2022-2023學(xué)年浙江七年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)重難題型全歸納及技巧提升專項(xiàng)（浙教版）專題01絕對(duì)值壓軸題（最值與化簡）專項(xiàng)講練(含詳解)

專題01絕對(duì)值壓軸題（最值與化簡）專項(xiàng)講練專題1.最值問題最值問題一直都是初中數(shù)學(xué)中的最難點(diǎn)，但也是高分的必須突破點(diǎn)，需要牢記絕對(duì)值中的最值情況規(guī)律,解題時(shí)能達(dá)到事半功倍的效果。題型1.兩個(gè)絕對(duì)值的和的最值【解題技巧】,一4+,一身目的是在數(shù)軸上找一點(diǎn)x,使x到。和6的距離和的最小值：分類情況（X的取值范圍）圖示卜_4+卜_.取值情況當(dāng)x<a時(shí)k—— >卜24x a \?—>3無法確定當(dāng)〃時(shí)卜_4+,_4的值為定值，即為ka a b當(dāng)1Q6 ——J1 b ;—>無法確定結(jié)論：式子卜一。|+,-耳在aWxWb時(shí)，取得最小值為|。一4。例1.（2021?珠海市初三二模）閱讀下面材料：數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物.有了數(shù)軸以后，可以用數(shù)軸上的點(diǎn)直觀地表示實(shí)數(shù)，這樣就建立起了“數(shù)”與"形”之間的聯(lián)系.在數(shù)軸上，若點(diǎn)A，B分別表示數(shù)。，b,則A，8兩點(diǎn)之間的距離為反之，可以理解式子上—3|的幾何意義是數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)x與實(shí)數(shù)3兩點(diǎn)之間的距離.則當(dāng)卜+2|+歸一5|有最小值時(shí)，x的取值范圍是（ ）A.x<-2或x>5B.xW-2或x25C.-2<x<5 D.-2<x<5變式1.（2022?江蘇蘇州?七年級(jí)階段練習(xí)）同學(xué)們都知道，|5一（-2）|表示5與一2之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為5與一2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離.試探索：（1）求|5一（-2）|=.（2）找出所有符合條件的整數(shù)X,使得卜+5|+,一2|=7這樣的負(fù)整數(shù)是.（3）由以上探索猜想對(duì)于任何有理數(shù)x,以一3|+|'一6|是否有最小值？如果有寫出最小值，如果沒有說明理由.例2.（2022?河南?鄭州外國語中學(xué)七年級(jí)期末）數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立

起對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合'’的基礎(chǔ).例如：從“形”的角度看：|3-1|可以理解為數(shù)軸上表示3和1的兩點(diǎn)之間的距離：|3+1|可以理解為數(shù)軸上表示3與-1的兩點(diǎn)之間的距離.從“數(shù)”的角度看：數(shù)軸上表示4和-3的兩點(diǎn)之間的距離可用代數(shù)式表示為：4-（-3）根據(jù)以上閱讀材料探索下列問題:（1）數(shù)軸上表示3和9的兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上表示2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是；（直接寫出最終結(jié)果）（2）①若數(shù)軸上表示的數(shù)x和-2的兩點(diǎn)之間的距離是4,則x的值為；②若x為數(shù)軸上某動(dòng)點(diǎn)表示的數(shù)，則式子Ix+l|+lx-3|的最小值為.變式2.（2022?思明區(qū)校級(jí)期末）同學(xué)們都知道|5-（-2）|表示5與（-2）之差的絕對(duì)值，也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離，試探索：（1）求|5-（-2）|=.（2）找出所有符合條件的整數(shù)x,使得|x+5|+|x-2|=7成立的整數(shù)是.（3）由以上探索猜想，對(duì)于任何有理數(shù)x,U-31+lx-6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由.題型2.兩個(gè)絕對(duì)值的差的最值【解題技巧】,一耳一,一耳目的是在數(shù)軸上找一點(diǎn)為使x到。和人的距離差的最大值和最小值:分類情況（X的取值范圍） 圖示取值情況分類情況（X的取值范圍） 圖示取值情況,一小一年一闿的值為定值，即為一_卜_目的值為定值，即為結(jié)論：式子,一。|一卜一4在時(shí)，取得最小值為一,一小在xNb時(shí)，取得最大值,一同例1.（2022?浙江?溫州七年級(jí)開學(xué)考試）代數(shù)式|x-1|-以+2|的最大值為m最小值為從下列說法正確的是（）A.。=3,b=0B.。=0,b=-3C.。=3,b=-3D.。=3,b不存在變式1.（2022?上海七年級(jí)期中）代數(shù)式|x-l|-|x+2|,當(dāng)xv-2時(shí)，可化簡為：若代數(shù)式的最大值為a與最小值為b,則必的值 .例2.（2022?湖北十堰?七年級(jí)期中）設(shè)-1小3,則|x-3|-g|x|+k+2|的最大值與最小值之和為一變式2.（2022?湖北武漢?七年級(jí)期中）我們知道，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，一般地，點(diǎn)A,B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a,b,那么A,B之間的距離可表示為|a-b|,請(qǐng)根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問題：（1）數(shù)軸上的數(shù)x與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為一，數(shù)x與-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為—：（2）求|x+l|-|x-l|的最大值；（3）直接寫出|x+l|+|x+2|+|x+3|+|x+4|-|x-l|-|x-2|-|x-3|-|x-4|的最大值為 .題型3.多個(gè)絕對(duì)值的和的最值【解題技巧】最小值規(guī)律：①當(dāng)有兩個(gè)絕對(duì)值相加：若已知。<〃，,一,+卜一身的最小值為h-a,且數(shù)x的點(diǎn)在數(shù)a,Z?的點(diǎn)的中間；②當(dāng)有三個(gè)絕對(duì)值相加：若已知a<b<c,上一《+上一4+|x-c|的最小值為c-a,且數(shù)x的點(diǎn)與數(shù)Z?的點(diǎn)重合；③當(dāng)有2〃+1（奇數(shù)）個(gè)絕對(duì)值相加：|x-Oj|+|x—aj+ +|x—々J+|x—6/2n+||’且4<%< <a2n<。2?+1'則x取中間數(shù)，即當(dāng)X=?！?]時(shí)，|x—⑷+,一出|+ +|x—+|x—%”+J取得最小值為（。2"+|-。|）+（。2"一%）+ + （4+2-4,）+°；④當(dāng)有2”（偶數(shù)）個(gè)絕對(duì)值相加：|x-al|+|x-a2|+ +|x-a2/I_1|+|x-a2n|,且q</< < a2n-\<%”，則x取中間段，即當(dāng)a“Wx4a“+]時(shí),|x—+|x—+ +|x—/“J+|x—a>,J取得最小值為（a2?-fll）+（fl2n-l~a2）+ + （。"-2-fln-l）+（fln+l-an）?例1.（2022.天津初一月考）若x是有理數(shù)，則卜一2|+忖一4|+上一6|+上一8|+...+卜一2018|的最小值是變式1.（2022?武侯區(qū)校級(jí)月考）lx-l|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2014|的最小值為,此時(shí)x的取值為.例2.（2022?北京市第四十四中學(xué)七年級(jí)期中）閱讀下面一段文字：在數(shù)軸上點(diǎn)A,8分別表示數(shù)a,b.A,B兩點(diǎn)間的距離可以用符號(hào)表示，利用有理數(shù)減法和絕對(duì)值可以計(jì)算A,8兩點(diǎn)之間的距離忸口.ABCD 「 A例如：當(dāng)a=2,6=5時(shí)，|AB|=5-2=3；當(dāng)abc0da=2,b=-5時(shí)，|明=卜5-2]=7：當(dāng)a=-2,6=—5時(shí)，=|-5-（-2）|=3,綜合上述過程，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A、B之間的距離（也可以表示為,-可）.請(qǐng)你根據(jù)上述材料，探究回答下列問題：（1）表示數(shù)。和一2的兩點(diǎn)間距離是6,則。=；（2）如果數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于-4和3之間，則|a+4|+|a-3|=（3）代數(shù)式|a-l|+|a-2|+|a-3|的最小值是.（4）如圖，若點(diǎn)A,B,C,。在數(shù)軸上表示的有理數(shù)分別為a,b,c,d,則式子|a-x|+|x+b|+|x-c|+|x+d|的最小值為（用含有a,b,c,d的式子表示結(jié)果）變式2.（2022?龍泉驛區(qū)期中）我們知道，在數(shù)軸上，同表示數(shù)a到原點(diǎn)的距離.進(jìn)一步地，點(diǎn)A,B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,那么A,B兩點(diǎn)之間的距離就表示為|a-知反過來，|a-例也就表示4,B兩點(diǎn)、之間的距離.下面，我們將利用這兩種語言的互化，再輔助以圖形語言解決問題.例，若|x+5|=2,那么x為：①以+5|=2,即|x-（-5）|=2.文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到-5的距離等于2.②圖形語言：2 21y 4▼ ： 丫 I I ? _-8-7 -6-5-4 -3 -2 -1 0 ③答案：x為-7和-3.請(qǐng)你模仿上題的①②③，完成下列各題：（1）若|x+4|=lx-2|,求x的值；①文字語言：②圖形語言：③答案：（2）仇-3|-㈤=2時(shí)，求x的值：①文字語言：②圖形語言：③答案：|x-l|+|x-3|>4.求x的取值范圍：①文字語言：②圖形語言：③答案：(4)求|x-l|+|x-2|+|x-3|+k-4|+|x-5|的最小值.①文字語言：②圖形語言：③答案：課后專項(xiàng)訓(xùn)練：(2022?全國.七年級(jí)課時(shí)練習(xí))卜-4|+卜+2|的最小值為；此時(shí)x取值范圍是.(2022?全國?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))我們知道數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，例如|3-1|可表示為數(shù)軸上3和1這兩點(diǎn)的距離，而|3+1|即|3-(-1)|則表示3和-1這兩點(diǎn)的距離.式子k-1|的幾何意義是數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，而卜+2|=k-(-2)|,所以|x+2|的幾何意義就是數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與-2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，試探索：⑴直接寫出18-(-2)|=.(2)結(jié)合數(shù)軸，找出所有符合條件的整數(shù)x,|x-2|+|x+3|=5的所有整數(shù)的和.(3)由以上探索猜想，對(duì)于任何有理數(shù)x,|x+4|+|x-6|是否有最小值？如果有，請(qǐng)寫出最小值并說明理由；如果沒有，請(qǐng)說明理由.(2022?全國?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))閱讀下面的材料：點(diǎn)4、8在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、6A、8兩點(diǎn)之間的距離表示為|AB1,當(dāng)4、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖I,\AB\=\OB\=\b\=\a-b\；當(dāng)A、8兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)：O(A)BOABBAOBOA0b0abba6'''a①如圖2,圖1圖2圖3圖4點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊：IABI=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=Ia-b\；②如圖3,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊：IABI=IOB|-IOA|=II-IaI=-b-(-a)=Ia-bI；③如圖4,點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊：\AB\=\OA\+\OB\=\a\+\b\=a+(-6)=\a-b\,綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離IAB|=|a-bI.回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是；(2)數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是,如果IA3|=2,那么x為.(3)當(dāng)代數(shù)式Ix+1I+Ix-2|取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍是.(2022?全國?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))問題提出：學(xué)習(xí)了同為數(shù)軸上表示a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之后，小凡所在數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)數(shù)軸上分別表示數(shù)a和數(shù)h的兩個(gè)點(diǎn)A,B之間的距離進(jìn)行了探究：(1)利用數(shù)軸可知5與1兩點(diǎn)之間距離是；一般的，數(shù)軸上表示數(shù)，"和數(shù)〃的兩點(diǎn)之間距離為.問題探究：(2)請(qǐng)求出|x-3|+|x-5|的最小值.問題解決：(3)如圖在十四運(yùn)的場地建設(shè)中有一條直線主干道LL旁依次有3處防疫物資放置點(diǎn)A,B,C,已知48=800米，BC=1200米，現(xiàn)在設(shè)計(jì)在主干道L旁修建防疫物資配發(fā)點(diǎn)尸，問尸建在直線L上的何處時(shí)，才能使得配發(fā)點(diǎn)P到三處放置點(diǎn)路程之和最短？最短路程是多少？ ? ? ? ?A B c 5.(2021?湖北孝感?七年級(jí)期中)同學(xué)們都知道，|5-(-2)|表示5與-2之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離.試探索：(1)計(jì)算|5-(_2)|=；(2)使得lx-l|+lx+5|=6這樣的整數(shù)有(寫出所有符合條件的整數(shù))；(3)由以上探索猜想對(duì)于任何有理數(shù)x,式子|x-2|+|x+3.5|是否有最小值？如果有，請(qǐng)寫出其最小值,如果沒有，請(qǐng)說明理由.(2022?浙江杭州?七年級(jí)期末)同學(xué)們都知道，|4-(-2)|表示4與-2的差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為4與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離：問理1》-3|也可理解為x與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，試探索：(1)14-(-2)|=.(2)找出所有符合條件的整數(shù)x,使|x-4|+|x+2[=6成立，并說明理由(3)由以上探索猜想，對(duì)于任何有理數(shù)x,次-3|+次-6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由.（2022?山西?七年級(jí)階段練習(xí)）A、3兩點(diǎn)之間的距離表示為A8,點(diǎn)A、8在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)。，h,在數(shù)軸上A,8兩點(diǎn)之間的距離=A B 汗 ?請(qǐng)用上面的知識(shí)解答下列問題：a° b（1）數(shù)軸上表示2和6的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示-1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示2和-3的兩點(diǎn)之間的距離是.（2）數(shù)軸上表示x和—2的兩點(diǎn)C和O之間的距離是；如果|C4=3,那么x為.（3）求|x+l|+|x—Z的最小值.（2021?湖南邵陽?七年級(jí)期末）數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形進(jìn)行完美地結(jié)合.研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了很多重要的規(guī)律.譬如：數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為。、b,則A、8兩點(diǎn)之間的距離A8=|a-b|,線段48的中點(diǎn)表示的數(shù)為審.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-4,點(diǎn)8表示的數(shù)為2.—— ?（1）求線段AB的長和線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù).-4 0 2（2）找出所有符合條件的整數(shù)X,使得|x+l|+k-2|=3.（3）并由此探索猜想，對(duì)于任意的有理數(shù)x,僅-2|+卜+4|是否有最小值，如果有，寫出最小值：如果沒有，請(qǐng)說明理由.3（4）點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為X,且x是方程2x-1=彳》+1的解.數(shù)軸上是否存在一點(diǎn)P,使得以+PB2=PC,若存在，寫出點(diǎn)尸所對(duì)應(yīng)的數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（2022?浙江?七年級(jí)階段練習(xí)）代數(shù)式以一1|一以+6|-5的最大值是_ .（2022?湖南?長沙市怡海中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖1,點(diǎn)A,B,C是數(shù)軸上從左到右排列的三個(gè)點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為-5,b,4.某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字。對(duì)齊數(shù)軸上的點(diǎn)A,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B對(duì)齊刻度1.8cm,點(diǎn)C對(duì)齊刻度5.4cm.(1)(1)求數(shù)軸上點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)％;(2)點(diǎn)P是圖1數(shù)軸上一點(diǎn)，P到A的距離是到8的距離的兩倍，求點(diǎn)P所表示的數(shù)：(3)若點(diǎn)Q在數(shù)軸上表示的數(shù)為x,貝疝+5|+伙-4|的最小值為,卜+5|-卜-4|的最大值為(2021.湖北咸寧.七年級(jí)期末)我們知道|x|的幾何意義是表示在數(shù)軸上數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；即W=|x-0|,這個(gè)結(jié)論可以推廣為：W-引表示在數(shù)軸上數(shù)4、4對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離.如圖，數(shù)軸上數(shù)。對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)A,數(shù)b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)8,則A,8兩點(diǎn)之間的距離AB=|a-/?|=a-方.(1),+1|可以表示數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；(2)請(qǐng)根據(jù)上述材料內(nèi)容解方程|x+l|=l；(3)式子|x+l|+k-l|的最小值為；(4)式子卜+1|-人一2|的最大值為.染P T *&； ,—?12.(2021?浙江?七年級(jí)期末)|x+l|+|x-l|+|x-3|的最小值是( )A.5 B.4 C.3 D.2(2022?重慶一中七年級(jí)階段練習(xí))數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作時(shí)。數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)b的點(diǎn)距離記作|。-同如|3-5|表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點(diǎn)與表示數(shù)5的點(diǎn)的距離，|3+5卜|3-(-5)|表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點(diǎn)與表示數(shù)一5的點(diǎn)的距離，|a-3|表示數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)3的點(diǎn)的距離.根據(jù)以上材料回答下列問題：(將結(jié)果直接填寫在相應(yīng)位置，不寫過程)(1)若卜一1|=卜+1|,則*=；若,一2|=卜+1|,則*=(2)若|x-2|+|x+l|=3,則x能取到的最小值是,最大值是一 (3)當(dāng)|x-2|+|x+l|+|x+3|取最小值時(shí)，則X的值為(4)當(dāng)卜-2卜|x+l|取最大值時(shí)，則x的取值范圍是(2021?重慶?七年級(jí)期中)已知數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)之間的距離等于這兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)的差的絕對(duì)值.如圖1,在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-2,點(diǎn)B表示的數(shù)為1，點(diǎn)C表示的數(shù)為3,則B,C之間的距離表示為：fiC=|3-l|,4,C之間的距離表示為：AC=|3-(-2)H3+2|.若點(diǎn)尸在數(shù)軸上表示的數(shù)為x,則P,A之間的距離表示為：PA=|x-(-2)Hx+2|,P,8之間的距離表示為：PB=\x-\\.A BC—1 1 1 1 1 1 1 1 ?(1)如圖1,-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4圖1①若點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)，化簡|x+2|+|x-l|=；②若點(diǎn)P在線段AB上，化簡|x+2|+|x-l|=；③若點(diǎn)尸在點(diǎn)8右側(cè)，化簡|x+2|+|x-l|=；④由圖可知，lx+2|+|x-l|的最小值是.(2)請(qǐng)按照(1)問的方法思考：Ix+3|+|x-l|+|x-2|的最小值是.(3)如圖2,在一條筆直的街道上有E,F,G,，四個(gè)小區(qū)，且相鄰兩個(gè)小區(qū)之間的距離均為200m.已知E,F,G,，四個(gè)小區(qū)各有2個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，1個(gè)小朋友在同一所小學(xué)的同一班級(jí)上學(xué)，安全起見，這8個(gè)小朋友約定先在街道上某處匯合，再一起去學(xué)校.聰明的小朋友們通過分析，發(fā)現(xiàn)在街道上的M處匯合會(huì)使所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點(diǎn)的路程之和最小，請(qǐng)直接寫出匯合地點(diǎn)M的位置和所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點(diǎn)的路程之和的最小值.? ? ? ? [5.(2021?浙江寧波?七年級(jí)期中)如圖，點(diǎn)A、8在七萬GH圖2數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)。、b,4、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB,在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a-b|,請(qǐng)你利用數(shù)軸回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和4兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示-1和2的兩點(diǎn)之間的距離是：(2)數(shù)軸上表示x和-3的兩點(diǎn)A、8之間的距離A8=,如果AB=2,則x的值為:(3)|x+l|+|x+2|+|x-3|+|x-4|的最小值為；(4)伙+兄-K-2|的最大值為.A R_2 i 。16.(2022?浙江杭州?七年級(jí)期中)點(diǎn)P,。在數(shù)軸上分別表示的數(shù)分別為p,q,我們把p,q之差的絕對(duì)值叫做點(diǎn)P,。之間的距離，即PQ=|p-q|.如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A,B,O,C,。的位置如圖所示，則。C=|3-l|=2；C0=|l-O|=l;AB=|(-4)-(-2)|=|-2|=2.請(qǐng)?zhí)剿飨铝袉栴}：一1一1-1..[ ?＞(1)計(jì)算卜(T)|=,它表示哪兩個(gè)點(diǎn)之間的距離？.(2)點(diǎn)M為數(shù)軸上一點(diǎn)，它所表示的數(shù)為X,用含x的式子表示尸8=；當(dāng)PB=2時(shí)，x=:當(dāng)k時(shí)，卜+4|+上1|+卬3|的值最小.|x-l|+Pr-2|+kr-3|+...+|x-2018|+|x-2019|的最小值為.(2022?浙江杭州?七年級(jí)階段練習(xí))問題一：有理數(shù)a,b,c對(duì)應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)是A,B,C.如果4B兩點(diǎn)距離小于8,AC兩點(diǎn)距離大于4,且C在A、B之間，a=-3.5,b,c都是整數(shù)，試?yán)脭?shù)軸求出Ac的可能值問題二：已知點(diǎn)A8在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為加，〃(1)若A,B兩點(diǎn)的距離為d,則"=(用含加，〃的式子表示)(2)由(1)的結(jié)論可知卜+2|的意義是：數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到表示的點(diǎn)的距離(3)若動(dòng)點(diǎn)C表示的數(shù)為x,當(dāng)x為何值時(shí)，下列各式有最小值？請(qǐng)求出它們的最小值.@|x-2|+|x+3|；(2)|x-2|+|x+3|+|x+5|；?|x-2|+|x-4|+|x-6|+...+|x-20|(2022?浙江七年級(jí)期中)若不等式|x-4|+|x-2|+|x—l|+|x|Na,對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則。的取值范圍是( )A.a＜5 B.a＜5 C.a＞5 D.a＞5專題2.絕對(duì)值化簡問題絕對(duì)值化簡分為已知范圍的絕對(duì)值化簡與無范圍的絕對(duì)值化簡兩類，屬于重點(diǎn)題型，考卷中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)它的身影，且易錯(cuò)，屬于必掌握類型。希望通過本專題讓大家熟練掌握這兩類壓軸題。題型1.已知范圍的絕對(duì)值化簡【解題技巧】已知范圍的絕對(duì)值化簡步驟：①判斷絕對(duì)值符號(hào)里式子的正負(fù)；兩數(shù)相減：大的數(shù)-小的數(shù)＞0,轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：右-左＞0；小的數(shù)-大的數(shù)＜0,轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：左-右＜0.兩數(shù)相加：正數(shù)+正數(shù)＞0,轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點(diǎn)右側(cè)兩數(shù)相加＞0；負(fù)數(shù)+負(fù)數(shù)<,轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點(diǎn)左側(cè)兩數(shù)相加<0；正數(shù)+負(fù)數(shù)：取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點(diǎn)兩側(cè)兩數(shù)相加，取離原點(diǎn)遠(yuǎn)的符號(hào).②將絕對(duì)值符號(hào)改為小括號(hào)：若正數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)不變（即本身）；若負(fù)數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)改變（即相反數(shù)）.③去括號(hào)：括號(hào)前是去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)不變：括號(hào)前是“一”，去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào).④化簡.例1.（2022.湖南長沙.七年級(jí)期末）有理數(shù)a、8、c在數(shù)軸上位置如圖，則卜-4-卜+可+8d的值為（ ）.― LA.2a B.2a+2b-2cC.0D.-2c變式2.（2022?河南周口?七年級(jí)期末）有理數(shù)”，〃在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，那么代數(shù)式國+吐L小的值匙）ab-\a+b二J 羌―q j?A.-1B.1 C.3D.-3\a\\h\Icl abbeacabc例2.（2021?長郡集團(tuán)郡維學(xué)校初一月考）如果U+U+U=?i,那么m+nn+j~f+m的值為（ ）abc \ah\\bc\\ac\\abc\A.-2B.-1C.0 D.不確定變式2.（2022?內(nèi)蒙古赤峰?七年級(jí)期中）x、V、z是有理數(shù)且孫z<0,則區(qū)+■+區(qū)的值是（）xyzA.-3 B.3或-1 C.1 D.一3或1題型2.未知范圍的絕對(duì)值化簡【解題技巧】絕對(duì)值的性質(zhì)：①正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，即時(shí)=a：②。的絕對(duì)值是0,即可=0；③負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，即時(shí)=-。；④絕對(duì)值具有非負(fù)性，即時(shí)20。例1.（2022?新都區(qū)校級(jí)月考）已知x為有理數(shù)，且|x-3|=2r+3,則x的值為.變式1.（2022?河北?七年級(jí)期中）若a、b、c是有理數(shù)，|a|=3,|￡>|=10,|c|=5,且a,b異號(hào),b,c同號(hào)，求a-b-（-c）的值.變式2.（2021?江蘇?九年級(jí)）已知H-x|=l+|x|,求lx-l|例2.（2022.福建福州.七年級(jí)期末）閱讀材料：我們把絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫做“含有絕對(duì)值的方程如：|x|=2,|2x-1|=3,…都是含有絕對(duì)值的方程.怎樣求含有絕對(duì)值的方程的解呢？基本思路是：含有絕對(duì)值的方程一不含有絕對(duì)值的方程.我們知道，由因=2,可得x=2或x=-2.【例】解方程：|2x-l|=3.我們只要把2x-1看成一個(gè)整體就可以根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)一步解決問題.解：根據(jù)絕對(duì)值的意義，得2x-1=3或2x-1=-3.解這兩個(gè)一元一次方程，得x=2或x=-l.根據(jù)以上材料解決下列問題：⑴解方程：|3x-2|=4；（2）拓展延伸：解方程卜-2|=|3x+2|.變式3.（2022?湖北咸寧■七年級(jí)期末）閱讀下列材料，回答問題：“數(shù)形結(jié)合''的思想是數(shù)學(xué)中一種重要的思想.例如：在我們學(xué)習(xí)數(shù)軸的時(shí)候，數(shù)軸上任意兩點(diǎn)，4表示的數(shù)為a,B表示的數(shù)為％,則4,B兩點(diǎn)的距離可用式子|。-耳（表示，例如：5和-2的距離可用|5-（-2）|或k2-5|表示.（1）【知識(shí)應(yīng)用】我們解方程卜-5|=2時(shí)，可用把k-5|看作一個(gè)點(diǎn)x到5的距離，則該方程可看作在數(shù)軸上找一點(diǎn)P（P表示的數(shù)為x）與5的距離為2,所以該方程的解為x=7或x=3所以，方程,+5|=2的解為一（直接寫答案，不離過程）.（2）【知識(shí)拓展】我們?cè)诮夥絴x-5|+|x+2|=7,可以設(shè)A表示數(shù)5,8表示數(shù)-2,P表示數(shù)x,該方程可以看作在數(shù)軸上找一點(diǎn)P使得PA+M=7,因?yàn)殂@=7,所以由可知，P在線段48上都可，所以該方程有無數(shù)解，x的取值范圍是-24x45.類似的，方程,+4"卜-6|=10的一（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是一，（“唯一''填x的值，"不唯一''填x的取值范圍）；（3）【拓展應(yīng)用】解方程|x+4|+|x-q=14課后專項(xiàng)訓(xùn)練：（2022?全國?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，數(shù)軸上的三點(diǎn)A,B,C分別表示有理數(shù)a,b,c,則化簡|。-外匕-。|+1年d的結(jié)果是（）~: gQc>A.2a-2c B.0C.2a-2bD.2b-2cTOC\o"1-5"\h\z（2022?全國?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知a,b兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則代數(shù)式|。-耳+卜-2|-|。+1|的結(jié)果是（ ）b a 、■ 」 」 」 ■」 A.—2,a+1 B. -1C.3D.-1-10 12（2021?浙江?杭州市弘益中學(xué)七年級(jí)期中）若2Va<3時(shí)，化簡|a-2|+|a-3|（ ）A.1 B.2a-5 C.-1 D.5-2a（2021?上海外國語大學(xué)附屬雙語學(xué)校期中）實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖，時(shí)+上一可-,+^+卜-d的結(jié)果為—J ^0~~: ?s.（2021?福建?泉州五中七年級(jí)期中）若a、b、c為整數(shù)，且|a-6F+|c—。|2陽=1,則|a-b|+|6-c|+|c—a|=.（2021?云南昭通?七年級(jí)期中）如圖，已知a、b、c在數(shù)軸上的位置.c-b0,a+b0,a-c0.（填“〉”或y”）（2）化簡：-|c-￡>|-\a+b\+\a-c|.~a 0b~c 7.（2021?安徽安慶?七年級(jí)期中）已知a,b,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示.[ Ja ?（i）判斷正、負(fù),用“填空：a+6_0,c-a0,b+c0,b-c 0.a-b0；（2）化簡：\a\+\a+b\+\c-a\-2\b+c\-\b-c|+|a-b|.8.（2021?撫順縣期中）結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是:表示-3和2兩點(diǎn)之間的距離是:一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)〃的兩點(diǎn)之間的距離等于依-n|.（2）如果僅+1|=3,那么x=；（3）若|a-3|=2,|^2|=1,且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B,則A、8兩點(diǎn)間的最大距離是,最小距離是.（4）若數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)位于-4與2之間，則|a+4|+|a-2|=.一53A；J；2；（2022?重慶渝北?七年級(jí)期末）已知4,B,C三點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為a,b,c,它們?cè)跀?shù)軸上的位置如圖所示，化簡：\a+b+c]-\c-b-a[=."b 0ck10.（2022?湖北十堰?七年級(jí)期末）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖所示，化簡：|。+4一上-4+|。+。|=.二一0 ；?11.（2022?全國?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）|x-2|+&-4|+|x-6|+|x-8|的最小值是a,回+回+1￡1=_1,那么回U也+四+四的值為（）abc abbeacabc

-2-1-2-1C.0D.不確定（2022?全國?七年級(jí)專題練習(xí)）若"#0,則@+四+占的值為（）ab\c\A.±3或±1 B.±3或0或±1 C.±3或0 D.0或±1（2022?江西上饒?七年級(jí)期末）已知x+a#0、x+b^0,那么左辿+區(qū)晅= 或 或x+ax+bmn（2022?江西?峽江縣教學(xué)研究室七年級(jí)期末）已知根、〃是兩個(gè)非零有理數(shù)，則問一討=（2022?揭陽期中）“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)方法.如在化簡同時(shí)，當(dāng)a在數(shù)軸上位于原點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，|a|=a；當(dāng)a在數(shù)軸上位于原點(diǎn)時(shí)，間=0；當(dāng)a在數(shù)軸上位原點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，|a|=-a.試用這種方法解決下列問題.（1）當(dāng)。=1.5,6=-2.5時(shí)，JaJ__ = .（2）請(qǐng)根據(jù)a、氏c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的aIbl位置①求■T^T+/r+f^r的值.②化簡：\a-b\-2\a+b\+\b+c\.lailbIIcI-h―r—0―a >16.（2022?浙江杭州?七年級(jí)期末）閱讀與寫作：一個(gè)數(shù)學(xué)問題，在特定的題設(shè)下，有時(shí)其結(jié)論并不唯一，因而我們需要對(duì)這一問題進(jìn)行必要的分類，將一個(gè)數(shù)學(xué)問題根據(jù)題設(shè)分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的結(jié)果進(jìn)行歸納綜合，這種解決問題的思維方法在數(shù)學(xué)上稱為“分類討論”例如在解方程|x+3|=2時(shí)，我們就可以利用這種思維方式來解決.當(dāng)X+3N0時(shí)，原方程可化為x+3=2,解得x=-l；當(dāng)x+3<0時(shí)，原方程可化為工+3=-2,解得x=-5.所以原方程的解是x=-1或x=-5.（1）請(qǐng)你用這種思維方式解方程|3x-2|-4=0.（2）圍繞“分類討論''這一主題撰寫一篇數(shù)學(xué)小文章，題目自擬.（要求：書寫端正，字?jǐn)?shù)限于100字內(nèi).）17.（2022?廣東?九年級(jí)競賽）已知x為實(shí)數(shù)，且質(zhì)-1|+附-1|+俄-1+-+|17》-1|的值是一個(gè)確定的常數(shù)，則這個(gè)常數(shù)是（ ）.A.5B.10C.15D.75專題01絕對(duì)值壓軸題（最值與化簡）專項(xiàng)講練專題1.最值問題最值問題一直都是初中數(shù)學(xué)中的最難點(diǎn)，但也是高分的必須突破點(diǎn)，需要牢記絕對(duì)值中的最值情況規(guī)律,解題時(shí)能達(dá)到事半功倍的效果。題型1.兩個(gè)絕對(duì)值的和的最值【解題技巧】,一4+卜一身目的是在數(shù)軸上找一點(diǎn)X,使x到a和6的距離和的最小值：分類情況（X的取值范圍）圖示卜_4+卜_.取值情況當(dāng)x<a時(shí)k—— >卜24x a j?—>3無法確定當(dāng)〃時(shí)卜_4+,_4的值為定值，即為卜_闿a a b當(dāng)1Q6 Jt b ;—>無法確定結(jié)論：式子上一。|+,-耳在aWxWb時(shí)，取得最小值為,一身。例1.（2021?珠海市初三二模）閱讀下面材料：數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物.有了數(shù)軸以后，可以用數(shù)軸上的點(diǎn)直觀地表示實(shí)數(shù)，這樣就建立起了“數(shù)”與"形”之間的聯(lián)系.在數(shù)軸上，若點(diǎn)A，B分別表示數(shù)。，b,則A，8兩點(diǎn)之間的距離為反之，可以理解式子上—3|的幾何意義是數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)x與實(shí)數(shù)3兩點(diǎn)之間的距離.則當(dāng)卜+2|+歸一5|有最小值時(shí)，x的取值范圍是（ ）A.xv—2或x>5B.xW-2或x25C.-2<x<5 D.-2<x<5【答案】D【分析】根據(jù)題意將|x+2|+|x—5］可以理解為數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)X與實(shí)數(shù)-2的距離，實(shí)數(shù)x與實(shí)數(shù)5的距離，兩者的和，分三種情況分別化簡，根據(jù)解答即可得到答案.【解析】方法一：代數(shù)法（借助零點(diǎn)分類討論）當(dāng)x<-2時(shí)，卜+2|+卜—5卜（-2-x）+（5-x）=3-2x：當(dāng)一2WxW5時(shí)，+5卜（x+2）+（5-x）=7：當(dāng)x>5時(shí)，|x+2|+|x-5卜(x+2)+(x-5)=2x-3；二卜+2|+及-5|有最小值，最小值為7,此時(shí)—24xW5，故選：D.方法二：幾何法(根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義)卜+2|+|尤—5］可以理解為數(shù)軸卜.表示實(shí)數(shù)x與實(shí)數(shù)-2的距離，實(shí)數(shù)x與實(shí)數(shù)5的距離，兩者的和，通過數(shù)軸分析反現(xiàn)當(dāng)-2WXW5時(shí)，卜+2|+上-5|有最小值，最小值為7?！军c(diǎn)睛】此題考查依據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡絕時(shí)值，正確理解題意，得到|x+2|+|x-5|表示的意義，再利用分類思想解答問題.變式1.(2022?江蘇蘇州?七年級(jí)階段練習(xí))同學(xué)們都知道，|5-(一2)|表示5與一2之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為5與一2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離.試探索：(1)求|5一(-2)|=.(2)找出所有符合條件的整數(shù)X,使得b+5|+b—2|=7這樣的負(fù)整數(shù)是.(3)由以上探索猜想對(duì)于任何有理數(shù)x,仇一3|+僅一6|是否有最小值？如果有寫出最小值，如果沒有說明理由.【答案】(1)7；(2)-5、-4,-3、-2、-1、0、I、2；(3)最小值是3【分析】(1)根據(jù)題目中的式子和絕對(duì)值可以解答本題；(2)分別討論當(dāng)x>2時(shí)，當(dāng)-5<x<2時(shí)，當(dāng)x<-5時(shí)去絕對(duì)值進(jìn)行求解即可；(3)同(2)利用分類討論的思想進(jìn)行求解即可.【詳解】解:(1)15-(-2)|=|5+2|=7.故答案為：7；(2)當(dāng)x>2時(shí)，k+5|+Q2|=x+5+x-2=7,解得：x=2與x>2矛盾，故此種情況不存在；當(dāng)-5<x<2時(shí)，|x+5|+|x-2|=x+5+2-x=7,故-5<x<2時(shí)，使得|x+5|+|x-2|=7,故使得|x+5|+|x-2|=7的整數(shù)是-5、-4、■3、-2、-1、0、1、2；當(dāng)xV-5時(shí)，|x+5|4-|x-2|=-x-5+2-x=-2x+3=7,得x=-5與xV-5矛盾，故此種情況不存在.故答案為：-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2；(3):?3|+卜?6|有最小值,最小值是3.理由如下：當(dāng)x>6時(shí)，|x-3|+|x-6\=x-3+x-6=2x-9>3；當(dāng)386時(shí)，|x-3|+k-6|=x-3+6-x=3；當(dāng)x<3時(shí)，|x-3|+|x-6|=3-x+6-x=9-2x>3.故卜-3|+|x-6|有最小值，最小值是3.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸、絕對(duì)值，解答本題的關(guān)鍵是明確數(shù)軸的特點(diǎn)和絕對(duì)值，利用數(shù)軸和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答.例2.(2022?河南?鄭州外國語中學(xué)七年級(jí)期末)數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合'’的基礎(chǔ).例如：從“形''的角度看：|3-1|可以理解為數(shù)軸上表示3和1的兩點(diǎn)之間的距離；|3+1|可以理解為數(shù)軸上表示3與-1的兩點(diǎn)之間的距離.從“數(shù)”的角度看：數(shù)軸上表示4和-3的兩點(diǎn)之間的距離可用代數(shù)式表示為：4-(-3).根據(jù)以上閱讀材料探索下列問題：(1)數(shù)軸上表示3和9的兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上表示2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是：(直接寫出最終結(jié)果)(2)①若數(shù)軸上表示的數(shù)x和-2的兩點(diǎn)之間的距離是4,則x的值為；②若x為數(shù)軸上某動(dòng)點(diǎn)表示的數(shù)，則式子Ix+l|+|x-3|的最小值為.【答案】(1)6,7；(2)①一6或2；②4【分析】(1)直接根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離求解即可；(2)①根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式列絕對(duì)值方程，然后解方程即可：②由于所給式子表示x到一I和3的距離之和，當(dāng)x在一1和3之間時(shí)和最小，故只需求出一1和3的距離即可.(1)解：數(shù)軸上表示3和9的兩點(diǎn)之間的距離是I9-3I=6,數(shù)軸上表示2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是I2-(-5)I=7,故答案為：6,7；(2)解：①根據(jù)題意，得：IX—(―2)I=4,/.|x+2|=4,；.x+2=—4或x+2=4,解得：x=-6或k2,故答案為：-6或2；②?.?|x+l|+|x-3|表示x到一I和3的距離之和，...當(dāng)x在一1和3之間時(shí)距離和最小，最小值為I-1-3I=4,故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離，會(huì)靈活運(yùn)用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離解決問題是解答的關(guān)鍵.變式2.(2022?思明區(qū)校級(jí)期末)同學(xué)們都知道|5-(-2)|表示5與(-2)之差的絕對(duì)值，也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離，試探索：(1)求|5-(-2)|=.(2)找出所有符合條件的整數(shù)x,使得|x+5|+|x-2|=7成立的整數(shù)是.(3)由以上探索猜想，對(duì)于任何有理數(shù)x,\x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由.【分析】(1)直接去括號(hào)，再按照去絕對(duì)值的方法去絕對(duì)值就可以了.(2)要x的整數(shù)值可以進(jìn)行分段計(jì)算，令x+5=0或x-2=0時(shí)，分為3段進(jìn)行計(jì)算，最后確定x的值.(3)根據(jù)(2)方法去絕對(duì)值，分為3種情況去絕對(duì)值符號(hào)，計(jì)算三種不同情況的值，最后討論得出最小值.【解答】解：(1)原式=|5+2|=7故答案為：7；⑵令x+5=0或x-2=0時(shí)，則x=-5或x=2當(dāng)xV-5時(shí)，:-(x+5)-(x-2)=7,-x-5-x+2=7,x=5(范圍內(nèi)不成立)當(dāng)-5VxV2時(shí)，，(x+5)-(x-2)=7,x+5-x+2=7,7=7,；.x=-4,_3<_2?-1?0(1當(dāng)x>2時(shí)，(x+5)+(x-2)=7.x+5+x-2=7,2x=4,x=2,x=2(范圍內(nèi)不成立)二綜上所述，符合條件的整數(shù)x有：-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2；故答案為：-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2：(3)由(2)的探索猜想，對(duì)于任何有理數(shù)x,卜-3|+卜-6|有最小值為3.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了去絕對(duì)值和數(shù)軸相聯(lián)系的綜合試題以及去絕對(duì)值的方法和去絕對(duì)值在數(shù)軸上的運(yùn)用，難度較大，去絕對(duì)值的關(guān)鍵是確定絕對(duì)值里面的數(shù)的正負(fù)性.題型2.兩個(gè)絕對(duì)值的差的最值【解題技巧】，一《一,一身目的是在數(shù)軸上找一點(diǎn)x,使x到。和6的距離差的最大值和最小值：分類情況(X的取值范圍)圖不取值情況k Xbl 1當(dāng)X<4時(shí)L_-g|jx a 『的值為定值，即為一|aLi-a 」當(dāng)aWxWb時(shí)一|a—4(卜一目一卜―4 qa a bL 5一」J當(dāng)x>b? ? ??a b 不卜_“|一卜_4的值為定值，即為,_母結(jié)論：式子，-《一,一母在xWa時(shí)，取得最小值為一|。一可；在xNb時(shí)，取得最大值,一身。例1.(2022?浙江?溫州七年級(jí)開學(xué)考試)代數(shù)式|x-的最大值為小最小值為b,下列說法正確的是( )A.a=3,b=0B.a=0,b=-3C.a=3,b=-3D.a=3,b不存在【答案】C【分析】分三種情況：當(dāng)夜1時(shí)；當(dāng)-2<x<l時(shí)；當(dāng)爛-2時(shí)；進(jìn)行討論可求代數(shù)式|x-lHx+2|的值，即可求出a與b的值.【詳解】解：當(dāng)x?l時(shí)，|x-1|-|x+2|=x-1-x-2=-3；當(dāng)-2<x<l時(shí)，|x-1|-|x+2|=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；當(dāng)xW-2時(shí)，|x-1|-|x+2|=-(x-1)+(x+2)=3.?.?代數(shù)式|x-1|-|x+2|的最大值為a,最小值為b,；.a=3,b=-3.故選：C.【點(diǎn)睛】考查了絕對(duì)值，如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對(duì)值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它本身a：②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它的相反數(shù)-a；③當(dāng)a是零時(shí)，a的絕對(duì)值是零.注意分類思想的運(yùn)用.變式1.(2022.上海七年級(jí)期中)代數(shù)式|x-l|-|x+2],當(dāng)x<-2時(shí)，可化簡為；若代數(shù)式的最大值為。與最小值為b,則就的值 .【答案】 3 -9【分析】當(dāng)》<-2時(shí)，可得x-l<0,X+2V0,利用絕對(duì)值的性質(zhì)即可化簡，分別化簡當(dāng)—24x41時(shí)以及當(dāng)X>1時(shí)，根據(jù)當(dāng)一24x41時(shí)，一34-2x743,求出a,b即可.【詳解】解：當(dāng)x<-2時(shí)，x-1<0,x+2<0,二|x-l|-|x+2|=-(x-l)+(x+2)=3,'與一24x41時(shí)，|x—1|一|x+2|=—(x—1)—(x+2)=-2x—l,當(dāng)x>1時(shí)，Ix—11—|x+2=(x—1)—(x+2)=—3—24x41時(shí)，—34—2x—143,，代數(shù)式|x-l|-|x+2|的最大值為3,最小值為-3,a=3,b=-3..'.ab=-9,故答案為：3,-9.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的化簡，解題的關(guān)鍵是對(duì)x進(jìn)行分類討論，再化簡代數(shù)式.例2.(2022?湖北十堰七年級(jí)期中)設(shè)-1—3,則|x-3|-3團(tuán)+伙+2]的最大值與最小值之和為一【答案】8.5.【分析】先根據(jù)-1姿3,確定x-3與x+2的符號(hào)，再對(duì)x的符號(hào)進(jìn)行討論即可.【詳解】；-1—3,當(dāng)-1人0時(shí)，卜-3|-；M+k+2|=3-x+；、+.r+2=；x+5,最大值為5,最小值為4.5；當(dāng)0勺《3時(shí)，|x-3|■—|x|+|x+2|=3-x~—x+x+2,=--x+5>最大值為5,最小值為3.5,???最大值與最小值之和為8.5；故答案為：8.5.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的化簡，掌握求絕對(duì)值的法則以及分類討論的思想方法，是解題的關(guān)鍵.變式2.(2022?湖北武漢?七年級(jí)期中)我們知道，1。1的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，一般地，點(diǎn)A,B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a,b,那么A,B之間的距離可表示為|a-b|,請(qǐng)根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問題：(1)數(shù)軸上的數(shù)x與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為一，數(shù)x與-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為—；(2)求|x+l|-|x-l|的最大值；(3)直接寫出|》+1|+|犬+2|+|》+3|+次+4|-|犬一1|一|*一2|-|》-3|-|%-4|的最大值為.【答案】(D|x-l|,|x+l|；(2)2；(3)20【分析】(1)根據(jù)題意即可列式解答；(2)由x的取值范圍分三種情況：①當(dāng)爛-1時(shí)，②當(dāng)-1WXW1時(shí)，③當(dāng)迂1時(shí)，分別化簡絕對(duì)值，再計(jì)算整式的值即可得到答案；(3)根據(jù)(2)得到規(guī)律，依次進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】(1)由題意得到：數(shù)軸上的數(shù)x與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為卜-1|,數(shù)x與-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為k一(一1)|=卜+1],故答案為：\x-l\,|x+l|；(2)|x-l|表示x到1之間的距離，|x+l|表示x到-1之間的距離，①當(dāng)爛-1時(shí)，|-v-l|=l-x,|x+l|=-l-x, |x+l|-|x-l|=(-1-x)-(1-x)=-2；②當(dāng)-iWx/l時(shí)，|x-l|=i-x,|x+l|=x+l,，|x+11x-11=(x+1)-(1-x)=2x＜2；③當(dāng)論1時(shí)，|^-l|=x-l,|x+l|=x+l,.*.|x+11-|x-11=(x+1)-(x-1)=2, 的最大值為2(3)由(2)知：的最大值為2,由此可得:Ix+2|一|x-2|的最大值為4,|x+3|-|x-3|的最大值是6,Ix+4|-|x-4|的最大值是8,|x+l|+|x+2|+|x+3|+|x+4|—|x—1|—|x—2|—|x—3|—4|的最大值是2+4+6+8=20【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的計(jì)算，絕對(duì)值的性質(zhì)，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式.題型3.多個(gè)絕對(duì)值的和的最值【解題技巧】最小值規(guī)律：①當(dāng)有兩個(gè)絕對(duì)值相加：若己知。＜人，,一《+卜一身的最小值為人一。，且數(shù)x的點(diǎn)在數(shù)a,b的點(diǎn)的中間；②當(dāng)有三個(gè)絕對(duì)值相加：若已知a(人＜c,卜一《+,一4+上一1的最小值為c-a,且數(shù)x的點(diǎn)與數(shù)8的點(diǎn)重合;③當(dāng)有2〃+1(奇數(shù))個(gè)絕對(duì)值相加：|x-a]|+|x-a2|+ +|x-a2?|+|x-a2n+1|.且q</< <a2n<a2n+i,則x取中間數(shù)，即當(dāng)x=a“+1時(shí)，—4+|x—局+ +|x—"2"|+|無一七"+1|取得最小值為(fl2?+l-ai)+(a2n-fl2)+ +(“”+2-4，)+0：④當(dāng)有2〃(偶數(shù))個(gè)絕對(duì)值相加：|x-al|+|x-a2|+ +|x-a2n_1|+|x-a2?|,且q<生< <a2n-i<ain，則》取中間段，即當(dāng)a”4x4fln+1時(shí),—⑷+|尤—aj+ +|x—a,”」+|x—取得最小值為(a2n )+(。2"-1_02)+ +(%-2-勺-1)+(為+1一%)。例1.(2022.天津初一月考)若x是有理數(shù)，則忖一2|+忖-4|+k一6|+上一8|+...+卜一2018|的最小值是【答案】509040【分析】首先判斷出口-斗也-4|+卜-6|+...+以-2018僦是求數(shù)軸上某點(diǎn)到2、4、6 2018的距離和的最小值：然后根據(jù)某點(diǎn)在％兩點(diǎn)之間時(shí)，該點(diǎn)到。、6的距離和最小，當(dāng)點(diǎn)x在2與2018之間時(shí)，到2和2018距離和最?。寒?dāng)點(diǎn)在4與2016之間時(shí)，到4和2016距離和最小；…，所以當(dāng)戶1010之間時(shí)，算式K-2|+|x-4|+|x-6|+...+|x-2018的值最小，據(jù)此求出卜-2|+k-4|+|x-6|+...+|x-2018|最小值是多少即可.【解析】根據(jù)絕對(duì)值得幾何意義分析，知當(dāng)戶1010時(shí)，算式|%-2|+|%-4|+伙-6上..+,-2018的值最小，最小值是:(2018-2)+(2016-4)+(2014-6)+…+(1010-1010)=2016+2012+2008+...+0=(2016+0)X5O5-5-2=2016x505-5-2=509040/.|x-2|+|x-4|+|x-6|+…+|x-2018|的最小值是509040.【點(diǎn)睛】此題主要考查/絕對(duì)值的幾何意義：H表示數(shù)軸上表示X的點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：卜同表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示a的點(diǎn)之間的距離.變式1.(2022?武侯區(qū)校級(jí)月考)|x-l|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2014|的最小值為,此時(shí)x的取值為.解：原式可轉(zhuǎn)化為在數(shù)軸上找一個(gè)點(diǎn)到1,2,3,…，2014對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離和最小，故當(dāng)1007WXW1008時(shí)，距離和最小，可取x=1007,則此時(shí)距離和為：1006+1005+1004+...+0+1+2+...+1006+1007=2x(1+2+3+...+1006)+1007=1014049,即原式的最小值為1014049；當(dāng)x=1008時(shí)，最小值也為1014049,故1007<x<1008.例2.（2022?北京市第四十四中學(xué)七年級(jí)期中）閱讀下面一段文字：在數(shù)軸上點(diǎn)A,8分別表示數(shù)a,b.A,8兩點(diǎn)間的距離可以用符號(hào)1A臼表示，利用有理數(shù)減法和絕對(duì)值可以計(jì)算A,8兩點(diǎn)之間的距離 1_2 fR A例如：當(dāng)〃=2,8=5時(shí)，=5-2=3；當(dāng)ab c0da=2,%=-5時(shí)，|明=卜5-2|=7；當(dāng)”=-2,6=—5時(shí)，|AB|=卜5-（-2）|=3,綜合上述過程，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A、8之間的距離|A耳=|b-a]（也可以表示為|a-耳）.請(qǐng)你根據(jù)上述材料，探究回答下列問題：（1）表示數(shù)。和一2的兩點(diǎn)間距離是6,則。=；（2）如果數(shù)軸上表示數(shù)”的點(diǎn)位于一4和3之間，則|a+4|+|a-3|=（3）代數(shù)式|a-l|+|”2|+|a-3|的最小值是.（4）如圖，若點(diǎn)A,B,C,。在數(shù)軸上表示的有理數(shù)分別為a,b,c,d,則式子|a-x|+|x+b|+|x-c|+|x+d|的最小值為（用含有a,b,c,d的式子表示結(jié)果）【答案】（1）4和-8：（2）7；（3）2；（4）c+d-b-a【分析】（1）根據(jù)題意可得：|-2-4=6,解出即可求解；（2）根據(jù)題息M得：-4<a<3,從而得到a+4>0,?-3<0，進(jìn)而得到|a+4|=〃7,|〃-3|=3—a,即可求解；（3）根據(jù)題意可得：當(dāng)a=2時(shí)，代數(shù)式存在最小值，化簡即可求解；（4）根據(jù)題意可得：原式表示x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到a,-6,c,-d對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，從而得到當(dāng)—dVxMc時(shí)，|a-x|+|x+6|+|x-c|+k+d|有最小值，即可求解.【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：|—2-4=6,/.-2-a=6或-2-a=-6,解得：a=4或-8；（2）；表示數(shù)。的點(diǎn)位于-4和3之間，-4<a<3,/.|a-+-4|=a+4,|tz—3|=3—af?，?+ 3]=a+4+3-a=7；(3)當(dāng)〃=2時(shí)，代數(shù)式存在最小值，???—1|4--2|+|a—3|—1+0+1=2.所以,最小值是2；(4)根據(jù)題意得：x|+|x+6|+|x-c|+k+M=|a-x14~|x-~b)|+|x-0|+,一(—d,???原式表示X對(duì)應(yīng)點(diǎn)到a,-be-d對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，如圖所示，ABCDab-de 0d-b\a-x\+\x+h\+\x-c\+\x+d\有最小值,，Kix—a—b—x+c—x+x+d=c+d—h-ci.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值得幾何意義，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵.變式2.(2022?龍泉驛區(qū)期中)我們知道，在數(shù)軸上，間表示數(shù)a到原點(diǎn)的距離.進(jìn)一步地，點(diǎn)A,B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,那么4,8兩點(diǎn)之間的距離就表示為|a-臼；反過來，|。-6|也就表示4,8兩點(diǎn)之間的距離.下面，我們將利用這兩種語言的互化，再輔助以圖形語言解決問題.例，若以+5|=2,那么x為：①|(zhì)x+5|=2,即|x-(-5)|=2.文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到-5的距離等于2.②圖形語言：2 2-8-7-6-5-4-3-2-10 ③答案：x為-7和-3.請(qǐng)你模仿上題的①②③，完成下列各題：(1)若|x+4|=|x-2|,求x的值；①文字語言：②圖形語言：

③答案：(2)卜-3|-團(tuán)=2時(shí)，求x的值：①文字語言：②圖形語言：③答案：\x-l|+|x-3|>4.求x的取值范圍：①文字語言：②圖形語言：③答案：(4)求|x-l|+k-2\+\x-3|+|x-4|+k-5|的最小值.①文字語言：②圖形語言：③答案：【分析】運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想：——?———> < —>圖一-53-2*10―1―2345圖二-5-4-3-2-1512345圖三-57-3-2-10123456圖四-5-4-3-2-1012345圖三【解答】解：(1)文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到-4的距離等于到2的距離.圖形語言： ?..? * >-5-4-3-24012345答案：x=-\.(2)文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到3的距離比到原點(diǎn)(0)的距離大2.圖形語言：-5-4-3-2-1012345答案：x=1(3)文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到1的距離和它到3的距離大于4.56答56答案：x>4,xVO.圖形語言：-5-4-3-27(4)文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到1,2,3,4,5距離之和最小值.圖形語言：-5-4-3-2-1012345答案：6.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合求解問題.課后專項(xiàng)訓(xùn)練:(2022?全國?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))卜-4|+卜+2|的最小值為；此時(shí)x取值范圍是.【答案】 6-24x44【分析】根據(jù)x的不同取值去絕對(duì)值計(jì)算即可；【詳解】當(dāng)x>4時(shí)，|x-4|+|x+2|=x-4+x+2=2x-2,；x>4,2x-2>6；當(dāng)-2WxW4時(shí)，-4|+|x+2|=4-x+x+2=6；當(dāng)x<-2時(shí)，|x—?+卜+2]=4—x—x—2=—2x+2,Vx<-2,??—2x+2>6；綜上所述：|x-4|+|x+2]的最小值為6,此時(shí)取值范圍為-24x44.故答案是：6；-24x44.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.(2022?全國?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))我們知道數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，例如|3-1|可表示為數(shù)軸上3和1這兩點(diǎn)的距離，而|3+1|即|3-(-1)|則表示3和-1這兩點(diǎn)的距離.式子卜-1|的幾何意義是數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，而|x+2|=|x-(-2)|,所以|x+2|的幾何意義就是數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與-2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，試探索：⑴直接寫出18-(-2)|=.⑵結(jié)合數(shù)軸，找出所有符合條件的整數(shù)x,|x-2|+|x+3|=5的所有整數(shù)的和.(3)由以上探索猜想，對(duì)于任何有理數(shù)x,|x+4|+|x-6|是否有最小值？如果有，請(qǐng)寫出最小值并說明理由；如果沒有，請(qǐng)說明理由.【答案】⑴10(2)-3,-2,-1,0,1.2,和為-3(3)有，10【分析】(I)根據(jù)有理數(shù)減法法則計(jì)算：(2)分析得到,一2|表示x與2的距離，卜+3|農(nóng)小一八3的距離，由|x—2|+|x+3|=5,確定—34x42,進(jìn)而解答;(3)設(shè)-4表示點(diǎn)4,6表示點(diǎn)B,x表示點(diǎn)尸，則A8=6-(T)=l(),分三種情況：當(dāng)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，當(dāng)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，當(dāng)尸在A、8之間時(shí)，分別求出最小值解答.(1)|8-(-2)|=10,故答案為10；(2)1一2|表示x與2的距離，卜+3|表示x與-3的距離，；卜一2|+卜+3|=5,：.-34X42,.?.整數(shù)B3,-2,-1,0,I,2,和為-3-20+0+1+2=3；|x+4|+|x-6|有最小值10,理由如下：設(shè)-4表示點(diǎn)A,6表示點(diǎn)8,x表示點(diǎn)P,則A3=6-(Y)=10,當(dāng)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，|x+4+|x-6|=R4+P8=P4+(R4+AB)=2R4+AB—2%+10>10,當(dāng)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，k+4|+|x—6|=/<4+PB=(AB+PB)+PB=AB+2PB=10+2PB>10,當(dāng)P在A、8之間時(shí)，|x+4|+|x-6|=PA+PB=AB=IO, |x+4|+|x-6|的最小值為10.【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，有理數(shù)絕對(duì)值計(jì)算，正確理解題中兩點(diǎn)之間的距離計(jì)算是解題的關(guān)鍵.(2022?全國?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))閱讀下面的材料：點(diǎn)A、8在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、h,A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為|A8|,當(dāng)4、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1,\AB\=\OB\=\b\=\a-b\x當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)：TOC\o"1-5"\h\zO(A) B OA B B AO BO A ? ? A -?? ? A - ? > — ? >0 b Oa b b a0 b0 a圖1 圖2 圖3 圖4①如圖2,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊：IAB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=\a-b\；②如圖3,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊：IAB|=|OB|-|OA|=||-|a|=-h-(-a)=|a-b\；③如圖4,點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊：IABI=|OAI+|OB|=IaI+IbI=a+(-6)=Ia-b\,綜上，數(shù)軸上4、8兩點(diǎn)之間的距離\AB\=\a-b\.回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是;(2)數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和8之間的距離是,如果|A8|=2,那么x為.(3)當(dāng)代數(shù)式Ix+1I+Ix-2|取最小值時(shí)，相應(yīng)的X的取值范圍是.【答案】(1)3,3,4(2)|x+l|,1或-3⑶—14x42【分析】(I)根據(jù)材料提供的方法進(jìn)行計(jì)算數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，緊緊抓住在數(shù)軸上48兩點(diǎn)之間的距離IAB|=Ia-b|解題即可.(2)根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離得到卜-(-1)|=2,然后根據(jù)絕對(duì)值的意義求出x的值.(3)把原題看成點(diǎn)x到點(diǎn)-1和點(diǎn)2的距離之和，即可得到答案.解：數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離為|5-2|=3,數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離為卜2-(-5)|=3,數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離為(-3)|=4；故答案為：3,3,4；(2)解：數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和8之間的距離是k-(-1)|=卜+1|,根據(jù)題意得卜+1|=2,即x+l=±2,所以k1或-3,故答案為|%+1|，1或-3；⑶解：代數(shù)式Ix+1I+|x-2|可以看成x到-1和2的距離和，只有在-1和2之間才會(huì)有最小距離3,所以x的取值為-IVXW2,故答案為：-14xW2.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離以及絕對(duì)值，重點(diǎn)是讀懂題干的兩點(diǎn)間的距離以及絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵.(2022?全國,七年級(jí)課時(shí)練習(xí))問題提出：學(xué)習(xí)了同為數(shù)軸上表示。的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之后，小凡所在數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)數(shù)軸上分別表示數(shù)。和數(shù)b的兩個(gè)點(diǎn)A,8之間的距離進(jìn)行了探究：

(1)利用數(shù)軸可知5與1兩點(diǎn)之間距離是:一般的，數(shù)軸上表示數(shù)，〃和數(shù)〃的兩點(diǎn)之間距離為.問題探究：(2)請(qǐng)求出|x-3|+|x-5|的最小值.問題解決：(3)如圖在十四運(yùn)的場地建設(shè)中有一條直線主干道L,L旁依次有3處防疫物資放置點(diǎn)A,B,C,已知48=800米，BC=1200米，現(xiàn)在設(shè)計(jì)在主干道L旁修建防疫物資配發(fā)點(diǎn)P,問尸建在直線L上的何處時(shí)，才能使得配發(fā)點(diǎn)尸到三處放置點(diǎn)路程之和最短？最短路程是多少？ ? ? ? ?& B C 【答案】(1)4,\m-n\.(2)2；(3)B,2000米，【分析】(1)數(shù)軸上表示5和I的兩點(diǎn)距離為4,數(shù)軸上表示數(shù)，”和數(shù)〃的兩點(diǎn)之間距離為|x-3|+|x-5|表示x的點(diǎn)到3和5兩點(diǎn)距離和，由到數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)取在這兩點(diǎn)之間，最小距離即是這兩個(gè)點(diǎn)的距離即可；(3)到數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)即是中間那個(gè)點(diǎn)，最小值是左右兩邊二點(diǎn)之間的距離.【詳解】解：(I)數(shù)軸上表示5和1的兩點(diǎn)距離為4,數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)”的兩點(diǎn)之間距離為|切-〃I：故答案為：4,\m-n\-Tk-3|表示x的點(diǎn)到3的點(diǎn)的距離，卜-5|表示x的點(diǎn)到5的點(diǎn)的距離，到數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)取在這兩點(diǎn)之間，最小距離即是這兩個(gè)點(diǎn)的距離，-3|+僅-5］的最小值為=|3-5|=2,???到數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)即是中間那個(gè)點(diǎn)，最小值是左右兩邊二點(diǎn)之間的距離，，當(dāng)配發(fā)點(diǎn)。在點(diǎn)8時(shí)，到三處放置點(diǎn)路程之和最短：即：最小距離和=A8+BC=800米+1200米=2000米.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值及數(shù)軸上點(diǎn)的距離，題目難度較大，解題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，理解絕對(duì)值的幾何意義.(2021?湖北孝感?七年級(jí)期中)同學(xué)們都知道，|5-(-2)|表示5與-2之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離.試探索：(1)計(jì)算15-(-2)=；(2)使得lx-H+lx+5|=6這樣的整數(shù)有(寫出所有符合條件的整數(shù))；(3)由以上探索猜想對(duì)于任何有理數(shù)x,式子|x-2|+|x+3.5|是否有最小值？如果有，請(qǐng)寫出其最小值,如果沒有，請(qǐng)說明理由.【答案】(D7；(2)-5,-4,-3,-2,-1,0,1；(3)有，最小值為5.5.

【分析】(1)直接去括號(hào)，再按照去絕對(duì)值的方法去絕對(duì)值就可以］(2)要x的整數(shù)值可以進(jìn)行分段計(jì)算，令戶5=0或『2=0時(shí)，分為3段進(jìn)行計(jì)算，最后確定x的值.(3)根據(jù)(2)方法去絕對(duì)值，分為3種情況去絕對(duì)值符號(hào)，計(jì)算三種不同情況的值，最后討論得出最小值.【詳解】解：(1)原式二|5+2|=7故答案為：7；(2)令x+5=0或x?l=0時(shí)，則x=?5或x=l當(dāng)x<-5時(shí)，:?-(x-l)-(x+5)=6,-x+l-x-5=6,x=-5(范圍內(nèi)不成立)^-5<x<l時(shí)，(x-1)+(x+5)=6,x+5-x+l=6,6=6?Ax=-5,-4,-3,-2,-1,0,1當(dāng)x>l時(shí)，(x-1)+(x+5)=6?x-l+x+5=6,2x=2,x=bx=l(范圍內(nèi)不成立)???綜上所述，符合條件的整數(shù)x有：?5,?4,?3,-2,?1,0,1；(3)令x?2=0或x+3.5=O時(shí)，則戶2或戶?3.5當(dāng)xv—3.5時(shí)，|X—214-1x+3.51=—x+2—x—3.5=—2x—1.5>5.5當(dāng)一3.5?工42時(shí)，|x-2|+|x+3.5|=-x+2+x+3.5=5.5當(dāng)x>2時(shí)，|x-2|+|x-f3.5|=x—2+x+3.5=2x+1.5>5.5???對(duì)于任何有理數(shù)x,式子1'-2|+|1+3.5||也有最小值，為5.5【點(diǎn)睛】此題主要考查了去絕對(duì)值和數(shù)軸相聯(lián)系的綜合試題以及去絕對(duì)值的方法和去絕對(duì)值在數(shù)軸上的運(yùn)用，難度較大，去絕對(duì)的關(guān)鍵是確定絕對(duì)值里面的數(shù)的正負(fù)性.(2022.浙江杭州.七年級(jí)期末)同學(xué)們都知道，|4-(-2)|表示4與-2的差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為4與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離：問理Ix-3|也可理解為x與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，試探索：(1)14-(-2)|=.(2)找出所有符合條件的整數(shù)x,使|x-4|+|x+2|=6成立，并說明理由(3)由以上探索猜想，對(duì)于任何有理數(shù)x,|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由.【答案】(1)6；(2)-2,-1,0,1,2,3,4,理由見解析；(3)有最小值為3【分析】(I)直接去括號(hào)，再按照去絕對(duì)值的方法去絕對(duì)值就可以了.(2)要x的整數(shù)值可以進(jìn)行分段計(jì)算，令*4=0或x+2=0時(shí)，分為3段進(jìn)行計(jì)算，最后確定x的值.(3)先得出岳3|+卜-6|的意義，從而得到x在3和6之間時(shí)(包含3和6)有最小值.【詳解】解：(1)原式=|4+2|=6,故答案為：6；(2)令『4=0或x+2=0時(shí)，則I或戶-2,當(dāng)x<-2時(shí)，(x-4)-(x+2)=6>...?x+4-x-2=6,.*.x=-2(范圍內(nèi)不成立)；當(dāng)?2VxV4時(shí)，(x-4)+(x+2)=6,A-x+4+x+2=6,:.6=6,/.x=-l,0,1?2,3；當(dāng)x>4時(shí)，:.(x-4)+(x+2)=6,?*.x-4+x+2=6,Ax=4(范圍內(nèi)不成立)，,綜上所述，符合條件的整數(shù)x有：?2,?1,0,1,2,3,4；|『3|+|『6|表示數(shù)軸上到3和6的距離之和，???當(dāng)x在3和6之間時(shí)(包含3和6),僅?3|+氐6|有最小值3.【點(diǎn)睛】本題是一道去絕對(duì)值和數(shù)軸相聯(lián)系的綜合試題，考查/取絕對(duì)值的方法，取絕對(duì)值在數(shù)軸上的運(yùn)用.難度較大.去絕對(duì)的關(guān)鍵是確定絕對(duì)值里面的數(shù)的正負(fù)性.7.(2022?山西?七年級(jí)階段練習(xí))A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為A8,點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)。，b,在數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)之間的距離48=卜-4A B - k - A 請(qǐng)用上面的知識(shí)解答下列問題：a° b(1)數(shù)軸上表示2和6的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示-1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示2和-3的兩點(diǎn)之間的距離是.(2)數(shù)軸上表示x和一2的兩點(diǎn)C和。之間的距離是；如果|C4=3,那么x為.(3)求k+1|+卜-2|的最小值.【答案】⑴4；2；5；(2)|x+2|；1或-5(3)3【分析】(1)直接利用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式：a計(jì)算即可：(2)先利用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式：鉆=|。-所|?算C和。之間的距離，再解絕對(duì)值方程即可；(3)由|x+l|+|x-2|表示x到-1的距離加上x到2的距離和，再畫出圖形，利用兩點(diǎn)之間，線段最短可得答案.【詳解】解：(I)數(shù)軸上表示2和6的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離是：6-2=4；數(shù)軸上表示-1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是：-1-(-3)=2；數(shù)軸上表示2和-3的兩點(diǎn)之間的距離是：2-(-3)=5；故答案為：4；2；5(2)數(shù)軸上表示x和—2的兩點(diǎn)C和O之間的距離是：卜-(-2)|=卜+2|；當(dāng)|C4=3,即|x+2|=3,.,.X+2=3或1+2=-3,1.。對(duì)應(yīng)的數(shù)可能是1或-5(3)|x+l|+k—2|表示X至IJ-1的距離力口上X至1J2的距離和,如圖,|x+l|HII I耳I1clII,當(dāng)-14x42時(shí)原式有最小值為-3-2-1ox1 2 3 4 5AB+BC=2-(-1)=3.【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，掌握利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是解題的關(guān)鍵.8.(2021?湖南邵陽?七年級(jí)期末)數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形進(jìn)行完美地結(jié)合.研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了很多重要的規(guī)律.譬如：數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為“、江則A、B兩點(diǎn)之間的距離A8=|a-b|,線段48的中點(diǎn)表示的數(shù)為等.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)4表示的數(shù)為-4,點(diǎn)B表示的數(shù)為2.——A ?-4 0 2(1)求線段AB的長和線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù).(2)找出所有符合條件的整數(shù)x,使得|%+1|+仇-2|=3.(3)并由此探索猜想，對(duì)于任意的有理數(shù)X,|%-2|+卜+4|是否有最小值，如果有，寫出最小值：如果沒有，請(qǐng)說明理由.3(4)點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,且x是方程2x-l=：x+l的解.數(shù)軸上是否存在一點(diǎn)P,使得以+P8=PC,若存在，寫出點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)AB=6,線段A8的中點(diǎn)表示的數(shù)為-1；(2)2,1,0、-1；(3)它的最小值是6；(4)存在，。點(diǎn)作對(duì)應(yīng)的數(shù)為-6或-2.【分析】(I)根據(jù)點(diǎn)A表示的數(shù)為Y,點(diǎn)8表示的數(shù)為2,代入AB=|a-q運(yùn)算即可：(2))根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義：x表示在數(shù)軸上，到-1和2兩點(diǎn)之和為3的點(diǎn)，運(yùn)算求解即可；(3)根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義：x表示在數(shù)軸上，到2和4兩點(diǎn)之和的最小值，運(yùn)算求解即可：(4)先解方程，算出x的值，然后根據(jù)題意計(jì)算即可.【詳解】解：(1)由題意得：AB=\-4-2|=6,-4+2線段A8的中點(diǎn)表示的數(shù)為：-y^=-lx表示在數(shù)軸上，到-1和2兩點(diǎn)之和為3的點(diǎn)，這些點(diǎn)在-1和2及其之間的數(shù)都滿足，所以符合條件的整數(shù)點(diǎn)有：2,1,0,-1.|x-2|+|x+4|在數(shù)軸上一點(diǎn)x到2與-4距離之和，設(shè)x表示的點(diǎn)為E當(dāng)￡在4的左邊時(shí)，此時(shí)距離之和=A8+AE=6+AE>6同理當(dāng)E在8的右邊時(shí)，此時(shí)距離之和=A8+8E=6+AE>6當(dāng)E與A或8重合時(shí)，此時(shí)距離之和=AE或EB=6當(dāng)E在AB之間時(shí)，，此時(shí)距離之和=AE+EB=AB=6所以它的最小值是16.(4)當(dāng)尸點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，PA+PB=PC,(-4-x)+(2-x)=4-x,x=-6.當(dāng)P點(diǎn)在AB之間時(shí)，RA+PB=PC,|-4-2|=4-x,x=-2.當(dāng)P點(diǎn)在8c之間時(shí)，PA+PB=PC,(x+4)+(x-2)=(4-x),x=1(不合題意，舍去).當(dāng)P點(diǎn)在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，PA+PB=PC,(x+4)+(x-2)=(x-4),x=-2(不合題意，舍去).所以P點(diǎn)作對(duì)應(yīng)的數(shù)為：-6或-2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸與絕對(duì)值，熟練掌握絕對(duì)值的幾何意義是解題的關(guān)鍵.(2022?浙江?七年級(jí)階段練習(xí))代數(shù)式?一1|一僅+6|-5的最大值是.【答案】2【詳解】試題解析:|x-“-|x+6|的最大值為1-(-6)=1+6=7,則代數(shù)式的最大值為7-5=2.點(diǎn)睛：|x-”-|x+6|表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到1與-6之差，最大值為I-(-6).(2022?湖南?長沙市怡海中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí))如圖1,點(diǎn)A,B,C是數(shù)軸上從左到