第一節(jié)-二重積分的概念與性質(zhì)課件

為解決非均勻分布在區(qū)間上的量的求和問題導(dǎo)致了定積分的研究，其被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是直線上的區(qū)間．要解決非均勻分布在平面、空間立體上的量的求和問題，就導(dǎo)致了多元函數(shù)的積分概念，根據(jù)被積函數(shù)和積分范圍的不同分為二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分．本章將介紹二重積分和三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法和它們的一些應(yīng)用．

重積分為解決非均勻分布在區(qū)間上的量的求和問題導(dǎo)致了定積第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)

一、問題的提出二、二重積分的概念三、二重積分的性質(zhì)四、小結(jié)思考題第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)一、問題的提出二、二重積分復(fù)習(xí)和總結(jié)（1）定積分是用來(lái)解決哪一類問題？（2）解決這一類問題采用了什么思想方法？定積分答：求非均勻分布在區(qū)間上的量的求和問題

被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是直線上的區(qū)間答：“分割,取近似,求和,取極限”

復(fù)習(xí)和總結(jié)（1）定積分是用來(lái)解決哪一類問題？（2）解決這一類現(xiàn)要求解非均勻分布在平面、空間立體上的量的求和問題推廣所計(jì)算的量與多元函數(shù)及平面或空間區(qū)域有關(guān)被積函數(shù)積分范圍二元函數(shù)平面區(qū)域二重積分三元函數(shù)空間區(qū)域三重積分一段曲線曲線積分一片曲面曲面積分問題:積分類型現(xiàn)要求解非均勻分布在平面、空間立體上的量的求和問題推廣所計(jì)算引例1．求平面薄片的質(zhì)量分析=常數(shù)時(shí)，質(zhì)量=·，其中為面積.若為非常數(shù),仍可用“分割,取近似,求和,取極限”解決.引例1．求平面薄片的質(zhì)量分析=常數(shù)時(shí)，質(zhì)量=·，若解決步驟⑴分割：將薄片分割成若干小塊，⑵近似：取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，⑶求和：所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量⑷取極限：得薄片總質(zhì)量解決步驟⑴分割：將薄片分割成若干小塊，⑵近似：取典型小塊，將柱體體積=底面積×高【特點(diǎn)】平頂.柱體體積=？【特點(diǎn)】曲頂.曲頂柱體1．曲頂柱體的體積引例2：曲頂柱體的體積柱體體積=底面積×高【特點(diǎn)】平頂.柱體體積=？【特點(diǎn)】曲頂.類似定積分解決問題的思想:給定曲頂柱體:底：xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“分割,取近似,求和,取極限”解法類似定積分解決問題的思想:給定曲頂柱體:底：xoy面上的閉步驟如下②取近似、③求和：用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，①分割：先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，得曲頂柱體的體積④取極限：步驟如下②取近似、③求和：用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“分割,取近似,求和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)二、二重積分的定義及可積性1.定義將區(qū)域D

任意分成n

個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù),二、二重積分的定義及可積性1.定義將區(qū)域D任意分成n

2.對(duì)二重積分定義的說(shuō)明(3)f(x,y)在D上有界是二重積分存在的必要條件.代替？不能連續(xù)是二重積分存在的充分條件用(1)積分存在時(shí)，其值與區(qū)域的分法和點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)2.對(duì)二重積分定義的說(shuō)明(3)f(x,y)3.【二重積分的幾何意義】4.【物理意義】表曲頂柱體的體積.1)若表曲頂柱體體積的負(fù)值.2)若3)若表區(qū)域D的面積.體積的代數(shù)和3.【二重積分的幾何意義】4.【物理意義】表曲頂柱體的體積.[注]1.重積分與定積分的區(qū)別：

重積分中d0,定積分中dx可正可負(fù).2.根據(jù)分割的任意性，當(dāng)二重積分存在時(shí)，在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D故二重積分可寫為D則直角坐標(biāo)系下面積元素為即引例2曲頂柱體體積:引例1平面薄板質(zhì)量:[注]1.重積分與定積分的區(qū)別：重積分中d0,定性質(zhì)1性質(zhì)2（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)逐項(xiàng)積分線性性質(zhì)可以推廣至有限個(gè)函數(shù)的情形。線性性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性性質(zhì)3對(duì)區(qū)域具有可加性性質(zhì)4若為D的面積，性質(zhì)5若在D上特殊地則有比較性質(zhì)性質(zhì)3對(duì)區(qū)域具有可加性性質(zhì)4若為D的面積，性質(zhì)5若性質(zhì)6性質(zhì)7二重積分中值定理二重積分估值不等式曲頂柱體的體積等于一個(gè)平頂柱體的體積幾何意義性質(zhì)6性質(zhì)7二重積分中值定理二重積分估值不等式曲頂柱體的體積8.二重積分的對(duì)稱性定理

在利用對(duì)稱性計(jì)算重積分時(shí)，不僅積分區(qū)域要對(duì)稱，而且被積函數(shù)也要對(duì)稱（即對(duì)x或y是奇或偶函數(shù)，二者缺一不可。8.二重積分的對(duì)稱性定理在利用對(duì)稱性計(jì)算重積分時(shí)，不第一節(jié)-二重積分的概念與性質(zhì)課件第一節(jié)-二重積分的概念與性質(zhì)課件例題8.1比較下列積分的大小:其中積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而區(qū)域D位從而于直線的上方,故在D上例1解例題8.1比較下列積分的大小:其中積分域D的邊界為圓周它與例8.2解由于被積函數(shù)所以在D上的最大值M和最小值m分別為又由于區(qū)域D的面積為2，故知例8.2解由于被積函數(shù)所以在D上的最例8.3解注意到積分區(qū)域D關(guān)于x軸和y軸具有輪換對(duì)稱性，于是例8.3解注意到積分區(qū)域D關(guān)于x軸和y軸具有輪換對(duì)稱性，于是解例4解例4二重積分的定義二重積分的性質(zhì)（8條）二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（積分和式的極限）

四、小結(jié)二重積分的物理意義（平面薄片的質(zhì)量）[二重積分的比較大小]1.若區(qū)域D相同，則比較被積函數(shù)的大?。?.若被積函數(shù)相同，則比較區(qū)域D的大小.二重積分的定義二重積分的性質(zhì)（8條）二重積分的幾何意義（曲頂

為解決非均勻分布在區(qū)間上的量的求和問題導(dǎo)致了定積分的研究，其被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是直線上的區(qū)間．要解決非均勻分布在平面、空間立體上的量的求和問題，就導(dǎo)致了多元函數(shù)的積分概念，根據(jù)被積函數(shù)和積分范圍的不同分為二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分．本章將介紹二重積分和三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法和它們的一些應(yīng)用．

重積分為解決非均勻分布在區(qū)間上的量的求和問題導(dǎo)致了定積第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)

一、問題的提出二、二重積分的概念三、二重積分的性質(zhì)四、小結(jié)思考題第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)一、問題的提出二、二重積分復(fù)習(xí)和總結(jié)（1）定積分是用來(lái)解決哪一類問題？（2）解決這一類問題采用了什么思想方法？定積分答：求非均勻分布在區(qū)間上的量的求和問題

被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是直線上的區(qū)間答：“分割,取近似,求和,取極限”

復(fù)習(xí)和總結(jié)（1）定積分是用來(lái)解決哪一類問題？（2）解決這一類現(xiàn)要求解非均勻分布在平面、空間立體上的量的求和問題推廣所計(jì)算的量與多元函數(shù)及平面或空間區(qū)域有關(guān)被積函數(shù)積分范圍二元函數(shù)平面區(qū)域二重積分三元函數(shù)空間區(qū)域三重積分一段曲線曲線積分一片曲面曲面積分問題:積分類型現(xiàn)要求解非均勻分布在平面、空間立體上的量的求和問題推廣所計(jì)算引例1．求平面薄片的質(zhì)量分析=常數(shù)時(shí)，質(zhì)量=·，其中為面積.若為非常數(shù),仍可用“分割,取近似,求和,取極限”解決.引例1．求平面薄片的質(zhì)量分析=常數(shù)時(shí)，質(zhì)量=·，若解決步驟⑴分割：將薄片分割成若干小塊，⑵近似：取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，⑶求和：所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量⑷取極限：得薄片總質(zhì)量解決步驟⑴分割：將薄片分割成若干小塊，⑵近似：取典型小塊，將柱體體積=底面積×高【特點(diǎn)】平頂.柱體體積=？【特點(diǎn)】曲頂.曲頂柱體1．曲頂柱體的體積引例2：曲頂柱體的體積柱體體積=底面積×高【特點(diǎn)】平頂.柱體體積=？【特點(diǎn)】曲頂.類似定積分解決問題的思想:給定曲頂柱體:底：xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“分割,取近似,求和,取極限”解法類似定積分解決問題的思想:給定曲頂柱體:底：xoy面上的閉步驟如下②取近似、③求和：用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，①分割：先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，得曲頂柱體的體積④取極限：步驟如下②取近似、③求和：用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“分割,取近似,求和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)二、二重積分的定義及可積性1.定義將區(qū)域D

任意分成n

個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù),二、二重積分的定義及可積性1.定義將區(qū)域D任意分成n

2.對(duì)二重積分定義的說(shuō)明(3)f(x,y)在D上有界是二重積分存在的必要條件.代替？不能連續(xù)是二重積分存在的充分條件用(1)積分存在時(shí)，其值與區(qū)域的分法和點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)2.對(duì)二重積分定義的說(shuō)明(3)f(x,y)3.【二重積分的幾何意義】4.【物理意義】表曲頂柱體的體積.1)若表曲頂柱體體積的負(fù)值.2)若3)若表區(qū)域D的面積.體積的代數(shù)和3.【二重積分的幾何意義】4.【物理意義】表曲頂柱體的體積.[注]1.重積分與定積分的區(qū)別：

重積分中d0,定積分中dx可正可負(fù).2.根據(jù)分割的任意性，當(dāng)二重積分存在時(shí)，在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D故二重積分可寫為D則直角坐標(biāo)系下面積元素為即引例2曲頂柱體體積:引例1平面薄板質(zhì)量:[注]1.重積分與定積分的區(qū)別：重積分中d0,定性質(zhì)1性質(zhì)2（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)逐項(xiàng)積分線性性質(zhì)可以推廣至有限個(gè)函數(shù)的情形。線性性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性性質(zhì)3對(duì)區(qū)域具有可加性性質(zhì)4若為D的面積，性質(zhì)5若在D上特殊地則有比較性質(zhì)性質(zhì)3對(duì)區(qū)域具有可加性性質(zhì)4若為D的面積，性質(zhì)5若性質(zhì)6性質(zhì)7二重積分中值定理二重積分估值不等式曲頂柱體的體積等于一個(gè)平頂柱體的體積幾何意義性質(zhì)6性質(zhì)7二重積分中值定理二重積分估值不等式曲頂柱體的體積8.二重積分的對(duì)稱性定理

在利用對(duì)稱性計(jì)算重積分時(shí)，不僅積分區(qū)域要對(duì)稱，而且被積函數(shù)也要對(duì)稱（即對(duì)x或y是奇或偶函數(shù)，二者缺一不可。8.二重積分的對(duì)稱性定理在利用對(duì)稱性計(jì)算重積分時(shí)，不第一節(jié)-二重積分的概念與性質(zhì)課件第一節(jié)-二重積分的概念與性質(zhì)課件例題8.1比較下列積分的大小:其中積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而區(qū)域D位從而于直線的上方,故在D上例1解例題8.1比較下列積分的大小:其中積分域D的邊界為圓周它與例8.2解由于被積函數(shù)所以在D上的最大值M和最小值m分別為又由于區(qū)域D的面積為2，