高考物理特訓(xùn)第2講　洛倫茲力　帶電粒子在磁場中的運動

第2講洛倫茲力帶電粒子在磁場中的運動A級(練考點過基礎(chǔ))題組一洛倫茲力1．(2020·吉林松原模擬)(多選)如圖所示，在豎直平面內(nèi)放一個光滑絕緣的半圓形軌道，圓心O與軌道左、右最高點a、c在同一水平線上，水平方向的勻強磁場與半圓形軌道所在的平面垂直．一個帶負電荷的小滑塊由靜止開始從半圓軌道的最高點a滑下，則下列說法中正確的是()A．滑塊經(jīng)過最低點b時的速度與磁場不存在時相等B．滑塊從a點到最低點b所用的時間比磁場不存在時短C．滑塊經(jīng)過最低點b時對軌道壓力與磁場不存在時相等D．滑塊能滑到右側(cè)最高點c答案：AD解析：滑塊下滑時受到重力、洛倫茲力、軌道的支持力，洛倫茲力與軌道支持力不做功，只有重力做功，由機械能守恒可知，滑塊到達各點時的速度與磁場不存在時相等，故A正確；與沒有磁場時相比，滑塊在各點的速度都是相等的，所以滑塊從a點到最低點b所用的時間與磁場不存在時相等，故B錯誤；滑塊做圓周運動，在最低點由牛頓第二定律得F－mg－qvB＝meq\f(v2,r)，可得軌道對滑塊的支持力F＝mg＋qvB＋meq\f(v2,r)，所以滑塊對軌道的壓力F′＝F＝mg＋qvB＋meq\f(v2,r)，滑塊經(jīng)最低點時對軌道的壓力比磁場不存在時大，故C錯誤；根據(jù)滑塊的機械能守恒可知，滑塊能到達右側(cè)的最高點c，故D正確．2．α粒子(eq\o\al(4,2)He)和質(zhì)子(eq\o\al(1,1)H)在同一勻強磁場中做勻速圓周運動，若它們的動量大小相等，則α粒子和質(zhì)子()A．運動半徑之比是2∶1B．運動周期之比是2∶1C．運動速度大小之比是4∶1D．受到的洛倫茲力大小之比是2∶1答案：B解析：兩個粒子的動量大小相等，質(zhì)量之比是4∶1，所以有eq\f(vHe,vH)＝eq\f(mH,mHe)＝eq\f(1,4)，故C錯誤；質(zhì)子和α粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，軌道半徑R＝eq\f(mv,qB)＝eq\f(p,qB)，質(zhì)子和α粒子的電荷量之比是1∶2，則半徑之比RHe∶RH＝1∶2，故A錯誤；粒子運動的周期T＝eq\f(2πR,v)，所以eq\f(THe,TH)＝eq\f(RHe,RH)·eq\f(vH,vHe)＝eq\f(1,2)×eq\f(4,1)＝eq\f(2,1)，故B正確；粒子受到的洛倫茲力f＝qvB，得eq\f(fHe,fH)＝eq\f(qHe·vHe,qH·vH)＝eq\f(2,1)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，故D錯誤．題組二帶電粒子在有界磁場中的運動3．(2020·天津卷)(多選)如圖所示，在xOy平面的第一象限內(nèi)存在方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場．一帶電粒子從y軸上的M點射入磁場，速度方向與y軸正方向的夾角θ＝45°.粒子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后在N點(圖中未畫出)垂直穿過x軸．已知OM＝a，粒子電荷量為q，質(zhì)量為m，重力不計．則()A．粒子帶負電荷B．粒子速度大小為eq\f(qBa,m)C．粒子在磁場中運動的軌道半徑為aD．N與O點相距(eq\r(2)＋1)a答案：AD解析：粒子沿y軸負方向偏轉(zhuǎn)，根據(jù)左手定則判斷洛倫茲力，可知粒子帶負電，A正確；粒子運動的軌跡如圖，由于粒子射入磁場時的速度方向與y軸正方向的夾角θ＝45°，根據(jù)幾何關(guān)系可知∠OMO1＝∠OO1M＝45°，OM＝OO1＝a，則粒子運動的軌道半徑r＝O1M＝eq\r(2)a，由洛倫茲力提供向心力有qvB＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\f(\r(2)qBa,m)，B、C錯誤；N與O點的距離NO＝OO1＋r＝(eq\r(2)＋1)a，D正確．4．(2021·全國乙卷)如圖，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子從圓周上的M點沿直徑MON方向射入磁場。若粒子射入磁場時的速度大小為v1，離開磁場時速度方向偏轉(zhuǎn)90°.若粒子射入磁場時的速度大小為v2，離開磁場時速度方向偏轉(zhuǎn)60°，不計粒子重力，則eq\f(v1,v2)為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)答案：B解析：根據(jù)題意做出粒子的軌跡圓心如圖所示．設(shè)圓形磁場區(qū)域的半徑為R，根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子第一次圓周運動的半徑r1＝R，粒子第二次圓周運動的半徑r2＝eq\r(3)R，根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB＝eq\f(mv2,r)，可得v＝eq\f(qrB,m)，所以eq\f(v1,v2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(\r(3),3)，B正確．題組三帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題5．(2020·河北辛集中學測試)如圖所示，在邊長為a的正三角形區(qū)域內(nèi)存在著方向垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場．一個質(zhì)量為m、電荷量為＋q的帶電粒子(重力不計)從AB邊的中點O以某一速度v進入磁場，粒子進入磁場時的速度方向垂直于磁場且與AB邊的夾角為60°.若粒子能從AB邊穿出磁場，且粒子在磁場中運動的過程中，到AB邊有最大距離，則v的大小為()A.eq\f(\r(3)Bqa,4m) B.eq\f(3Bqa,4m)C.eq\f(\r(3)Bqa,8m) D.eq\f(3Bqa,8m)答案：C解析：從O點以v射出的粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，恰好與BC相切時，到AB邊有最大距離，運動軌跡如圖所示．由幾何關(guān)系知2R＝eq\f(a,2)cos30°，又有Bqv＝eq\f(mv2,R)，解得v＝eq\f(\r(3)Bqa,8m).6．(2020·全國卷Ⅲ)真空中有一勻強磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示．一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進入磁場．已知電子質(zhì)量為m、電荷量為e，忽略重力．為使該電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場的磁感應(yīng)強度最小為()A.eq\f(3mv,2ae) B.eq\f(mv,ae)C.eq\f(3mv,4ae) D.eq\f(3mv,5ae)答案：C解析：電子在磁場中做勻速圓周運動，有eBv＝meq\f(v2,r)，則磁感應(yīng)強度B＝eq\f(mv,er)，即電子運動的軌跡半徑越大，磁場的磁感應(yīng)強度越小．設(shè)電子運動軌跡的最大半徑為rmax，為了使電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，則與最大半徑對應(yīng)的運動軌跡與實線圓恰好相切，如圖所示，A點為電子做圓周運動的圓心，電子從圓心沿半徑方向進入磁場，由左手定則可得，AB⊥OB，△ABO為直角三角形，由幾何關(guān)系可得(3a－rmax)2＝req\o\al(2,max)＋a2，解得rmax＝eq\f(4,3)a，磁感應(yīng)強度的最小值Bmin＝eq\f(mv,ermax)＝eq\f(3mv,4ae)，故C正確．B級(練能力過素養(yǎng))7．(2021·湖南高考卷)帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)之一、帶電粒子流(每個粒子的質(zhì)量為m、電荷量為＋q)以初速度v垂直進入磁場，不計重力及帶電粒子之間的相互作用．對處在xOy平面內(nèi)的粒子，求解以下問題：(1)如圖(a)，寬度為2r1的帶電粒子流沿x軸正方向射入圓心為A(0，r1)、半徑為r1的圓形勻強磁場中，若帶電粒子流經(jīng)過磁場后都匯聚到坐標原點O，求該磁場磁感應(yīng)強度B1的大?。?2)如圖(a)，虛線框為邊長等于2r2的正方形，其幾何中心位于C(0，－r2)．在虛線框內(nèi)設(shè)計一個區(qū)域面積最小的勻強磁場，使匯聚到O點的帶電粒子流經(jīng)過該區(qū)域后寬度變?yōu)?r2，并沿x軸正方向射出．求該磁場磁感應(yīng)強度B2的大小和方向，以及該磁場區(qū)域的面積(無需寫出面積最小的證明過程)．(3)如圖(b)，虛線框Ⅰ和Ⅱ均為邊長等于r3的正方形，虛線框Ⅲ和Ⅳ均為邊長等于r4的正方形．在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分別設(shè)計一個區(qū)域面積最小的勻強磁場，使寬度為2r3的帶電粒子流沿x軸正方向射入Ⅰ和Ⅱ后匯聚到坐標原點O，再經(jīng)過Ⅲ和Ⅳ后寬度變?yōu)?r4，并沿x軸正方向射出，從而實現(xiàn)帶電粒子流的同軸控束．求Ⅰ和Ⅲ中磁場的磁感應(yīng)強度大小以及Ⅱ和Ⅳ中勻強磁場區(qū)域的面積(無需寫出面積最小的證明過程)．答案：(1)eq\f(mv,qr1)(2)eq\f(mv,qr2)垂直xOy平面向里πreq\o\al(2,2)(3)BⅠ＝eq\f(mv,qr3)BⅢ＝eq\f(mv,qr4)SⅡ＝(eq\f(1,2)π－1)req\o\al(2,3)SⅣ＝(eq\f(1,2)π－1)req\o\al(2,4)解析：(1)所有粒子沿x軸正方向進入圓形磁場，經(jīng)偏轉(zhuǎn)后在坐標原點O匯聚——磁聚焦，則粒子在磁場中運動的軌道半徑應(yīng)等于圓形磁場的半徑r1粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，有qvB1＝meq\f(v2,r1)解得B1＝eq\f(mv,qr1).(2)粒子從O點沿不同方向進入下方虛線區(qū)域，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后都沿x軸正方向射出——磁發(fā)散，則粒子在下方圓形磁場運動的軌跡半徑也等于磁場的半徑．粒子運動軌跡最大的邊界如圖1所示，對應(yīng)的圓形磁場即為最小的勻強磁場區(qū)域．設(shè)磁場半徑為r2，根據(jù)qvB＝meq\f(v2,r)可知，磁感應(yīng)強度大小為B2＝eq\f(mv,qr2)根據(jù)左手定則可知，磁場的方向為垂直xOy平面向里，圓形磁場的面積為S2＝πreq\o\al(2,2).(3)結(jié)合和“磁發(fā)散”的模型特點可設(shè)計符合要求的勻強磁場區(qū)域。如圖2所示，若圓1的實線部分為磁場區(qū)域的下邊界，圓3的實線部分為最上方入射粒子的軌跡，根據(jù)“磁聚焦”模型的特點可知，x軸上方寬度為r3的粒子流沿x軸正方向射入Ⅰ后匯聚到坐標原點O，對應(yīng)兩段實線圓弧所包圍的面積即為該區(qū)域所加磁場的最小面積．同理，若圓2的實線部分為磁場區(qū)域的上邊界，圓4的實線部分為最下方出射粒子的軌跡，根據(jù)“磁發(fā)散”模型的特點可知，匯聚到坐標原點O的粒子經(jīng)過Ⅳ偏轉(zhuǎn)后又沿x軸正方向射出，對應(yīng)兩段實線圓弧所包圍的面積即為該區(qū)域所加磁場的最小面積根據(jù)對稱性同樣可確定Ⅱ、Ⅲ所加磁場的最小面積根據(jù)qvB＝meq\f(v2,r)可知，Ⅰ和Ⅲ中的磁感應(yīng)強度大小分別為BⅠ＝eq\f(mv,qr3)，BⅢ＝eq\f(mv,qr4)?、駞^(qū)域的磁場確定最小面積，如圖3所示圖中陰影部分的面積的一半為四分之一圓周eq\o(S,\s\up6(－))AOB與三角形SAOB之差，所以陰影部分的面積為S1＝2(eq\o(S,\s\up6(－))AOB－SAOB)＝2×(eq\f(1,4)πreq\o\al(2,3)－eq\f(1,2)req\o\al(2,3))＝(eq\f(1,2)π－1)req\o\al(2,3)根據(jù)