光電變換的統(tǒng)計特性

關(guān)于光電變換的統(tǒng)計特性第一頁，共六十三頁，2022年，8月28日7.1雙隨機泊松點過程一般光電子的發(fā)射過程遵守所謂雙隨機泊松點過程。設(shè)在不同瞬時t1,t2,…,tN產(chǎn)生光電子的聯(lián)合概率分布P(t1,t2,…,tN)可表示為(7.1-1)第二頁，共六十三頁，2022年，8月28日按量子力學的觀點，將電子從束縛態(tài)激發(fā)到非束縛態(tài)的過程，就被看作是光電子發(fā)射過程。在Δt時間內(nèi)，從面元Δs上釋放電子的個數(shù)為ΔPt=λ(t)Δt=αI(r,t)ΔsΔt(7.1-2)λ(t)=αI(r,t)Δs(7.1-3)第三頁，共六十三頁，2022年，8月28日其中α是探測器的量子效率。λ是發(fā)射電子的速率，可理解為單位時間內(nèi)平均發(fā)射光電子的個數(shù)，ΔPt可理解為發(fā)射電子的概率。對探測器表面積分，就得到探測器發(fā)射電子速率為(7.1-4)第四頁，共六十三頁，2022年，8月28日7.2相干光的光電子統(tǒng)計和泊松變換由于相干光是光強恒定的，無起伏，因此光電子發(fā)射過程是泊松過程。則在t0~t0+T間隔內(nèi)產(chǎn)生n個光電子的概率為(7.2-1)第五頁，共六十三頁，2022年，8月28日其中W表示在t0~t0+T時間內(nèi)產(chǎn)生的平均光電子數(shù):(7.2-2)隨機變量n的正常矩母函數(shù)Qn(s)為(7.2-3)第六頁，共六十三頁，2022年，8月28日累積量母函數(shù)(7.2-4)階乘矩母函數(shù)(7.2-5)第七頁，共六十三頁，2022年，8月28日正常矩為(7.2-6)于是〈n〉=W〈n2〉=W2+W〈n3〉=W3+3W2+W第八頁，共六十三頁，2022年，8月28日階乘矩(7.2-7)累積量(7.2-8)第九頁，共六十三頁，2022年，8月28日在式(7.2-1)中的W是光強一定時T間隔內(nèi)產(chǎn)生的平均光電子數(shù)。若W是隨機的，則光電子計數(shù)n的概率分布P(n)也是隨機的。需要取平均值給出有實際意義的概率分布:(7.2-9)P(n)與P(W)的這種關(guān)系叫泊松變換，記為P(n)=PT［P(W)］(7.2-10)第十頁，共六十三頁，2022年，8月28日7.3線性極化熱光的光電子統(tǒng)計7.3.1T<<τc,A<<Ac的情形τc和Ac分別為熱光場的相干時間和相干面積；而T是探測時間(或計數(shù)時間);A是探測器面積。A<<Ac可以看作是點探測器。由于取樣時間很短，在這段時間內(nèi)I可被看成常數(shù)，于是W=CI(r,t)T(7.3-1)第十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日其中C=αA。這時的W可理解成t～t+T時間內(nèi)被接收器接收到的平均能量。因為W與光強度成正比，所以W的統(tǒng)計分布與光強度的統(tǒng)計分布有相同的形式，即(7.3-2)對應(yīng)地有(7.3-3)(7.3-4)(7.3-5)第十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日再利用泊松變換，就得到T<<τc,A<<Ac情況下線性極化熱光的光電子統(tǒng)計分布：(7.3-6)利用分步積分或查積分表,可得(7.3-7)第十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日式(7.3-7)稱為玻色—愛因斯坦分布，也叫幾何分布，其中〈n〉=〈W〉。這種分布有遞推關(guān)系第十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日式(7.3-7)稱為玻色—愛因斯坦分布，也叫幾何分布，其中〈n〉=〈W〉。這種分布有遞推關(guān)系(7.3-8)(7.3-9)(7.3-10)(7.3-11)第十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日7.3.2T>>τc,A<<Ac的情況T>>τc,A<<Ac時仍是點探測器，但取樣時間T較長，這時要考慮W的時間積分效應(yīng):(7.3-12)第十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日時要根據(jù)I(t)的分布求W的分布一般是困難的，這里只給出處理問題的思路和結(jié)論。

基本思路：

(1)將光場V(t)在區(qū)間［0,T］內(nèi)用一組完全正交基展開，即所謂Karhunen-Loeve(K-L)展開。(2)把K-L展開模的平方代入式(7.3-12)，并利用正交性可得(7.3-13)(7.3-14)第十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日(3)Wk的正常矩母函數(shù)為(7.3-16)第十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日(4)求式(7.3-16)的Laplace逆變換或式(7.3-14)的多重卷積就可求出W的概率分布。第十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日7.4部分極化熱光的光電子統(tǒng)計仍然設(shè)兩個正交的極化分量是統(tǒng)計獨立的，所以探測器探測的光強度I是兩個獨立的分量I1與I2之和，即第二十頁，共六十三頁，2022年，8月28日相應(yīng)地，積分強度W為(7.4-1)(7.4-2)(7.4-3)第二十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日對應(yīng)的光電子計數(shù)為n=n1+n2(7.4-4)其中,n1和n2分別對應(yīng)著兩個獨立的分量W1和W2的光電子計數(shù)，它們也是統(tǒng)計獨立的。第二十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日7.4.1T<<τc,點探測器(A<<Ac)與7.3節(jié)討論的情況一樣，這時W∝I，W的概率分布與I的概率分布形式相同。利用6.2節(jié)中討論部分極化熱光的結(jié)果，我們有(7.4-17)第二十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日矩母函數(shù)(7.4-18)再利用QcW(s)=lnQW(s)可以得到累積量：(7.4-19)第二十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日方差(7.4-20)第二十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日把矩母函數(shù)式(7.4-18)代入式(7.4-16),可求得光電子計數(shù)分布：(7.4-21)式(7.4-21)當然也可以利用兩個具有平均值第二十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日光電子分布的階乘矩為(7.4-22)(7.4-23)第二十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日7.4.2T>>τc,點探測器(A<<Ac)在T>>τc,A<<Ac的情況下，W1、W2分別是I1、I2的積分，利用Karhunen-Loeve展開，可將W1、W2都表示為N個獨立的隨機變量之和，則W1、W2都服從形如(7.4-24)第二十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日的Γ分布。利用泊松變換，可以得到對應(yīng)的光電子計數(shù)n1和n2的分布均為負二項分布:(7.4-25)另外,W的矩母函數(shù)為(7.4-26)第二十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日再利用式(7.4-16)可以算出(7.4-27)第三十頁，共六十三頁，2022年，8月28日相應(yīng)的階乘矩為(7.4-28)第三十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日其中利用了Γ(n+1)=n!,Γ(1)=1以及另外,由式(7.3-17)知第三十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日7.5相干光與熱光相混合的光電子統(tǒng)計7.5.1極化的相干光和極化的熱光相混合的光電子統(tǒng)計極化的相干光和極化的熱光相混合的情況下光場的統(tǒng)計特性已在6.3節(jié)中討論過。光強度I的概率分布P(I)是Bessel分布:(7.5-1)第三十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日7.5.2相干光與部分極化熱光混合的情形相干光與部分極化熱光混合時，積分強度可分為兩部分:W=W1+W2(7.5-9)其中，(7.5-10)(7.5-11)第三十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日其中,P是部分極化光的極化度，θ是相干光振動方向與部分極化光的一個獨立分量所對應(yīng)方向的夾角。根據(jù)獨立隨機變量和的統(tǒng)計規(guī)律，我們有(7.5-12)(7.5-13)(7.5-14)(7.5-15)(7.5-16)第三十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日7.6調(diào)制光束的光電子統(tǒng)計調(diào)制光束模型的一個重要應(yīng)用領(lǐng)域是光通信。為了傳遞信息，在光通信中必須對光束進行調(diào)制。本節(jié)我們首先討論一般的處理方法，然后討論一些實例。設(shè)光束受到一個統(tǒng)計獨立的效應(yīng)的調(diào)制，那么光強度是兩種效應(yīng)的乘積，即I(t)=β(t)I0(t)(7.6-1)第三十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日式中I0(t)是原來未被調(diào)制的光束的強度，β(t)是調(diào)制效應(yīng)，I0(t)和β(t)是兩個統(tǒng)計獨立的隨機過程。在計數(shù)時間間隔［t,t+T］內(nèi)的積分強度為(7.6-2)W=W1W2(7.6-3)第三十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日(1)對于β(t)的相干時間τcβ>>T:第三十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日(2)對于I0(t)的相干時間τc0>>T:第三十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日(3)對于同時有τc0>>T和τcβ>>T:

W=αI0(t)Tβ(t)=W0W1其中W0=αI0(t)TW1=β(t)第四十頁，共六十三頁，2022年，8月28日總之，不論上面哪種情形，都能將W寫成兩個獨立的隨機變量W1和W0的乘積，接下來的事情就是如何求出W的統(tǒng)計特性與W1、W0的統(tǒng)計特性之間的關(guān)系。由定義:(7.6-4)(7.6-5)第四十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日圖7.6-1分布函數(shù)的積分區(qū)間示意圖第四十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日例7-1相干光受熱光調(diào)制(如激光在大氣中傳輸時因隨機起伏造成的影響)這時在I=βI0

中,I0是常數(shù)，β是熱光光強，所以調(diào)制光束變?yōu)闊峁馐?，故其統(tǒng)計特性就是熱光的統(tǒng)計特性。光強度為指數(shù)分布，對于極化和部分極化的不同情況已作過詳細討論。例7-2熱光束受熱噪聲調(diào)制的情況(如星際觀察等)。例7-3熱光強度被實數(shù)高斯噪聲調(diào)制(通信模型)。第四十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日例7-4用一個確定的與計數(shù)不同步的周期信號進行強度調(diào)制。這里假定β(t)是一個確定的周期信號,調(diào)制周期為Tβ，但取樣與該周期信號不同步，這樣在計數(shù)時會引起額外的隨機性。有時在β(t)的峰值取樣，有時在谷值取樣。假設(shè)T<<Tβ，取樣時間中心t是［0,Tβ］內(nèi)均勻分布的隨機變量。不難算出β(t)的概率分布(當給定β的函數(shù)形式后)。對于如圖7.6-2所示的幾種波形，已知t～［0,T］均勻分布,則0＜t＜T其它于是三種波形概率的求法如下(只考慮一個周期)。第四十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日圖7.6-2幾種β的波形

(a)方波；(b)三角形；(c)正弦波第四十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日1.方波方波如圖7.6-3所示。圖7.6-3方波第四十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日其中,按分布函數(shù)的定義F(β)=P{B(t)≤β}第四十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日顯然:當β＜β1時，F(xiàn)(β)=0；當β≥β2時，F(xiàn)(β)=1;當β1≤β＜β2時β＜β1

β1≤β＜β2β≥β2

第四十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.三角波三角波如圖7.6-4所示。圖7.6-4三角波第四十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日其中,β2=1+0.5m,β1=1-0.5m。顯然,當β＜β1時，F(xiàn)(β)=0;當β＞β2時，F(xiàn)(β)=1；當β1≤β≤β2時第五十頁，共六十三頁，2022年，8月28日不難算出第五十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日3.正弦波正弦波如圖7.6-5所示。圖7.6-5正弦波第五十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日其中β2-β1=m。顯然,當β＜β1時,F(β)=0；當β＞β2時，F(xiàn)(β)=1；當β1≤β≤β2時第五十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日不難算出第五十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日7.7光電子統(tǒng)計應(yīng)用舉例7.7.1光信號的直接探測在給定的時間間隔內(nèi)直接記錄光電子計數(shù)，并用來估計光強度即光信號(注意：記錄光電子是隨機變化的)。第五十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日基本原理如下：設(shè)光信號為I(t)，為了測量I(t)，根據(jù)Nyquist定理可選擇一系列時間測出I1,I2,I3,…,從而得到I(t)。下面以某個測量為例說明如何測I。為了測出I(t)的變化，每次記錄Ii的時間比起I(t)的變化要足夠小。不妨設(shè)某次測量是在［0,T0］時間內(nèi)測量的，T0與I(t)變化相比來說很小，故在這段時間內(nèi)I不變。測量步驟為：第五十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日(1)把［0,T0］等間隔地分為M段，每段間隔T;(2)設(shè)每一段時間光電子計數(shù)為{n}=n1,n2,…,nM;(3)從n1,n2,…,nM中估計出單位時間內(nèi)平均光電子數(shù)λ；(4)由I=λhΓ/ηA得到光強，其中η是量子效率，A是探測器面積。第五十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日1.樣本設(shè)X的分布函數(shù)為F，若隨機變量X1,X2,…,Xn為具有同一分布的相互獨立的隨機變量，則稱X1,X2,…,Xn為從X得到的容量為n的樣本(也