動(dòng)力氣象學(xué)總復(fù)習(xí)概要

V=ui+vjh若令：]口=(Z+穽)為二維的拉普拉算子hox2dy2J(u,v)=OuOv-°vOu為Jacobi算符OxOyOxOy垂直散度方程為OV音)(3OV音)(3a)w0zP22J(u,v)+f匚一類似p類似p坐標(biāo)系下的垂直)散度方程為：0801-Vhf-82088-?0801-Vhf-82088-?-V2①h0ph+2J(u,v)+f匚一(kxV)申fh□h-V?hOV4)

0p(3b)0801-Vh[Jh810-1110-ii083-0p10-120VVh富石V2①+f匚—h10-910-910-1010-11—*10-1010-10u卩(3c)散度方程(3c)右端各項(xiàng)分別為：散度的平流項(xiàng)；散度的鉛直輸送項(xiàng)；水平風(fēng)速的鉛直切變項(xiàng)；散度平方項(xiàng)；變形項(xiàng)；等壓面的坡度改變項(xiàng)；最后兩項(xiàng)為旋轉(zhuǎn)效應(yīng)項(xiàng)。散度方程的零級(jí)近似為：TOC\o"1-5"\h\z0=-V2①+忙(4)h式是地轉(zhuǎn)平衡關(guān)系的方程，為地轉(zhuǎn)風(fēng)渦度方程。散度方程的一級(jí)近似為：82-2J(u,v)=-V2①+化-u卩(5)h式也稱為平衡方程，平衡方程是準(zhǔn)定常，無(wú)輻散(8=0)，準(zhǔn)水平(3=0)，忽略非線性變化項(xiàng)，得到線性平衡方程：V^O+fC-uP=0(5a)h

作絕熱移動(dòng)的氣柱蟲(chóng)（S卜彷K常數(shù)其中2旳沁卑為柯氏參數(shù)祭假如空氣塊是在距離為帥的二個(gè)等竝溫面弘與之間八見(jiàn)圖根據(jù)質(zhì)量守姮原理」空氣塊的質(zhì)量則g在運(yùn)幼過(guò)程中應(yīng)為常數(shù).又因沏為一常數(shù)戶所班山呦Q常數(shù)常數(shù)此式與（4?如）式消去4并瑕輕f?得憶豐『）魯匸常數(shù)

tl諧0北*3鬲地tl諧0北*3鬲地kiAA減弘對(duì)加熱過(guò)程來(lái)說(shuō)，空氣塊沿耳軌跡線位溫守恒，也。dt對(duì)于一個(gè)空氣拄(系統(tǒng))而言，在無(wú)摩擦并且絕熱情況下，也遇(potentialvorticity)守恒」E+f)善二?G)如考慮兩等位溫面(iseiitiopic)；EAt?=coiist.G)A?因此在分析軌跡線時(shí)，經(jīng)常使用等位溫面，若均質(zhì)（hoinogeiieou^與不可壓縮（incompressible）=°或p=wist；在接近地面且氣柱厚度不大時(shí)‘p看成常數(shù),由9P=-^gaZ-aP-貝U⑵式變成■^^=C011St⑶由G）式,當(dāng)盛行西風(fēng)時(shí)，氣流過(guò)山后，因氣柱之昵增加』由位耦守恒可知,€+門(mén)亦増加，故在山后產(chǎn)生低壓（Lee-cyclone）；同理，吹東鳳時(shí)，則于山上產(chǎn)生低壓；〔注戈?yáng)|西向風(fēng)場(chǎng)之了為參數(shù)人第七章大氣行星邊界層大氣中熱量和水汽的源主要集中在下墊面，下墊面首先影響與之直接接觸的大氣行星邊界層，通過(guò)湍流擴(kuò)散（混合）作用，使熱量和水汽向上擴(kuò)展，進(jìn)而影響其上的自由大氣層。雖然大氣動(dòng)量主要集中在自由大氣層，但動(dòng)量卻大多是在行星邊界層被消耗掉，因此，大氣行星邊界層是整個(gè)大氣的主要熱量和水汽的源，是動(dòng)量的匯。因存在摩擦力，邊界層的風(fēng)往往和等壓面相交而向低壓方向吹，從而使邊界層內(nèi)低壓和高壓系統(tǒng)分別伴隨水平的幅合和輻散；特別是當(dāng)邊界層是潮濕時(shí)，它對(duì)低壓系統(tǒng)產(chǎn)生的水平幅合極為重要，進(jìn)而降水與之有密切聯(lián)系。故行星邊界層對(duì)自由大氣的熱力和動(dòng)力強(qiáng)迫和耗散作用也是大氣中天氣系統(tǒng)發(fā)生、發(fā)展、演變和消亡的重要因素。所以，研究大氣行星邊界層中的大氣運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，是大氣動(dòng)力學(xué)研究重要的內(nèi)容之一。主要內(nèi)容：§1大氣邊界層及其特征§2邊界層中風(fēng)隨高度的變化規(guī)律§3二級(jí)環(huán)流、?？寺‥kman）抽吸和旋轉(zhuǎn)減弱§4Ekman數(shù)和Richardson數(shù)重點(diǎn)：邊界層中風(fēng)隨高度的變化規(guī)律，Ekman抽吸和旋轉(zhuǎn)減弱?！?大氣邊界層及其特征1大氣的動(dòng)力分層1.1大氣邊界層的定義：與地表直接接觸，厚度約為1?1.5km、具有湍流特性的大氣層（PBL,PlanetaryBoundaryLayer）。各層常見(jiàn)的、不同的名稱：大氣邊界層：行星邊界層，邊界層，摩擦層貼地層：表面層近地層：接地層，地面邊界層，常通量層，SL(SurfaceLayer)?？寺?Ekman)層：上部邊界層，上部摩擦層貼地層的主要特點(diǎn)：分子粘性力起主要作用；主要運(yùn)動(dòng)形式：分子擴(kuò)散。近地層的主要特點(diǎn)：湍流摩擦力和氣壓梯度力起主要作用，科氏力可省略。風(fēng)向幾乎不隨高度變化，但風(fēng)速隨之增加。物理量通量的垂直輸送幾乎不隨高度改變(常值通量層)物理量垂直梯度＞＞物理量的水平梯度，湍流運(yùn)動(dòng)明顯，地氣相互作用強(qiáng)烈，調(diào)整較快，呈準(zhǔn)定常Ekman層的主要特點(diǎn)：湍流摩擦力，氣壓梯度力和科氏力同等重要。物理量垂直梯度＞＞水平梯度。下墊面對(duì)自由大氣的影響通過(guò)該層向上輸送。風(fēng)向、風(fēng)速隨高度的變化呈Ekman螺線規(guī)律。自由大氣層的主要特點(diǎn)1)湍流摩擦力可忽略，水平氣壓梯度力和科氏力起主要作用

2）受行星邊界層頂垂直運(yùn)動(dòng)的影響，其下邊界條件即為大氣邊界層的上邊界條件?！?邊界層中風(fēng)隨高度的變化規(guī)律1近地層中風(fēng)隨高度的變化規(guī)律常通量層中，物理量的垂直輸送不隨高度變化。則湍流動(dòng)量輸送（雷諾應(yīng)力）Tz=Tz0=常矢量（1.1）其中z0稱為地面粗糙度，定義為風(fēng)速為零的高度，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)確定其值為覆蓋下界面粗糙物平均高度的1/30。大氣湍流運(yùn)動(dòng)方程組任意物理量：q=q+qT數(shù)學(xué)期望：q二q(x,y,z,t)=i1+2q(x,y,z,t')dt'Tt-2運(yùn)算規(guī)則q=q+qq'=0qq=qq1212qq=qq+q'q'121212dqdqr=x伽x,y,z,tdxdxiiip=p=p=p=const:8u'5v'5x5y5w'5p+5pu+5pv+5Pw=o515x5y5zu=u+u',v=v+v',w=w+w'p=p+p',T=T+T',p=p+p'混合長(zhǎng)理論：

混合長(zhǎng)示意圖混合長(zhǎng)示意圖行星邊界層中風(fēng)隨高度的分布：du￡1dp1QT二fv-+zxdtpdxpdz略去加速度項(xiàng)以及密度隨高度不變dv1dp1dT=—fu—+zydtpdypdz1dpdT0二f―—=+〒(~zx)pdxdzp1dpdT0=—fu+-聖+工(?)pdydzp注意上式已略去平均符號(hào)。近地面層（常值通量層）風(fēng)隨高度的分布在該層（約為幾十米）平均風(fēng)隨高度變化，但風(fēng)向不變化，因此可以把平均風(fēng)方向取為x軸的方向?，F(xiàn)在考慮湍流粘性應(yīng)力Tz尸常數(shù)的情形。T=pK竺=pl2zxzT=pK竺=pl2zxzdz對(duì)于風(fēng)隨高度變化，dudzdududu=ldz(8.31)=const廠T、丁I三《，式中u*具有速度因次，稱為摩擦速度sduu=_*~dz~i為摩擦速度方稈。在近地面層上混合長(zhǎng)i不能看成常數(shù)，它與下墊面動(dòng)力因素及大氣層結(jié)有關(guān)。越靠近下墊面，湍流越受到限制，層結(jié)越穩(wěn)定，相應(yīng)的混合長(zhǎng)i也就越短。在中性層結(jié)下（熱力因子不起作用），可以認(rèn)為湍渦的鉛直尺度是由離地面高度決定的，因此可以假設(shè)混合長(zhǎng)是z的線性函數(shù)?？稍O(shè)：l=Kz，其中K稱為卡曼常數(shù)，由檢驗(yàn)確定，k~0.4。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"duuu=*u=*ln7+C二，積分得到：丁，邊界條件：7=70，u=0，確定積分常數(shù)：\o"CurrentDocument"uu7C=」ln7于曰有u=_^ln(—)\o"CurrentDocument"K0，于疋有：k70可見(jiàn)，在中性層結(jié)下，近地面層風(fēng)隨高度的分布為自然對(duì)數(shù)率關(guān)系。7=70稱為粗糙度，由于下墊面的物理性質(zhì)決定。草地上70可見(jiàn)，在中性層結(jié)下，近地面層風(fēng)隨高度的分布為自然對(duì)數(shù)率關(guān)系。7=70稱為粗糙度，由于下墊面的物理性質(zhì)決定。草地上70約為1?4cm，海洋上70約為0.05cm。類似的，近地面層中的熱量和水汽通量也幾乎不隨高度改變。（T\7X3丿u2*3(T)7xsPu2*u2*ln(7/7)1-?0」(T7xln(7/7)1-f0」(T)7xsPCu2Dln(7/7)1-」0」CD稱為拖曳系數(shù)，它與卡曼常數(shù)和粗糙度有關(guān)。在非中性層結(jié)下，湍流既受到動(dòng)力因素也受到熱力因素的影響。在不穩(wěn)定層結(jié)下的混合長(zhǎng)要比穩(wěn)定層結(jié)下混合長(zhǎng)大！依照拉依赫特曼給出的混合長(zhǎng)與高度的關(guān)系：l=A(8)z1-8式中，￡表示層結(jié)參數(shù),-1<8<0對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定層結(jié)；0<￡<1對(duì)應(yīng)穩(wěn)定層結(jié)；8=0為中性層結(jié)。而A(￡)與層結(jié)和粗糙度有關(guān)。TOC\o"1-5"\h\zduuduuu—*n=*nu=_*\o"CurrentDocument""TdzAz1-8A這就是近地面層上風(fēng)隨高度分布的冪指數(shù)定律。1—穩(wěn)定層結(jié)；2－中性層結(jié)；3－不穩(wěn)定層結(jié)近地面層上風(fēng)隨高度分布的冪指數(shù)定律。u—u*(z8-z8)~ATo若對(duì)于任一給定高度Z1上的U1風(fēng)速為已知，則有:u—丄(z8-z8)右10兩式相比，消去u*和A,則得到:u(z8-z8)=0在中性層結(jié)下8=0，冪指數(shù)分布規(guī)律化為自然對(duì)數(shù)分布規(guī)律：

uu1s=0(Zeuu1s=0(Ze-Ze)0(Ze-Ze)10d=lim些e?力dE(ze-ze)0(zE-zE)10zElnz-zElnzlimooe亠zElnz-zElnz1100zln(Zi)zoEkman層中風(fēng)隨高度的變化規(guī)律Ekman螺線解由前可知，Ekman層中大氣運(yùn)動(dòng)滿足“Ekman平衡”，再假定：運(yùn)動(dòng)定常、平流慣性力(非線性TOC\o"1-5"\h\z項(xiàng))相對(duì)于科氏力可忽略、水平氣壓梯度力不隨高度改變，則有Ekman層(大氣運(yùn)動(dòng))方程組：0=K學(xué)+f(v-v)(1)cz2gVo=K學(xué)-f(u-u)(2)Icz2g為求解上式，還需要給出上、下邊界條件：Jz=0,u=v=0zHuTu,vTvgg把上式第(2)乘以i三、T，再與(1)相加，便得到復(fù)速度W三u+iv的二階線性齊次微分方程：K(u+iv)-f(u+iv)=-if(u+iv)(3)cz2gg(3)式通解為：u+iv=Aexp[(f/K)1/2z]+Bexp[-(f/K)1/2z]+(u+iv)ggA，B為常數(shù)，由邊界條件確定，代入邊界條件，并利用再三(1+i)/邁，所以，得到:B=-(ug+ivg)，A=0，因而:W=u+iv=-(u+iv)e-(1+i)Yz+(u+iv)(3a)gggg式中y三JfTQK)，并應(yīng)用歐拉公式e-i0=cos0-isin0u+iv=u[1-e-Yz(cosYz一isinyz)]一v[e-Yzsinyz+i(1-e-yzcosYz)](3b)gg將實(shí)部和虛部分開(kāi)，則有：

u=u(1一e-yzcosyz)一ve—wsinyz)Jggv=ue-yzsinyz+v(1—e-yzcosyz)gg上式為更為一般情況下的埃克曼螺旋解！102W冊(cè)400mSOOm?？寺菥€的性質(zhì)：上式為更為一般情況下的?？寺菪?！102W冊(cè)400mSOOm埃克曼螺線的性質(zhì)：u=u(1-e-yzcosyz)Jgv=ue-yzsinyzg求出復(fù)速度的模|W和輻角(風(fēng)與等壓線之間的夾角0)c二W=Ju2+v2二uJ1-2e-yzcosyz+e-2yzgHtg0ve-yzsinytg0u1-e-yzcosyz取9=45oN,湍流系數(shù)K=5m2/s，地轉(zhuǎn)風(fēng)ug=10m/s,又上式計(jì)算出埃克曼層各高度上風(fēng)速分量u,v風(fēng)速值大小以及風(fēng)與等壓線之間的夾角。（見(jiàn)表）：?？寺鼘又酗L(fēng)向、風(fēng)速隨高度的變化

離度(m)饑(rn05gT右(度)084薩100*32；0.314T擂0#44200.640.6043伽/0.8850:1.59i1.36?]40°詔'2J0100[2.2936°20f3.872005,(氷打28°36，6.5540t)9.212.6616詢9.599.742*2813°12f10.00他肌j1.37:7°24f佩呦測(cè)坤*65|0.422°15rj10.43『:12001(1,16-0?0910-161443O10.02*■0.105-儼河10.0216009*97S3:T即9.餌1960509.98常這一高度視為行星邊界層的頂部，也稱為?？寺穸龋篋e三兀，:'丫=Ck常這一高度視為行星邊界層的頂部，也稱為?？寺穸龋篋e三兀，:'丫=Ck)234567兀f?？寺鼧?biāo)高：hE=l/y=De/冗。埃克曼層的解的顯著特點(diǎn)為：邊界層內(nèi)的風(fēng)有指向低壓一側(cè)的分量，三力平衡?？寺槲c旋轉(zhuǎn)減弱。由于湍流摩擦力作用使氣流向低壓中心幅合，在摩擦層頂產(chǎn)生向上的質(zhì)量輸送，這種環(huán)流結(jié)構(gòu)可以認(rèn)為是疊加在主要環(huán)流之上并與主環(huán)流相垂直的次環(huán)流，通常稱為二級(jí)環(huán)流。單位截面積、高度為De(埃克曼厚度)的氣柱在單位時(shí)間內(nèi)向低壓一側(cè)輸送的質(zhì)量為S和密g度P都不隨高度變化)：M二JDepvdz二puJJDe-izsinyzdz(4)0g0

eax(asinbx-bcosbx)利用積分公式：1eaxsinbxdx=利用積分公式：Dea2+b2DeM=pu1Dee-yzsinyzdz=pu|】e-iz^(sinyz+cosyz)=pugpuge-y(y)[siny=pugpuge-y(y)[siny(t)+cosyy-pug-1eo(sinO+cos0)2ye-兀+12yL」又De三兀/y=(2k)'2兀(4c)以及宀+1?1(?.尸=0?043口1)puM二二e-冗+12yLpupug=gh2e2y(4d)(4d)式表明，對(duì)一個(gè)鉛直伸展達(dá)整個(gè)埃克曼層的單位面積氣柱而言，向低壓一側(cè)的凈質(zhì)量輸送與地轉(zhuǎn)風(fēng)u及埃克曼標(biāo)高h(yuǎn)E成正比。gE不可壓縮連續(xù)方程(密度為常數(shù))為：(5)(5)式對(duì)整個(gè)?？寺鼘臃e分，并利用z=0時(shí)，w=0。w(De)=-1D芒+Qv]dz(6)0exQy將?？寺菪慕獯?6)式，并且注意到：

一Lu(1—e—yzcosyz)-ve—yzsinyz)d一Lu(1—e—yzcosyz)-ve—yzsinyz)dxggddydv+TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"duddg一(ue-yzcosyz)一(ve-yzsinyz)\o"CurrentDocument"dydxdxgdxg\o"CurrentDocument"ddvd+(ue-yzsinyz)+g一(ve-yzcosyz)dygdydygdudvdudvdvdu=(q+乞)—(乞+q)e-yzcosyz—(—乞)e-yzsinyz\o"CurrentDocument"dxdydxdydxdy在f為常數(shù)的假定下，地轉(zhuǎn)風(fēng)的散度為o,所以有:JDedvw(De)=—JDe［一(一odx式中地轉(zhuǎn)風(fēng)渦度：匚gb—g在f為常數(shù)的假定下，地轉(zhuǎn)風(fēng)的散度為o,所以有:JDedvw(De)=—JDe［一(一odx式中地轉(zhuǎn)風(fēng)渦度：匚g\o"CurrentDocument"dyogdvdu三寸-h，在u，v不隨高度變化的假定情況下(氣壓梯度力不dxdygg隨高度變化)，Cg也不隨高度變化；geax(asinbx-bcosbx)Jeaxsinbxdx=利用積分公式：ebxdx(6)式的積分結(jié)果為：―匚w(De)=匚JDee-yzsinyzdz=g0(sinyz+cosy(sinyz+cosyz)]；0ye—yz2y2L—Cse2y—C￡2y—yy[siny()+cosy()]一[eo(sin0+cos0)]yy(7)(—er—1)卜=?(2f)2(7)2yg2f上式表明，?？寺鼘禹?shù)拇怪彼俣葁(De)與地轉(zhuǎn)風(fēng)渦度匚成正比。對(duì)于典型的天氣尺度系統(tǒng)來(lái)說(shuō),Q?10-5m/s,f?10-4/s,De?103m，垂直速度（w）的量級(jí)為每秒零點(diǎn)幾厘米。這表明，準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦旋流場(chǎng)中，由于湍流摩擦效應(yīng)將會(huì)在埃克曼層中造成強(qiáng)迫的鉛直環(huán)流，它疊加在準(zhǔn)地轉(zhuǎn)水平環(huán)流（地轉(zhuǎn)渦旋的切向環(huán)）上，稱之為二級(jí)環(huán)流。二級(jí)環(huán)流是由行星邊界層摩擦所驅(qū)動(dòng)，所以產(chǎn)生此二級(jí)環(huán)流的機(jī)制稱為埃克曼抽吸（埃克曼泵）。埃克曼抽吸：在大氣邊界層中，大尺度大氣運(yùn)動(dòng)主要是氣壓梯度力、科氏力和摩擦力三力的平衡。在這三力的平衡下，大氣質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不再像自由大氣那樣沿著等壓線流動(dòng)，其流線與等壓線成一交角并從高壓流向低壓。這樣，在低壓的地方，大氣質(zhì)量有幅合，其上空的大氣就會(huì)上升，并將邊界層大氣擠到自由大氣中；而在高壓的地方，大氣質(zhì)量存在幅散，其上空的大氣就下沉，進(jìn)而就將自由大氣的質(zhì)量吸入邊界層。這種由于摩擦效應(yīng)產(chǎn)生的邊界層頂?shù)纳仙蛳鲁吝\(yùn)動(dòng)，俗稱為?？寺槲ò？寺茫?。的討論：邊界層頂?shù)你U直速度與地轉(zhuǎn)風(fēng)渦度成正比，這就建立了邊界層與自由大氣的聯(lián)系：對(duì)于一個(gè)氣旋系統(tǒng)（0<0）,在其下部的邊界層有質(zhì)量的水平幅合，在邊界層頂產(chǎn)生上升運(yùn)動(dòng)；g相應(yīng)地在對(duì)流層自由大氣中產(chǎn)生輻散運(yùn)動(dòng)，原因氣旋性區(qū)上升，反氣旋區(qū)下沉，形成了在鉛直剖面內(nèi)的閉合環(huán)流（下圖）。這種二級(jí)環(huán)流的直接輸送作用遠(yuǎn)大于湍流粘性本身的擴(kuò)散作用。二級(jí)環(huán)流加強(qiáng)了邊界層與自由大氣之間的各種通量交換。在0<0區(qū)，邊界層水平動(dòng)量通量較小的g空氣輸入自由大氣層；在0>0區(qū)，邊界層水平動(dòng)量通量較大的空氣被吸入邊界層，以補(bǔ)充邊界g層的水平動(dòng)量的不斷損耗，這就是所謂的“?？寺槲?yīng)”。證明在均質(zhì)正壓大氣中，伴隨地轉(zhuǎn)風(fēng)渦旋的二級(jí)環(huán)流的強(qiáng)度不隨高度變化。更為一般情況下的?？寺菪鉃椋簭Su=u（1-e-yzcosyz）一ve—wsinyz）Jggv=ue-yzsinyz+v（1-e-yzcosyz）gg

由上式得到二級(jí)環(huán)流的水平環(huán)流(水平速度的大小V)的垂直分布為：SV2=u2+v2=(u-u)2+(v一V)2sssgg=(-ue-zcosyz-ve-zsinyz)2+(ue-yzsinyz-ve-zcosyz)2gggg=u2e-2yzcos2yz+2uve-2yzcosyzsinyz+v2e-2yzsin2yzgggg+u2e-2yzsin2yz一2uve-2yzcosyzsinyz+v2e-2yzcos2yzgggg=u2e-2yz+v2e-2yzggV2=u2e-2yz+v2e-2yznV=(u+v)e-yz=Ve-yzsggsggg將上式對(duì)高度z微分’并且注意到均質(zhì)正壓大氣中地轉(zhuǎn)風(fēng)速度Vg不隨高度變化’則:°V““兀一工z4=-Vye-yz=-VeDez6zggDeDe三兀/y=(k)'2兀ny=工ffDe假設(shè)地轉(zhuǎn)風(fēng)速的特征尺度U?10m/s,De?103m。于是得到邊界層上二級(jí)環(huán)流隨高度變化的量g級(jí)為：QV兀U丄?ge-QV兀U丄?ge-兀6zDee-k?0.0314x0.0432?0.0013ms-i/m103可見(jiàn)SV/az量級(jí)很小(顯然，遠(yuǎn)離邊界層時(shí)更小)可以近似地認(rèn)為伴隨地轉(zhuǎn)風(fēng)渦度的二級(jí)徑向S環(huán)流的強(qiáng)度不隨高度變化。大氣中的旋轉(zhuǎn)減弱過(guò)程：二級(jí)環(huán)流可使準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦旋強(qiáng)度減弱。等于正壓大氣渦度方程：dauav(匚+f)=-(?+f)(+)dtaxay(1)auavaw(1)Q—f(+)=f=axayaz令-const,從邊界層頂De到對(duì)流層頂H對(duì)上式進(jìn)行垂直積分。Jhddz=fJwHdw(2)Dedtw(De)假設(shè)在對(duì)流層頂^z=H,wH=0,渦度以地轉(zhuǎn)渦度代替(正壓大氣中地轉(zhuǎn)風(fēng)渦度隨高度不變)于H是：d匚gdt竺g=—d匚gdt竺g=—w(De)dt(H—De)(3)將w(De)=:'—]2代入（3）式，并注意到H?De,于是q隨時(shí)間變化的微分方程為:\2f丿&fK2H2\12丿g(4)(H—De)=f[0—w(De)]對(duì)（4）式直接進(jìn)行積分，得到：(5)匚=匚（O）expl（fKJ2H2(5).'逐、.1or匚=匚(0)e—(2h2)21(5a)gg匚（0）為t=0時(shí)的地轉(zhuǎn)風(fēng)渦度值。（5）式表示地轉(zhuǎn)風(fēng)渦度隨時(shí)間是按e指數(shù)衰減的。若把渦度減弱到起始渦度的e-1原所需要的時(shí)間定義為旋轉(zhuǎn)減弱的時(shí)間尺度工，貝y：eTe2Te2如果H=104m,f=10-4/s,K=10m2/s，貝衍e=4.5x105s（大約等于4天）?？紤]湍流粘性擴(kuò)散作用，擴(kuò)散時(shí)間尺度可以用運(yùn)動(dòng)方程中的局地變化項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)來(lái)估計(jì)，以水平運(yùn)動(dòng)方程（x方向）為例:dudududur1dp“d2u+u+v+w—f=—+K—dtdxdydzpdxdz2特征尺度來(lái)表示首尾兩項(xiàng)的量級(jí)：UKU—?KTH2dH2式中T為湍流擴(kuò)散時(shí)間尺度：T=二丁。edK若仍取H=104m,K=10m2/s，貝％d=107s，相對(duì)于100天，由此可見(jiàn)，Td>>t,旋轉(zhuǎn)衰減的時(shí)間尺dde度比湍流擴(kuò)散時(shí)間尺度小很多。因此，在旋轉(zhuǎn)大氣中，由摩擦幅合強(qiáng)迫造成的二級(jí)環(huán)流與一般湍流擴(kuò)散過(guò)程相比，是使地轉(zhuǎn)渦旋衰減的更為有效的機(jī)制。

Ekman螺旋線(北半球下視，地偏力指向運(yùn)動(dòng)右方，故順時(shí)針；南半球則相反)高度增高，風(fēng)速增大，方向逐漸接近地轉(zhuǎn)風(fēng)。口高度口高度'Ri<Ri,湍流增強(qiáng)<cRi〉Ri,湍流減弱cRi=g對(duì)于天氣尺度的渦動(dòng)粘性系數(shù)K,f?10-4/s,De?103m,K~5m2/s,v7QuK—12Qz，若垂直切變量級(jí)為5m/(skm),K^5m2/s，則平均混合長(zhǎng)大約為30m。旋轉(zhuǎn)減弱。

正壓大氣中的二級(jí)環(huán)流示意圖。湍流發(fā)展的判據(jù)：R.理查遜（森）數(shù)i這是一個(gè)與大氣層結(jié)穩(wěn)定度和風(fēng)的鉛直切變有關(guān)的動(dòng)力學(xué)（無(wú)量綱）參數(shù)。對(duì)于用位溫表示的熱力學(xué)方程d0正壓大氣中的二級(jí)環(huán)流示意圖。湍流發(fā)展的判據(jù)：R.理查遜（森）數(shù)i這是一個(gè)與大氣層結(jié)穩(wěn)定度和風(fēng)的鉛直切變有關(guān)的動(dòng)力學(xué)（無(wú)量綱）參數(shù)。對(duì)于用位溫表示的熱力學(xué)方程d0dln0dtpdt八dIn0dIn0dIn0dIn0八=0n+u+v+w=0dtdxdydz°三學(xué)二1(Yd-Y),

dzTd命令1???―-(Yd-Y)-g

tC

pgdTY廣，Y二-〒dcdzp，Q為靜力穩(wěn)定度。（J）YdR三g(dTdz-\d).T(dudz丿2用位溫0來(lái)表示R.,用位溫0來(lái)表示R.,則:i/dln0、g(h)du]2比丿R三g(dln0dz)=i(dudz)2若大氣層結(jié)是穩(wěn)定的（@畀=。>°orY<Y），湍渦在垂直運(yùn)動(dòng)中要反抗凈浮力作功，消dzd湍流粘性應(yīng)力作功湍流粘性應(yīng)力作功耗湍能，故抑制湍流發(fā)展；反之，當(dāng)層結(jié)為不穩(wěn)定的（0or—）,則將湍渦鉛直方向d的脈動(dòng)速度增大，促進(jìn)湍流發(fā)展。另外，大氣斜壓性較強(qiáng)時(shí)（水平風(fēng)速的切變大），于是由平均動(dòng)能轉(zhuǎn)換為湍能也較大，湍流運(yùn)動(dòng)容易發(fā)展（R數(shù)較?。环粗?，大氣斜壓性較弱時(shí)（水平風(fēng)速的切變小），于是湍流運(yùn)動(dòng)不易發(fā)展（R.數(shù)較大）。RTRTRTRTRTRT+TT初始時(shí)刻，在z高度上的平均氣壓，密度和溫度分別為：p，廠，丁，假設(shè)一湍渦（空氣微團(tuán)）從z-l高度上升到z處，在起始位置z-l高度上，空氣溫度與周圍空氣的平均溫度相同，即：TOC\o"1-5"\h\z.-BT-\o"CurrentDocument"T二T—〒l。到達(dá)z高度上，則其溫度變化為：T=T-Yl=T—（-Y）1，那么相z—1ozz—1dd對(duì)于周圍溫度有一落差，大小為：T'=T-T=-I（Y—Y）。d設(shè)運(yùn)動(dòng)滿足準(zhǔn)靜力條件，即空氣微團(tuán)與周圍環(huán)境的氣壓相同，均為p，那么相應(yīng)的密度漲落為:\o"CurrentDocument",PPP/11、P=P—片=―=（―）則由密度漲落P—PT

單位體積空氣所受到的重力為：而由于垂直運(yùn)動(dòng)漲落w'，平均單位體積空氣在單位時(shí)間內(nèi)反抗重力所作功(湍渦抵抗凈浮力所消耗的對(duì)流動(dòng)能：W])為:=F7W=(d-y)=-罕而T'=T—T=-l(y-y)d??，單位體積中消耗的功率也可以表示為：令K三Wl為渦動(dòng)熱傳導(dǎo)系數(shù)(湍流導(dǎo)溫系數(shù))，單位體積中消耗的功率也可以表示為：H二丘罟-(yd-y)若層結(jié)穩(wěn)定(y<yd)，則W]>0,表示湍渦抵抗重力場(chǎng)作功需消耗一部分的脈動(dòng)動(dòng)能，該部分動(dòng)能應(yīng)該轉(zhuǎn)變?yōu)槿荒?。湍流摩擦作用消耗平均?dòng)能而轉(zhuǎn)變?yōu)槊}動(dòng)動(dòng)能，只考慮湍流作用，則平均運(yùn)動(dòng)方程(平均運(yùn)動(dòng)du1dT方向?yàn)閤方向，并且平均速度只隨高度變化)：~dt=~^~dZx上式兩端同時(shí)乘以pud(pu2dT_d)dudI2I_U_d(UT)—T~d~dt\2丿dzdzzxzxdzd上式中(UT)的含義：dzzx如上圖，取一厚度為Sz，水平面積為單位面積的體積塊。在此小積的底面平均速度為莎(平均運(yùn)動(dòng)只與高度z有關(guān))，所以此小體的頂部平均速度為u+(dU/dz)Sz；考慮湍流粘性力應(yīng)力TZX(分量)對(duì)體塊作功而使其動(dòng)能發(fā)生變化，湍流粘性應(yīng)力在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)底面對(duì)體塊作的功為：uT。zx而湍流粘性應(yīng)力在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)頂部對(duì)其作的功為：TOC\o"1-5"\h\zduSdTSdudTSduS(u+Sz)(T+zxSz)口uT+才Sz+TSzdzLzxzxdz頂部和底部作功之和除以Sz就是湍流粘性應(yīng)力對(duì)單位體積塊所作的功：dudTddudTdzdz_席'zxdzdz\o"CurrentDocument"ddu由此可見(jiàn)，〒(uT)—T第一項(xiàng)為湍流粘性應(yīng)力對(duì)體積塊作的功，第二項(xiàng)為提供湍流粘性dzzxzxdz

應(yīng)力由平均運(yùn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)為湍流動(dòng)能。用W2表示平均動(dòng)能通過(guò)湍流粘性應(yīng)力轉(zhuǎn)化為的湍流動(dòng)能（平均運(yùn)動(dòng)向脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的轉(zhuǎn)換率，QuCdu只是考慮了風(fēng)速切變供給對(duì)流或湍流運(yùn)動(dòng)所需要的動(dòng)能）：W=T—=PK—。其中K2zxdzIdz丿為渦動(dòng)粘性系數(shù)。對(duì)于湍流（對(duì)流）否發(fā)展？取決于W]和w2的相對(duì)大小，若W2>W],則湍流（對(duì)流）發(fā)展；反之，W2vW],貝惴流（對(duì)流）抑制。這樣通過(guò)比較湍流對(duì)流的供給率W2和消耗率W1的相對(duì)大小，就可以比較湍流活動(dòng)是增強(qiáng)還是減弱。理查森數(shù)：湍流動(dòng)能消耗率/湍流動(dòng)能供給率。>鰹H（>鰹H（Y-y）湍流增強(qiáng)W<W^PKY<gPKH(y-y)湍流減弱21[dz丿TdW2<W1=PK&丿KR=—H定義為臨界理查森數(shù)。icK也可以把一個(gè)與大氣層結(jié)穩(wěn)定度和風(fēng)的鉛直切變有關(guān)的動(dòng)力學(xué)無(wú)因次數(shù)定義為dU*dz丿w2>wi=pk[d卜竽(丫d-丫)iiciicdiiciicdln0當(dāng)R<R，湍流增強(qiáng)；當(dāng)R>R，湍流減弱；用位溫0來(lái)表示R.,則:R三g(dIn0dz)二go若大氣層結(jié)是穩(wěn)定的（-q廠=o>0ory<yd）,湍渦在垂直運(yùn)動(dòng)中要反抗凈浮力作功,消耗湍能，故抑制湍流發(fā)展；反之，當(dāng)層結(jié)為不穩(wěn)定的（o<0ory>y）,則將湍渦鉛直方d

向的脈動(dòng)速度增大，促進(jìn)湍流發(fā)展。另外，大氣斜壓性較強(qiáng)時(shí)（水平風(fēng)速的切變大），于是由平均動(dòng)能轉(zhuǎn)換為湍能也較大，湍流運(yùn)動(dòng)容易發(fā)展（R.數(shù)較?。?；反之，大氣斜壓性較弱時(shí)（水平風(fēng)i速的切變小），于是湍流運(yùn)動(dòng)不易發(fā)展（R.數(shù)較大）。i總之，湍渦運(yùn)動(dòng)與大氣（溫度）層結(jié)和風(fēng)的垂直切變有關(guān)。層結(jié)越不穩(wěn)定；風(fēng)的垂直切變?cè)綇?qiáng)湍流活動(dòng)越強(qiáng)。第八章大氣波動(dòng)學(xué)§1波動(dòng)的基本概念§2微擾法與方程組的線性化§3大氣聲波§4重力外波和重力內(nèi)波§5慣性振蕩與慣性波§6水平無(wú)輻散的Rossby波§7有水平輻合輻散徹ossby波§8大氣混合波—慣性重力外波§9群速度，波的頻散效應(yīng)重點(diǎn)：微擾法，重力波和羅斯貝波，相速度和群速度。旋轉(zhuǎn)地球大氣中可能出現(xiàn)的波動(dòng)作用力：重力，氣壓梯度力，科氏力。媒介特性：旋轉(zhuǎn)，連續(xù)，可壓縮，具有層結(jié)。地球大氣中基本的波動(dòng)形式：聲波、重力波（重力內(nèi)波，重力外波）、慣性（內(nèi)）波和長(zhǎng)波（Rossbywave）。§1?波動(dòng)的基本概念1.波動(dòng)的表示方法波動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)由于受力的作用圍繞某個(gè)平衡位置振動(dòng)（振蕩），而振動(dòng)在空間的傳播形成波動(dòng)。波動(dòng)與振動(dòng)的聯(lián)系與區(qū)別：1）波動(dòng)是振動(dòng)的傳播形式；2）波動(dòng)是能量傳播的一種基本形式；3）振動(dòng)是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，是僅以時(shí)間為自變量的運(yùn)動(dòng)，主要屬于常微分方程問(wèn)題（如慣性振蕩）；4）波動(dòng)是以時(shí)間、空間為變量的方程，屬于偏微分方程問(wèn)題（如慣性波）。簡(jiǎn)諧波：物體作簡(jiǎn)諧波時(shí)，它受到一恢復(fù)力作用，其大小與物體位移成正比，方向與位移方向相反。設(shè)物體在y方向運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)量為M,恢復(fù)力為F=-Ky,K為比例系數(shù)，則

F=Man-Ky=M巴dt2d2yd2yK其振動(dòng)方程為：MK—Ky=Mn+——y=0dt2dt2M其振動(dòng)方程為：MKd2yn—-dt2其解為：y=C]Sinet+c2socoset=Acos伽-5)簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程為線性常微分方程，簡(jiǎn)諧振動(dòng)也稱為線性振動(dòng)。簡(jiǎn)諧穩(wěn)定移動(dòng)形成的波就是簡(jiǎn)諧波。一維的簡(jiǎn)諧波可以表示為：y=Acos(kx-mt-§)事實(shí)上，根據(jù)Fourier迭加原理，大氣中所有運(yùn)動(dòng)=不同頻率、不同振幅的簡(jiǎn)諧波的迭加。對(duì)于空氣的微團(tuán)，若其任何一物理量q(位移、運(yùn)動(dòng)速度等)僅在x方向呈現(xiàn)周期變化(波動(dòng))，則可以用周期函數(shù)表示：q=Acos[k(x-ct)-8]或q(x,y,z,t)=A(y,z)cos(kx-rnt-S)(一維波，直線波，對(duì)應(yīng)偏微分方程中的弦振動(dòng))其中A,k,c,6皆為波參數(shù)。同樣：q(x,y,z,t)=A(z)cos(kx+ly-?t-6)(二維波，平面波，對(duì)應(yīng)偏微分方程中的膜振動(dòng))q(x,y,z,t)=Acos(kx+ly+mz-?t-6)(三維波，立體波，對(duì)應(yīng)偏微分方程中的空間振動(dòng))由于復(fù)數(shù)具有旋轉(zhuǎn)性和周期性并且容易進(jìn)行微分運(yùn)算，通常用復(fù)數(shù)函數(shù)表示波動(dòng)。根據(jù)復(fù)數(shù)的歐拉公式：ei0=cos0+zsin0上式也可以改寫(xiě):q(x,y,z,t)=Re{Aei(kx-rat-5)}=Re{Qei(kx-rat)}其中，Q=Ae-i3稱為復(fù)振幅將記號(hào)“Re”省寫(xiě)，上式變?yōu)椋簈(x,y,z,t)=Q(y,z)ei(kx-rat)=Q(y,z)eik(x-ct)——(一維)波動(dòng)的常用表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)波型法或正交模方法同樣有：q(x,y,z,t)=Q(z)ei(kx-ly-at)q(x,y,z,t)=Qei(kx-ly-mz-at)2.波參數(shù)1）振幅：振動(dòng)所產(chǎn)生的最大位移A=max|q|2）位相（角）；0=k（x-ct）-8,初位相：63）相速度（波速）c：等位相線（面）移動(dòng)的速度。c=dx/dtL或c=e/k0=const等位相線（面）：位相相同的點(diǎn)構(gòu)成的線（面）。4）波長(zhǎng)L：固定時(shí)刻相鄰兩個(gè)等位相點(diǎn)之間的距離。5）波數(shù)k：用位相角所表示的單位距離內(nèi)所包含的波長(zhǎng)為L(zhǎng)的數(shù)目。k=2n/L或k=d0/dx而氣象中的繞地球一周波的數(shù)目=2nRL=2nacos億，其中L為波長(zhǎng)。6）周期T：固定位置上振動(dòng)重復(fù)（波形復(fù)原）一次所需要的時(shí)間。t=L/c=2n/kc=2n/e7）頻率V：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)振動(dòng)次數(shù)。v=1/T8）圓頻率①：用2n位相角表示的單位時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)。g2nv=2n/T二kc或e=d0/dt3．二維波的波數(shù)矢K0=kx+ly-d稱為二維平面波的位相，波數(shù)：k=d0/dx，l=d0/dy，波長(zhǎng)：Lx=2n/k，Ly=2n/l，①=d0/dt圓頻率：e=d0/dt波數(shù)矢：K三ki+Ij,V&=ki+lj=K，k與等位相面垂直。等位相面沿x、y方向的移速分別為：*——?*c=&k；c=e/lxy相速矢（波速矢）：

c=,K2=k2+12TKXLL=—[y+Lyc=—KK2JL、4Jc=—KK2JL、4JxBLxEL/L=LiL12!132414L;L二L;L二[L+L/LnL二LLL+Lx/xyyxyxy”2?！?兀”4兀2/2兀2兀\o"CurrentDocument"L=,L=nL==\o"CurrentDocument"xy~T~klk2+12X0(x,y,z,t)三kx+ly+mz-?tQ0Q0Q0Q0k—,l—,m=,?QxdyQzQtk—2k/L,l—2k/L,m—2kJLr三xi+yj+zkK三ki+Ij+mk—V0K—Jk2七12+m20三Kr—①t=const.n?三K—2kjL廠dr'jdt丿0—constc——KKK2c=J2_=?/pk2+12+m2Kk廠dx'kjdt丿Q0/Q0①Q(mào)t,Q0/Q0①Q(mào)t,；■dyl廠dy'jdt丿_①mx,z固定,0—const廠_①my固定,。y固定,。=constx,c豐ci+c/+ckxyzq=Qe_i(kx+ly+my?t)—k=2k/L,l=2k/L,m=2k/L所謂線性波的頻散關(guān)系，它決定于介質(zhì)(大氣)的性質(zhì)。c三——c￡]Idt丿:0=const(ro=G(K))OGOG,(ro=G(K))OGOG,c=-OlgzOmc三=gOKOK匸J竺gIdtA=constogc=,c=gxOkgyOGOGOG\o"CurrentDocument"c=i+j+kgOkOlOmA=const.n+cJVA=0Otg口4?橫波與縱波橫波：振動(dòng)方向與波傳播方向垂直的波。V±c即V于=0V?c=0水平橫波：質(zhì)點(diǎn)在水平面的一個(gè)方向振動(dòng)，而波在水平面上的另一個(gè)方向傳播。―?垂直橫波：質(zhì)點(diǎn)在垂直方向上振動(dòng)，但波在水平面上傳播?？v波：振動(dòng)方向與波傳播方向一致的。V//c即Vxc=0Vxc=0波包：設(shè)有兩個(gè)單波，振幅相同，均為Q,而頻率(勁和波數(shù)(k)稍有差異，分別為巴、？和件、k2。其中，Ae=e嚴(yán)2，從=￡也，則人於0,人熾0。假設(shè)這兩個(gè)單波都在x方向傳播，分別為：q1(x,y,z,t)=Q(y,z)ei(k1x-?1t)q2(x,y,z,t)=Q(y,z)ei(k2x-?2t)則它們迭加后的群波為q=q+q=Q{ei(kix-&it)+ei(k2x-?2t)}=Q{ei(kix-?it)+ei(k2x-?2t)}=

i(k]x-of)+ei(k2x-o2t)}-i(k2--i(k2-k21x-o2-O1t)2?(k2-k+eiP1X-°2-O1t)2(占x-°^t)ei2x2tk=k=2Qcos(j-k1x一2代+k2°1+°2、t)ei(Tx一Tt)。zAkAo、沁2Qcos(x一t)ei(kx-ot)22群速q由兩部分組成：一部分為被調(diào)幅的波（載波），其圓頻率（◎及波數(shù)（k）分別接近各個(gè)單波的圓頻率和波數(shù)。o+ok+ko=―12o「o,k=t2k「k2□1□22□1□2另一部分為調(diào)幅波（波包），其移速（群速）為：Ao：'2Aodoc==Q—gAk2Akdk■q]q]=Qei(k]x_3]t)kkkkaaQei[(k+1+1-1)x-(才丐訂右"]Qei[(I+爭(zhēng)x-(牛號(hào)”]+i[(告-爭(zhēng)x+與號(hào)”]3322-3322-2])t]Qei[(2]+尹x-(2]+賞]￡'[(廠2])x-(q2=Qeiq2=Qei(k2x_?2t)3T"]Qei噲七+勺為x-kk33Qekk33Qei[(寧屮x-(芍+計(jì)]+i[(coX-(飛23」)t]QeQe吟審X-（分牛"]ei???q二q]+q2二Q])x-(A—Ak])x-(])t]+QR[(T)x-(Ty^)t]=2Qcos((=2Qcos((k2-k]廠x-THt)ei(號(hào)x-寧t)2沁2Qcos(x—t)ei(kx-(At)22群速q由兩部分組成：一部分為被調(diào)幅的波（載波），其圓頻率（◎及波數(shù)（k）分別接近各個(gè)單波的圓頻率和波數(shù)。+Ak+kA=12AA,k=t2kk2□1□22□]□2另一部分為調(diào)幅波（波包），其移速（群速）為：Aa2AadAc==u—gAk2Akdk

kkkkcoco=Qe，[(k+k+卞_x_F巧+羅P"]kk、zrorokk、=Qe，嗆+歹x_(才+芍"]+，[片—虧)x+(才—芍"]kk_kk_'[(廠2)x_(=Qel[q+2)x_(21+22)t]q=Qei(k2x_ra2t)222=Qei[(==Qei[(=Qei[(=Qei[(??.q=qi??.q=qi+q2=Qk2_k1)x(^2^2k_k_f]+qR[(T)x_(^^)t]i(x_雀生t)>el(2x2)=2Qcos((=2Qcos((k2_kiT~x_?2_?11)e，(呼x_寧t)2AkA、U2Qcos(xt)el(kx_rot)22§2??。ㄎⅲ_動(dòng)法與方程組的線性化smallperturbationmethod1?目的大氣運(yùn)動(dòng)方程組是非線性的，直接求解非常困難。所以用微擾法（小擾動(dòng)法）將方程組線性化，討論簡(jiǎn)單的波動(dòng)（線性波）問(wèn)題。即對(duì)波動(dòng)采用間接研究方法：求振動(dòng)解f求波速C1）小振幅波：振幅遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)的波，即AVVL，為線性波，可用小擾動(dòng)法。2）有限振幅波：振幅不比波長(zhǎng)小很多的波，波動(dòng)方程組是非線性的（非線性波），不能用小擾動(dòng)法。小擾動(dòng)法（微擾法）的基本假定（作法）1）將各種因變量分成兩部分，一部分為運(yùn)動(dòng)的基本狀態(tài)，通常與時(shí)間f和經(jīng)度（兀）無(wú)關(guān)；另一部分是擾動(dòng)部分，它表示各變量相對(duì)與基本狀態(tài)的偏差。即f=f+f，或f=f-f。湍流與波動(dòng)的比較：湍流：平均運(yùn)動(dòng)（對(duì)t）+脈動(dòng)（微尺度）；波動(dòng)：平均運(yùn)動(dòng)（對(duì)r,x）+擾動(dòng)（較大尺度）。2）擾動(dòng)量相對(duì)平均量很小，即口1。3）當(dāng)擾動(dòng)量為零時(shí),基本量也要滿足原來(lái)的方程組和邊界條件。4）擾動(dòng)量（或擾動(dòng)量的微商）的二次乘積項(xiàng)可以在方程組中忽略（線性化的具體體現(xiàn)）,即對(duì)于地球大氣運(yùn)動(dòng),進(jìn)一步可對(duì)主要物理量做如下具體假定:u'=u-u，且設(shè)u=常數(shù)，（恒定的平均緯向風(fēng)，即常數(shù)型基本氣流）v=v',v=0（無(wú)平均經(jīng)向風(fēng)）w=w',w=0（無(wú)平均垂直運(yùn)動(dòng)）p=p-p,p=p（y,z）（平均氣壓在南北和垂直方向分布不均勻）P'=P-P,P=P（z）（平均密度在垂直分布方向分布不均勻）而且%u，pip，廠口t，pip，即擾動(dòng)量充分小。此外若擾動(dòng)是周期波動(dòng)，要求波動(dòng)的振幅遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)。實(shí)際上若：廣二Fei2T（x-ct）f=i2kS：（x-ct）是小量,|F|LdxLdx大氣方程組的線性化1）z系大氣運(yùn)動(dòng)方程組（d/dt必須先展開(kāi)）基本方程組的線性化局地直角坐標(biāo)系下絕熱無(wú)摩擦的大氣運(yùn)動(dòng)基本方程組為

+u+v+wdtdxdy1dppdx+fv+u+v+wdtdxdy1dppdx+fv+udtdvdv+wdz1dy-fupdydwdwdwdw1dp+u+v+w=——gdtdxdydzpdz+u+v

dxdp+wdzdudvdw++)=0dxdydz(1)dln0dln0dln0dln0八+u+v+w=0dtdxdydz0=_L(匕o)k,T=丄,k=R/cpRppRp根據(jù)微擾動(dòng)法假定1，可以令：u=u+u：v=v+v',w=w+w'<p=p+p',p=p+p',0=0+0'其中基本量u，v，網(wǎng)p，p，0，由定義，為沿緯圈平均(不再隨x軸變化)。此外沿緯圈的v,w一般也是正負(fù)相見(jiàn)排列的，因此v,w的數(shù)值很小，可以假定v=w=0，即:u=u+u',v=v',w=w'(v=w=0)p=p+p',p=p+p',0=0+0'根據(jù)微擾動(dòng)法關(guān)于基本量滿足原始方程的假定:fu=—1dppdyfu=—1dppdy1dppdz—g=0dp石0,匹=0,0=(隘)R/cpdtpRp(3)(3)式表明取物理量沿緯圈的平均值作為基本量，則基本量是定常的，在水平方向上滿足地轉(zhuǎn)風(fēng)平衡，在鉛直方向上滿足靜力平衡。為了方便求解，可以假定莎=常數(shù)，將(2a)代入⑴后，再利用(3)式，則得到微擾動(dòng)量滿足的方程組(還利用了微擾動(dòng)法關(guān)于微擾動(dòng)量及其導(dǎo)量的二次乘積項(xiàng)均可視為高階小量而從方程中略去的假定):并注意到:

1p(1+1p(1+p'p)￡1、

pJp'F24)p_p□dd)''_1+u)udd)''_1+u)u—fv_—_\o"CurrentDocument"dtdxpdxdd1dp'p'1dp'p'dp+u)v+fu_——fu_—+dtdxpdyppdyp2dydd、，1dp'p'1dp'p'dp+u)w'_——g_—+dtdxpdzppdzp2dzdddp(dp/du'dv'dw'、?+u)p'+v'+w'+p(++)_0dtdxdydzdxdydzdd,dIn&,dIn0^_\o"CurrentDocument"dydzcR+cK__p_vcvdp'(5)dtdx0'1p'0_Kp0'1(5)式中0Kp'p'，pp'p齊的推導(dǎo)為：由位溫方程：e_pR今力取對(duì)數(shù)得到:ln0_K-1lnp—lnP+常數(shù)，再令0_0+0'代入上式有:ln[0(1+0-)]_lln[p(1+上)]—ln[p(1+匕)]+const.TOC\o"1-5"\h\z0kpp0''p'ln0+ln(1+)_k—1lnp+ln(1+匕)-lnp—ln(1+)+const.即有：0pp即有：andln0_K—1lnp-lnp+const.對(duì)任意小量J由ln(1+￡)口8，于是:0'_1p'—p'0Kpp關(guān)于狀態(tài)方程的線性化方程表述：p二PRTn（p+p'）二（P+P，）R（T+廠）二pRT+pRT，+p'RT+p，RT，?pRT+pRT，+pRT???p+p，二pRT+pRT，+p，RTnp，二pRT，+p，RT（5）式就是基本運(yùn)動(dòng)方程組線性化后的形式，其中的基本變量已知，擾動(dòng)量未知，方程組各項(xiàng)都是線性項(xiàng)的，所以（5）式為線性方程組。采用標(biāo)準(zhǔn)波型法（也稱正交模方法）求解。正交模方法（tormamodesmethod）標(biāo)準(zhǔn)波型法：在研究大氣中的基本波動(dòng)時(shí)，通常是首先將有關(guān)方程線性化，得到相應(yīng)的擾動(dòng)方程組，然后設(shè)擾動(dòng)方程組存在的形式解為Aei（z），代入方程組后，即可根據(jù)邊界條件確定頻率方程，從而確定相速方程。此方法就是標(biāo)準(zhǔn)波型法。頻率方程：波速c（或頻率3=kc）—般是基本氣流u，波數(shù)k（或波長(zhǎng)L）及其他參數(shù)（如g,HJB）的函數(shù)，即c=c（u,k,g,h,fB,...）,稱為波速方程或頻率方種頻率與波數(shù)之間的關(guān)系式）。―A旋轉(zhuǎn)地球大氣中可能出現(xiàn)的波動(dòng)作用力：重力，氣壓梯度力，科氏力。媒介特性：旋轉(zhuǎn)，連續(xù)，可壓縮，具有層結(jié)。地球大氣中基本的波動(dòng)形式：聲波、重力波（重力內(nèi)波，重力外波）、慣性（內(nèi)）波和長(zhǎng)波（Rossbywave）。大氣聲波聲波：由于大氣是可壓縮性流體，壓縮（或膨脹）某部分空氣，其四周空氣也將依次被壓縮（或膨脹），這種由空氣的可壓縮性產(chǎn)生的振動(dòng)在空氣中的傳播波動(dòng)。（聲波是一種縱波）（水平）聲波的波速公式為了突出大氣由于壓縮引起的聲波，不考慮科氏力作用，另外，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，設(shè)空氣僅在x方向受壓縮而產(chǎn)生振動(dòng)（即為一維水平聲波），則況學(xué)0,v'=w'=0，有z坐標(biāo)系純聲波的閉合線性化方程組：\o"CurrentDocument"dd1dp'(__+u一)u'—fv'_——dpdtdxpdx￡+u￡)v'+fu'_-1辺-pfudtdxpdyp/d_d、］1dp'p'(——+u—)w_———g\o"CurrentDocument"dtdxpdzp/dd、，,dp,dp/du'dv'dw'、?(一+u一)p'+v'—+w'—+p(一+一+)_0dtdxdydzdxdydz/dd,dlnO,dlnOM(一+u一+v'+w'_0dtdxO'_1p'—p'OKpp+vdydz(9.41)簡(jiǎn)化后，有：,d6、］1dp(+u)u=—\o"CurrentDocument"dtdxpdx\o"CurrentDocument"dd,du'(+u)p+p=0dtdxdx\o"CurrentDocument"ddO'(+u)()=0dtdxO0'_1p'—p'OKpp(9.42)(2)式中第四式消去第三式中的O',則有:d-d1p'p'1/dp'_dp'1dp'dp'(+u)(—)_0(—+u)—(u+)_0dtdxkppkpdtdxpdxdtdp'_dp'kpdp'_dp'、/dp'_dp'、+u_(+u)_c2(+u)c2=K(p：p)_KRTdtdxpdtdxLdtdxL其中cs=(KRT)1/2為絕熱聲速。'竺+u竺=-!里TOC\o"1-5"\h\zStdxp5x/SS、，1Sp(+u)u=—StSxpSx巴+u巴+p竺二0StSxSxS+uSL)p,+pSl=oStSxSx型+u聖二c2(巴+u空)StSxLStSxSSSS(-+uS)八cL(石+u凍)p‘(3)(9.43)在無(wú)邊界條件下求其單波解，可令：p'ep'ei(kx—a>)(9.43)IIp'丿SSSt=-iw(),=ik()SxS_S+u=—i(w—uk)StSxIp把(9.44)代入(9.43)，并且注意到：則得：'-i⑹-uk)U+i(k/p)P=0<-i(o-uk)兀+ikpU=0(9.45)-i(w-uk)p'+i(o-uk)c2兀=0L(9.45)式是U冗，P的齊次線性方程組，若方程組有非零解，則要求系數(shù)行列式應(yīng)為零，即:-(w—uk)0k!pkp-(o-uk)0=0(9.46)0(w—uk)c2—(w—uk)L展開(kāi)后得到頻率方程：(w-uk)[(w-uk)2-c2k2]=0(9.47)L(9.47)式的解為：廠w=ku<,_,-Kpw=ku+kc,c2=KRT=LLp'=ku解無(wú)意義：代入(9.45)式發(fā)現(xiàn)，U和P恒為零，而冗為任意的值，這就破壞了聲波的存在。所以其頻率應(yīng)為：①=ku土k"KRT=ku土kc(9.48)s波速公式為：(9.48a)c==u±^KRT=u+cksc==u±y；kRT=u±cgdks上式可以看出，聲波的相速?zèng)Q定于基本氣流和大氣的熱力性質(zhì)，而與波長(zhǎng)無(wú)關(guān)，聲波是非頻散波。如果取u=10m?s-i,R=287J?K-i?kg-i=287m2?s-2,k=1.4,T=273K，則c=(10±330)m3,故聲波速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于空氣的移動(dòng)速度，所以聲波屬于“快波”。水平聲波沿x軸的正負(fù)兩個(gè)方向傳播。垂直聲波的波速公式為了突出大氣在垂直方向傳播的聲波，不考慮科氏力作用，w'羽,u'=v'=0，另外，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn),設(shè)空氣僅在z方向受壓縮而產(chǎn)生振動(dòng)，則其頻率方程為：w=kx^KRT關(guān)于排除聲波的物理?xiàng)l件：1)大氣是不可壓縮的；2)大氣是非彈性的或包辛內(nèi)斯克流體；3)大氣是水平無(wú)輻散的；4)大氣是靜力平衡的；5大氣是準(zhǔn)地轉(zhuǎn)的(其零級(jí)近似為水平無(wú)輻散的)。聲波產(chǎn)生的物理機(jī)制圖.d6、t1dpTOC\o"1-5"\h\z(+u)u'=—dtdxpdx(3)\o"CurrentDocument"dd,du(3)(+u)P‘+P=0dtdxdx\o"CurrentDocument"dddd(—+u—)p=c2(—+u—)p'\o"CurrentDocument"dtdxldtdx(9.43)設(shè)想在x方向放置一個(gè)長(zhǎng)自容器(見(jiàn)圖)，其中裝滿了常壓、常密度的靜止大氣，容器中央部分有一活塞。使活塞下壓，則由方程組(9.43)最后一個(gè)方程(絕熱方程)可知，在A'A間空氣的密度和壓力都增加，且A點(diǎn)鄰近左邊的密度和壓力均大于右邊的密度和壓力，并在A點(diǎn)附近形成沿

x方向的水平氣壓梯度力（￡p7Qx>0）；由方程組（9.43）第一個(gè)方程（運(yùn)動(dòng)方程）可知，A點(diǎn)附近空氣獲得沿x方向的加速度（Qu'/Qt>0）；再由方程組（3）第二個(gè)方程（連續(xù)方程）可知，因?yàn)镼p'/Qt>0,故A點(diǎn)附近Qu'/QxvO,因而在A點(diǎn)右邊附近產(chǎn)生質(zhì)量幅合，使A點(diǎn)右方B點(diǎn)的密度增加，相應(yīng)的氣壓也增加，如此不斷傳下去。這就意味著：初始時(shí)刻首先在活塞附近形成的壓縮擾動(dòng)將由A點(diǎn)向右傳播（同時(shí)由A'點(diǎn)依次向左傳播），形成水平聲波。綜上所述，聲波產(chǎn)生的必不可少的內(nèi)部條件是空氣的可壓縮性，而外界壓縮空氣壓力和密度的擾動(dòng)，即6666dd(+U)p=C2(+U)p'，則是聲波產(chǎn)生的外部條件。6t6xL6t6x6u'6u'6u'工f1dp'+u—fv=—\o"CurrentDocument"dtdxpdxdv'dv'1dp'p'+u+fu=-dtdxdw'dw+u一dtdxdp'+udp'dtd9'dt0'fuP6yp1dprp'=一一gp6zp(1),6p,6pQU6v'6w'、八TOC\o"1-5"\h\z+v'+w+p(++)=06x6y6z6xdy6zr8ln9,6ln0~M\o"CurrentDocument"+v'+w'=06y6z假設(shè)：v'=0P'=假設(shè)：v'=0P'=0f三0p=po=const.8ur8ur1dprpdx九(竺九(竺+u竺)一丄鄉(xiāng)⑵dtdxpdz九為示蹤系數(shù)，九=1或2,九=0,表示在鉛直方向上滿足靜力平衡。設(shè)流體下界為水平鋼壁，上邊界為自由面。由運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件有：z=0,w'=0設(shè)自由面上的壓力為常數(shù)，自由面為物質(zhì)面，自由面的高度為H0,則自由面上動(dòng)力學(xué)條件為:z=H0,w'=0TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"dpdpdpdpdpz=H,=+u+v+w=00dtdtdxdydz上式線性化后，則有：z=H,型+u型+w型=型+U匯pgw，=00dtdxdzdtdx滿足上面的邊界條件的擾動(dòng)方程組的解為：ipp0滿足上面的邊界條件的擾動(dòng)方程組的解為：ipp0代入擾動(dòng)方程組和邊界條件后，振幅U,W,P應(yīng)滿足下面的方程組和邊界條件:(uk-?)=kPdP(uk-o)W=一(3)dz(4)z=0時(shí)，i(uk-(4)z=0時(shí)，i(uk-w)P-gW=0對(duì)方程組(3)進(jìn)行消元，消去P和W,得到:dz2dz2利用(3)中的第一式和第三式消去(4)中的P,則邊界條件(4)式可以改寫(xiě)為:z=0時(shí)，W=0z=0時(shí)，dWk2—、gW-0dz(uk_W)2這樣，問(wèn)題就歸結(jié)為求二階線性常微分方程(3)和滿足邊界條件(4)的解。分為兩種情況加以討論(1)九=0,即鉛直方向上滿足靜力平衡。此時(shí)方程(3)的通解為：TOC\o"1-5"\h\zW=A+Bz(5)將(5)代入邊界條件(4),則要求A=0,且要求k2口=gH(uk-W)20這就是頻率方程,由此可得：(6)對(duì)于均質(zhì)大氣,由靜力平衡條件：0p0或者c==u±\RT(6a)kv，RT為牛頓聲速，即等溫(T=T)大氣中聲波的傳播速度?？梢?jiàn)靜力平衡條件下，重力波是非頻散波,相速接近于聲速,屬于快波型波動(dòng)。所以：W=Bz<1dWiU=--dW=-B、ikdzk鉛直速度擾動(dòng)振幅隨高度線性增大，而水平速度擾動(dòng)振幅為常值，水平速度擾動(dòng)于鉛直速度擾動(dòng)有冗/2的位相差。(2)九=1,即鉛直方向上不滿足靜力平衡。此時(shí)方程(3)的通解為：W=Aekz+Be-kz(7)將(7)代入邊界條件(4),可知?jiǎng)t要求B=-A，且要求(欣-W)2=gth(kH)k2k0由此得到相速為：

-1(8)§th(kH)2(8)k0對(duì)⑻式進(jìn)行簡(jiǎn)化，取短波近似，即設(shè)kHoU1(%Ho)，在此條件下，th(kHo^l，于是(8)式簡(jiǎn)化為：這就是斯托克斯深水重力波相速。取長(zhǎng)波近似，即設(shè)kH1(LH),在此條件下,ouUoth(kH)kH，于是(8)式簡(jiǎn)化為：o口o這就是拉格朗日淺水重力波相速，與靜力平衡條件下重力波相速相同。因此當(dāng)波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于流體深度時(shí)，即擾動(dòng)的水平尺度遠(yuǎn)大于其鉛直尺度時(shí)，非靜力平衡的氣壓擾動(dòng)對(duì)水平運(yùn)動(dòng)的影響是可以忽略的，故LH是滿足靜力平衡的充分條件！Uo外波與內(nèi)波的比較：外部條件作用下才能存在的波動(dòng)稱為外波，外波的顯著特征是振幅隨高度單調(diào)變化。外波條件受到限制時(shí)(如上下邊界條件取齊次邊界條件)，就不會(huì)產(chǎn)生外波。與外波不同的另外一類波為內(nèi)波，其主要特征為位相隨高度變化，在鉛直方向上也呈波動(dòng)狀態(tài)。重力慣性外波仍考慮均質(zhì)不可壓縮具有自由面的流體，并設(shè)其滿足靜力平衡條件。動(dòng)力學(xué)方程組為：dududxdudu+v+w-fvdududxdudu+v+w-fv=-dydz1dppdxodv+udtdvdxdvdv+wdx1dpPdyodp(9.84)一pog竺+竺+色=odxdydz以h(x,y)表示自由面高度，對(duì)靜力平衡方程進(jìn)行積分

Ph+po(h-Z)g(9.85)JPh+po(h-Z)g(9.85)0z式中h0是自由面上的壓力，假設(shè)為常值，由上式有:(9.86)1dppdx(9.86)<01dpPdy0可見(jiàn)水平氣壓梯度力是不隨高度變化的，若初始時(shí)刻的水平風(fēng)速u(mài)和v不隨高度變化，則任意時(shí)刻的水平風(fēng)速u(mài)和v也是不隨咼度變化，即存在：亍——0。dzdz這就是在靜力平衡條件下，均質(zhì)不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要特點(diǎn)。對(duì)連續(xù)方程進(jìn)行鉛直積分：duddudu(dx+dy)dz+pgdznp—0ph+p°(h-z)g湍流規(guī)定水平風(fēng)速u(mài)和v不隨高度變化，Boussinesq(包辛內(nèi)斯克)近似布西內(nèi)斯克近似熱力學(xué)方程簡(jiǎn)化，表征大氣熱力學(xué)狀態(tài)的變量p、p、t和e等，其在空間和時(shí)間上的變動(dòng)量(p‘、P'、T'及e'等)都很小?？梢园汛髿膺\(yùn)動(dòng)是圍繞靜止大氣基本狀態(tài)變化的。于是熱力學(xué)變量分為兩個(gè)部分：一部分是表征基本狀態(tài)的變量，它們僅僅是高度(z)函數(shù)，以p(z)，p(z)，T(z)，e(z)表示；另一部分是熱力學(xué)變量的偏差，以山p',t,e'表示。即：'p—p(z)+p(x,y,z,t)p—p(z)+p'(x,y,z,t)小“八<_(9?104)T—T(z)+T'(x,y,z,t)丿氣壓(p),密度(p)，溫度(t),e—e(z)+e‘(x,y,z,t)密度(e)的特征量為p,冗，t*，?及基本狀態(tài)的鉛直厚度尺度(H)。0_dp__由靜力平衡方程：0_-dz-pg及狀態(tài)方程：p_尸RT，則有:gRTdp_p1dpgdlnp石_-gp_-gRTn7az_-RTndzgRT???H三-RT?8(km)(9.105)gH為大氣標(biāo)高，表示大氣鉛直厚度?；練鈮弘S高度的改變量可以達(dá)到本身的量級(jí)：1dpgdppP——n=—g—pdzRTdzRTHdlnpdln廠dlnT1同樣密度和溫度隨高度的改變量也可以達(dá)到其本身的量級(jí)廠?—芫?—h?H9.106)這是基本熱力學(xué)變量的一個(gè)重要性質(zhì)！以靜止大氣為背景下的大氣運(yùn)動(dòng)基本方程組：(9.104)”p—p(z)+p(x,y,z,t)P—P(z)+p'(x,y,z,t)T—T(z)+T'(x,y,z,t)0—仔(z)+0'(x,y,z,t)(9.104)P+P'1P+P'1p(1+7)ppp'PD大中尺度運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，科氏力與氣壓梯度力量級(jí)相當(dāng)，即：1dp

1dp

pdx?fv?fU(9.107)1dp_1dp_1(dpdp')———(+)—pdxp+p'dxdx1dp'\(1+p')喬p-1(1-p1)璽一丄空ppdxpdxRTdp'

pdxRTRTdp'

pdxRT*AP~p—L色竺?fu亠?fULPL0PRT*(9.108)(9.109)APfU10-4X10““oL?106?0.013?10-2PRT*287X273擾動(dòng)氣壓(密度、溫度)比基本氣壓(密度、溫度)小2個(gè)量級(jí)!

運(yùn)動(dòng)方程：也-fv=-1空=-丄迥一丄（1—￡）丄聖

dtpdxpdxppdxpdx竺+fu=-丄色

dtpdy1聖一l（i-￡i竺+fu=-丄色

dtpdydw1dp

pdw1dp

pdz=-g亠毎-追+型pdzpdzdzpfdp）pdzdw一丄埜+gp

dtdw一丄埜+gp

dtpdzp即為：dudtdv-J-+fu=-dtV1dp

pdx1dp'pdy（9.110）dwdt1譽(yù)+gXpdzp“（-g-丄d）-丄甞+（丄|p）ppdzpdzpdzp1昭+gpdzp水平運(yùn)動(dòng)方程中，2口1=p?p，沒(méi)有考慮密度的擾動(dòng)影響；而在鉛直方向上,pu(9.111)，存在擾動(dòng)密度的影響，密度的偏差會(huì)引起阿基米德浮力。連續(xù)方程：TOC\o"1-5"\h\z空+空+迥+竺二0Stdxdydzn空+u空+v空+w空+P（叫+空+色）二0StSxSySzSxSySzn1空+u竺+上空+w竺+竺+竺+空二0PStPSxPSyPSzSxSySzdlnPSuSvSwdtSxSySzlnp=ln（p+pj=lnp（1+匕）=lnp+ln（l+匕）沁lnp+P_PPPdlnpdlnpdzp\Slnpdzp\q+（一）二w+一（一）dtdtdtpSzdtpSlnpSzd（蘭）+dtpSuSvSwSxSynd（蘭）+

dtp竺+竺+丄他SxSypSz（2）1dp'pdtp'dpSuSvwSpSw++++=0p2dtSxSypSzSz1dp'pdtp'SpwSpSuSvSw-w++++-p2SzpSzSxSySz二0（9.119）對(duì)(9.119)進(jìn)行尺度分析：1dp'pdtp'Sp

w

p2SzwSpSuSvSw小++++=0pSzSxSySz△兀兀wSppSzSuSvSw+++=0

SxSySzorp（迦+竺）+

SxSySwpSz=0or亶+竺+空=0SxSySz（9.120）（9.120a）（9.121）可見(jiàn)在連續(xù)方程中完全略去了密度擾動(dòng)的影響。,,dudvQw小對(duì)淺層運(yùn)動(dòng)(D<<H)而言，亍+亍+=0dxdydz(9.122)狀態(tài)方程：p=pRTnp+p'二(p+p‘)R(T+T)upRT+pRT+pRT'np'=p'RT+pRTpp'T'n_=_+—ppT(3)對(duì)于位溫：pzpzp0=T(上o)RepnIn0=InT-一Inp+一Inppcc0pp0'T'Rp'Rln0(1+0)=lnT(1+)一lnp(1+[)+lnp°pp0'_T'RRp'ln0+ln(1+0)=lnT+ln(1+)一lnp一ln(1+)+plnp0In0=InT一一Inp+一Inpcc0pp0'T'Rp':.ln(1+)=ln(1+=)-—ln(1+p)，p冬、匚、p???0TpD0'T'R??(■\…0?T0'T'Rn\、把云u不-(_)代入到(3)式:0Tcpp0'=p'p'R(p')=c-R=一一(匸)一—0ppcpcpp=c(p')-p'=1(p')-p'cppYppp或者:p‘p‘p(、

cY三一pIc丿V(9.112)p8_p(p)-p'_8Yp1

_—p'-p'c2s8'_1p'p'8c2ps加P'_RP'三訂RTs(3a)0'_p'P」'_8',1P'————十p8c2ps8表明密度擾動(dòng)與位溫?cái)_動(dòng)、氣壓擾動(dòng)有關(guān)，8表示膨脹效應(yīng),對(duì)狀態(tài)方程：(9.113)1p'c2

s表示壓縮擾動(dòng)。與丄4及4的大小比較:8KppTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"dw1dpp由鉛直運(yùn)動(dòng)方程：莎_—p石十g石可知,\o"CurrentDocument"1dp'p'—~S—…pdzp1dp'RTdp'gHAppdzpdzDPApfUL0PgHp'A兀gHApp'HJUL、(9.114)g二_g?——?一(％)(9.114)p兀DPpDgH8'A?1ApA兀1ApHAp(9.115)??+?十—(9.115)8?kP兀1.4PDP由（9.115）可以推斷出：對(duì)于深層運(yùn)動(dòng)…而言，8~p~專~等（曙）~伊說(shuō)明，熱膨脹和可壓縮性密度擾動(dòng)的貢獻(xiàn)相當(dāng)。8'p'H（AP）AP對(duì)于淺層運(yùn)動(dòng)（DvvH）而言，8?~p?萬(wàn)（_P）口~P~8表明熱膨脹的效應(yīng)（8）是主要的。則有：冬=1必丄聖蘭(7)萬(wàn)萬(wàn)□歹(9.118)絕熱方程(位溫表示的形式)：dlnodtln0=ln(ln0=ln(O+0J=0fln0(1+o)0f=ln0+ln(1+)uln0+(1a(1a)(1b)(1c)(2)(3)(4)dz+g萬(wàn)du+dv+1d(pw)—0dxdypdzT0f1pf.pfT?c2ps—7N2如=on迎+￡(0f)=on空(0f)+w迎u0dtdtdt0dt0dzwuo(4)dln0dwuo(4)2=g~dTndt(0)+~gN為浮力頻率，又稱為布倫特一維賽拉(Brunt-Vaisala)頻率。最后由上面的(1)~(4)式，構(gòu)成以靜止大氣狀態(tài)為背景的大氣運(yùn)動(dòng)方程組(絕熱和無(wú)摩擦的)：TOC\o"1-5"\h\zdu“1dp一-fv二—匸——dtpdxdv1dpf一+fu二一———dtpdydw_1dtpd(p)+■dtpPf_Pf+—+pp~dt(0)+vwu靜力近似：o一1?+g卩'Qz非彈性近似：對(duì)于積云對(duì)流這類水平尺度較小的天氣系統(tǒng)，靜力平衡不準(zhǔn)確適用，而在連續(xù)方dpf程中省略了()一項(xiàng)，采用(9.120a)表達(dá)形式。這就是非彈性近似，其方程組為：dtpdudt1dprpdxdvr1dp'+fu=--dtpdy空一丄璽+gp

dtpdzp<,duQv、Q(pw)八p(——+—)+^J=0QxQyQzp'_p'+TPpT‘d0、N2dt(ff)+VWO'_1p'c2p

sQ0(1a)(1b)(1c)(2)(3)(4)非彈性近似：運(yùn)動(dòng)方程中部分考慮了密度擾動(dòng)(鉛直方向上)；連續(xù)方程中完全忽略密度擾動(dòng)的影響；熱力學(xué)方程中保留密度擾動(dòng)影響。也稱為滯彈性近似，或準(zhǔn)包辛內(nèi)斯克近似。Boussinesq近似：在非彈性近似的基礎(chǔ)上，在連續(xù)方程中采用(9.121)的表達(dá)形式(淺層運(yùn)動(dòng))，這樣連續(xù)方程就是完全不可壓縮流體。對(duì)狀態(tài)方程采用采用(9.118)的表達(dá)形式，即忽略與P有關(guān)的項(xiàng)(只是保留膨脹作用)，ffpTQ—Q—ffpT相應(yīng)的絕熱方程中'(ff)_斗(-)，這就是包辛內(nèi)斯克近似，其方程組為:dtdtpdu1Qp—fv_—dtpQxdv1Qp+fu_—dtpQydw1Qpp_—+gdtpQzpQuQvQw++_0QxQyQzff'_p'_T'_—?_T竺w_0,gdff'dff+_0dtdz(1a)(1b)(1c)(2)(3)(4)包辛內(nèi)斯克近似：運(yùn)動(dòng)方程中部分考慮了密度擾動(dòng)(鉛直方向上)；連續(xù)方程中完全忽略密度擾動(dòng)的影響，并在此基礎(chǔ)上，考慮為淺層運(yùn)動(dòng)，連續(xù)方程簡(jiǎn)化為不可壓縮形式；對(duì)密度擾動(dòng)只考慮膨脹作用；這種近似就是包辛內(nèi)斯克近似。由于連續(xù)方程為不可壓縮，方程組中已不再包含聲波產(chǎn)生的物理機(jī)制，所以該近似濾去聲波！重力內(nèi)波、慣性內(nèi)波、重力慣性內(nèi)波浮力振蕩，重力內(nèi)波形成的機(jī)制：氣塊法：絕熱方程(位溫表示的形式)：dIn0dtTOC\o"1-5"\h\z0f0f0fIn0=ln(0+0')=In0(1+—)=In0+ln(1+—)沁In0+(—)000獨(dú)=o二血+￡L)=0二￡t)+w迎?0dtdtdt0dt0dz(4)N2三g挈nd((0)+竺w?0dzdt0g(4)N為浮力頻率，又稱為布倫特一維賽拉(Brunt-Vaisala)頻率。假設(shè)空氣微團(tuán)在起始位置(z=z0)與環(huán)境空氣有相同的密度、氣壓和溫度。即：p(z)=p(z),p(z)=p(z),T(z)=T(z),0(z)=0(z)。其中，“一表示環(huán)境。00000000又假設(shè)空氣微團(tuán)在鉛直方向上作微小位移時(shí)，一方面進(jìn)行的足夠慢，以至于其壓力不斷調(diào)整與環(huán)境空氣氣壓相同；另一方面有進(jìn)行的足夠快，以至于其來(lái)不及與周圍環(huán)境發(fā)生熱交換(絕熱運(yùn)動(dòng))。即：p=p,dpidz二dpjdz=~Pgdp=0為不可壓縮流體(大氣)的絕熱方程。在絕熱條件下：1cdlnp=—dlnp(丫二亠)Ycv上式為可壓縮流體(大氣)的絕熱方程。其推導(dǎo)：

dTc-pdtpRTndp=RTdp+pRdTndp1RTdpdTc-pdtpRTndp=RTdp+pRdTndp1RTdp-ndpdp-RT=一dp—dppcpp=—dp—-^—dppcpp——c—Rn一dp=()dpppcpcndlnp=(7)dlnpcc=—^c=—^)cv—ndlnp=—dlnp(yYdw1dw16p=—g—一dtpdzn孚=-g+Egn竽=—g(口)=(口)g

dtpdtpp在阿基米德（Archimede）原理中上式右端第一項(xiàng)為浮力（b）,運(yùn)動(dòng)空氣所受到浮力等于所排開(kāi)p—一-p的與運(yùn)動(dòng)空氣同體積的環(huán)境空氣的質(zhì)量，則單位質(zhì)量運(yùn)動(dòng)空氣所受到的浮力大小為b=p—一-p第二項(xiàng)為重力（g）,其差為凈的阿基米德浮力（B）,B=）駕=g~p—g空氣微團(tuán)與環(huán)境的密度之差：p'=p—p。dw垂直運(yùn)動(dòng)方程為：莎=B當(dāng)空氣微團(tuán)上向運(yùn)動(dòng)時(shí)，若p'>0，空氣微團(tuán)的密度大于環(huán)境的密度，即重力大于浮力，凈浮力B<0，鉛直方向上減速使空氣微團(tuán)下沉；若?'<0，空氣微團(tuán)的密度小于環(huán)境的密度，即重力小于浮力，凈浮力B>0，鉛直方向上加速使空氣微團(tuán)繼續(xù)上升。氣塊在鉛直方向滿足靜力平衡：dwd21Op=(dwd21Op=(8z)=