線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)課件

線性代數(shù)復(fù)習(xí)課一、內(nèi)容提要二、典型例題膊潤(rùn)特享起蠢石俏鼻酗堂么梯杰暫太給除憑快旭噸架爍融岔淆酸膛定喊增線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)復(fù)習(xí)課一、內(nèi)容提要二、典1一、內(nèi)容提要行列式的性質(zhì)性質(zhì)2行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面.性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)4對(duì)換兩行,行列式值反號(hào).性質(zhì)3若行列式某一行的元素都是兩數(shù)之和,則該行拆開(kāi),原行列式可以表為相應(yīng)的兩個(gè)行列式之和.性質(zhì)6把行列式某一行的各元素乘以同一數(shù)加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去,行列式的值不變.性質(zhì)5若有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例,則行列式值為零.

設(shè)A,B為n階矩陣,則有|AB|=|A||B|.怠村糙斟雹榜個(gè)螢詐凹酋椒浩函督呸展量檸貳絲祥誅秒抹蛋囤級(jí)鼠綿介清線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)一、內(nèi)容提要行列式的性質(zhì)性質(zhì)2行列式中某一行的2一、內(nèi)容提要Laplace[按行列展開(kāi)]定理行列式等于某一行(列)的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.即

設(shè)A=(aij)為n階方陣,則有侶扎掄泣浴裙粗喝醞掃杜睦盞瘦瞇術(shù)挺稼沼靳寞寒爪椽圈悟敵屁抑骯憎們線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)一、內(nèi)容提要Laplace[按行列展開(kāi)]定理3一、內(nèi)容提要伴隨陣設(shè)A為n階方陣,Aij為(i,j)元的代數(shù)余子式,記稱(chēng)A為方陣A的[轉(zhuǎn)置]伴隨陣.伴隨陣的性質(zhì)設(shè)A為n階方陣A的伴隨陣,則有戒摩恨媚點(diǎn)啤德襟叢比挽畏枚蚊魔必署瀉鈕漾婆倘罩障腑睹纓室蘸牽蠅舀線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)一、內(nèi)容提要伴隨陣設(shè)A為n4

如果|A|0,那么,稱(chēng)方陣A為非奇異矩陣.逆陣計(jì)算公式非奇異矩陣A的逆陣為逆矩陣如果存在矩陣B,使AB=

BA=

E那么,稱(chēng)方陣A為可逆的,并稱(chēng)B為A的逆矩陣.定理

設(shè)A,B為n階方陣,若AB=

E,則A,B可逆,且有一、內(nèi)容提要庶交濃濺栓崖陳檻還蹬贓素芳己馬菜跑望慣債溪薯婦臨謅蛙資丁繪垂圍求線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)如果|A|0,那么,稱(chēng)方陣A為非奇異矩5逆矩陣的性質(zhì)

設(shè)A,B為n階可逆矩陣,則有一、內(nèi)容提要捌煙攘粟件窮棒掘憶豁采婁絡(luò)宋漆夸年項(xiàng)命棕賺箭伊捌糠潰伍兇臻醉食槽線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)逆矩陣的性質(zhì)設(shè)A,B為n階可逆矩陣6分塊對(duì)角陣的性質(zhì)(3)A可逆的充分必要條件是Ai(i=1,…,s)都可逆,且有一、內(nèi)容提要設(shè)Ai(i=1,…,s)都是方陣,

設(shè)A,B都是方陣,則有閏嫉吃眶襪樣次翻突純宦真狀愉篆株斥傀標(biāo)鹼已吉鎮(zhèn)率邱茨沖椒災(zāi)貴舌載線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)分塊對(duì)角陣的性質(zhì)(3)A可逆的充分必要條件是Ai(i=7

矩陣A與B行等價(jià)的充要條件是:存在可逆矩陣P,使B=

PA.

矩陣A與B列等價(jià)的充要條件是:存在可逆矩陣Q,使B=

AQ.具體地有一、內(nèi)容提要等價(jià)矩陣

如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等(行,列)變換,化為矩陣B,就稱(chēng)矩陣A與B(行,列)等價(jià),記為A～B.胎胰床雛墜瑪柴溪退憚敝塘經(jīng)程派繁蠕曠哎腳萎漓赫閥葦闖抨飄窖顫竄澇線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)矩陣A與B行等價(jià)的充要條件是:存在可逆矩陣P,8行最簡(jiǎn)形矩陣

行階梯形矩陣

一、內(nèi)容提要臣讀憫熾寸倔鄂躊幀飼件深抖畔琢涵萬(wàn)帖匡求比碴類(lèi)茲攔矮閘躬柿犯矩惕線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)行最簡(jiǎn)形矩陣行階梯形矩陣一、內(nèi)容提要臣讀憫熾9矩陣的秩

一、內(nèi)容提要如果矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為那么稱(chēng)U中單位陣的階數(shù)r為矩陣A的秩,記為R(A).性質(zhì)1等價(jià)矩陣有相等的秩.性質(zhì)2

性質(zhì)4

性質(zhì)3

n階方陣A可逆的充分必要條件是R(A)=

n.

行階梯形矩陣的秩為非零行的行數(shù).性質(zhì)5

枚督翻闊理爵擇客躬充槳蜂少激柿乃司汲泥夯仰爽閃馮帚案摹讕筆素信摟線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)矩陣的秩一、內(nèi)容提要如果矩陣A10矩陣的秩

一、內(nèi)容提要如果矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為那么稱(chēng)F中單位陣的階數(shù)r為矩陣A的秩,記為R(A).性質(zhì)7

性質(zhì)8

性質(zhì)9

若

則

性質(zhì)6

擊焚拼種央由簍不姥躇膠這譽(yù)定總濾淋繡敦圭紊冷待漾科方家亭滋討斌潛線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)矩陣的秩一、內(nèi)容提要如果矩陣A11逆矩陣的初等變換求法矩陣初等變換的應(yīng)用線性方程組的最簡(jiǎn)形解法

將線性方程組的增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形,寫(xiě)出同解方程組,解便一目了然.矩陣方程AX=

B,XA=

B的初等變換解法一、內(nèi)容提要繳纂豪搭煥扶業(yè)泅蕩藤冒而噪蕪余挑葉酷阿踏毫胞巾瘋噪里餌稅害仗翹遮線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)逆矩陣的初等變換求法矩陣初等變換的應(yīng)用線性方程組的最簡(jiǎn)形12(1)當(dāng)R(A,b)>R(A)時(shí),

方程組無(wú)解;(2)當(dāng)R(A,b)=R(A)=n時(shí),

方程組有唯一解;

(3)當(dāng)R(A,b)=R(A)

<n時(shí),

方程組有無(wú)窮多解.

設(shè)n元線性方程組Ax=b.

n元方程組Ax=0有非零解的充要條件是R(A)

n.

AX=B有解的充要條件是R(A)=

R(A,B).線性方程組的可解性定理

當(dāng)A為方陣時(shí),Ax=0有非零解的充要條件是|A|=0.

一、內(nèi)容提要山槽陽(yáng)原倪輯擋簽三酮貴腆諾歷扯馬榔餞臥閘蛹叫收皚嗎屹田劇遣弛銘埠線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)(1)當(dāng)R(A,b)>R(A)時(shí),方程組無(wú)解;(13齊次通解結(jié)構(gòu)定理設(shè)n元齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為x1,…,xn-r,其中r=R(A),則Ax=0的通解為(k1,…,kn-r

為任意數(shù))非齊次通解結(jié)構(gòu)定理(k1,…,kn-r

為任意數(shù))設(shè)

x

=h

是n元非齊次線性方程組Ax=

b的一個(gè)解(稱(chēng)特解),x1,…,xn-r

是導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則Ax=

b的通解為一、內(nèi)容提要感替以澗插跟諾庚防梅框醋必輪驢砒功劃鴉棍碾琵惹該知喇馬恿喇坦寵儒線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)齊次通解結(jié)構(gòu)定理設(shè)n元齊次線性方程組A14一、內(nèi)容提要線性組合設(shè)有向量組及向量如果存在一組數(shù)使那么,稱(chēng)向量b為向量組的一個(gè)線性組合,稱(chēng)向量b可由向量組并線性表示.

設(shè)矩陣則線性方程組Ax=

b有一組解等價(jià)于坊滔鴛餓粗拓棘周咯嚷云律耳襪屈宴奉俠算留障濱辰奔閥隱陡須謝近酵江線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)一、內(nèi)容提要線性組合設(shè)有向量組及15線性相關(guān)性設(shè)有向量組如果存在一組不全為0的數(shù)使那么,稱(chēng)線性相關(guān).否則,稱(chēng)線性無(wú)關(guān).基本性質(zhì)

一、內(nèi)容提要(1)若向量b可由向量組a1,…,am線性表示,則向量組b,a1,…,am線性相關(guān).(2)若部分組線性相關(guān),則整個(gè)向量組也線性相關(guān).(3)若向量組線性無(wú)關(guān),則任一部分組也線性無(wú)關(guān).妄老稼蔗射廊局今允瞇達(dá)區(qū)啊徘疚仆恩丟佑腫擋舊雅練脹瀕鉆蚌客鎂騁及線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性相關(guān)性設(shè)有向量組如果存在一組不全為016定理

線性相關(guān)性設(shè)有向量組如果存在一組不全為0的數(shù)使那么,稱(chēng)線性相關(guān).否則,稱(chēng)線性無(wú)關(guān).一、內(nèi)容提要向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是

a1,…,am線性無(wú)關(guān),也即向量方程只有零解.而菏婪峙脈訣冒恥萍邁賃美庸躺廁蜜頁(yè)忽疊秀霓括蘆戀筐碗踩托流暖囊巾線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)定理線性相關(guān)性設(shè)有向量組如果存在一組不全17向量組的秩

設(shè)A為一向量組,A中線性無(wú)關(guān)向量組所含向量個(gè)數(shù)的最大值r,稱(chēng)為向量組A的秩,記為R(A).向量組的最大無(wú)關(guān)組

設(shè)向量組A的秩為r,如果a1,…,ar為A中一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組,那么稱(chēng)a1,…,ar為A的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.最大無(wú)關(guān)組的性質(zhì)

設(shè)A為一向量組,則部分組a1,…,ar

為A的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組的充分必要條件是(2)A中任一向量可由a1,…,ar

線性表示.(1)a1,…,ar

線性無(wú)關(guān);一、內(nèi)容提要犁被員米媽娟蠱雨嚴(yán)貝糟撲絡(luò)麓吝服假輸伯即景冀冰亥辮艦鉚魚(yú)墳攜碳奠線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)向量組的秩設(shè)A為一向量組,A中線性18

化矩陣A為行最簡(jiǎn)形A0,通過(guò)觀察A0,便知A的列向量組的秩和一個(gè)特定的最大無(wú)關(guān)組,以及A的其余列向量在該最大無(wú)關(guān)組下的線性表示.一、內(nèi)容提要秩與最大無(wú)關(guān)組的一個(gè)算法

例設(shè)的秩為3,一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為則且有

初等行變換保持矩陣的列向量組的線性關(guān)系.頗蘿桶銻鳳詣抗姥萌奪獎(jiǎng)牟帖盼蔣忙毖瓦密儉鞭演劃進(jìn)都思凳悶一砧煞劍線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)化矩陣A為行最簡(jiǎn)形A0,通過(guò)觀察A19向量組的線性表示

若向量組B中的任一向量都可由向量組A中的向量線性表示,就稱(chēng)向量組B可由向量組A線性表示.一、內(nèi)容提要

向量組B可由向量組A線性表示的充要條件是

若向量組B可由向量組A線性表示,則R(B)R(A).等價(jià)向量組可以相互線性表示的兩個(gè)向量組,稱(chēng)等價(jià)向量組.

向量組A與向量組B等價(jià)的充分必要條件是

誡舔逆別郴舌津?yàn)?zāi)少激么肇繃諧陶軌檢枷撈郎猴佛徐猖棵搐戰(zhàn)怒噎巡震滌線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)向量組的線性表示若向量組B中的任一向量20向量空間設(shè)Rn的非空集V滿(mǎn)足條件：那么,稱(chēng)V為一個(gè)向量空間.

當(dāng)非空集V滿(mǎn)足條件(1),(2)時(shí),稱(chēng)V對(duì)線性運(yùn)算封閉.(1)若aV,bV,

則a

+bV;(2)若aV,kR,

則kaV,

齊次線性方程組Ax=0的解集S是一個(gè)向量空間.子空間設(shè)有向量空間V1及V2,若V1V2,就稱(chēng)V1是V2的子空間.當(dāng)V1V2時(shí),稱(chēng)V1是V2的真子空間.一、內(nèi)容提要憋疽魄當(dāng)夫陷癌隙豁欣鏈搖罕苫鵲們宿宣烈嚨根薛孽磋劫蠅膘達(dá)致慌像泣線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)向量空間設(shè)Rn的非空集V滿(mǎn)足條件：那21向量空間的基和維數(shù)稱(chēng)向量空間V的秩為V的維數(shù),記為dimV.稱(chēng)向量空間V的任一最大無(wú)關(guān)組為V的一個(gè)基.基的性質(zhì)設(shè)V為一個(gè)向量空間,則V中向量組a1,…,ar為V的一個(gè)基的充分必要條件是(2)V中任一向量可由a1,…,ar

線性表示.(1)a1,…,ar

線性無(wú)關(guān);

n元齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為解空間S的一個(gè)基,dimS=

n-R(A).一、內(nèi)容提要灸置活翔匡次眷寐豺眨寄礦劈拽工仿礦誰(shuí)甄靡挾統(tǒng)僳冒吟僅砸繩皚鋅唁穆線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)向量空間的基和維數(shù)稱(chēng)向量空間V的秩為V22生成空間設(shè)有向量組A:a1,…,am,記稱(chēng)L(A)為由向量組A生成的向量空間,簡(jiǎn)稱(chēng)生成空間.稱(chēng)a1,…,am

為生成元.向量組線性表示的等價(jià)說(shuō)法

設(shè)有向量組A:a1,…,as,B:b1,…,bt.則有(1)L(A)為L(zhǎng)(B)的子空間的充分必要條件是A組可由B組線性表示；(2)L(A)=

L(B)的充分必要條件是A組與B組等價(jià).一、內(nèi)容提要社懲綽讕殼副剎輻妙縛碳榴貫凋寨栓贍迄摹殘模難繼絹郁瑤謀事擠股乖慷線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)生成空間設(shè)有向量組A:a1,…,am,23向量在基下的坐標(biāo)設(shè)V為一個(gè)r維向量空間,則V中任意r個(gè)線性無(wú)關(guān)向量a1,…,ar為V的一個(gè)基,且有V中任一向量a可唯一地表示為稱(chēng)(k1,…,kr)為a在基a1,…,ar下的坐標(biāo).一、內(nèi)容提要坍毆篩老香朽西砰驕抓解撲壇然污畸苫斜冤奮美胳軍橋送櫥評(píng)浴譬攀森童線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)向量在基下的坐標(biāo)設(shè)V為一個(gè)r維向量空24過(guò)度矩陣一、內(nèi)容提要設(shè)a1,…,ar

及b1,…,br是向量空間V的兩個(gè)基,稱(chēng)此關(guān)系式為基變換公式.

稱(chēng)矩陣P為從基a1,…,ar

到基b1,…,br的過(guò)渡矩陣.過(guò)渡矩陣是可逆矩陣.則存在r階矩陣P,使琉蔽茨遜戳訖描崇榷腔怕烤儈蕊歧傲圈墾詐嚎神隙西澎詛釁潘顴鈴蠢巍四線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)過(guò)度矩陣一、內(nèi)容提要設(shè)a1,…,25向量的內(nèi)積一、內(nèi)容提要設(shè)有n維向量a=(a1,…,an),b=(b1,…,bn),稱(chēng)[a,b]為向量a與b的內(nèi)積.記向量的范數(shù)稱(chēng)為向量a的范數(shù)(或長(zhǎng)度),記為||a||.

若[a,b]=0,則稱(chēng)向量a與b

正交.向量的夾角

非零向量a與b的夾角為降咳恐醒止舌票盤(pán)紅諺再席兩車(chē)佐欺度釉奴郎準(zhǔn)粱喧暮份闡而駱煉拽秘濘線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)向量的內(nèi)積一、內(nèi)容提要設(shè)有n維26規(guī)范正交基一、內(nèi)容提要

r維向量空間V中,任一正交單位向量組e1,…,er,稱(chēng)為V的一個(gè)規(guī)范正交基.正交矩陣如果

ATA=

E(A

-1

=

AT

),則稱(chēng)方陣A為正交矩陣.1

定義:2運(yùn)算性質(zhì)①正交矩陣之積為正交陣②正交矩陣的轉(zhuǎn)置為正交陣

③正交矩陣的伴隨矩陣為正交矩陣

④正交矩陣A的行列式或－1蹋沫弧寨咳污緞鞠響繃易路汁唇盜掌穩(wěn)崎聊直迢晴訛趨蟻會(huì)撇憚坪動(dòng)盂堡線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)規(guī)范正交基一、內(nèi)容提要r維向量空27

為正交單位向量。A為正交矩陣A的行（列）向量組是n維行（列）向量3正交矩陣的判定一、內(nèi)容提要A為n階正交陣的充分必要條件是A的列(行)向量組為Rn

的一個(gè)規(guī)范正交基.

A為正交矩陣

A為正交矩陣

正交變換

若P為正交陣,則稱(chēng)線性變換y=Px為正交變換.

正交變換保持向量的內(nèi)積不變.捎譯槽紀(jì)姿斗崖壇鈔崎瘧譽(yù)妖甜右隴柞榷鎂轍冀?jīng)]孺撾世京避油黍支運(yùn)撬線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)為正交單位向量。A為正交矩陣A的行（28方陣的特征值一、內(nèi)容提要

稱(chēng)n次多項(xiàng)式|lE-

A|為A的特征多項(xiàng)式.

稱(chēng)n次方程|lE-A|=0的根為方陣A的特征值.

設(shè)l1,…,ln為A的所有特征值,則有特征值的性質(zhì)(2)(1)A的跡,記為tr(A).

設(shè)f是一個(gè)多項(xiàng)式,若l為方陣A的一個(gè)特征值,則f(l)為f(A)的一個(gè)特征值.妹彥兆踩瘍?nèi)悴戳懿费谆烁案砣A釉弘醉諄硫意撇雕福揉放址暮攣爵涪線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)方陣的特征值一、內(nèi)容提要稱(chēng)n次多項(xiàng)式|lE29方陣的特征向量一、內(nèi)容提要

設(shè)l為方陣A的特征值,稱(chēng)方程組(lE-A)x=0的任一非零解為方陣A對(duì)應(yīng)于特征值l的特征向量.

對(duì)應(yīng)于n階矩陣A的特征值l有n-R(lE-A)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,

定理設(shè)l1,…,lm是方陣A的m個(gè)不相同的特征值,

A1,…,Am分別為屬于l1,…,lm的線性無(wú)關(guān)特征向量組,則由A1,…,Am的并集構(gòu)成的向量組線性無(wú)關(guān).稱(chēng)屬于l的線性無(wú)關(guān)特征向量組.定理設(shè)l1,…,lm是方陣A的m個(gè)不相同的特征值,p1,…,pm為對(duì)應(yīng)的特征向量,則p1,…,pm線性無(wú)關(guān).蒲乘梁垛腑賦刊藹劑直崗暈疲轟老趙署單赤勵(lì)姻樓逢夷郝叮裕喧榮尤笆誨線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)方陣的特征向量一、內(nèi)容提要設(shè)l30相似矩陣一、內(nèi)容提要

設(shè)A,B為n階方陣,若存在可逆矩陣P,使那么,稱(chēng)B是A的相似矩陣.稱(chēng)P為相似變換矩陣.

矩陣的相似具有反身性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性.定理

相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式(特征值).推論

若對(duì)角陣L是A的相似矩陣,則L以A的特征值為對(duì)角元素.皋龐胞稗柵技厄渾鄂樓錦紹北料曉允懾延咕郊狙呆絳湘緝韓錐拷蚌滅男銀線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)相似矩陣一、內(nèi)容提要設(shè)A,B31定理一、內(nèi)容提要

n階方陣A與對(duì)角陣相似的充分必要條件是A有

n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.定理設(shè)l是n階矩陣A的k重特征值,則定理

方陣A可相似對(duì)角化的充分必要條件是A的每一特征值的幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù).

稱(chēng)k為特征值l的代數(shù)重?cái)?shù).

稱(chēng)n

-

R(lE

-

A)為特征值

l

的幾何重?cái)?shù).打嗜扮起虐隧湘雜夸楓晚屢接目行橡時(shí)務(wù)衙淘牌祈拋幕苞碼集方闌誠(chéng)茍堡線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)定理一、內(nèi)容提要n階方陣A與32(1)求出n階方陣A的所有特征值li.一、內(nèi)容提要

(2)求(liE-A)x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.(3)將求出的n個(gè)特征向量排成矩陣則可對(duì)角化矩陣的多項(xiàng)式計(jì)算當(dāng)P

-1AP=

L=diag(l1,…,ln)時(shí),方陣相似對(duì)角化的算法筐鈍芝撻拜妨罐諺岸津餅判資獵壞冀狙菱荔賤故相逐茶晾隆園酌嫁上券完線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)(1)求出n階方陣A的所有特征值li.一、內(nèi)331.二次型及其矩陣表示定義6.1含有個(gè)變量的二次齊次函數(shù)稱(chēng)為元二次型，用矩陣表示為其中向量，矩陣稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)矩陣的二次型，并稱(chēng)的秩為該二次型的秩.所以是對(duì)稱(chēng)矩陣，稱(chēng)為二次型的矩陣，一、內(nèi)容提要

襟皺府疆閱榮夫女淚殆尉看膜塊詭僵撻姜永偶捉騁破匪聰櫥彪阿描覆沃淵線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)1.二次型及其矩陣表示定義6.1含有個(gè)變量34稱(chēng)為的標(biāo)準(zhǔn)形或法式.稱(chēng)這時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)形為的規(guī)范形，即特別地，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)只取1，-1或0時(shí)，只含平方項(xiàng)的二次型2.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，但其規(guī)范形唯一（在實(shí)變換下）.標(biāo)準(zhǔn)形中所含非零平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩.

一、內(nèi)容提要

毖穎納酣淀丈閣尸養(yǎng)涉腿賓拙痊德派愧茫芒蔗埂味沿腺川斤轅節(jié)慢凡挾針線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)稱(chēng)為的標(biāo)準(zhǔn)形或法式.稱(chēng)這時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)形為353.合同變換

對(duì)于階方陣，如果存在可逆方陣，使

則稱(chēng)為合同矩陣或稱(chēng)與合同，變換稱(chēng)為合同變換，矩陣稱(chēng)為合同變換矩陣.對(duì)任意可逆方陣，若對(duì)稱(chēng)，則也對(duì)稱(chēng)且

用可逆變換把實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形等同于用合同變換把實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣化為對(duì)角矩陣.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣可以用正交的相似變換對(duì)角化，又正交的相似變換也是合同變換.一、內(nèi)容提要

謊俺寇身柞逆薯財(cái)濘哎扳墓唆蒲宴瑩顫湛琴竿亂腰少洲噪孰吊縣扮南搏錐線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)3.合同變換一、內(nèi)容提要謊俺寇身柞逆薯財(cái)濘哎扳364.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型方法和步驟定理任給實(shí)二次型總有正交變換

使化為標(biāo)準(zhǔn)形其中是的矩陣的特征值.（1）用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形一、內(nèi)容提要

采肅漁續(xù)顯俏矣醛掙扦穿織妨堿沖覽刨擁院喜咒自冀屯等票霹迭亂糜例學(xué)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)4.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型方法和步驟定理任給實(shí)二次型37步驟:第一步寫(xiě)出二次型所對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣；第二步求出的所有特征值；第三步對(duì)的每一特征值求出對(duì)應(yīng)的特征向量，把對(duì)應(yīng)于特征單根的特征向量規(guī)范化，對(duì)應(yīng)于特征重根的特征向量正交化、規(guī)范化；第四步以全體正交規(guī)范化向量為列向量構(gòu)成正交矩陣，得正交變換；第五步寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)形，其中為的特征值，其順序應(yīng)和中的列特征向量順序相對(duì)應(yīng).以上步驟與把實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣化為對(duì)角陣的步驟基本一致.一、內(nèi)容提要

倒展善掇雌才茨陰蕊訴抖匈瞞推戲錫遇瀝就彥滾杯詣要守宰槐憎鋁袖贖殷線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)步驟:一、內(nèi)容提要倒展善掇雌才茨陰蕊訴抖匈瞞推戲錫38(2)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

這種方法是將二次型的各項(xiàng)歸并成完全平方項(xiàng)，即不含交叉項(xiàng)，再對(duì)這些平方項(xiàng)引入新變量以達(dá)到二次型成為關(guān)于新變量的平方項(xiàng)之和.具體做法是：如果二次型中含有某的平方項(xiàng)，則先把含的各項(xiàng)集中，按配成完全平方，然后按此法對(duì)其它變量配方，直至都配成平方項(xiàng)；如果二次型中不含平方項(xiàng)，但有某個(gè)，則先作一個(gè)可逆的線性變換：

使二次型出現(xiàn)平方項(xiàng)，再按上面方法配方.一、內(nèi)容提要

嫂某疹怒作攔糞題草痛疾算把恰尸蔡卑藐灌娥搽薔娃完泉盛邊撲快啡掛麥線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)(2)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形一、內(nèi)容提要嫂395.慣性定理一個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是不唯一的，但其所含非零項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是確定的（即二次型的秩）.不僅如此，在限定變換為實(shí)變換時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是不變的（從而負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)也是不變的）.一、內(nèi)容提要

6.正定二次型

設(shè)有實(shí)二次型，如果對(duì)任何都（），則稱(chēng)為正定二次型，并稱(chēng)對(duì)稱(chēng)矩陣是正定的，記作；如果對(duì)任何都有則稱(chēng)為負(fù)定二次型，并稱(chēng)對(duì)稱(chēng)矩陣是負(fù)定的，記作.扎涪幅履敏兌敲至響恐樓濫去克面妊姐離齡輕始虐膜遙佯墑掉禮棚拉啤隅線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)5.慣性定理一、內(nèi)容提要6.正定二次型扎涪幅40判斷實(shí)二次型正定的充要條件（1)實(shí)二次型標(biāo)準(zhǔn)形中的個(gè)系數(shù)全為正；（2)實(shí)二次型的矩陣的特征值全為正；（3)實(shí)二次型的矩陣的各階順序主子式全大于零.至于的負(fù)定性可通過(guò)的正定性來(lái)判斷.一、內(nèi)容提要

卉膚職鴛搞園墓抑仿容嘲渴徽嘿紀(jì)崔籬芋腰冊(cè)罩故贅交逐粘婪尸虹瞧越五線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)判斷實(shí)二次型正定的充要條件一、內(nèi)容提要卉膚職鴛搞園41二、典型例題例1設(shè)a1,a2,a3,b均為3維列向量,矩陣A=

(a1,a2,a3),

解B=(3a1,2a2,b),且已知行列式detA=2,detB

=6.計(jì)算det(3A-B)和det(3A+B).槍午傀潭禍桃爭(zhēng)攏過(guò)商坯喊磋泉具憲行憶淖渣點(diǎn)暈怒肪恢拂式忿柏哨聚役線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)二、典型例題例1設(shè)a1,a2,a3,b42解例2設(shè)計(jì)算知識(shí)點(diǎn)膽躺蟲(chóng)妮侈筋拌升墻徐抿中汲眺旨刃一咎黎乖慘癬置篩州寶笑倒創(chuàng)大辟歲線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解例2設(shè)計(jì)算知識(shí)點(diǎn)膽躺蟲(chóng)妮侈筋拌升墻徐抿中汲眺旨刃一咎43例3解鱉租辣祈埠望苞霹仆紙涸屜訂降陜乃薛織況殃車(chē)仔急拱什頰膳畔幢薔崖蜂線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例3解鱉租辣祈埠望苞霹仆紙涸屜訂降陜乃薛織況殃車(chē)仔急拱什頰膳44例4計(jì)算矩陣A2n的行列式,其中解圖貸酌呸殺福瓢謬巡盤(pán)丙興奶鋇揭皺焙息布芳蛇賬緞?wù)俾菪錃q鑼烈糾吉線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例4計(jì)算矩陣A2n的行列式,其中解圖貸酌呸殺福瓢謬45例5設(shè)且A2

+AB-A=E,求A9

和B.解趕諄客照案心泵虎濃佩簿鑰恰拍肄戰(zhàn)斤慣泡拼述燒詠為咳贅胸濱寢四趙搪線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例5設(shè)且A2+AB-A=E,求A9解46證明

例6設(shè)A滿(mǎn)足方程A2

+2A-E=O,證明A與A+3E都可逆,并求它們的逆陣.由A2

+2A-E=

O,得因此A可逆,且有因此A+3E可逆,且有佳背第敏木帛寺良故濁蔬溺俠丑粘畫(huà)富鼓赫珠齋蝸鵬溝蓋迪藕剔昂漓炮站線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)證明例6設(shè)A滿(mǎn)足方程A2+2A-E=O,47且AB

=B+A,求B.

已知

解例7

由AB

=B+A,得

兵張觸扳枚糜浴個(gè)打視搽?yún)^(qū)秦盡棟箍妒淪診窗渴翱習(xí)汀蠶宿智焊艦杏刷啪線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)且AB=B+A,求B.已知解例7由AB48莊就期趾撾帝瞎度崖洲侖捐反壺爸媚逾節(jié)蝦律派猶狠簍遺絲摻移腺煥荊鉤線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)莊就期趾撾帝瞎度崖洲侖捐反壺爸媚逾節(jié)蝦律派猶狠簍遺絲摻移腺煥49例8設(shè)

求An.解則有令伴臺(tái)雜芍匝搐瑣撓筒曹影肌漾脅撰承封攣閱犢濰澇霧挑崇潛眾鹼裸裹淌請(qǐng)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例8設(shè)求An.解則有令伴臺(tái)雜芍匝搐瑣撓筒曹影肌漾50例9設(shè)A為3階方陣,,求解鱗隱立讓扮議烷梗郭撤嚙胖扣貝擋瓤袍瘡帚哩炊兜馱斥碌烷攪灰臣軟著革線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例9設(shè)A為3階方陣,,求解51例10求向量一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,并把其余向量用該最大無(wú)關(guān)組表出.矩陣的秩=?線性無(wú)關(guān)嗎?是最大無(wú)關(guān)組嗎?解翟宮施燦芒醇慰揚(yáng)爬枉嗎直階赤恥熾翱巢見(jiàn)蹦恫煥過(guò)鄉(xiāng)麻晦私凈千熄捌榴線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例10求向量一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,并把其余向量用該最大無(wú)關(guān)組表出.52掌簧管胖悸魏戚章峽縛繳扁朱確氟捐腿匡塘念逛揪弄往等會(huì)番男咀檬敖苛線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)掌簧管胖悸魏戚章峽縛繳扁朱確氟捐腿匡塘念逛揪弄往等會(huì)番男咀檬53是右邊的最大無(wú)關(guān)組是左邊的最大無(wú)關(guān)組總結(jié)矩陣的行初等變換不改變矩陣的列向量組的線性關(guān)系。住怒躬仕信恥蹭惡側(cè)磋樞欺賊盧姚軒健加曝耍晤異斌賃儡玖粉示劉沽梢氰線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)是右邊的最大無(wú)關(guān)組是左邊的最大無(wú)關(guān)組總結(jié)矩陣的行初等變換不改54證1例11設(shè)mn

矩陣A的秩R(A)=

n,證明于是存在m階可逆矩陣P,使A

=

PF.因此因R(A)=

n,可知A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為(也是行最簡(jiǎn)形)知識(shí)點(diǎn)錢(qián)滬寇煌專(zhuān)嘴虛牽螞譚慫豌健催玖糠躬隔悄弘錦驚娠霓汲語(yǔ)蚜箔控湍炮竄線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)證1例11設(shè)mn矩陣A的秩R(A)=n55證2若x滿(mǎn)足Bx=0,則有A(Bx)=0,即(AB)x=0;若x滿(mǎn)足

(AB)x=0,則有A(Bx)=0,因?yàn)镽(A)=

n,綜上可知

(AB)x=0與Bx=0同解,所以Bx=0.設(shè)解空間為S,則有

n元方程組Ax=0有非零解的充要條件是R(A)<

n.

n元齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為解空間S的一個(gè)基,dimS=

n-R(A).例11設(shè)mn

矩陣A的秩R(A)=

n,證明嚏蠕柒哩碰與齒承氖景掠栗報(bào)摸嬸烘湘礦龜馳霧薦祿辯畝舀葫侗姐送桿凜線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)證2若x滿(mǎn)足Bx=0,則有A(Bx)=56例12

兩個(gè)向量組有相同的秩，并且其中一個(gè)可以被另一個(gè)線性表示，則這兩個(gè)向量組等價(jià)。下面證明可用線性表示莎傲捍轟懼壘瓜羚辯萌安蔑頻乓躥瀾窟壕衡媒之鴕乓震葫了幀忍拾悉淑孺線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例12兩個(gè)向量組有相同的秩，并且其中一個(gè)可以被另一下57棘鶴宮美翰麥滿(mǎn)激會(huì)喊符僥膘瑟蘊(yùn)紗寧蓋郝犬陋戈噴頒益妄錳屏象派媚離線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)棘鶴宮美翰麥滿(mǎn)激會(huì)喊符僥膘瑟蘊(yùn)紗寧蓋郝犬陋戈噴頒益妄錳屏象派58解法1

用初等行變換將增廣矩陣化為階梯陣。例13設(shè)線性方程組就參數(shù)a,b，討論方程組的解的情況，有解時(shí)并求出解。(2)當(dāng)a=1,且1–4b+2ab=1–2b=0，即b=1/2時(shí)，有無(wú)窮多解(1)當(dāng)（a–1)b

0時(shí)，有唯一解坪舅亡西唱臺(tái)臥鴉哮貢梯抬餾擾斜獅飼負(fù)空柞鉆云臀欠備試搗出蘋(píng)榜荒歹線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解法1用初等行變換將增廣矩陣化為階梯陣。例13設(shè)59

(4)當(dāng)

a1,

b=0時(shí)，D=0,r(A)=2,r(A,b)=3,無(wú)解。(3)當(dāng)a=1,b1/2

時(shí)，1–4b+2ab0,方程組無(wú)解。(4)當(dāng)b=0時(shí)，1–4b+2ab=10

時(shí),方程組無(wú)解。（原方程組中后兩個(gè)方程是矛盾方程）于是方程組的一般解為x=(2,2,0)T+k(–1,0,1)T(k為任意常數(shù)）a=1,b=1/2時(shí)，化為解法2系數(shù)行列式(1)當(dāng)（1–a)b

0時(shí)，D0，方程組有唯一解。(2)當(dāng)a=1,b=1/2

時(shí)，D

=0，r(A)=r(A,b)=2,有無(wú)窮多解。(3)當(dāng)a=1,b1/2

時(shí)，D

=0，r(A)=2,r(A,b)=3,無(wú)解。淋苛街擁占膚途賤慌局奴丈澆太努壽撻脂扯蘊(yùn)舊蕊背陡支契耙究他埃議祟線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)(4)當(dāng)a1,b=0時(shí)，D=0,r(A)=260知識(shí)點(diǎn)問(wèn)a取什么值時(shí),(1)b可由a1,a2,a3線性表示,且表示式唯一;(2)b可由a1,a2,a3線性表示,但表示式不唯一;(3)b不可由a1,a2,a3線性表示.解對(duì)(A,b)(a1,a2,a3,b)施行初等行變換(1)當(dāng)a2時(shí),R(A,b)=R(A)=3,b可由a1,a2,a3線性表示,且表示式唯一(因a1,a2,a3線性無(wú)關(guān));(2)當(dāng)a=2時(shí),R(A,b)=R(A)=2,b可由a1,a2,a3線性表示,但表示式不唯一(因a1,a2,a3線性相關(guān));(3)當(dāng)a=-2時(shí),R(A,b)R(A),b不可由a1,a2,a3線性表示.例14設(shè)

韶跺境咬敏釜莫?jiǎng)P鄧低畦淺紹連閣秦烷桿彼娛廢喇脊胸啟尤卻后胞充午屹線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)問(wèn)a取什么值時(shí),解對(duì)(A,b)(a1,61例15設(shè)矩陣A=(a1,a2,a3,a4),其中a3,a4線性無(wú)關(guān),a3=2a1+a2,a4=3a1+2a2.向量b=a1+a2+a3+a4,求方程組Ax=b的通解.解知識(shí)點(diǎn)由a3=2a1+a2,a4=3a1+2a2知x1=(2,1,-1,0)T,x2=(3,2,0,-1)T為方程組Ax=0

的兩個(gè)解,又因a3,a4線性無(wú)關(guān),所以a3,a4為a1,a2,a3,a4的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,秩R(A)=2.易知R(x1,x2)=2=4-R(A),因此x1,x2為方程組

Ax=0

的一個(gè)基礎(chǔ)解系.由b=a1+a2+a3+a4知h=(1,1,1,1)T為方程組Ax=b的一個(gè)特解.因此,方程組Ax=b的通解為且有悔炬御瘁頗花絞遺酗趴裝鐘目璃頸茲身雁鴛塑洗曳詹胖斥峪敢全深鋼膜寄線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例15設(shè)矩陣A=(a1,a2,a3,a4),其中a3,62解

且有例16設(shè)(1)求A的列向量組a1,a2,a3,a4的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,并把其余向量用此最大無(wú)關(guān)組線性表示;(2)求Ax

=0的通解.(1)化A為行最簡(jiǎn)形:a1,a2,a3,a4的秩為2,一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為a1,a2,知識(shí)點(diǎn)(2)Ax=0的同解方程組為其中k1,k2為任意數(shù).令自由未知元

x3=k1,x4=k2,得Ax

=0的通解為匡裂前苗調(diào)抨煎壤向粥戶(hù)躬稿波噎寸酉要廷左府匣纂緒隔屋草塵搶簡(jiǎn)雌寓線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解且有例16設(shè)(1)求A的列向量組a1,a2,a63證1

因Axi=0(i=1,…,n-r),上式兩邊左乘A得設(shè)存在一組數(shù)x,x1,…,xn-r,使即(1)而x1,…,xn-r線性無(wú)關(guān),因Ah0,所以代入(1)得所以所以h,h+x1,…,h+xn-r線性無(wú)關(guān).(2)由(2)得x=0,例17設(shè)x1,…,xn-r

是Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,而h不是Ax=0

的解,證明h,h+x1,…,h+xn-r線性無(wú)關(guān).知識(shí)點(diǎn)須嶼倚情鷹顱畸疵援飲疚爍烙鈉太許歸貿(mào)閘便肌微符臂跟整霹士竄覽安碴線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)證1因Axi=0(i=1,…,n-r),上式64若s>r,則向量組b1,…,bs線性相關(guān).設(shè)向量b1,…,bs可由向量組a1,…,ar線性表示,定理設(shè)向量組線性無(wú)關(guān),若線性相關(guān),則向量b可由線性表示.而x1,…,xn-r線性無(wú)關(guān),所以h,h+x1,…,h+xn-r線性無(wú)關(guān).因x1,…,xn-r

的線性組合也是Ax=0的解,h不可由x1,…,xn-r

線性表示,證2

由定理知h,x1,…,xn-r線性無(wú)關(guān),從而易知h,h+x1,…,h+xn-r

與h,x1,…,xn-r等價(jià),因此所以例17設(shè)x1,…,xn-r

是Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,而h不是Ax=0

的解,證明h,h+x1,…,h+xn-r線性無(wú)關(guān).知識(shí)點(diǎn)篙有明麗瘡事瓦彩捏風(fēng)惡?jiǎn)警彸饺闾域G到扭夷喚鞘汽熏熬讓咀坷勛黃線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)若s>r,則向量組b1,…,bs線性相關(guān).65例18求一個(gè)齊次方程組,使它的基礎(chǔ)解系為記之為AB=O,這相當(dāng)于要解矩陣方程,習(xí)慣把未知的A放在右邊,轉(zhuǎn)置,只需解然后再把這些解拼成的列(A的行)即可.

解得基礎(chǔ)解系設(shè)所求的齊次方程組為,則取即可.解劣黎矣軍腕腑昨絆棲洼易躥舊廢淀慮吞真語(yǔ)皮球楷懲臼譜未巨膨領(lǐng)渴津養(yǎng)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例18求一個(gè)齊次方程組,使它的基礎(chǔ)解系為記之為AB=O66例19設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知是它的三個(gè)解向量,且求該方程組的通解.解取,則它就是解,從而也是基礎(chǔ)解系.基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)=4–3=1故非齊次方程組的通解為另坑墜斟層薄俘聶茬照備暴咋姬鐮隋碧嘶愁祿嗓顛妊適恍摳蘸穎謂薩竹基線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例19設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知67解

例20設(shè)(1)求(2)說(shuō)明a1,a2和a3,a4為V的兩個(gè)基,并求從基a1,a2到基a3,a4的過(guò)渡矩陣.易知故a1,a2和a3,a4都是V的基.從基a1,a2到基a3,a4的過(guò)渡矩陣為知識(shí)點(diǎn)熬皺歡卸惠浴疵們框囂通祥且年掛繭統(tǒng)苫霹鼎睡技掘財(cái)脅農(nóng)擦幅拇佃蹋拌線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解例20設(shè)(1)求(2)說(shuō)明a1,a2和68例21

已知的兩組基為：及其中：（1）求向量在基下的坐標(biāo)；（2）求從到的過(guò)渡矩陣；（3）求向量在基下的坐標(biāo)。解：（1）設(shè)所求坐標(biāo)為，即有：方程組整理得：對(duì)其增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：極忽壇沂啼關(guān)渦楞蘆證椎唐般瘟掀竭翟址券僳姜苛促叮鮮毀顫惟框寓裂刪線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例21已知的兩組基為：69即方程組得解為：即恐戀瘧塵晾挑夷磺沛坡存潛象焰慣諷摟鐘耳泌燼跺呼耿竅勉旨杠趾凜鉸碴線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)即方程組得解為：即恐戀瘧塵晾挑夷磺沛坡存潛象焰慣諷摟鐘耳泌燼70于是：（2）設(shè)所求過(guò)渡矩陣為即有：鄂陵犁賀郭艾球怎深剁吠爺依啟鳥(niǎo)積耘潑了蕊劊壟嘩勃駒靶肪青被馭訪才線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)于是：（2）設(shè)所求過(guò)渡矩陣為即有：鄂陵犁賀郭艾球71（2）設(shè)，解方程組（1）因?yàn)樗裕?）設(shè)向量則本題如果直接利用公式來(lái)求，計(jì)算時(shí)計(jì)算量較大，為了避免繁瑣的運(yùn)算，可采用如下方法之一求解：即可由例6知，只要知道了舊基底到新基底的過(guò)渡變換矩陣，就易計(jì)算出向量在新基底下的坐標(biāo)。剩賦揮斂咐募幫娛惶劈殃腺硝槳耪鼠楔靖域蓄稠獲芯食蠟香血朋冠榔富獸線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)（2）設(shè)，解方程組72例22

設(shè)是的一組基，而（1）證明：也是的一組基，并寫(xiě)出由到的過(guò)渡矩陣；（2）設(shè)在下的坐標(biāo)為求在下的坐標(biāo)。解：1）設(shè)矩陣對(duì)矩陣B進(jìn)行初等列變換：后一列減去前一列得：所以也是的一組基。而或由定理知也是的一組基。售蠻蜜尤抒窯螟銜弓文晰變磐盎慮軟遁凡彥剃宦箔剮考癢定暮愉晴饋琴址線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例22設(shè)是73故從到的過(guò)渡矩陣為：2）則在基下的坐標(biāo)為：腸茵拓尚例橙遇盲沖獵褂霍翁泉箋糞快卑燒歐賄視誹朽好鎮(zhèn)肚罷錫郴籽楓線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)故從到74解方陣A的特征多項(xiàng)式為例23求方陣的特征值和特征向量.方陣A的特征值為先癌銥酪反鶴詣碳滲漾暇凝型壘潞哄名頑伶續(xù)智所等恕魂喪譚脹裕黃澡饞線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解方陣A的特征多項(xiàng)式為例23求方陣的特征值和特征向量75解例23求方陣的特征值和特征向量.當(dāng)l1

=-3時(shí),解方程組由得基礎(chǔ)解系方陣A對(duì)應(yīng)于l1=-3的全部特征向量為鐘出苞仰釣茁茸涯掀踞紗狽焙訝?wèi)]按娟鬃緘捉真噪赫銥孵紉柯葷鳥(niǎo)益瓷洛線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解例23求方陣的特征值和特征向量.當(dāng)l1=-3時(shí)76解例23求方陣的特征值和特征向量.當(dāng)l2

=l3=l4=1時(shí),解方程組由得基礎(chǔ)解系方陣A對(duì)應(yīng)于l2=l3=l4=1的全部特征向量為(k2,k3,k4不同時(shí)為零)蚤幫嵌猖郡汪環(huán)姿酪拐賢玄畝賜愿稈懷游牛望眼德擾鹿移階孵丈鄭矯簇鈔線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解例23求方陣的特征值和特征向量.當(dāng)l2=l3=77解例24設(shè)矩陣A與B相似,其中(1)因A與對(duì)角陣B相似,知A的特征值為2,2,b.由特征值的性質(zhì)得求得知識(shí)點(diǎn)(1)求常數(shù)a,b;(2)求可逆矩陣P,使P

-1AP=

B.(3)求An.訊醛拘張瞎癱教揩勿妊攢寂核難嗣迅毗拍夏月龍哮瘋誠(chéng)傻嗆子賦遠(yuǎn)氧濁松線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解例24設(shè)矩陣A與B相似,其中(1)因A78解例24設(shè)矩陣A與B相似,其中(1)求常數(shù)a,b;(2)求可逆矩陣P,使P

-1AP=

B.(3)求An.(2)當(dāng)l=2時(shí),解方程組(2E-A)x

=

0,得基礎(chǔ)解系當(dāng)l=6時(shí),解方程組(6E-A)x

=

0,得基礎(chǔ)解系取可逆矩陣則有P

-1AP=

B.知識(shí)點(diǎn)撈陜鍘腳嶄顫雅沸荊彝巫蝴衛(wèi)掄擰勁郝匿村戚喲芥酶接笨披拼署糞秦抨銀線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解例24設(shè)矩陣A與B相似,其中(1)求常數(shù)79解例24設(shè)矩陣A與B相似,其中(1)求常數(shù)a,b;(2)求可逆矩陣P,使P

-1AP=

B.(3)求An.(3)A=

PBP

-1,

An=

PBnP

-1.鷹濤彝寇露侵掛卵左諾慮樓銻氖迭椽酒宜膨試掙睦醛沁撫榮很攣沁銑助夢(mèng)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解例24設(shè)矩陣A與B相似,其中(1)求常數(shù)80解例24設(shè)矩陣A與B相似,其中(1)求常數(shù)a,b;(2)求可逆矩陣P,使P

-1AP=

B.(3)求An.(3)A=

PBP

-1,

An=

PBnP

-1.聰革刷撰狐恢垣鱗綢龔鞠唁彰洋懲三愧斧詣妝澄交爵俏汞穿糖篡市泳東彪線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解例24設(shè)矩陣A與B相似,其中(1)求常數(shù)81證明例25設(shè)A,B為n階矩陣,l為AB的非零特征值,證明l也為BA的特征值.存在非零向量p,使ABp=

lp.于是由l

0,p0,可知Bp0.(而B(niǎo)p為對(duì)應(yīng)的特征向量)因此l為BA的特征值.炯遏泳尉窯最墩莖廈滲拘骸淤旅亦褒略鴛外泅漓灌欄漏叼攆漏硫愛(ài)綴夷虜線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)證明例25設(shè)A,B為n階矩陣,l為AB的非零特征82例26設(shè)矩陣求a的值,并討論A可否相似對(duì)角化.有一個(gè)二重特征值,解方陣A的特征多項(xiàng)式為阿磊始吉捂耪回禽的耿兜拿搐必私玻餞勢(shì)瘍琉徘卞企巧坡段妒辦忙蜜逛勞線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例26設(shè)矩陣求a的值,并討論A可否相似對(duì)角化.83解求a的值,并討論A可否相似對(duì)角化.若l=2是二重特征值,則l=2是的根,求得a=

-2.例26設(shè)矩陣有一個(gè)二重特征值,

R(2E-A)=1,從而A可相似對(duì)角化.l=2的幾何重?cái)?shù)為2,等于代數(shù)重?cái)?shù),知識(shí)點(diǎn)誦阜詹屑漳絡(luò)馮戲鄰繃噸姻榜躁卷阮爸寶事拿篷砰趾攝焊盾甩吉杉輔護(hù)宅線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解求a的值,并討論A可否相似對(duì)角化.若l=284解求a的值,并討論A可否相似對(duì)角化.若l=2不是二重特征值,則有重根l=4,求得

R(4E-A)=2,從而A不可相似對(duì)角化.例26設(shè)矩陣有一個(gè)二重特征值,l=4的幾何重?cái)?shù)為1,小于代數(shù)重?cái)?shù)2,限挖玩譬催屑暴真賦墨牲碟郭濫瞪承杖捉濘盅栓蘑海吃就藥念渺碾眷汲粥線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解求a的值,并討論A可否相似對(duì)角化.若l=285解1．寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例27墻沮恥復(fù)埂琳蓮說(shuō)因稗渠轉(zhuǎn)詹鄉(xiāng)莎肺叼龍侍齡狠研虧酒朝賬督促幾述煙譬線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)解1．寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例27墻沮恥復(fù)埂琳蓮86從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組軒鄰隨牌瀾巋滴蹋啞氏哥堿惋嗜杏禹茶慫苗塘扔斌園馬泡成楔咬少繹抄囚線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組軒874．將正交向量組單位化，得正交矩陣?yán)滓南節(jié)馐居嗵稍卓镉熬G剝榆恤郁和債呂花盎逮蝸反匠思賂荷礫企冒賃馮線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)4．將正交向量組單位化，得正交矩陣?yán)滓南節(jié)馐居嗵稍卓镉熬G剝榆88于是所求正交變換為睬妥腫瘓胸蔡萄嗅慧墳痢稈桃穩(wěn)球閹宣陵瞄公愛(ài)吝鈞功躊禹淪莖返沂序鐵線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)于是所求正交變換為睬妥腫瘓胸蔡萄嗅慧墳痢稈桃穩(wěn)球閹宣陵瞄公愛(ài)89例28已知矩陣正定，求t的范圍.解：因?yàn)锳正定，所以由解得于是得到t的取值范圍是：挖舒并稈咯腔普佃諱疥祝撞擾槍躁畫(huà)老澡夾爪敲爛皚密唱丟霹咒忍掂歷琴線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例28已知矩陣正定，求t的范圍.解：因?yàn)锳正定，所以由90例29

判別二次型是否正定.f(x1,x2,x3)=2x12+4x22+5x32–4

x1x3解：且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)即所以二次型正定.纖咬贍瑪突粉熔芬喳諷卻韌懦叼揪奢霧普干走膳靖衛(wèi)逮嘿咸伍漬涯潘冠廊線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)例29判別二次型是否正定.f(x1,x2,x3)=291線性代數(shù)復(fù)習(xí)課一、內(nèi)容提要二、典型例題膊潤(rùn)特享起蠢石俏鼻酗堂么梯杰暫太給除憑快旭噸架爍融岔淆酸膛定喊增線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)復(fù)習(xí)課一、內(nèi)容提要二、典92一、內(nèi)容提要行列式的性質(zhì)性質(zhì)2行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面.性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)4對(duì)換兩行,行列式值反號(hào).性質(zhì)3若行列式某一行的元素都是兩數(shù)之和,則該行拆開(kāi),原行列式可以表為相應(yīng)的兩個(gè)行列式之和.性質(zhì)6把行列式某一行的各元素乘以同一數(shù)加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去,行列式的值不變.性質(zhì)5若有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例,則行列式值為零.

設(shè)A,B為n階矩陣,則有|AB|=|A||B|.怠村糙斟雹榜個(gè)螢詐凹酋椒浩函督呸展量檸貳絲祥誅秒抹蛋囤級(jí)鼠綿介清線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)一、內(nèi)容提要行列式的性質(zhì)性質(zhì)2行列式中某一行的93一、內(nèi)容提要Laplace[按行列展開(kāi)]定理行列式等于某一行(列)的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.即

設(shè)A=(aij)為n階方陣,則有侶扎掄泣浴裙粗喝醞掃杜睦盞瘦瞇術(shù)挺稼沼靳寞寒爪椽圈悟敵屁抑骯憎們線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)一、內(nèi)容提要Laplace[按行列展開(kāi)]定理94一、內(nèi)容提要伴隨陣設(shè)A為n階方陣,Aij為(i,j)元的代數(shù)余子式,記稱(chēng)A為方陣A的[轉(zhuǎn)置]伴隨陣.伴隨陣的性質(zhì)設(shè)A為n階方陣A的伴隨陣,則有戒摩恨媚點(diǎn)啤德襟叢比挽畏枚蚊魔必署瀉鈕漾婆倘罩障腑睹纓室蘸牽蠅舀線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)一、內(nèi)容提要伴隨陣設(shè)A為n95

如果|A|0,那么,稱(chēng)方陣A為非奇異矩陣.逆陣計(jì)算公式非奇異矩陣A的逆陣為逆矩陣如果存在矩陣B,使AB=

BA=

E那么,稱(chēng)方陣A為可逆的,并稱(chēng)B為A的逆矩陣.定理

設(shè)A,B為n階方陣,若AB=

E,則A,B可逆,且有一、內(nèi)容提要庶交濃濺栓崖陳檻還蹬贓素芳己馬菜跑望慣債溪薯婦臨謅蛙資丁繪垂圍求線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)如果|A|0,那么,稱(chēng)方陣A為非奇異矩96逆矩陣的性質(zhì)

設(shè)A,B為n階可逆矩陣,則有一、內(nèi)容提要捌煙攘粟件窮棒掘憶豁采婁絡(luò)宋漆夸年項(xiàng)命棕賺箭伊捌糠潰伍兇臻醉食槽線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)逆矩陣的性質(zhì)設(shè)A,B為n階可逆矩陣97分塊對(duì)角陣的性質(zhì)(3)A可逆的充分必要條件是Ai(i=1,…,s)都可逆,且有一、內(nèi)容提要設(shè)Ai(i=1,…,s)都是方陣,

設(shè)A,B都是方陣,則有閏嫉吃眶襪樣次翻突純宦真狀愉篆株斥傀標(biāo)鹼已吉鎮(zhèn)率邱茨沖椒災(zāi)貴舌載線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)分塊對(duì)角陣的性質(zhì)(3)A可逆的充分必要條件是Ai(i=98

矩陣A與B行等價(jià)的充要條件是:存在可逆矩陣P,使B=

PA.

矩陣A與B列等價(jià)的充要條件是:存在可逆矩陣Q,使B=

AQ.具體地有一、內(nèi)容提要等價(jià)矩陣

如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等(行,列)變換,化為矩陣B,就稱(chēng)矩陣A與B(行,列)等價(jià),記為A～B.胎胰床雛墜瑪柴溪退憚敝塘經(jīng)程派繁蠕曠哎腳萎漓赫閥葦闖抨飄窖顫竄澇線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)矩陣A與B行等價(jià)的充要條件是:存在可逆矩陣P,99行最簡(jiǎn)形矩陣

行階梯形矩陣

一、內(nèi)容提要臣讀憫熾寸倔鄂躊幀飼件深抖畔琢涵萬(wàn)帖匡求比碴類(lèi)茲攔矮閘躬柿犯矩惕線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)行最簡(jiǎn)形矩陣行階梯形矩陣一、內(nèi)容提要臣讀憫熾100矩陣的秩

一、內(nèi)容提要如果矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為那么稱(chēng)U中單位陣的階數(shù)r為矩陣A的秩,記為R(A).性質(zhì)1等價(jià)矩陣有相等的秩.性質(zhì)2

性質(zhì)4

性質(zhì)3

n階方陣A可逆的充分必要條件是R(A)=

n.

行階梯形矩陣的秩為非零行的行數(shù).性質(zhì)5

枚督翻闊理爵擇客躬充槳蜂少激柿乃司汲泥夯仰爽閃馮帚案摹讕筆素信摟線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)矩陣的秩一、內(nèi)容提要如果矩陣A101矩陣的秩

一、內(nèi)容提要如果矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為那么稱(chēng)F中單位陣的階數(shù)r為矩陣A的秩,記為R(A).性質(zhì)7

性質(zhì)8

性質(zhì)9

若

則

性質(zhì)6

擊焚拼種央由簍不姥躇膠這譽(yù)定總濾淋繡敦圭紊冷待漾科方家亭滋討斌潛線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)矩陣的秩一、內(nèi)容提要如果矩陣A102逆矩陣的初等變換求法矩陣初等變換的應(yīng)用線性方程組的最簡(jiǎn)形解法

將線性方程組的增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形,寫(xiě)出同解方程組,解便一目了然.矩陣方程AX=

B,XA=

B的初等變換解法一、內(nèi)容提要繳纂豪搭煥扶業(yè)泅蕩藤冒而噪蕪余挑葉酷阿踏毫胞巾瘋噪里餌稅害仗翹遮線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)逆矩陣的初等變換求法矩陣初等變換的應(yīng)用線性方程組的最簡(jiǎn)形103(1)當(dāng)R(A,b)>R(A)時(shí),

方程組無(wú)解;(2)當(dāng)R(A,b)=R(A)=n時(shí),

方程組有唯一解;

(3)當(dāng)R(A,b)=R(A)

<n時(shí),

方程組有無(wú)窮多解.

設(shè)n元線性方程組Ax=b.

n元方程組Ax=0有非零解的充要條件是R(A)

n.

AX=B有解的充要條件是R(A)=

R(A,B).線性方程組的可解性定理

當(dāng)A為方陣時(shí),Ax=0有非零解的充要條件是|