1數(shù)學可集習題練習詳解二三

習題三（A）1．根據(jù)導數(shù)定義求下列函數(shù)的導數(shù)：1（1）f(（2）f(x) (x0);x20).（4）f(（3）f(11212xf(23(2)f(213f(3logae111習題三（A）1．根據(jù)導數(shù)定義求下列函數(shù)的導數(shù)：1（1）f(（2）f(x) (x0);x20).（4）f(（3）f(11212xf(23(2)f(213f(3logae1111f(xlogea x1na2．求下列曲線在指定條件下的切線方程；（1）yx3x2y5x平行的切線；（2）ycosxx處的切線；2y1的經(jīng)過點（2，0）的切線.xx1x5,解：(1)y5xk5yx3x2y3x22x5可得213y2y2505，且經(jīng)過(1,2或(550y5x3y5x-1 xy0(2)y'sinxx22斜率為1,且經(jīng)過(,0)的斜線為y x22(3)(2,0)得直線為 ykxb過(2,0)2kb0b2k1kykx2k yy1 y1k則xyk (k0)x2x(1,k)ykx2k上,k1yx22xk3st22t1求在t3時運動的瞬時速度.st22t1s2t2當t3s8vt38ms4f(xxa可導，求：f(a)f(ax);f(3st22t1求在t3時運動的瞬時速度.st22t1s2t2當t3s8vt38ms4f(xxa可導，求：f(a)f(ax);f(a5h)f(a3h);（1）limx0（2）limh0x2ht1.t0f(a)f(a3t) 6f(a)f(ax) f(a)f(ax)解：(1)limx0f'(a)xx0 a(ax)f(a5h)f(a3h) f(a)f(ax)k0f'(a)8h0 a(ax)2ht3t1f(a)2t0f(a)f(a3t) 33t0f(a)f(a3t) 6[f(xx)]2[f(x)]2limx0.x[f(xx)]2[f(x)]2x[f(xx)f(x)]xlim[f(xx)f(x)]x0解：limx0f'(x)lim[f(xx)f(x)]f(x)2f(x)2f(x)f'(x)x0f(xx0limf(x32,f(xx0點處是否可導？x0 xf'(0f(x)32f(x)在x0點連續(xù)，limf(x32x,f(xx03x0 xx0f(0)32f()x0xx0 xx0 x7f(x)的不可導點.f(x)x2x0x1或解：，f(0)f(0)0x2x00x1,f'(2f(1)1 f(1)1f(1)f(1)x1為f(x的為不可導點1a0x af(xx0處8f(x)s, x0（1）連續(xù)；（2）可導；（3）導數(shù)連續(xù).x2sin1f(x)為有界函數(shù)函數(shù)1a0x af(xx0處8f(x)s, x0（1）連續(xù)；（2）可導；（3）導數(shù)連續(xù).x2sin1f(x)為有界函數(shù)函數(shù)0連續(xù)limxasin1x0可導1f(0)0a0a11(x0)asin(x)asinf(0) 0x x0limx0x存在a10a13）導數(shù)連續(xù)此時 axa1sinx0x0f(x)f'(x)再x0處連續(xù)，0limf(0)x0則limf(0)f(0)0a2x09f(xf(0)0F(x)f(x)(1sinx)x0f(0).f(x)0)limf(0)0 xf(xxf(xx)f(x必存在？limx0x解：f(x)xx0處為0f'(0不存在11f(x)(xa)g(x)，(1)g(x)xaf'(a)；(2)xag(x)f(xxa處必不可導，為什么？0解：1)f(x)(xa)g(x),f(a)g(xxa)g2)limg(x)Af'(a)A.limg(af'(a)不存在.xaxa12．設(shè)函數(shù)x2x0x0f(x)解：1)f(x)(xa)g(x),f(a)g(xxa)g2)limg(x)Af'(a)A.limg(af'(a)不存在.xaxa12．設(shè)函數(shù)x2x0x0f(x)1,e0,則下列結(jié)論正確的是（ ）.f(xx0點間斷f(xx0點連續(xù)，但不可導f(xx0f(xx0點間斷f'(xx0點連續(xù)x x，232x 1x 1111ex22x3limf(x)limf(x)lim 01ex0x401e4x0x0x0，時f(x)f(x)f(x)0f(x)x0點13f(x為可導函數(shù)，且滿足1x0 2xyf(x在點(1,f(1處切線的方程.)x 2x1111y x siny1cos2y 1x2f1)1)x0x(1(2x))22limx0 2xk=2且經(jīng)過(1,4)y2x614f(xx0f(0)0.為偶函數(shù),f(-x)=f(x),兩邊求導為:f(x)f(x)f(xf(x)0x=02f(0)0f(0)015．求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）y5x43x21;（2）y(x1)x;xx;5x（3）y1x2;為偶函數(shù),f(-x)=f(x),兩邊求導為:f(x)f(x)f(xf(x)0x=02f(0)0f(0)015．求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）y5x43x21;（2）y(x1)x;xx;5x（3）y1x2;1x3n（5）yxlogax（6）y;3x（8）y3xx2;（7）y2xsinx;x（9）y（10）;1cosx（12）yexarccosx;（11）yxarctans;cos2x（13）y（14）;yxyln1x1x.1x1x（15）y2xx2log25;1x2解：1)y5x43x2x1312)[( y x )1(2x2x5x 5(1x2)3)y 2(1x2)2(1x2)21x1(1ln lnx)1) x x 4)y((1lnx)215)y(xnlogax)nxn1logaxxn333x8x31x333x26)y( )3x2x3343xx23x28)y(ex)( )3xln3)32x3x )1cos9)y(1cosx(1cosx)2xarctanx)arctanx1x2ex1xxx12)y(earccosx)earccosx-e(arccosx-1x21-x2cos2x )2sin2x(sinxcos13)y'(xcosx(sinxxarctanx)arctanx1x2ex1xxx12)y(earccosx)earccosx-e(arccosx-1x21-x2cos2x )2sin2x(sinxcos13)y'(xcosx(sinxcosx)22sin2xsinx2sin2(sinxcosx)2cos2xsins)sin2(sinxcosx)2)21sin2x(sinxcos(sinxcosx) (sinxcos14)y(x(2tan)15)y(2xx2log5)ln22x32x22)1x(ln116)y(ln1x1x1x1xx 111x21=. .2x2211x116．應用反函數(shù)求導法則證明：11（1）(arctanx)（2）(arccosx);.1x21x211x2解：1)(arctanx)yarctanxxtany1cos2y111y cos2yx(tany)x1tan2y 1x212)(arccosx)1x21111y x siny1cos2y 1x217yf(x)ax3bx1g(x)yg(x)在點（2，1）處的切線方程為y1x4a，b.5 5解：yf(x)ax3bx1g(x)yg(x)在點（2，1）處的切y1x4f(x)過點(1,2),yg(x)在點（2，1）5 5y1x4a=1,b=2.5 518f(xf(xf(0),f(1arctanx,0x ,snx,x0,x解：yf(x)ax3bx1g(x)yg(x)在點（2，1）處的切y1x4f(x)過點(1,2),yg(x)在點（2，1）5 5y1x4a=1,b=2.5 518f(xf(xf(0),f(1arctanx,0x ,snx,x0,x0;（2）f(x)2（1）f(x)ex,tanx,- x0.2cosx,x0解：1)f(x)=01e.xe,x012211 11x2)f(x),f(0).2cos20sec2x, x0219．求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）y(3x5)3(5x1)5;（2）y(32x3)14x2;x)3lnx;（4）y;1x21x;（5）y(sinnx)(cosnx);1xx5xtan;（8）ycos ;22（9）yxsec2xcsc2x;（10）yx2cot1;aax（12）yxx2a2a2ln(x（14）yarccosx;x2a2);;2x（13）yarctan ;1x21x2exexax2（15）ye ;y ;exex1x;x2（17）yarctan（18）ylogasine;1xlnx（19）yarctanx21;x21（20）yu(b(x)(,b常數(shù)u(x(x)可導；（21）y（22）ylnarcsinx;;1cotxcosx（23）y()（24）y(sinx) ;xx24xx（25）yx ;y3x32x23x1x（27）y 3 21x(3x)).2x解：1)y3x5)3(51)5]（21）y（22）ylnarcsinx;;1cotxcosx（23）y()（24）y(sinx) ;xx24xx（25）yx ;y3x32x23x1x（27）y 3 21x(3x)).2x解：1)y3x5)3(51)5]3*3*(31)4;2)y[(32x3)14x2]6x21414x223)2;14x22323*1 1131 113lnx] *x(lnx) .3x31 21x21x2x14)y[.]1x2x2)3(sinx)*ncosn1xncosxsinnxsinxcosn1x)1x1xx*12x 2x.1x 1x)x 1111.2tancos2 2228)y[cos5x]5cos4x(sin.22 22429)y[sec2xcsc2x](11)2(sec2xtanxcsc2xxcot).a a2x 2x1aa a acos sinaa1 1110)y[xcot]2x22221*x2.sinx1 21x2.21x2 1x211)y[x1x2arcsin12)y[xx2a2a2ln(x2x12x2a22xx2a2xa22x29)y[sec2xcsc2x](11)2(sec2xtanxcsc2xxcot).a a2x 2x1aa a acos sinaa1 1110)y[xcot]2x22221*x2.sinx1 21x2.21x2 1x211)y[x1x2arcsin12)y[xx2a2a2ln(x2x12x2a22xx2a2xa22x2a2xx2a22x2a2.1 2x213)y[arctan ].2x1-x2(1x2)21x2)21(1x21)21x21*1x214)y[arccosx]1x21x2xarccosx1;1x2x2)32e a15)ye*lna*(2x)[e ]*a2xaexex(exe(exe)2416)y[];)2x xee1 *(1x1x)1-x]117)y[arctan*11x1x1x (1x)21x21x1;21x21x2x2x218)y[logasine]*cose*e*2xx22x2x2 1nx19)y[arctanx21]x21x212xxx21*lnx12x2*1x21x212x21;(x21)320)y[[u(x)]bav(x)]b[u(x)]b1u(x)av(x)v(x)na;21)y[]111*(1)224x21;8111122)y[lnarcsin**;arcsin2123)y[()cotx]x1x][ecotxln1e x*[11*(220)y[[u(x)]bav(x)]b[u(x)]b1u(x)av(x)v(x)na;21)y[]111*(1)224x21;8111122)y[lnarcsin**;arcsin2123)y[()cotx]x1x][ecotxln1e x*[11*(2)]2sinxx1cotx2() (cscx);x24)y[(sinx)cosx](sinsinx25)yxx，即lnylnxx，所以(lny)(lnxx)，即1*y lnx1xxy2xxxlnx所以y )；2xx24xx24xx2x226)y[3]( );x24x x32333x2x2x21xx23x3x 2 1 x927)y[] 3 ];3(9x2)321x(3x)(328)y(11)x,即lnyln(11)x,所以2x2x2xy2x(2x121].20f(x可導，求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）yf(ex)ef(2xy2x(2x121].20f(x可導，求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）yf(ex)ef(x);（2）yf(sin2x)sin[f(x)]2;f(arcsin1);（4）yarctan[f(x)].x解：1）yf(ex)ef(x)]f(ex)*ex*ef(x)f(ex)*ef(x)*f(x)ef(x)[e)];2）y(f(sin2x)sin[f(x)]2)f(sin2x)sin2x2f(x)f(x)cosf2(x)1f(arcsin)x11 1 13）y[f(arcsin)]xf(arcsin)*x*( )x2;1x22x1x1f'(x);1x2)].21f(x)2x求f(1x22x解：[f(21x)]f(1 2.*11x2 1x222x1x1可導，求a,b.22f(x)snb(x-1),x1解：因為f(x在x1處可導，所以f(x在x1處一定連續(xù).所以有 2，即b 1a2 ，所以a0,b2.limf(x)limf(x)f(1)0x0ln(1a2)x123yax2ylnx相切，求a.yax2y 2，即b 1a2 ，所以a0,b2.limf(x)limf(x)f(1)0x0ln(1a2)x123yax2ylnx相切，求a.yax2ylnxxey(x)y(x)，即2ax1,所以解：因為曲線12xx ,此時y1.所以11n ,所以a .1112a222a2e24f(xf'(x也是周期函數(shù).f(xT為f(xf(x)f(xT,f(x)f(xT,所以f(x)也是周期函數(shù)。25xya2xy軸圍成的三角形的面積為一常數(shù).a2xy0a2a2解：xya2，y ,y' ,,任取一點(x,y),則有0a2x02，則切線方程為00x2xka22a2x2a2xx軸的交點為(2ax0,0y軸的交點為(0,y x2x0002a21角形面積為s2ax0* 2a,為一常數(shù)。32x026．求下列函數(shù)的二階導數(shù)：（2）yxex2;（1）yxarcsinx;1（3）y（4）yarctan;;1x（5）yxxf(u)有二階導數(shù)）.1 2x2解：1）yxarcsin ;x2)321xx22;2）y(xe)(e11311x3）y()()*;)3144）y(arctan12x;(1x2)2x5）y(xx)[];f(x)f(x)[f(x)]216）y(ln[f(x)])[ *f(x)]f(x) f2(x)27．求下列函數(shù)的n階導數(shù)：（11311x3）y()()*;)3144）y(arctan12x;(1x2)2x5）y(xx)[];f(x)f(x)[f(x)]216）y(ln[f(x)])[ *f(x)]f(x) f2(x)27．求下列函數(shù)的n階導數(shù)：（1）1n(1x);（2）sin2x;1（3）xex;（4）.1x(1)n1(n1)!x)nnx)](n1,2...);n1);2）[sin223）[xex]n(exxex)n1(exxex)n1(nx)ex;11111)n[( )2]n，令f(x)( )2，則4）(1x1x1x(2n1)!11*3*1, fn(x)(-1)**,f'(x)252nn1222n(2n1)!1即(n)1x*1.n2x28．設(shè)f(x)的n2階導數(shù)f(n2)(x) ,求f(n)(x).1nxfn1(x)lnx1.xlnx解：因為f(x的n2階導數(shù)f(n-2)(x)(lnx)2所以f(n)(x)2lnx.f(x).29f(x在(,上滿足2f(1xf(1x)ex，求解：因為2f(1xf(1x)ex1xt2f(tf(2t)et-1式1),1xt則2f(2tf(t)e1-t(2)。(1)*2-(2)=>3f(t2et-1et1.所以f(t)1(2et1e1t,3即f(x)1(2ex1e1x).3并比較所得結(jié)果.1x2x2f(2tf(t)e1-t(2)。(1)*2-(2)=>3f(t2et-1et1.所以f(t)1(2et1e1t,3即f(x)1(2ex1e1x).3并比較所得結(jié)果.1x2x依次等于0.1,0.01,0.001時的改變量與微分的差，解：(fdf)x2(x)2，當x依次等于101,102,103時，(fdf)x2依次等于102,104,106，所以x愈小則(fdf)x22階無窮小31．求下列函數(shù)的微分：（1）y1x2;xy;1x2（3）yexcosx;（4）yln1x3;（6）yexsin2(2x);（5）yearcsinx;cosx1x2（8）y5lntanx.（7）y;2xxdxydxdx;21x211x2) (1x2)dx2）dyydxdx;(1x2)2(1x2)23）dyydx[e(cos;3x23x2dx14）dydx ;3 2(1x3)*31x 21xearcsinx5）dydx;2xx26）dyex[2sin4;(x21)sin7）dydx;(1x2)2tanxdx.8）dy(5lntantansin2x32x（x0x的高階無窮?。?）n1x1x;（1）ex1x;n（4）ln(1x)x.（3）tanxx;ex1則）.所以ex1.lime（羅必xxx0 x x011lim(x1nf(0（2）n1x1x;（1）ex1x;n（4）ln(1x)x.（3）tanxx;ex1則）.所以ex1.lime（羅必xxx0 x x011lim(x1nf(0f(0)dx1x(x1nx01x（微分求近似解）2)nnx01tanxlimcos2x3)1.limx0xx0111x4)1..x0 x x0133．求下列諸數(shù)的近似值：（1）50.95;（2）arctan1.02.4150.9551(1)5*(0.05)10.010.99;5*0.02x10.010.7954.411x22）arctan1.02arctan134．一球形薄殼，其處半徑為2米，厚度為0.1厘米，如已知用材每米3的重量公斤，求此球殼重的精確值和近似值.4R20.00116m [4R34(R0.001)3]m約103334[23(20.001)3]3m的精確值4[12.1036.106109]3m4R20.00116約103誤差.解：1）V[(RR)2R2]h2520.052202)157cm3V157cm30.5%R2hVS7.85cm20.25%S 236．已知某商品的成本函數(shù)為C(.求當產(chǎn)量Q=120時的總成本和邊際成本.81202P解：20p1P10C( 1000 2800（總成本）8C(Q)28QS7.85cm20.25%S 236．已知某商品的成本函數(shù)為C(.求當產(chǎn)量Q=120時的總成本和邊際成本.81202P解：20p1P10C( 1000 2800（總成本）8C(Q)28Q12030（邊際成本）4Q=100.（件）時的總與邊際2;WPQ(1500.01WQ10014900元（總WQ100148元）38．設(shè)生產(chǎn)某6000020元，價格函數(shù)為Q1000P60其中Q為銷量.設(shè)供銷平衡，求：Q500W40解：1）W(P20)Q(40;10002）P10Q5000總500000元P1%Q399048%39D(P)75P2,P4時的需求價格彈性和價格彈性，并說明其實際含義.QD(P)2P23259 dQ2PP當P4時QPQP75P2 75P2dPRPdRP753P2175PP30.5475P2dPRRP270.46P459)P3時的供給價格彈性，并說明其實際含義.解：ES3P當p3時,ES911P30.82EP 23PEP110.82%。p在什么范圍變動時需求是高彈性或低彈性？（1）Q100(2p);（2）pabQ(a,b0).121解：1) dq*150p2*pp.qpdp q100(2p) 2(2p))P3時的供給價格彈性，并說明其實際含義.解：ES3P當p3時,ES911P30.82EP 23PEP110.82%。p在什么范圍變動時需求是高彈性或低彈性？（1）Q100(2p);（2）pabQ(a,b0).121解：1) dq*150p2*pp.qpdp q100(2p) 2(2p)1212p1時是低彈性，即0p16。當p所以當 1時是高彈qpqp2(2p)92(2P)性，即16P4..9ap2bp 2p22p2dq p2p2)q 2.所以當qp1時是低彈性,即,qp * *22bdpq bap apap2p2ap2，當 1（0Pa/3a/3paqppadq,b0,q0.）42．設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q1005p，如需求彈性小于-1p的取值范圍.QpdQP5PPdPQ 1005P 20PP1P1020P因為Q1005P0P2010P20（B）1．單項選擇題（1）設(shè)u(x),(xx0處均可異，且u(0)1,u(0)1,v(0)2,v(0)2limu(x)v(x)2(D).x0 xD．4A．-2B．0C．2（2）f(x)3xx0處（C）.A.不連續(xù)C.其圖形有垂直的切線B.連續(xù)，但其圖形無切線D.可微ydy(（3）yf(xx