(shù)的兩個重要含義：

邊際效用遞減

凸性意味著風(fēng)險(xiǎn)厭惡風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡

相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較一階風(fēng)險(xiǎn)厭惡1.風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)2.負(fù)指數(shù)效用函數(shù)

3.平方效用函數(shù)

4.冪指數(shù)效用函數(shù)

5.對數(shù)效用函數(shù)6.雙曲線絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)1.A1(w)≥A2(w)，?w;

2.;

3.

4.π1≥π2，對所有的w和公平賭博成立。效用函數(shù)可微時，風(fēng)險(xiǎn)溢價和方差成比例。不可微時，與風(fēng)險(xiǎn)的規(guī)模成線性關(guān)系。

δ很小時，它要比可微時大得多，即高一階。2022/12/1638《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.7本章小結(jié)期望效用函數(shù)的兩個重要含義：

邊際效用38Theend。2022/12/1639《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江Theend。2022/12/1439《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王39伯努利賭博伯努利提供了一個這樣的例子：有兩個人，每人有100枚硬幣，他們決定進(jìn)行一場公平的賭博。例如擲硬幣，這樣他們輸贏的比率是50:50，籌碼不會被賭場抽頭，也不會有其他的減少。擲硬幣時，每人下注50，這意味著在賭博結(jié)束時他們最終有150枚硬幣和有50枚硬幣的機(jī)會是相同的。伯努利的效用理論揭示了一種不對稱，它可以解釋為什么人們對這種勢均力敵的賭博不感興趣。輸家輸?shù)?0所受的痛苦要比贏家贏得50所得到的快樂大。從數(shù)學(xué)的角度看，當(dāng)根據(jù)效用來評估時，零和博弈是輸家的游戲。最好的決定是雙方都拒絕這個游戲。2022/12/1640《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江伯努利賭博伯努利提供了一個這樣的例子：有兩個人，每人有10040Jensen不等式（琴生不等式）設(shè)f(x)為凸性函數(shù)，則f[(x1+x2+……+xn)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),稱為琴生不等式（冪平均）。加權(quán)形式為：f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),

其中ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.2022/12/1641《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江Jensen不等式（琴生不等式）設(shè)f(x)為凸性函數(shù)，則f[41前景理論心理學(xué)家丹尼爾-卡尼曼在2003年以“前景理論”獲得了2002年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎后，美國最大、最有影響的經(jīng)濟(jì)系哈佛大學(xué)經(jīng)濟(jì)系開辟了新的經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)課程行為經(jīng)濟(jì)學(xué)。前景理論是由期望值理論和期望效用理論發(fā)展而來的。前景理論有三個基本原理：一是大多數(shù)人在面臨獲得時是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的；二是大多數(shù)人在面臨損失時是風(fēng)險(xiǎn)偏愛的；三是人們對損失比對獲得更敏感。因此，人們在面臨獲得時往往是小心翼翼，不愿冒風(fēng)險(xiǎn)；而在面對失去時會很不甘心，容易冒險(xiǎn)。人們對損失和獲得的敏感程度是不同的，損失時的痛苦感要大大超過獲得時的快樂感。2022/12/1642《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江前景理論心理學(xué)家丹尼爾-卡尼曼在2003年以“前景理論”獲得42演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！43

風(fēng)險(xiǎn)厭惡第7

章風(fēng)險(xiǎn)厭惡第7章44概述作為偏好的一個基本性質(zhì)，我們要求它是凸的，偏好的凸性對參與者的最優(yōu)消費(fèi)/組合選擇有重要的影響。這一章我們將進(jìn)行一些具體研究。

本章從上一章的效用函數(shù)出發(fā)，了解凸性的經(jīng)濟(jì)意義，引出風(fēng)險(xiǎn)厭惡的概念及其度量。最后考慮不同偏好所反應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡之間的比較。

2022/12/1645《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江概述作為偏好的一個基本性質(zhì)，我們要求它是凸的，偏好的凸性對參45本章內(nèi)容框架7.1邊際效用遞減7.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義7.3風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量7.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子7.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較7.6一階風(fēng)險(xiǎn)厭惡7.7本章小結(jié)2022/12/1646《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江本章內(nèi)容框架7.1邊際效用遞減2022/12/143《金融467.1邊際效用遞減定義7.1:對于函數(shù)u(·)，如果?x,y和

α∈[0,1]，有

u(αx+(1?α)y)≥αu(x)+(1?α)u(y)

（?uE(x)≥Eu(x)）

則我們稱u(·)為凹的。我們立即可以得到下面的定理：

定理7.1:如果凸的連續(xù)偏好由(6.4)式中的期望效用函數(shù)表示，那么相應(yīng)的效用函數(shù)u(·)是凹的。

2022/12/1647《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.1邊際效用遞減定義7.1:對于函數(shù)u(·)，如果?x,477.1邊際效用遞減(續(xù))證明：

我們只考慮如下的消費(fèi)計(jì)劃：[c0;c1]=[x;0]。?x>y以及α∈(0,1)，偏好的凸性要求：u(αx+(1?α)y)>αu(x)+(1?α)u(y)

如果我們用不等式代替嚴(yán)格不等式，顯然成立

而當(dāng)α=0和α=1時也滿足

u(αx+(1?α)y)≥αu(x)+(1?α)u(y)

再考慮x和y的關(guān)系。

綜合以上α，以及x，y的取值情況?？芍獫M足定義7.1的條件，易得：u是凹的2022/12/1648《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.1邊際效用遞減(續(xù))證明：

我們只考慮如下的消費(fèi)計(jì)劃：487.1邊際效用遞減(續(xù))定理7.2:如果凹函數(shù)u(·)還是二階可微的，那么u”≤0

證明：令x=z-δ,y=z+δ以及α=1/2,那么,u是凹的意味著u(z)≥1/2[u(z-δ)+u(z+δ)],即：

0≥

如果u是二階可微的，我們可以在上面的不等式中取極限δ→0，從而得到u”≤0。2022/12/1649《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.1邊際效用遞減(續(xù))定理7.2:如果凹函數(shù)u(·)還是497.1邊際效用遞減(續(xù))現(xiàn)在我們來考察6.4式的期望效用函數(shù)為凹性的經(jīng)濟(jì)含義，u(·)表示的是消費(fèi)的直接效用，它的一階導(dǎo)數(shù)u′(·)表示的是消費(fèi)的邊際效用。不滿足性要求u′(·)>0，即邊際效用始終為正。偏好的凸性意味著u”(·)

≤0，也就是說邊際效用是消費(fèi)的減函數(shù)。邊際效用遞減意味著當(dāng)消費(fèi)水平上升時，一單位額外消費(fèi)得到的效用遞減。2022/12/1650《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.1邊際效用遞減(續(xù))現(xiàn)在我們來考察6.4式的期望效用函507.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義上一節(jié)我們討論了期望效用函數(shù)u(·)的凹性的一個重要含義是邊際效用遞減，這一節(jié)我們將繼續(xù)探討期望效用函數(shù)的另一個重要含義，也就是當(dāng)偏好可以由期望效用表示時，凸性（凹函數(shù)）意味著風(fēng)險(xiǎn)厭惡。這節(jié)重點(diǎn)討論風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義以及它與效用函數(shù)的關(guān)系。2022/12/1651《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義上一節(jié)我們討論了期望效用函數(shù)u(·)的517.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義(續(xù))定義7.2:

記

為一個不確定的支付。如果E[]=0，則稱為一個公平賭博。定義7.3:

如果滿足

則稱效用函數(shù)u(·)的參與者是(嚴(yán)格)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義十分清楚。在期望值相同（?E(w+)=E(w)）的不確定性支付和確定性支付之間，一個風(fēng)險(xiǎn)厭惡的參與者總是選擇后者。Eg：2022/12/1652《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義(續(xù))定義7.2:記為一個不確527.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義(續(xù))定理7.3:

當(dāng)且僅當(dāng)u是(嚴(yán)格)凹函數(shù)是，參與者是(嚴(yán)格)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的。

證明:風(fēng)險(xiǎn)厭惡?凹函數(shù)

?w1,w2(w1>w2)以及p∈(0,1)，構(gòu)造如下的伯努利賭博

，概率為{p,1?p}，且

很明顯E[]=0。定義那么有

w1=w+g1

,w2=w+g2

風(fēng)險(xiǎn)厭惡意味著（由定義7.3）

2022/12/1653《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義(續(xù))定理7.3:當(dāng)且僅當(dāng)u是(嚴(yán)格537.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義(續(xù))0w+g2ww+g1U(w+g2)U(w)U(w+g1)pU(w+g1)+(1-p)U(w+g2)2022/12/1654《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義(續(xù))0w+g2ww+g1U(w+g2547.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義(續(xù))那么，

因此(據(jù)定義7.1)

，u是凹函數(shù)。凹函數(shù)?風(fēng)險(xiǎn)厭惡

因?yàn)閡是凹函數(shù)，由Jensen不等式，我們有

因此，(據(jù)定義7.3)易得參與者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的。定理7.3證明了當(dāng)偏好可以由期望效用表示時，凸性（凹函數(shù)）意味著風(fēng)險(xiǎn)厭惡。2022/12/1655《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義(續(xù))那么，

因此(據(jù)定義7.1)557.3風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量給出了風(fēng)險(xiǎn)厭惡的一般定義以后，我們很自然的考慮到如何量化，也就是說我們能否有一個風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量，可以讓我們比較不同參與者或者同一參與者在不同情況下的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度？我們應(yīng)該很清楚，一切風(fēng)險(xiǎn)的度量都應(yīng)該與風(fēng)險(xiǎn)本身有關(guān)，對于不同的風(fēng)險(xiǎn)都應(yīng)該有不同的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量。本章節(jié)主要是對小風(fēng)險(xiǎn)的情形進(jìn)行度量，包括絕對風(fēng)險(xiǎn)度量和相對風(fēng)險(xiǎn)度量。2022/12/1656《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量給出了風(fēng)險(xiǎn)厭惡的一般定義以后，我們很自56風(fēng)險(xiǎn)測量指標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)貼水方差舉例：景氣不景氣期望等價A3/181/102/141.6/10B4/200/02/101/102022/12/1657《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江風(fēng)險(xiǎn)測量指標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)貼水景氣不景氣期望等價A3/181/102/577.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))風(fēng)險(xiǎn)厭惡的參與者偏好于確定性支付而不是不確定性支付。這種偏好的強(qiáng)度可以用風(fēng)險(xiǎn)溢價來衡量，其定義如下：定義7.4:

一個參與者參與一個公平賭博所要求的風(fēng)險(xiǎn)溢價π，定義為

(7.1)

也就是說，風(fēng)險(xiǎn)溢價是參與者為了消除風(fēng)險(xiǎn)而愿意放棄的財(cái)富值。上式定義中的?π，被稱為風(fēng)險(xiǎn)賭博的確定性等值CE，CE是一個完全確定的收入量，在此收入水平上所對應(yīng)的效用水平等于不確定條件下期望的效用水平。2022/12/1658《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))風(fēng)險(xiǎn)厭惡的參與者偏好于確定性支付而587.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))另外，我們也可以把它定義成參與者因?yàn)槌袚?dān)風(fēng)險(xiǎn)而要求的最小財(cái)富值：

E[u(w++)]=u(w)

對于相同的風(fēng)險(xiǎn)而言，和π不一定相同。但是我們將看到，對于小風(fēng)險(xiǎn)而言，他們是一樣的。一般來說，風(fēng)險(xiǎn)溢價依賴于風(fēng)險(xiǎn)本身，也就是賭博的性質(zhì)。當(dāng)然，它也依賴于參與者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。2022/12/1659《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))另外，我們也可以把它定義成參與者因597.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))考慮小風(fēng)險(xiǎn)：定義7.5:當(dāng)隨機(jī)變量的取值范圍很小時，稱

為風(fēng)險(xiǎn)小的賭博。一個隨機(jī)變量的取值范圍定義為它的最大值和最小值之差。對于小風(fēng)險(xiǎn)，通過泰勒展開(7.1)式兩邊，我們有等式：

因此小風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價為2022/12/1660《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))考慮小風(fēng)險(xiǎn)：2022/12/141607.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))很容易驗(yàn)證，對于小風(fēng)險(xiǎn)而言，上面給出的風(fēng)險(xiǎn)溢價的另一個定義與π相同。式(7.2)給出的風(fēng)險(xiǎn)溢價有一個很直觀的解釋：對于小風(fēng)險(xiǎn)而言，方差是風(fēng)險(xiǎn)大小的度量。風(fēng)險(xiǎn)溢價與風(fēng)險(xiǎn)的大小成正比，而比例系數(shù)反映了參與者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。除去客觀因素var[]，僅留下反映個體主觀因素的部分，我們得到了風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量，記為A(w)，它的定義如下：2022/12/1661《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))很容易驗(yàn)證，對于小風(fēng)險(xiǎn)而言，上面給617.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))因?yàn)锳(w)是與每單位絕對風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價相聯(lián)系的，因此也被稱為絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡。絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡不僅依賴于效用函數(shù)，它也依賴于財(cái)富水平w。因此我們在風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義中明確地標(biāo)出其對財(cái)富水平的依賴。通常把絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡的倒數(shù)稱作風(fēng)險(xiǎn)容忍系數(shù)：2022/12/1662《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))因?yàn)锳(w)是與每單位絕對風(fēng)險(xiǎn)的627.3相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡Arrow-Pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量是對于給定絕對大小的風(fēng)險(xiǎn)而定義的。它并不考慮風(fēng)險(xiǎn)對于參與者的總財(cái)富的相對大小。我們也可以考慮如下以總財(cái)富作為基數(shù)的賭博和風(fēng)險(xiǎn)溢價：

這里，賭博的盈虧為w，是與總財(cái)富成比例的。相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)溢價也如此。對于小規(guī)模的賭博，我們有2022/12/1663《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡Arrow-Pratt風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量是對637.3相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))這樣就可以得到參與者的相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡，記作R(w)，定義為

因此，如果參與者面臨的風(fēng)險(xiǎn)是與他的財(cái)富成比例的，相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)溢價作為其財(cái)富的一部分，是與他的相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡以及風(fēng)險(xiǎn)相對于財(cái)富的大小成比例的。

2022/12/1664《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))這樣就可以得到參與者的相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡，647.3風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量(續(xù))風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量應(yīng)該是與我們所考慮的風(fēng)險(xiǎn)本身相聯(lián)系的。從他們的定義可以看到，上面引入的絕對和相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡都是相對于小風(fēng)險(xiǎn)而言的，可能不適合面臨大風(fēng)險(xiǎn)時的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量。在定義風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量的同時，我們也得到了對(小)風(fēng)險(xiǎn)本身的一個度量，即方差。2022/12/1665《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.3風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量(續(xù))風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量應(yīng)該是與我們所考慮657.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子下面我們來看看幾個關(guān)于效用函數(shù)及其風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量的例子。1.線性或風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)：u(w)=w

A(w)=R(w)=0

風(fēng)險(xiǎn)中性參與者的風(fēng)險(xiǎn)容忍是無窮的。2.負(fù)指數(shù)效用函數(shù)：u(w)=-e-aw

A(w)=a，R(w)=aw

負(fù)指數(shù)效用函數(shù)具有常數(shù)絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(CARA)，對于一個CARA效用函數(shù)，相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡隨著財(cái)富的增加而增加。2022/12/1666《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子下面我們來看看幾個關(guān)于效用函數(shù)及其667.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))3.平方效用函數(shù)：

對于該效用函數(shù)而言，邊際效用為u′(w)=1-aw。當(dāng)w>1/a時它就成了負(fù)值了，為了保證不滿足性，要限制w不能超過1/a。

另一個性質(zhì)是絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡隨財(cái)富的增加而增加。也就是說，當(dāng)參與者的財(cái)富越來越多是，對風(fēng)險(xiǎn)就越來越不能容忍。2022/12/1667《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))3.平方效用函數(shù)：

對于677.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))4.冪指數(shù)效用函數(shù)：

絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡隨財(cái)富的增加而遞減，相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡為常數(shù)。具有常數(shù)相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(CRRA)的偏好。其風(fēng)險(xiǎn)容忍對財(cái)富是線性的。5.對數(shù)效用函數(shù)：u(w)=logw

對數(shù)效用函數(shù)可以看成是當(dāng)γ→1時冪指數(shù)效用的極限。因此也屬于CRRA類。2022/12/1668《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))4.冪指數(shù)效用函數(shù)：

絕687.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))6.雙曲線絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(HARA)效用函數(shù)：直接由它們的風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量定義

風(fēng)險(xiǎn)容忍為線性的。這是較大的一類效用函數(shù)，包括前面例舉的所有類型。作為HARA偏好的特例，有：2022/12/1669《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))6.雙曲線絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(HA697.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))

1.風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)：d=∞;

2.平方數(shù)效用函數(shù)：γ=-1且d=1/a;

3.負(fù)指效用函數(shù)：γ→∞且d=1/a;

4.冪指數(shù)效用函數(shù)：d=0,γ>0且γ≠1;

5.對數(shù)效用函數(shù)：d=0且γ→1。

2022/12/1670《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))

1.風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)：d707.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))給定某個偏好，若其絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡隨財(cái)富增加（減少）而增加（減少），即A′(w)>(<)0，則我們稱之為絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡遞增IARA（遞減DARA）如果其相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡隨財(cái)富增加（減少）而增加（減少），即R′(w)>(<)0，則我們稱之為相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡遞增IRRA（遞減DRRA）2022/12/1671《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的幾個例子(續(xù))給定某個偏好，若其絕對風(fēng)險(xiǎn)厭717.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較前面定義的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量反映了參與者對風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，并且由他們的偏好決定。

這一節(jié)我們將考慮如何使用這樣的度量來幫助我們比較不同參與者對風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度。2022/12/1672《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較前面定義的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量反映了參與者對風(fēng)727.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))記u1(w)和u2(w)為兩個遞增的、二階可微的效用函數(shù)，A1(w)和A2(w)是它們的絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。定理7.4:下面的命題等價(基于上面的假設(shè))

1.A1(w)≥A2(w)，?w;

2.;

3.

4.π1≥π2，對所有的w和公平賭博成立。2022/12/1673《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))記u1(w)和u2(w)為兩個遞737.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))證明：1?2：

因?yàn)閡′(w)>0

，立即可以得到f是凹的，也就是f’’≤0，如果A1(w)≥A2(w)

。2022/12/1674《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))證明：2022/12/1431《747.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))2?3：

因?yàn)閡2是遞增的，存在。定義f(z)=。那么，f(u2(w))=u1(w)可以當(dāng)成3的f(·)，這與上面定義的函數(shù)f(·)完全相同?？梢则?yàn)證一階導(dǎo)大于零且二階導(dǎo)小于零，這就證明了結(jié)論。2022/12/1675《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))2?3：

因?yàn)閡2是遞增的，757.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))3?4：

對于任意的賭博，我們有

因?yàn)閒是凹的，由Jensen不等式就能推出要證明的不等式成立。注意u1(w-π2)=f(u2(w-π2))，我們有π1≥π2。2022/12/1676《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))3?4：

對于任意的賭博，我767.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))4?1：

對于小賭博而言，有π1≥π2，這就意味著A1(w)≥A2(w)。

如果對于?w，A1(w)>A2(w)，那么我們就稱參與者1“總體上”比參與這2更為厭惡風(fēng)險(xiǎn)。2022/12/1677《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.5風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較(續(xù))4?1：

對于小賭博而言，有π777.6一階風(fēng)險(xiǎn)厭惡第六章中談到了效用函數(shù)的不可微性與對風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度之間的關(guān)系。這一節(jié)將對其進(jìn)行補(bǔ)充。本章的前幾節(jié)對風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量的討論中，都假設(shè)了效用函數(shù)是可微的，在此基礎(chǔ)上來考慮小風(fēng)險(xiǎn)，引入風(fēng)險(xiǎn)度量。如果效用函數(shù)是不可微的，則要將前面的討論進(jìn)行修正。2022/12/1678《金融經(jīng)濟(jì)學(xué)》--王江7.6一階風(fēng)險(xiǎn)厭惡第六章中談到了效用函數(shù)的不可微性與對風(fēng)險(xiǎn)787.6一階風(fēng)險(xiǎn)厭惡(續(xù))仍用第六章的效用函數(shù)例子來考慮：

u(w)=a->a+>0

顯然，u(w)在處不可微。假設(shè)財(cái)富水平恰好是。我們來看一個公平的Bernoulli賭博：輸贏概率相等，其值為δ。