工程力學(xué)-第三章課件

力系的平衡條件與平衡方程第一篇靜力學(xué)工程力學(xué)(靜力學(xué)與材料力學(xué))第三章力系的平衡條件與平衡方程第一篇靜力學(xué)工程力學(xué)(靜力1

受力分析的最終的任務(wù)是確定作用在構(gòu)件上的所有未知力，作為對(duì)工程構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)、剛度設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。本章將在平面力系簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上，建立平衡力系的平衡條件和平衡方程。并應(yīng)用平衡條件和平衡方程求解單個(gè)構(gòu)件以及由幾個(gè)構(gòu)件所組成的系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，確定作用在構(gòu)件上的全部未知力。第三章力系的平衡條件與平衡方程

受力分析的最終的任務(wù)是確定作用在構(gòu)件上的所有2

“平衡”不僅是本章的重要概念。對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，如果整體是平衡的，則組成這一系統(tǒng)的每一個(gè)構(gòu)件也平衡的。對(duì)于單個(gè)構(gòu)件，如果是平衡的，則構(gòu)件的每一個(gè)局部也是平衡的。這就是整體平衡與局部平衡的概念。第三章

力系的平衡條件與平衡方程

“平衡”不僅是本章的重要概念。對(duì)于一3平面力系的平衡條件與平衡方程

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

結(jié)論與討論第三章力系的平衡條件與平衡方程平面力系的平衡條件與平衡方程簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題4返回首頁(yè)平面力系的平衡條件與平衡方程第三章力系的平衡條件與平衡方程平面一般力系的平衡條件與平衡方程

平面一般力系平衡方程的其他形式

返回首頁(yè)平面力系的平衡條件與平衡方程第三章力系的平5平面一般力系的平衡條件與平衡方程

平面力系的平衡條件與平衡方程

平面一般力系的平衡條件與平衡方程平面力系的平衡6當(dāng)力系的主矢和對(duì)于任意一點(diǎn)的主矩同時(shí)等于零時(shí)，力系既不能使物體發(fā)生移動(dòng)，也不能使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，即物體處于平衡狀態(tài)。是平面力系平衡的充分條件。另一方面，如果力系為平衡力系，則力學(xué)的主矢和對(duì)于任意一點(diǎn)的主矩必同時(shí)等于零。這是平面力系平衡的必要條件。平面力系的平衡條件與平衡方程當(dāng)力系的主矢和對(duì)于任意一點(diǎn)的主矩同時(shí)等于零時(shí)，力系既不能7因此，力系平衡的必要與充分條件是力系的主矢和對(duì)任意一點(diǎn)的主矩同時(shí)等于零。這一條件簡(jiǎn)稱為平衡條件。

滿足平衡條件的力系稱為平衡力系。

本章主要介紹構(gòu)件在平面力系作用下的平衡問(wèn)題。

平面力系的平衡條件與平衡方程

因此，力系平衡的必要與充分條件是力系的主矢和對(duì)任意8對(duì)于平面力系，根據(jù)第2章中所得到的主矢和主矩的表達(dá)式，力系的平衡條件可以寫(xiě)成

FR—主矢；MO—對(duì)任意點(diǎn)的主矩平面力系的平衡條件與平衡方程

對(duì)于平面力系，根據(jù)第2章中所得到的主矢和主矩的表達(dá)式，力9yzxOF1FnF2M2M1Mn對(duì)于作用在剛體或剛體系統(tǒng)上的任意力系，平衡條件的投影形式為

平面力系的平衡條件與平衡方程

yzxOF1FnF2M2M1Mn對(duì)于作用在剛體或剛體10Fx=0,MO=0Fy=0,于是，平面力系平衡方程的一般形式為：

其中矩心O為力系作用面內(nèi)的任意點(diǎn)。

yxzO

通常將上述平衡方程中的第1、2兩式稱為力的平衡方程；第3式稱為力矩平衡方程。上述平衡方程表明，平面力系平衡的必要與充分條件是：力系中所有的力在直角坐標(biāo)系Oxy的各坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和以及所有的力對(duì)任意點(diǎn)之矩的代數(shù)和同時(shí)等于零。

平面力系的平衡條件與平衡方程Fx=0,MO=0Fy=0,11懸臂式吊車(chē)結(jié)構(gòu)中AB為吊車(chē)大梁，BC為鋼索，A處為固定鉸鏈支座，B處為鉸鏈約束。已知起重電動(dòng)機(jī)E與重物的總重力為FP(因?yàn)閮苫喼g的距離很小，F(xiàn)P可視為集中力作用在大梁上)，梁的重力為FQ。已知角度θ=30o。

求：1.電動(dòng)機(jī)處于任意位置時(shí)，鋼索BC所受的力和支座A處的約束力；2.分析電動(dòng)機(jī)處于什么位置時(shí)，鋼索受力的最大，并確定其數(shù)值。

例題1平面力系的平衡條件與平衡方程懸臂式吊車(chē)結(jié)構(gòu)中AB為吊車(chē)大梁，BC為鋼索，12

解：1．選擇研究對(duì)象本例中要求的是鋼索BC所受的力和支座A處的約束力。鋼索受有一個(gè)未知拉力，若以鋼索為研究對(duì)象，不可能建立已知力和未知力之間的關(guān)系。

吊車(chē)大梁AB上既有未知的A處約束力和鋼索的拉力，又作用有已知的電動(dòng)機(jī)和重物的重力以及大梁的重力。所以選擇吊車(chē)大梁AB作為研究對(duì)象。將吊車(chē)大梁從吊車(chē)中隔離出來(lái)。

平面力系的平衡條件與平衡方程解：1．選擇研究對(duì)象吊車(chē)大梁AB上既有未知的A處13

解：1．分析受力

因?yàn)橐箅妱?dòng)機(jī)處于任意位置時(shí)的約束力，所以假設(shè)力FW作用在坐標(biāo)為x處。于是，可以畫(huà)出吊車(chē)大梁AB的受力圖。在吊車(chē)大梁AB的受力圖中，F(xiàn)Ax、FAy和FTB均為未知約束力與已知的主動(dòng)力FW和FQ組成平面力系。因此，應(yīng)用平面力系的3個(gè)平衡方程可以求出全部3個(gè)未知約束力。

建立Oxy坐標(biāo)系。

A處約束力分量為FAx和FAy；鋼索的拉力為FTB。平面力系的平衡條件與平衡方程

解：1．分析受力14解：2．建立平衡方程：因?yàn)锳點(diǎn)是力FAx和FAy的匯交點(diǎn)，故先以A點(diǎn)為矩心，建立力矩平衡方程，由此求出一個(gè)未知力FTB。然后，再應(yīng)用力的平衡方程投影形式求出約束力FAx和FAy。平面力系的平衡條件與平衡方程

解：2．建立平衡方程：平面力系的平衡條件與平衡方程15解：2．建立平衡方程平面力系的平衡條件與平衡方程

解：2．建立平衡方程平面力系的平衡條件與平衡方程16解：3．討論

由結(jié)果可以看出，當(dāng)x＝l，即電動(dòng)機(jī)移動(dòng)到吊車(chē)大梁右端B點(diǎn)處時(shí)，鋼索所受拉力最大。鋼索拉力最大值為

平面力系的平衡條件與平衡方程解：3．討論平面力系的平衡條件與平17例題2

A端固定的懸臂梁AB受力如圖示。梁的全長(zhǎng)上作用有集度為q的均布載荷；自由端B處承受一集中力和一力偶M的作用。已知FP＝ql，M=ql2；l為梁的長(zhǎng)度。試求固定端處的約束力。平面力系的平衡條件與平衡方程

例題2A端固定的懸臂梁AB受力如圖示。梁的全18解：1．研究對(duì)象、隔離體與受力圖本例中只有梁一個(gè)構(gòu)件，以梁AB為研究對(duì)象，解除A端的固定端約束，代之以約束力FAx、FAy和約束力偶MA。于是，可以畫(huà)出梁AB的受力圖。圖中、M、q為已知的外加載荷，是主動(dòng)力。

2．將均布載荷簡(jiǎn)化為集中力作用在梁上的均勻分布力的合力等于載荷集度與作用長(zhǎng)度的乘積，即ql；合力的方向與均布載荷的方向相同；合力作用線通過(guò)均布載荷作用段的中點(diǎn)。

ql平面力系的平衡條件與平衡方程

解：1．研究對(duì)象、隔離體與受力圖19

解：3．建立平衡方程，求解未知約束力通過(guò)對(duì)A點(diǎn)的力矩平衡方程，可以求得固定端的約束力偶MA；利用兩個(gè)力的平衡方程求出固定端的約束力FAx和FAy。

ql平面力系的平衡條件與平衡方程解：3．建立平衡方程，求解未知約束力ql20平面一般力系平衡方程的其他形式

平面力系的平衡條件與平衡方程

平面一般力系平衡方程的平面力系的平衡條件與平衡方21上述平面力系3個(gè)平衡方程中的可以一個(gè)或兩個(gè)都用力矩式平衡方程代替，但所選的投影軸與取矩點(diǎn)之間應(yīng)滿足一定的條件。于是，可以得到平面力系平衡方程的其他形式。

Fx=0,MO=0Fy=0,Fx=0,Fy=0,yxzO平面力系的平衡條件與平衡方程上述平面力系3個(gè)平衡方程中的可以一個(gè)或兩個(gè)都用力矩式平衡方程22Fx=0,MA=0,MB

=0。BAx

A、B

連線不垂直于x軸這是因?yàn)?，?dāng)上述3個(gè)方程中的第二式和第三式同時(shí)滿足時(shí)，力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶，只可能簡(jiǎn)化為通過(guò)AB兩點(diǎn)的一合力或者是平衡力系。但是，當(dāng)?shù)谝皇酵瑫r(shí)成立時(shí)，而且AB與x軸不垂直，力系便不可能簡(jiǎn)化為一合力FR，否則，力系中所有的力在x軸上投影的代數(shù)和不可能等于零。因此原力系必然為平衡力系。FR平面力系的平衡條件與平衡方程Fx=0,BAxA、B連線23例題3

圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，確定A、B、C三處約束力lACBllFP平面力系的平衡條件與平衡方程例題3圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，24分析受力dDBlACllFPFAyFAxFBC平面力系的平衡條件與平衡方程分析受力dDBlACllFPFAyFAxFBC平面25MA(F)=0:FBCd-FP2l=0dDBlACllFPFAyFAxFBC建立平衡方程求解未知量平面力系的平衡條件與平衡方程MA(F)=0:FBCd-FP26MB(F)=0:FAy

l-FPl=0FAy=-FPdDBlACllFPFAyFAxFBC建立平衡方程求解未知量平面力系的平衡條件與平衡方程MB(F)=0:FAyl-FP27Fx=0:FAx+FBCcos=0FAx=-2FPdDBlACllFPFAyFAxFBC建立平衡方程求解未知量平面力系的平衡條件與平衡方程Fx=0:FAx+FBCcos=0FAx=-28M=FPlllACBlD例題4圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，確定A、B、C三處約束力平面力系的平衡條件與平衡方程M=FPlllACBlD例題4圖示結(jié)構(gòu)，29ABDFAxFByFBxFAyCB'M=FPlFBy′FBx′FCx′FCy′llACBlDM=FPl分析BC和ABD桿受力平面力系的平衡條件與平衡方程ABDFAxFByFBxFAyCB'M=FPlFBy′FB30ABDFAxFByFBxFAy考察ABD桿的平衡MB(F)=0:MA(F)=0:FBy=0FAy=0Fx=0:

FBx+

FAx=0

FBx=

-FAx平面力系的平衡條件與平衡方程ABDFAxFByFBxFAy考察ABD桿MB(F31CB'M=FPlFBy′FBx′FCx′FCy′考察BC桿的平衡Fx=0:

FBx′-

FCx′=0

FCx′=FBx′=

FBxFy=0:

FBy′-

FCy′=0

FCy′=FBy′

=FBy=0MB'

(F)=0:FCx′l+M=0FCx′=FBx′=

-FP平面力系的平衡條件與平衡方程CB'M=FPlFBy′FBx′FCx′FCy′考察BC桿32llACBlDM=FPlABDFPCB'M=FPlFPFPFP平面力系的平衡條件與平衡方程最后的受力圖llACBlDM=FPlABDFPCB'M=FPlFPF33關(guān)于平衡對(duì)象的選擇能不能以整體為平衡對(duì)象FAxFAyFAxFAyACBM=FPllllDllACBlDM=FPl平面力系的平衡條件與平衡方程

關(guān)于平衡對(duì)象的選擇能不能以整體為平衡對(duì)象FAxFAyFAx34MA=0，MB

=0,MC=0。CBAA、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上因?yàn)?，?dāng)式中的第一式，第二式滿足時(shí)，力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶，只可能簡(jiǎn)化為通過(guò)A、B點(diǎn)的一個(gè)合力FR。同樣如果第二、三式也同時(shí)被滿足，則這一合力也必須通過(guò)B、C兩點(diǎn)。CFR

但是由于A、B、C三點(diǎn)不共線，所以力系也不可能簡(jiǎn)化為一合力。因此，滿足上述方程的平面力系只可能是一平衡力系。

平面力系的平衡條件與平衡方程MA=0，CBAA、B、C三點(diǎn)不35lllACBDM=FPl例題5圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，確定A、C二處約束力平面力系的平衡條件與平衡方程

lllACBDM=FPl例題5圖示結(jié)構(gòu)36lM=FPlllACBDFAFC平面力系的平衡條件與平衡方程lM=FPlllACBDFAFC平面力系的平衡條件與37lM=FPlllACBDFAFCMC(F)=0:

FA=FC=FPFA×l+M=0平面力系的平衡條件與平衡方程lM=FPlllACBDFAFCMC(F)=0:38lllFPACBD例題6

圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，確定A、C二處約束力平面力系的平衡條件與平衡方程

lllFPACBD例題6圖示結(jié)構(gòu)，若39ACBDllFPlFCyFAFCx平面力系的平衡條件與平衡方程ACBDllFPlFCyFAFCx平面力系的平衡條件與40ACBDllFPlFCyFAFCxME(F)=0:MA(F)=0:MC(F)=0:FCx

l-FP2l=0-FA

l-FP2l=0-FCy

2l-FAl=0EFCx=2FP,FCy=FP,FA=-2FP平面力系的平衡條件與平衡方程ACBDllFPlFCyFAFCxME(F)=41簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題第3章

力系的平衡條件與平衡方程

返回首頁(yè)簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題第3章力系的平衡條件與平衡方42簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)大都由兩個(gè)或兩個(gè)以上構(gòu)件通過(guò)一定約束方式連接起來(lái)的系統(tǒng)，因?yàn)樵诠こ天o力學(xué)中構(gòu)件的模型都是剛體，所以，這種系統(tǒng)稱為剛體系統(tǒng)(systemofrigiditybodies)。

前幾章中，實(shí)際上已經(jīng)遇到過(guò)一些簡(jiǎn)單剛體系統(tǒng)的問(wèn)題，只不過(guò)由于其約束與受力都比較簡(jiǎn)單，比較容易分析和處理。

分析剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的基本原則與處理單個(gè)剛體的平衡問(wèn)題是一致的，但有其特點(diǎn)，其中很重要的是要正確判斷剛體系統(tǒng)的靜定性質(zhì)，并選擇合適的研究對(duì)象。簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題實(shí)際工程結(jié)構(gòu)大都由兩43剛體系統(tǒng)靜定與靜不定的概念

剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題的特點(diǎn)與解法

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

剛體系統(tǒng)靜定與靜不定的概念剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題的44前幾節(jié)所研究的問(wèn)題中，作用在剛體上的未知力的數(shù)目正好等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目。因此，應(yīng)用平衡方程；可以解出全部未知量。這類問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

剛體系統(tǒng)靜定與靜不定的概念

前幾節(jié)所研究的問(wèn)題中，作用在剛體上的未知力的數(shù)目正好45實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，為了提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度，或者為了其他工程要求，常常需要在靜定結(jié)構(gòu)上，再加上一些構(gòu)件或者約束，從而使作用在剛體上未知約束力的數(shù)目多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目，因而僅僅依靠剛體平衡條件不能求出全部未知量。這類問(wèn)題稱為靜不定問(wèn)題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜不定結(jié)構(gòu)或超靜定結(jié)構(gòu)。簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，為了提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度，或者為了其46

對(duì)于靜不定問(wèn)題，必須考慮物體因受力而產(chǎn)生的變形，補(bǔ)充某些方程，才能使未知量的數(shù)目等于方程的數(shù)目。求解靜不定問(wèn)題已超出工程靜力學(xué)的范圍，本書(shū)將在“材料力學(xué)”中介紹。本章將討論靜定的剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題。

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

對(duì)于靜不定問(wèn)題，必須考慮物體因受力而產(chǎn)生的變形47剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題的特點(diǎn)與解法

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題的簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題48

整體平衡與局部平衡的概念某些剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題中，若僅考慮整體平衡，其未知約束力的數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目，但是，如果將剛體系統(tǒng)中的構(gòu)件分開(kāi)，依次考慮每個(gè)構(gòu)件的平衡，則可以求出全部未知約束力。這種情形下的剛體系統(tǒng)依然是靜定的。求解剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題需要將平衡的概念加以擴(kuò)展，即：系統(tǒng)如果整體是平衡的，則組成系統(tǒng)的每一個(gè)局部以及每一個(gè)剛體也必然是平衡的。

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

整體平衡與局部平衡的概念簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平49

研究對(duì)象有多種選擇

由于剛體系統(tǒng)是由多個(gè)剛體組成的，因此，研究對(duì)象的選擇對(duì)于能不能求解以及求解過(guò)程的繁簡(jiǎn)程度有很大關(guān)系。一般先以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，雖然不能求出全部未知約束力，但可求出其中一個(gè)或幾個(gè)未知力。

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

研究對(duì)象有多種選擇簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)50

對(duì)剛體系統(tǒng)作受力分析時(shí)、要分清內(nèi)力和外力

內(nèi)力和外力是相對(duì)的，需視選擇的研究對(duì)象而定。研究對(duì)象以外的物體作用于研究對(duì)象上的力稱為外力(externalforce)，研究對(duì)象內(nèi)部各部分間的相互作用力稱為內(nèi)力(internalforce)。內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，它們大小相等、方向相反、作用在同一直線上。簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

對(duì)剛體系統(tǒng)作受力分析時(shí)、要分清內(nèi)力和外力51

考慮以整體為研究對(duì)象的平衡時(shí)，由于內(nèi)力在任意軸上的投影之和以及對(duì)任意點(diǎn)的力矩之和均為零，因而不必考慮。但是，一旦將系統(tǒng)拆開(kāi)，以局部或單個(gè)剛體作為研究對(duì)象時(shí)，在拆開(kāi)處，原來(lái)的內(nèi)力變成了外力，建立平衡方程時(shí)，必須考慮這些力。

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

考慮以整體為研究對(duì)象的平衡時(shí)，由于內(nèi)力在任意軸上的投52

每個(gè)剛體上的力系都必須滿足平衡條件

剛體系統(tǒng)的受力分析過(guò)程中，必須嚴(yán)格根據(jù)約束的性質(zhì)確定約束力的方向，使作用在平衡系統(tǒng)整體上的力系和作用在每個(gè)剛體上的力系都滿足平衡條件。常常有這樣的情形，作用在系統(tǒng)上的力系似乎滿足平衡條件，但由此而得到的單個(gè)剛體上的力系卻是不平衡的。這顯然是不正確的。這種情形對(duì)于初學(xué)者時(shí)有發(fā)生。

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

每個(gè)剛體上的力系都必須滿足平衡條件常常有53已知:

FP、l、r求

:

A、D

二處約束力例題7ABCDEll1.5lrlllABCDE2FP

FP簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

已知:FP、l、r例題7ABCDEll1.5lrll54ABCDE2FPABCDE2FPFAyMAFAxBCE2FPFDEFByFBx簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題ABCDE2FPABCDE2FPFAyMAFAxBCE2551.5llllABDEClllr

FP1.5llllABDEClllr

FPFP'FPFAyMAFAx簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題如改變鏈接位置1.5llllABDEClllrFP1.5llllABDE56ABCDEBECFDEFPFPFPFAyMAFAxFBxFByFPFP簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題從系統(tǒng)整體分析ABCDEBECFDEFPFPFPFAyMAFAxFB571.5llllABDEClllr1.5lllABDEClllrlqq—載荷集度2qlFPFP簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題如果在系統(tǒng)上附加均布載荷1.5llllABDEClllr1.5lllABDEClll58ABCDEBECFDEFPFPFAyMAFAxFBxFByFPFP2ql2qlFP簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題ABCDEBECFDEFPFPFAyMAFAxFBxF59討論：在不改變結(jié)構(gòu)和載荷FP的位置與方向的情形下，怎樣改變纜索CH的位置，才能使A端的約束力偶MA減小?C1.5lllABDEllrHlFP簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題討論：在不改變結(jié)構(gòu)和載荷FP的位置與方向的情形下，怎樣改變纜60例題8結(jié)構(gòu)由桿AB與BC在B處鉸接而成。結(jié)構(gòu)A處為固定端，C處為輥軸支座。結(jié)構(gòu)在DE段承受均布載荷作用，載荷集度為q；E處作用有外加力偶，其力偶矩為M。若q、l、M等均為已知，試求A、C二處的約束力。

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題僅從整體考慮，時(shí)候可以求解？例題8結(jié)構(gòu)由桿AB與BC在B處鉸接而成。61

解：1.受力分析，選擇平衡對(duì)象

考察結(jié)構(gòu)整體，在固定端處有3個(gè)約束力，設(shè)為FAx、FAy和MA；在輥軸支座處有1個(gè)豎直方向的約束力FRC。這些約束力稱為系統(tǒng)的外約束力。僅僅根據(jù)整體的3個(gè)平衡方程，無(wú)法確定所要求的4個(gè)未知力。因而，除了整體外，還需要其他的平衡對(duì)象。為此，必須將系統(tǒng)拆開(kāi)。

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題解：1.受力分析，選擇平衡對(duì)象考察結(jié)構(gòu)整體62

將結(jié)構(gòu)從B處拆開(kāi)，則鉸鏈B處的約束力可以用相互垂直的兩個(gè)分量表示，但作用在兩個(gè)剛體AB和BC上同一處B的約束力，互為作用與反作用力。這種約束力稱為系統(tǒng)的內(nèi)約束力（internalconstraintforce）。內(nèi)約束力在考察結(jié)構(gòu)整體平衡時(shí)并不出現(xiàn)。受力圖中ql為均布載荷簡(jiǎn)化的結(jié)果。簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題將結(jié)構(gòu)從B處拆開(kāi)，則鉸鏈B處的約束力可以用相63解：2.整體平衡根據(jù)整體結(jié)構(gòu)的受力圖(為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，當(dāng)取整體為研究對(duì)象時(shí)，可以在原圖上畫(huà)受力圖)，由平衡方程

可以確定。

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題解：2.整體平衡可以確定。簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題64解：3.局部平衡桿AB的A、B二處作用有5個(gè)約束力，其中已求得FAx=0，尚有4個(gè)未知，故桿AB不宜最先選作平衡對(duì)象。桿BC的B、C二處共有3個(gè)未知約束力，可由3個(gè)獨(dú)立平衡方程確定。因此，先以桿為平衡對(duì)象。

求得BC上的約束力后，再應(yīng)用B處兩部分約束力互為作用與反作用關(guān)系，考察桿AB的平衡，即可求得A處的約束力。簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題解：3.局部平衡桿AB的A、B二處作用有5個(gè)65先考察BC桿的平衡，由

求得

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

先考察BC桿的平衡，由求得簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題66

再考察整體平衡，將DE段的分布載荷簡(jiǎn)化為作用于E處的集中力，其值為2ql，由平衡方程

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

再考察整體平衡，將DE段的分布載荷簡(jiǎn)化為作用于E處的67解：4.討論

上述分析過(guò)程表明，考察剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，局部平衡對(duì)象的選擇并不是唯一的。正確選擇平衡對(duì)象，取決于正確的受力分析與正確地比較獨(dú)立的平衡方程數(shù)Ne和未知量數(shù)Nr。

此外，本例中，主動(dòng)力系的簡(jiǎn)化極為重要，處理不當(dāng)，容易出錯(cuò)。

例如，考察局部平衡時(shí)，即系統(tǒng)拆開(kāi)之前，先將均勻分布載荷簡(jiǎn)化為一集中力FP，F(xiàn)P=2ql。系統(tǒng)拆開(kāi)之后，再將力FP按下圖所示分別加在兩部分桿件上。請(qǐng)讀者自行分析，圖中的受力分析錯(cuò)在哪里？

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題解：4.討論此外，本例中，主動(dòng)力系68考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題第三章

力系的平衡條件與平衡方程

返回首頁(yè)考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題第三章力系的平衡條件與平衡方程69梯子不滑倒的最大傾角θ考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題梯子不滑倒的最大傾角θ考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題70輪軸承軸承中摩擦力越小越好考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題輪軸承軸承中摩擦力越小越好考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題71

摩擦(friction)是一種普遍存在于機(jī)械運(yùn)動(dòng)中的自然現(xiàn)象。實(shí)際機(jī)械與結(jié)構(gòu)中，完全光滑的表面并不存在。兩物體接觸面之間一般都存在摩擦。在自動(dòng)控制、精密測(cè)量等工程中即使摩擦很小，也會(huì)影響到儀器的靈敏度和精確度，因而必須考慮摩擦的影響?？紤]摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

摩擦(friction)是一種普遍存在于機(jī)械72

研究摩擦就是要充分利用有利的一面，克服其不利的一面。

按照接觸物體之間可能會(huì)相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滾動(dòng)，有滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩擦之分。根據(jù)接觸物體之間是否存在潤(rùn)滑劑，滑動(dòng)摩擦又可分為干摩擦和濕摩擦。本課程只介紹干摩擦?xí)r，物體的平衡問(wèn)題。

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

研究摩擦就是要充分利用有利的一面，克服其不利73滑動(dòng)摩擦定律

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

滑動(dòng)摩擦定律考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題考74滑動(dòng)摩擦定律

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

滑動(dòng)摩擦定律考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題75FPWFFN

考察質(zhì)量為m、靜止地放置于水平面上的物塊，設(shè)二者接觸面都是非光滑面。在物塊上施加水平力Fp，并令其自零開(kāi)始連續(xù)增大，使物塊具有相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)。因?yàn)槭欠枪饣娼佑|，故作用在物塊上的約束力除法向力FN外，還有一與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反的力，稱為靜滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱靜摩擦力,用F表示。

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

FPWFFN考察質(zhì)量為m、靜止地放置于水平面76FFPO45°FmaxFd運(yùn)動(dòng)狀態(tài)靜止?fàn)顟B(tài)臨界狀態(tài)FPWFFN當(dāng)FP＝0時(shí)，由于二者無(wú)相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)，故靜摩擦力F＝0。當(dāng)FP開(kāi)始增加時(shí)，靜摩擦力F隨之增加，直至F＝FP時(shí)，物塊仍然保持靜止。物塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，靜滑動(dòng)摩擦力突變至動(dòng)滑動(dòng)摩擦力Fd。此后，主動(dòng)力FP的數(shù)值若再增加，則摩擦力基本上保持為常值Fd。

FP再繼續(xù)增加，達(dá)到某一臨界值FPmax時(shí)，摩擦力達(dá)到最大值，F(xiàn)＝Fmax。這時(shí)，物塊開(kāi)始沿力Fp的作用方向滑動(dòng)?？紤]摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題FFPO45°FmaxFd運(yùn)動(dòng)狀態(tài)靜止?fàn)顟B(tài)臨界狀態(tài)FPWFF77FmaxFd運(yùn)動(dòng)狀態(tài)靜止?fàn)顟B(tài)臨界狀態(tài)FFPO靜止?fàn)顟B(tài)F＝Fmax=fsFNF＝Fd；F<Fmax；運(yùn)動(dòng)狀態(tài)臨界狀態(tài)考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題FmaxFd運(yùn)動(dòng)狀態(tài)靜止?fàn)顟B(tài)臨界狀態(tài)FFPO靜止?fàn)顟B(tài)F＝F78根據(jù)庫(kù)侖(Coulomb)摩擦定律，最大靜摩擦力（maximumstaticfrictionforce）與正壓力成正比，，其方向與相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的方向相反，而與接觸面積的大小無(wú)關(guān)。

式中，fs稱為靜摩擦因數(shù)（staticfrictionfactor）。靜摩擦因數(shù)fs主要與材料和接觸面的粗糙程度有關(guān)，可在機(jī)械工程手冊(cè)中查到，但由于影響摩擦因數(shù)的因素比較復(fù)雜，所以如果需要較準(zhǔn)確的fs數(shù)值，則應(yīng)由實(shí)驗(yàn)測(cè)定?？紤]摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題根據(jù)庫(kù)侖(Coulomb)摩擦定律，最大靜摩擦力（max79

上述分析表明，開(kāi)始運(yùn)動(dòng)之前，即物體保持靜止時(shí)，靜摩擦力的數(shù)值在零與最大靜摩擦力之間，即

從約束的角度，靜滑動(dòng)摩擦力也是一種約束力，而且是在一定范圍內(nèi)取值的約束力。

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

上述分析表明，開(kāi)始運(yùn)動(dòng)之前，即物體保持靜止時(shí)，靜摩擦力的80考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題81考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題，與不考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題有著共同特點(diǎn)，即：物體平衡時(shí)應(yīng)滿足平衡條件，解題方法與過(guò)程也基本相同。但是，這類平衡問(wèn)題的分析過(guò)程也有其特點(diǎn)：

首先，受力分析時(shí)必須考慮摩擦力，而且要注意摩擦力的方向與相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的方向相反；

其次，在滑動(dòng)之前，即處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，摩擦力不是一個(gè)定值，而是在一定的范圍內(nèi)取值。

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題，與不考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題有著82

放置于斜面上的物塊重FW＝1000N；斜面傾角為30o。物塊承受一方向自左至右的水平推力，其數(shù)值為FP＝400N。若已知物塊與斜面之間的摩擦因數(shù)fs＝0.2。求：1.物塊處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，靜摩擦力的大小和方向；2．使物塊向上滑動(dòng)時(shí)，力FP的最小值。

例題9考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

放置于斜面上的物塊重FW＝1000N；斜面傾角為30o83解：根據(jù)本例的要求,需要判斷物塊是否靜止。這一類問(wèn)題的解法是：假設(shè)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，首先由平衡方程求出靜摩擦力F和法向反力FN。再求出最大靜摩擦力Fmax。將F與Fmax加以比較，若物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，所求F有意義；若，物體已進(jìn)入運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，所求F無(wú)意義?？紤]摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題解：根據(jù)本例的要求,需要判斷物塊是否靜止。這一類問(wèn)題的84最大靜摩擦力為

因此，物塊在斜面上靜止；摩擦力大小為153．6N,其指向沿斜面向上。

解：1．確定物塊靜止時(shí)的摩擦力F值

FN＝1066N

F＝－153.6N

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

最大靜摩擦力為因此，物塊在斜面上靜止；摩擦力大小為15385

仍以物塊為研究對(duì)象，此時(shí)，物塊處于臨界狀態(tài)，即力FP如果大于FPmin，物塊將發(fā)生運(yùn)動(dòng)，此時(shí)摩擦力F達(dá)到最大值Fmax。這時(shí)，必須根據(jù)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)確定Fmax的實(shí)際方向。解：2．確定物塊向上滑動(dòng)時(shí)所需要主動(dòng)力FP的最小值FPmin

建立平衡方程和關(guān)于摩擦力的物理方程：

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題仍以物塊為研究對(duì)象，此時(shí)，物塊處于臨界狀態(tài)，即力FP如果86

解：2．確定物塊向上滑動(dòng)時(shí)所需要主動(dòng)力FP的最小值FPmin

建立平衡方程和關(guān)于摩擦力的物理方程：

聯(lián)立，解得：FPmin＝878.75N

當(dāng)力FP的數(shù)值超過(guò)878.75N時(shí)，物塊將沿斜面向上滑動(dòng)。

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題解：2．確定物塊向上滑動(dòng)時(shí)所需要主動(dòng)力FP的最小值FP87梯子的上端B靠在鉛垂的墻壁上，下端A擱置在水平地面上。假設(shè)梯子與墻壁之間為光滑約束，而與地面之間為非光滑約束。已知：梯子與地面之間的摩擦因數(shù)為fs；梯子的重力為W。1．設(shè)梯子在傾角1的位置保持平衡，求:A、B二處約束力FNA、FNB和摩擦力FA；2．若使梯子不致滑倒，求:傾角的范圍。

例題9考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

梯子的上端B靠在鉛垂的墻壁上，下端A擱置在水平地面上。假設(shè)梯88解:

1.梯子在傾角1的位置保持平衡時(shí)的約束力

這種情形下，梯子的受力如圖示。其中將摩擦力FA作為一般的約束力，假設(shè)其方向如圖示。于是有

由此解得

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

解:1.梯子在傾角1的位置保持平衡時(shí)的約束力這種情形下89所得FA的結(jié)果為負(fù)值，表明梯子下端所受的摩擦力與圖中所假設(shè)的方向相反。

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

所得FA的結(jié)果為負(fù)值，表明梯子下端所受的摩擦力與圖中所假設(shè)的90這種情形下，摩擦力FA的方向必須根據(jù)梯子在地上的滑動(dòng)趨勢(shì)預(yù)先確定，不能任意假設(shè)。解:

2.求梯子不滑倒的傾角的范圍

平衡方程和物理方程分別為

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

這種情形下，摩擦力FA的方向必須根據(jù)梯子在地91解:

2.求梯子不滑倒的傾角的范圍

聯(lián)立，不僅可以解出A、B二處的約束力，而且可以確定保持梯子平衡時(shí)的臨界傾角由常識(shí)可知，角度越大，梯子越易保持平衡，故平衡時(shí)梯子對(duì)地面的傾角范圍為

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題解:2.求梯子不滑倒的傾角的范圍聯(lián)立，不僅可以解出A92靜力學(xué)練習(xí)題1一端和兩端外伸梁受力分別如圖(a)和（b）中所示。已知：圖(a)中M＝60kN·m，F(xiàn)P＝20kN；圖(b)中FP＝20kN，M＝20kN·m，q＝20kN/m，d＝0.8m。試求：兩外伸梁支座處的約束力FRA、FRB、。靜力學(xué)練習(xí)題1一端和兩端外伸梁受力分別如圖(a)和（b）中所93靜力學(xué)練習(xí)題2靜定梁由AB和BC兩部分組成，A端固定、C端為輥軸支座、B處用中間鉸鏈連接。已知d、q和M。試求：圖示5種受力情形下，靜定梁在A、B、C三處的約束力。注意比較和討論圖a、b、c三種情形下梁的約束力以及圖d、e二梁的約束力。靜力學(xué)練習(xí)題2靜定梁由AB和BC兩部分組成，A端固定、94工程力學(xué)-第三章課件95靜力學(xué)練習(xí)題3活動(dòng)梯子放在光滑的水平地面上，梯子由AC與BC兩部分組成，C處為鉸鏈連接，EF二處用柔索相連。AC與BC兩部分的重量均為150N，重心在桿子的中點(diǎn)。今有一重量為600N的人，站在梯子的D處，試求：柔索EF的拉力和A、B兩處的約束力。FRB

=375NFRA

=525NTEF

=107N靜力學(xué)練習(xí)題3活動(dòng)梯子放在光滑的水平地面上，梯子由AC與B96

結(jié)論與討論第三章

力系的平衡條件與平衡方程

返回首頁(yè)求解剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題需要注意的幾個(gè)問(wèn)題

空間力系特殊情形下的平衡方程摩擦角與自鎖的概念

受力分析的重要性

結(jié)論與討論第三章力系的平衡條件與平衡方程返回首頁(yè)97受力分析的重要性

結(jié)論與討論受力分析的重要性結(jié)論與討論98從本章關(guān)于單個(gè)剛體與簡(jiǎn)單剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的分析中可以看出，受力分析是決定分析平衡問(wèn)題成敗的重要部分，只有當(dāng)受力分析正確無(wú)誤時(shí)，其后的分析才能取得正確的結(jié)果。初學(xué)者常常不習(xí)慣根據(jù)約束的性質(zhì)分析約束力，而是根據(jù)不正確的直觀判斷確定約束力。

錯(cuò)在哪里？

結(jié)論與討論從本章關(guān)于單個(gè)剛體與簡(jiǎn)單剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的分99從本章關(guān)于單個(gè)剛體與簡(jiǎn)單剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的分析中可以看出，受力分析是決定分析平衡問(wèn)題成敗的重要部分，只有當(dāng)受力分析正確無(wú)誤時(shí)，其后的分析才能取得正確的結(jié)果。初學(xué)者常常不習(xí)慣根據(jù)約束的性質(zhì)分析約束力，而是根據(jù)不正確的直觀判斷確定約束力。

錯(cuò)在哪里？

結(jié)論與討論從本章關(guān)于單個(gè)剛體與簡(jiǎn)單剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的分析中可以100求解剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題需要注意的幾個(gè)問(wèn)題

結(jié)論與討論求解剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題結(jié)論與討論101根據(jù)剛體系統(tǒng)的特點(diǎn)，分析和處理剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題時(shí)，注意以下幾方面是很重要的：

認(rèn)真理解、掌握并能靈活運(yùn)用“系統(tǒng)整體平衡，組成系統(tǒng)的每個(gè)局部必然平衡”的重要概念。

某些受力分析，從整體上看，可以使整體保持平衡，似乎是正確的。但卻不能保證每一個(gè)局部都是平衡的，因而是不正確的。

要靈活選擇研究對(duì)象

所謂研究對(duì)象包括系統(tǒng)整體、單個(gè)剛體以及由兩個(gè)或兩個(gè)以上剛體組成的子系統(tǒng)。靈活選擇其中之一或之二作為研究對(duì)象，一般應(yīng)遵循的原則是：盡量使一個(gè)平衡方程中只包含一個(gè)未知約束力，不解或少解聯(lián)立方程。

結(jié)論與討論根據(jù)剛體系統(tǒng)的特點(diǎn)，分析和處理剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題時(shí)，注102

注意區(qū)分內(nèi)約束力與外約束力、作用與反作用力。

內(nèi)約束力只有在系統(tǒng)拆開(kāi)時(shí)才會(huì)出現(xiàn)，故而在考察整體平衡時(shí)，無(wú)需考慮內(nèi)約束力，也無(wú)需畫(huà)出內(nèi)約束力。當(dāng)同一約束處有兩個(gè)或兩個(gè)以上剛體相互連接時(shí)，為了區(qū)分作用在不同剛體上的約束力是否互為作用與反作用力，必須對(duì)相關(guān)的剛體逐個(gè)分析，分清哪一個(gè)剛體是施力體，哪一個(gè)是剛體受力體。

注意對(duì)主動(dòng)分布載荷進(jìn)行等效簡(jiǎn)化考察局部平衡時(shí)，分布載荷可以在拆開(kāi)之前簡(jiǎn)化，也可以在拆開(kāi)之后簡(jiǎn)化。要注意的是，先簡(jiǎn)化、后拆開(kāi)時(shí)，簡(jiǎn)化后合力加在何處才能滿足力系等效的要求。

結(jié)論與討論注意區(qū)分內(nèi)約束力與外約束力、作用與反作用力。103摩擦角與自鎖的概念

結(jié)論與討論摩擦角與自鎖的概念結(jié)論與討論104干摩擦?xí)r的摩擦力－摩擦角關(guān)于摩擦角的兩點(diǎn)結(jié)論：

摩擦角是靜摩擦力取值范圍的幾何表示。三維受力狀態(tài)下，摩擦角變?yōu)槟Σ铃F。

結(jié)論與討論干摩擦?xí)r的摩擦力－摩擦角關(guān)于摩擦角的兩點(diǎn)結(jié)論：105自鎖及其應(yīng)用WyWxFFNW斜面上剛性塊的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)結(jié)論與討論自鎖及其應(yīng)用WyWxFFNW斜面上剛性塊的結(jié)論與討論106自鎖及其應(yīng)用－斜面上剛性塊的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)WyWxFFN坡度很小時(shí)，剛性塊不滑動(dòng)

結(jié)論與討論自鎖及其應(yīng)用－斜面上剛性塊的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)WyWxFFN坡度很小107自鎖及其應(yīng)用－斜面上剛性塊的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)WyWxFFN坡度增加到一定數(shù)值以后，剛性塊滑動(dòng)

結(jié)論與討論自鎖及其應(yīng)用－斜面上剛性塊的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)WyWxFFN坡度增加108自鎖及其應(yīng)用－斜面上剛性塊的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)WyWxFFN坡度增加到一定數(shù)值時(shí)，剛性塊處于臨界狀態(tài)結(jié)論與討論自鎖及其應(yīng)用－斜面上剛性塊的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)WyWxFFN坡度增加109不僅斜面與物塊系統(tǒng)具有這種現(xiàn)象，考察平面－物塊系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)：自鎖及其應(yīng)用FQFQ結(jié)論與討論不僅斜面與物塊自鎖及其應(yīng)用FQFQ結(jié)論與討論110主動(dòng)力作用線位于摩擦角范圍內(nèi)時(shí)，不管主動(dòng)力多大，物體都保持平衡，這種現(xiàn)象稱為自鎖。自鎖及其應(yīng)用結(jié)論與討論主動(dòng)力作用線位于自鎖及其應(yīng)用結(jié)論與討論111主動(dòng)力作用線位于摩擦角范圍以外時(shí)，不管主動(dòng)力多小，物體都將發(fā)生運(yùn)動(dòng)。自鎖及其應(yīng)用

結(jié)論與討論主動(dòng)力作用線位于自鎖及其應(yīng)用結(jié)論與討論112主動(dòng)力作用線與法線之間的夾角等于摩擦角時(shí)物體處于臨界狀態(tài)。自鎖及其應(yīng)用

結(jié)論與討論主動(dòng)力作用線與法自鎖及其應(yīng)用結(jié)論與討論113自鎖及其應(yīng)用

結(jié)論與討論自鎖及其應(yīng)用結(jié)論與討論114自鎖及其應(yīng)用螺旋

結(jié)論與討論自鎖及其應(yīng)用螺旋結(jié)論與討論115自鎖及其應(yīng)用

結(jié)論與討論自鎖及其應(yīng)用結(jié)論與討論116空間力系特殊情形下的平衡方程

結(jié)論與討論空間力系特殊情形下的平衡方程結(jié)論與討論117對(duì)于一般的空間力系，根據(jù)平衡的充要條件，可以寫(xiě)出3個(gè)力的平衡方程和3個(gè)力矩平衡方程。

結(jié)論與討論對(duì)于一般的空間力系，根據(jù)平衡的充要條件，可以寫(xiě)出3個(gè)118對(duì)于力系中所有力的作用線都相交于一點(diǎn)的空間匯交力系匯交于O點(diǎn)，上述平衡方程中三個(gè)力矩方程自然滿足，因此，平衡方程為

結(jié)論與討論對(duì)于力系中所有力的作用線都相交于一點(diǎn)的空間匯交力系119對(duì)于力偶作用面位于不同平面的空間力偶系，平衡方程中的三個(gè)力的投影方程自然滿足，其平衡方程為：

結(jié)論與討論對(duì)于力偶作用面位于不同平面的空間力偶系，平衡方程中120所有力的作用線相互平行（例如都平行于坐標(biāo)系中的軸）的力系，稱為空間平行力系。對(duì)于空間平行力系，6個(gè)平衡方程中，有2個(gè)力的平衡方程和1個(gè)力矩方程自然滿足，例如

結(jié)論與討論于是,空間平行力系的平衡方程為：所有力的作用線相互平行（例如都平行于坐標(biāo)系中的軸）的121力系的平衡條件與平衡方程第一篇靜力學(xué)工程力學(xué)(靜力學(xué)與材料力學(xué))第三章力系的平衡條件與平衡方程第一篇靜力學(xué)工程力學(xué)(靜力122

受力分析的最終的任務(wù)是確定作用在構(gòu)件上的所有未知力，作為對(duì)工程構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)、剛度設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。本章將在平面力系簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上，建立平衡力系的平衡條件和平衡方程。并應(yīng)用平衡條件和平衡方程求解單個(gè)構(gòu)件以及由幾個(gè)構(gòu)件所組成的系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，確定作用在構(gòu)件上的全部未知力。第三章力系的平衡條件與平衡方程

受力分析的最終的任務(wù)是確定作用在構(gòu)件上的所有123

“平衡”不僅是本章的重要概念。對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，如果整體是平衡的，則組成這一系統(tǒng)的每一個(gè)構(gòu)件也平衡的。對(duì)于單個(gè)構(gòu)件，如果是平衡的，則構(gòu)件的每一個(gè)局部也是平衡的。這就是整體平衡與局部平衡的概念。第三章

力系的平衡條件與平衡方程

“平衡”不僅是本章的重要概念。對(duì)于一124平面力系的平衡條件與平衡方程

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

結(jié)論與討論第三章力系的平衡條件與平衡方程平面力系的平衡條件與平衡方程簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題125返回首頁(yè)平面力系的平衡條件與平衡方程第三章力系的平衡條件與平衡方程平面一般力系的平衡條件與平衡方程

平面一般力系平衡方程的其他形式

返回首頁(yè)平面力系的平衡條件與平衡方程第三章力系的平126平面一般力系的平衡條件與平衡方程

平面力系的平衡條件與平衡方程

平面一般力系的平衡條件與平衡方程平面力系的平衡127當(dāng)力系的主矢和對(duì)于任意一點(diǎn)的主矩同時(shí)等于零時(shí)，力系既不能使物體發(fā)生移動(dòng)，也不能使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，即物體處于平衡狀態(tài)。是平面力系平衡的充分條件。另一方面，如果力系為平衡力系，則力學(xué)的主矢和對(duì)于任意一點(diǎn)的主矩必同時(shí)等于零。這是平面力系平衡的必要條件。平面力系的平衡條件與平衡方程當(dāng)力系的主矢和對(duì)于任意一點(diǎn)的主矩同時(shí)等于零時(shí)，力系既不能128因此，力系平衡的必要與充分條件是力系的主矢和對(duì)任意一點(diǎn)的主矩同時(shí)等于零。這一條件簡(jiǎn)稱為平衡條件。

滿足平衡條件的力系稱為平衡力系。

本章主要介紹構(gòu)件在平面力系作用下的平衡問(wèn)題。

平面力系的平衡條件與平衡方程

因此，力系平衡的必要與充分條件是力系的主矢和對(duì)任意129對(duì)于平面力系，根據(jù)第2章中所得到的主矢和主矩的表達(dá)式，力系的平衡條件可以寫(xiě)成

FR—主矢；MO—對(duì)任意點(diǎn)的主矩平面力系的平衡條件與平衡方程

對(duì)于平面力系，根據(jù)第2章中所得到的主矢和主矩的表達(dá)式，力130yzxOF1FnF2M2M1Mn對(duì)于作用在剛體或剛體系統(tǒng)上的任意力系，平衡條件的投影形式為

平面力系的平衡條件與平衡方程

yzxOF1FnF2M2M1Mn對(duì)于作用在剛體或剛體131Fx=0,MO=0Fy=0,于是，平面力系平衡方程的一般形式為：

其中矩心O為力系作用面內(nèi)的任意點(diǎn)。

yxzO

通常將上述平衡方程中的第1、2兩式稱為力的平衡方程；第3式稱為力矩平衡方程。上述平衡方程表明，平面力系平衡的必要與充分條件是：力系中所有的力在直角坐標(biāo)系Oxy的各坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和以及所有的力對(duì)任意點(diǎn)之矩的代數(shù)和同時(shí)等于零。

平面力系的平衡條件與平衡方程Fx=0,MO=0Fy=0,132懸臂式吊車(chē)結(jié)構(gòu)中AB為吊車(chē)大梁，BC為鋼索，A處為固定鉸鏈支座，B處為鉸鏈約束。已知起重電動(dòng)機(jī)E與重物的總重力為FP(因?yàn)閮苫喼g的距離很小，F(xiàn)P可視為集中力作用在大梁上)，梁的重力為FQ。已知角度θ=30o。

求：1.電動(dòng)機(jī)處于任意位置時(shí)，鋼索BC所受的力和支座A處的約束力；2.分析電動(dòng)機(jī)處于什么位置時(shí)，鋼索受力的最大，并確定其數(shù)值。

例題1平面力系的平衡條件與平衡方程懸臂式吊車(chē)結(jié)構(gòu)中AB為吊車(chē)大梁，BC為鋼索，133

解：1．選擇研究對(duì)象本例中要求的是鋼索BC所受的力和支座A處的約束力。鋼索受有一個(gè)未知拉力，若以鋼索為研究對(duì)象，不可能建立已知力和未知力之間的關(guān)系。

吊車(chē)大梁AB上既有未知的A處約束力和鋼索的拉力，又作用有已知的電動(dòng)機(jī)和重物的重力以及大梁的重力。所以選擇吊車(chē)大梁AB作為研究對(duì)象。將吊車(chē)大梁從吊車(chē)中隔離出來(lái)。

平面力系的平衡條件與平衡方程解：1．選擇研究對(duì)象吊車(chē)大梁AB上既有未知的A處134

解：1．分析受力

因?yàn)橐箅妱?dòng)機(jī)處于任意位置時(shí)的約束力，所以假設(shè)力FW作用在坐標(biāo)為x處。于是，可以畫(huà)出吊車(chē)大梁AB的受力圖。在吊車(chē)大梁AB的受力圖中，F(xiàn)Ax、FAy和FTB均為未知約束力與已知的主動(dòng)力FW和FQ組成平面力系。因此，應(yīng)用平面力系的3個(gè)平衡方程可以求出全部3個(gè)未知約束力。

建立Oxy坐標(biāo)系。

A處約束力分量為FAx和FAy；鋼索的拉力為FTB。平面力系的平衡條件與平衡方程

解：1．分析受力135解：2．建立平衡方程：因?yàn)锳點(diǎn)是力FAx和FAy的匯交點(diǎn)，故先以A點(diǎn)為矩心，建立力矩平衡方程，由此求出一個(gè)未知力FTB。然后，再應(yīng)用力的平衡方程投影形式求出約束力FAx和FAy。平面力系的平衡條件與平衡方程

解：2．建立平衡方程：平面力系的平衡條件與平衡方程136解：2．建立平衡方程平面力系的平衡條件與平衡方程

解：2．建立平衡方程平面力系的平衡條件與平衡方程137解：3．討論

由結(jié)果可以看出，當(dāng)x＝l，即電動(dòng)機(jī)移動(dòng)到吊車(chē)大梁右端B點(diǎn)處時(shí)，鋼索所受拉力最大。鋼索拉力最大值為

平面力系的平衡條件與平衡方程解：3．討論平面力系的平衡條件與平138例題2

A端固定的懸臂梁AB受力如圖示。梁的全長(zhǎng)上作用有集度為q的均布載荷；自由端B處承受一集中力和一力偶M的作用。已知FP＝ql，M=ql2；l為梁的長(zhǎng)度。試求固定端處的約束力。平面力系的平衡條件與平衡方程

例題2A端固定的懸臂梁AB受力如圖示。梁的全139解：1．研究對(duì)象、隔離體與受力圖本例中只有梁一個(gè)構(gòu)件，以梁AB為研究對(duì)象，解除A端的固定端約束，代之以約束力FAx、FAy和約束力偶MA。于是，可以畫(huà)出梁AB的受力圖。圖中、M、q為已知的外加載荷，是主動(dòng)力。

2．將均布載荷簡(jiǎn)化為集中力作用在梁上的均勻分布力的合力等于載荷集度與作用長(zhǎng)度的乘積，即ql；合力的方向與均布載荷的方向相同；合力作用線通過(guò)均布載荷作用段的中點(diǎn)。

ql平面力系的平衡條件與平衡方程

解：1．研究對(duì)象、隔離體與受力圖140

解：3．建立平衡方程，求解未知約束力通過(guò)對(duì)A點(diǎn)的力矩平衡方程，可以求得固定端的約束力偶MA；利用兩個(gè)力的平衡方程求出固定端的約束力FAx和FAy。

ql平面力系的平衡條件與平衡方程解：3．建立平衡方程，求解未知約束力ql141平面一般力系平衡方程的其他形式

平面力系的平衡條件與平衡方程

平面一般力系平衡方程的平面力系的平衡條件與平衡方142上述平面力系3個(gè)平衡方程中的可以一個(gè)或兩個(gè)都用力矩式平衡方程代替，但所選的投影軸與取矩點(diǎn)之間應(yīng)滿足一定的條件。于是，可以得到平面力系平衡方程的其他形式。

Fx=0,MO=0Fy=0,Fx=0,Fy=0,yxzO平面力系的平衡條件與平衡方程上述平面力系3個(gè)平衡方程中的可以一個(gè)或兩個(gè)都用力矩式平衡方程143Fx=0,MA=0,MB

=0。BAx

A、B

連線不垂直于x軸這是因?yàn)?，?dāng)上述3個(gè)方程中的第二式和第三式同時(shí)滿足時(shí)，力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶，只可能簡(jiǎn)化為通過(guò)AB兩點(diǎn)的一合力或者是平衡力系。但是，當(dāng)?shù)谝皇酵瑫r(shí)成立時(shí)，而且AB與x軸不垂直，力系便不可能簡(jiǎn)化為一合力FR，否則，力系中所有的力在x軸上投影的代數(shù)和不可能等于零。因此原力系必然為平衡力系。FR平面力系的平衡條件與平衡方程Fx=0,BAxA、B連線144例題3

圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，確定A、B、C三處約束力lACBllFP平面力系的平衡條件與平衡方程例題3圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，145分析受力dDBlACllFPFAyFAxFBC平面力系的平衡條件與平衡方程分析受力dDBlACllFPFAyFAxFBC平面146MA(F)=0:FBCd-FP2l=0dDBlACllFPFAyFAxFBC建立平衡方程求解未知量平面力系的平衡條件與平衡方程MA(F)=0:FBCd-FP147MB(F)=0:FAy

l-FPl=0FAy=-FPdDBlACllFPFAyFAxFBC建立平衡方程求解未知量平面力系的平衡條件與平衡方程MB(F)=0:FAyl-FP148Fx=0:FAx+FBCcos=0FAx=-2FPdDBlACllFPFAyFAxFBC建立平衡方程求解未知量平面力系的平衡條件與平衡方程Fx=0:FAx+FBCcos=0FAx=-149M=FPlllACBlD例題4圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，確定A、B、C三處約束力平面力系的平衡條件與平衡方程M=FPlllACBlD例題4圖示結(jié)構(gòu)，150ABDFAxFByFBxFAyCB'M=FPlFBy′FBx′FCx′FCy′llACBlDM=FPl分析BC和ABD桿受力平面力系的平衡條件與平衡方程ABDFAxFByFBxFAyCB'M=FPlFBy′FB151ABDFAxFByFBxFAy考察ABD桿的平衡MB(F)=0:MA(F)=0:FBy=0FAy=0Fx=0:

FBx+

FAx=0

FBx=

-FAx平面力系的平衡條件與平衡方程ABDFAxFByFBxFAy考察ABD桿MB(F152CB'M=FPlFBy′FBx′FCx′FCy′考察BC桿的平衡Fx=0:

FBx′-

FCx′=0

FCx′=FBx′=

FBxFy=0:

FBy′-

FCy′=0

FCy′=FBy′

=FBy=0MB'

(F)=0:FCx′l+M=0FCx′=FBx′=

-FP平面力系的平衡條件與平衡方程CB'M=FPlFBy′FBx′FCx′FCy′考察BC桿153llACBlDM=FPlABDFPCB'M=FPlFPFPFP平面力系的平衡條件與平衡方程最后的受力圖llACBlDM=FPlABDFPCB'M=FPlFPF154關(guān)于平衡對(duì)象的選擇能不能以整體為平衡對(duì)象FAxFAyFAxFAyACBM=FPllllDllACBlDM=FPl平面力系的平衡條件與平衡方程

關(guān)于平衡對(duì)象的選擇能不能以整體為平衡對(duì)象FAxFAyFAx155MA=0，MB

=0,MC=0。CBAA、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上因?yàn)?，?dāng)式中的第一式，第二式滿足時(shí)，力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶，只可能簡(jiǎn)化為通過(guò)A、B點(diǎn)的一個(gè)合力FR。同樣如果第二、三式也同時(shí)被滿足，則這一合力也必須通過(guò)B、C兩點(diǎn)。CFR

但是由于A、B、C三點(diǎn)不共線，所以力系也不可能簡(jiǎn)化為一合力。因此，滿足上述方程的平面力系只可能是一平衡力系。

平面力系的平衡條件與平衡方程MA=0，CBAA、B、C三點(diǎn)不156lllACBDM=FPl例題5圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，確定A、C二處約束力平面力系的平衡條件與平衡方程

lllACBDM=FPl例題5圖示結(jié)構(gòu)157lM=FPlllACBDFAFC平面力系的平衡條件與平衡方程lM=FPlllACBDFAFC平面力系的平衡條件與158lM=FPlllACBDFAFCMC(F)=0:

FA=FC=FPFA×l+M=0平面力系的平衡條件與平衡方程lM=FPlllACBDFAFCMC(F)=0:159lllFPACBD例題6

圖示結(jié)構(gòu)，若FP和l已知，確定A、C二處約束力平面力系的平衡條件與平衡方程

lllFPACBD例題6圖示結(jié)構(gòu)，若160ACBDllFPlFCyFAFCx平面力系的平衡條件與平衡方程ACBDllFPlFCyFAFCx平面力系的平衡條件與161ACBDllFPlFCyFAFCxME(F)=0:MA(F)=0:MC(F)=0:FCx

l-FP2l=0-FA

l-FP2l=0-FCy

2l-FAl=0EFCx=2FP,FCy=FP,FA=-2FP平面力系的平衡條件與平衡方程ACBDllFPlFCyFAFCxME(F)=162簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題第3章

力系的平衡條件與平衡方程

返回首頁(yè)簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題第3章力系的平衡條件與平衡方163簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)大都由兩個(gè)或兩個(gè)以上構(gòu)件通過(guò)一定約束方式連接起來(lái)的系統(tǒng)，因?yàn)樵诠こ天o力學(xué)中構(gòu)件的模型都是剛體，所以，這種系統(tǒng)稱為剛體系統(tǒng)(systemofrigiditybodies)。

前幾章中，實(shí)際上已經(jīng)遇到過(guò)一些簡(jiǎn)單剛體系統(tǒng)的問(wèn)題，只不過(guò)由于其約束與受力都比較簡(jiǎn)單，比較容易分析和處理。

分析剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的基本原則與處理單個(gè)剛體的平衡問(wèn)題是一致的，但有其特點(diǎn)，其中很重要的是要正確判斷剛體系統(tǒng)的靜定性質(zhì)，并選擇合適的研究對(duì)象。簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題實(shí)際工程結(jié)構(gòu)大都由兩164剛體系統(tǒng)靜定與靜不定的概念

剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題的特點(diǎn)與解法

簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

剛體系統(tǒng)靜定與靜不定的概念剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題的165前幾節(jié)所研究的問(wèn)題中，作用在剛體上的未知力的數(shù)目正好等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目。因此，應(yīng)用平衡方程；可以解出全部未知量。這類問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

剛體系統(tǒng)靜定與靜不定的概念

前幾節(jié)所研究的問(wèn)題中，作用在剛體上的未知力的數(shù)目正好166實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，為了提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度，或者為了其他工程要求，常常需要在靜定結(jié)構(gòu)上，再加上一些構(gòu)件或者約束，從而使作用在剛體上未知約束力的數(shù)目多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目，因而僅僅依靠剛體平衡條件不能求出全部未知量。這類問(wèn)題稱為靜不定問(wèn)題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜不定結(jié)構(gòu)或超靜定結(jié)構(gòu)。簡(jiǎn)單的剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，為了提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度，