三角形面積公式-之水平寬鉛垂高

支付寶首頁(yè)搜索“933314”領(lǐng)紅包，每天都能領(lǐng)。付款前記得用紅包三角形面積公式之水平寬鉛垂高三角形的面積公式計(jì)算較多，而在平面直角坐標(biāo)系中的三邊都不與坐標(biāo)軸平行的三角形面積一般會(huì)采用割補(bǔ)形來(lái)求解，但有時(shí)采用水平寬鉛垂高面積公式會(huì)更加的方便.公式呈現(xiàn)如右圖所示，過(guò)△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別作x軸的垂線，其中過(guò)A，C兩條垂線與x軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)，線段EF的長(zhǎng)度稱為△ABC的水平寬，而過(guò)B點(diǎn)1的垂線與邊AC交于點(diǎn)D，線段BD的長(zhǎng)度稱為鉛垂高，則abc=；EFgBD，此即為三角形水平寬鉛垂高面積公式，其中水平寬EF通常取最外兩條垂線的寬OE:F度，對(duì)應(yīng)鉛垂高取經(jīng)過(guò)夾在中間的頂點(diǎn)（B）與邊（AC）交點(diǎn)（D）之間的距離OE:F公式推導(dǎo)如右圖，過(guò)點(diǎn)A，C作鉛垂高BD上的高AG，CH，11則有S^abc=Saabd+Sabcd=AGgBDCHgBD=；AGCHgBD=；AGCHgBD=；EFgBD.公式應(yīng)用1――上下垂線BC例1（適合八年級(jí)）如圖，已知邊長(zhǎng)為a的正方BC形ABCD,E為AD的中點(diǎn)，P為CE的中點(diǎn)，F(xiàn)為BP的中點(diǎn)，則△BFD的面積是（）.12121212A.aB.aC.aD.——a8163264說(shuō)明：本題可以連結(jié)CF，由厶BCD的面積減去△BCF與厶CDF的面積求解，也可以建立平面直角坐標(biāo)系，

利用三角形水平寬鉛垂高面積公式求得解析：不妨以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（a，0）,點(diǎn)D坐標(biāo)為（a，a）.???E為AD的中點(diǎn),???占.小、E坐標(biāo)為（???P為CE的中點(diǎn),???E為AD的中點(diǎn),???占.小、E坐標(biāo)為（???P為CE的中點(diǎn),???占.小、P坐標(biāo)為（???F為BP的中點(diǎn),???占.小、F坐標(biāo)為（過(guò)F點(diǎn)作BC的垂線交BD于點(diǎn)G,3坐標(biāo)為3a，又直線BD的解析式為83G的縱坐標(biāo)為3a,831?△BDF的鉛垂高FG=3a—>a=—a,8481111?SABDF=—BCcfGaraa.22%16C'、C'、公式應(yīng)用2――左右垂線例2（適合八年級(jí)）如圖，直線y申1與X軸，y軸分別交于點(diǎn)A,B,以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC,且/BAC=90°.如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)Pa,12且厶ABP的面積與RtAABC的面積相等，求a的值?說(shuō)明：本題常見(jiàn)解法有三，一是連結(jié)OP,△ABP的面積=△AOB面積+△BOP面積—△AOP面積，然后用a的代數(shù)式表示，與RtAABC的面積相等列方程求解；11二是將點(diǎn)C沿AB翻折到C'位置，則△ABC面積與△ABC'面積相等，若△ABP的面積與RtAABC的面積相等，則可得PC'AB,因此，可以由點(diǎn)A,C坐標(biāo)先求C'坐標(biāo)，再根據(jù)AB的斜率與點(diǎn)C'坐標(biāo)求直線PC'的解析式，將點(diǎn)P縱坐標(biāo)代入，即可求a的值.三是考慮水平寬鉛垂高公式來(lái)計(jì)算，但如果從A，B，P三點(diǎn)向x軸作垂線，較為復(fù)雜，不妨換個(gè)角度應(yīng)用公式，即從A，B，P向y軸作垂線（即左右方向作垂線），仿公式求解.現(xiàn)解析如下?解析：過(guò)A，B，P三點(diǎn)作y軸的垂線，則0B可以看成公式中的水平寬，而PE可以看成公式中的鉛垂高，（不P習(xí)慣的同學(xué)可以將屏幕或頭轉(zhuǎn)個(gè)90度）由AB的解析式可以得0A=-3，10B=1,而P的縱坐標(biāo)為—，所以E為AB的中點(diǎn)，2所以PE=-a+乜，2從而有-22-1a—，22222公式應(yīng)用3――內(nèi)外垂線從例2可以看到，三條垂線不一定作向x軸，也可以作向y軸，仿公式用即可?一般地，水平寬取的是最外的兩條直線的距離，但這個(gè)做法不是絕對(duì)的，有SaSaabc=1EFgCG.簡(jiǎn)單推導(dǎo)：11Saabc=Saacg—Sabcg=-CGgEH-CGgFH22

說(shuō)明：當(dāng)取相鄰兩條垂線距離為水平寬時(shí)，第三條垂線將與第三邊（AB）的延長(zhǎng)線相交，此時(shí)頂點(diǎn)（C）到交點(diǎn)（G）的距離為鉛垂高（CG）.（4）點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q使得BQCQ的值最大,若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：本題只解（3），由已知條件可以得拋物線解析式為yx2（4）點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q使得BQCQ的值最大,若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：本題只解（3），由已知條件可以得拋物線解析式為yx24x3，BDyx3，由于問(wèn)題中并未交待上方或下方，故要分類討論:當(dāng)P在BD下方時(shí)，如右上圖,=3,鉛垂高為PE=x24x3當(dāng)P在BD上方時(shí)，P可能在左,但兩者本質(zhì)相同，如右下圖，此時(shí)二3為水平寬，則鉛垂22x3x4x3x3x.1兩種情況合起來(lái)就是-322x3x4.當(dāng)x23x4時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即F方時(shí)，不可能面積為6；P當(dāng)X23x4時(shí)，解得Xi1,X24,即當(dāng)P(-1,8)或P(4,3)時(shí)，S"bd=6.解后：從以上幾例可以看到，靈活運(yùn)用水平寬與鉛垂高公式，可以有效解決三角