概率論-1二維隨機向量分布admin

第3機向

1一維 量及其分由于從二維推廣 一般無實質(zhì)性，我們重點討論二維隨機向量2 E是一個隨機試驗,e,設(shè)X1X1e,X2X2 ,XnXne 量X1,X2, ,Xn叫做n維隨機向量.請注意與一維情形的對照.3一、二維隨機向量的分布函數(shù)的定 設(shè)(X,Y)是二維隨機向量,對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)Fx,yPXx,Yy,x,yP(X (Y稱為二維隨機向量X,Y的分布函數(shù), 變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù).FxPXFxPXx,x4分布函數(shù)的函數(shù)值的幾Fx,yPXx,Y FxPXYx x,yxOXO

x Fx,y在x,y處的值為隨機向量X,Y落在 5二、二維隨機向量的聯(lián)合分布的求1、離散定義如果二維隨機向量XY)的全部可能為有限個或可列個,則稱(X,Y)為二維離散型隨機向量定義設(shè)X,Y的所有可能取值為xi,yji,j .稱P{Xxi,Yyj}pij,i,j 為X,Y的聯(lián)合概率分布.也可以用下聯(lián)合概XY 聯(lián)合概 p2

P{Xxk}pk,k為離散型 量X的概率分或概率函數(shù)或分布律 聯(lián)合概率分布有下面的性pijpij P{(X,Y)D} (xi,yj

7例袋中有5只球,其中2只白球,3只黑球,取球兩 X

第一次取

Y

第二次取白第二次取黑分別求出在重復(fù)抽樣和非重復(fù)抽樣兩XY)的聯(lián)合分布,及解：1.重復(fù)抽XY)的所有可能取值為P{X0,Y0}P{X0}P{Y0}22 P{X0,Y1}P{X0}P{Y1}23 P{X1,Y0}32 P{X1,Y1}33 例袋中有5只球,其中2只白球,3只黑球,取球兩 X

第一次取

Y

第二次取白第二次取黑非重復(fù)XY)的所有可能取值為P{X0,Y0}P{X0}P{Y0|X0}21 P{X0,Y1}P{X0}P{Y1|X0}23 P{X1,Y0}32 P{X1,Y1}32 9X00X001F(0,1)P{X0,Y1}

非重復(fù)X010313Y(0,1)·O·X010313Y(0,1)·O·,046 F(0,1)13 XY0101a12XY0101a12求:(1)常數(shù)a的取值

(xi,yj

pijP{X0,Y1}P{X0,Y1}P{X0,YP{X1,Y1}P{X1,Y0}XYXY0101a123P{X1,Y1}P{X1,Y1}P{X1,YP{X0,Y1}P{X0,YP{X1,Y1}P{X1,Y0}例設(shè) X |Y|1 X

|Y| |Y|1 求X1,X2的聯(lián)合概率分布

|Y|(X1,X2的所有可能取值為P{X10,X20}P{|Y|1,|Y|2}P{|Y|1P{|Y|2}1[2(2)1]2[1P{X10,X21}P{|Y|1,|Y|2}P{1|Y|2P{1Y2}2[(2)(1)]X |Y|1 X

|Y|

|Y|P{X11,X20}P{|Y|1,|Y|2}P{}P{X11,X21}P{|Y|1,|Y|2}P{|Y|2(1)1設(shè)隨量X1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取值,另一個隨量Y1到X中等可能地取一整數(shù)值.(3,3),(4,1),(4,2),(4,YX 2 1 111

1 1 4

已知 量X和Y的聯(lián)合概率分布(x (0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)P{X=x,Y=y}0.100.150.250.20 求：常數(shù)A；概率P{X≤1,Y≤1}；X、Y的概率分布解：顯

AP{X1,Y1}P{X1,Y1}P{X1,YP{X0,Y1}P{X0,YX的所有可能取值為,,P{X0}P{X0,Y0}P{X0,Y1}P{X1} P{X2}(x(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)0.100.150.250.20 Y的所有可能取值為,P{Y0}P{X0,Y0}P{X1,YP{X2,Y0}X的所有可能取值為,X的所有可能取值為,,P{XY0}P{X0,Y0}P{XY1}P{X0,Y1}P{X1,Y0}P{XY2}P{X2,Y0}P{X1,Y1}P{XY3}P{X2,Y1}率分別為0.2,0.5,以X,Y表示甲,乙 X01X012PY012P由X,Y的獨立性得(X,Y)的聯(lián)合概率分X

X~B(n,nP{Xm}Cmpmqnmn 回憶內(nèi)

f(x,D區(qū)域D的兩種表示方X型區(qū)域：Dxy|axbu1xyu2Obu2(Obf(x,D

bdxu2(x u1(x

f(x,u1(f(x,DY型區(qū)域：Dxy|cyd,v1yxv2f(x,y)dxdyD

ddyv2(y v1(y dv1(

f(x,

v2(例設(shè)區(qū)域D是由曲線yxyxy圍成區(qū)域,計算二重積分2 y

y解：顯然三條直線的焦點(0,0),(2,2),(2, X型：Dxy|2x0xy{(x,y)|0x2,xyY型：Dxy|0y2yxX型：D{(x,y)|2x0,xy {(x,y)|0x2,xy2}y

y2xydxdyD

2(x 2 220(x2

x(

x(x

00

2

y2||

)dx0 00

x(4

x2)dx x(x(y|

x(4x20 0(4xx3)dx(4xx (2x21x4 (2x21x4

44 y

y Y型：Dxy|0y2yx 22D2xydxdy0(y22D

y(y

2

x2 ||

00dy2、連續(xù)定義對于二維隨機向量(X,Y),若存在非負可積函數(shù)fx,y),使得對于平面上任意可度量區(qū)域D,都P{(x,y)D}f(x,D1或?qū)τ谌我鈞y,yFx,yx fu,vy X,Y的聯(lián)合概率密度函數(shù),記作X,Y~fx連續(xù)型隨機向量的密度函數(shù)fx,y)具有下面性f(x,y) f(x, PX,YDfx,ydxdyD注：滿足性質(zhì)(1),(2)的函數(shù)注：滿足性質(zhì)(1),(2)的函數(shù)f(x,y)也可以作某個二維連續(xù)型隨機向量的密度 (x,y)例設(shè)(X,Y)~f(x, f(x,y) (x,y)D,求 解：由

fxy)dxdy1得 f(x,y)dxdyλdxdyλdxdyλSD λ1,其中S表示區(qū)域的面積SDSD (x,y)D即fxyD

(x,y) (x,y)定義若(X,Y)~f(x, f(x,y)

(x,y)若若X~ f(x)b1ax在D內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域B的面積成正比，而與B的形狀及位置無關(guān).則質(zhì)點的(X,Y)Ae(xy例設(shè)(X,Y)~f(x, f(x,y)

x,y0, 求1.A;2.F(x, 3.(X,Y)落在區(qū)域內(nèi)的概率yP{YX 解：1由

f(x,

xyD

Ae(xy Ae e A(ex)|(ey)

A xF(x,y)x

(f

e(xy

x,yy y當x0y

f(x,y) 其YF(x,y)(fyx0,y yx0,yx0(0x

y 0(eudu)(evdv)0 (eu|x)(ev|y (1ex)(1ey

x0,y

x0,yF(x,y)

(1ex)(1ey x0,y 其 e(xyf(x,y)

x,yP{(X,Y)D}f(x,D 1(1xe(xy

其yxyD 1ex(1xe 1ex(ey)|1x 1ex(1ex10 1(e0

e1)dx(ex)|10(1e1)e110e(xyf(x,y)

x,y0,P{YX}f(x,y (xy

其Y (0

ex(1ex0 (e0

e2x(ex1e2x) 11 例設(shè) 量(X,Y)的概率密度k6xy, 0x2,2y4,yfx,yy

0, 其它確定常數(shù)k;求概率PX1,Y 解

3. 212

2

fx,y4

k

6xy2k2

2(6x)(22222

y2|4 3xdx k18. fx,y fx,y (2)PX1,Y

0x2,2y4,其它y431o213dx fx431o213 180dx26xy 11180(6x11

5 2 17 80

x 三、邊緣分二維聯(lián)合分布全面地反映了二維 (X,Y)的取值及其概率規(guī)律.而單個隨 也具有自己的概率分布.那么要問:二者之間有1、邊緣分布函二維隨機向量(X,Y)作為一個整體具有分布函FxyXY都是隨量也有各自的分布函數(shù),分別記FXxFYy,依次稱為二維隨機FXxPXxPXx,YFx,FYyPYyPX,YyF,yY 2、離散型隨機向量的邊P(Xxi,Yyj)pij i,j1,則(X,Y關(guān)于X的邊緣 PX

PX

,Y

yj

(X,Y)Y的邊緣分布

i1,2,PYyj

PXxi,Yyj

pijp.j1,2,注：pi.和p.j分別等于聯(lián)合概率分布表的行和與列和3030120123:(pi.,p.j,i,j1,2,3,4.0123pi.014000p0.41181800p1.420123pi.014000p0.41181800p1.4210p2.43p3.4p0. P{X0}P{X0,Y0}P{X0,Y1}P{X0,Y2} 000同 000同理：p1.1 14004 02.12124 124p3. 40123pi.014000p0.0123pi.014000p0.41181800p1.4210p2.43p3.4.2513111 48121648同理：p.1

0

48 48 48 481348 12 12 1616 48

00 12 1612 16 48

000 XpiXpi014114214314Yp.25481134824833483、連續(xù)型隨機向量的邊緣概率密X,Y~fx則X,YX的邊緣X~ (x)f(x)

f(x,

x Y~f(y)f(y) f(x,y)dxy 事實上

x

x,

fu,fXx

x

fx,y其中D{(x,y)|axb,cyd},求隨 X,Y的邊緣密度函數(shù)f1(x)和f2(y). axb,cyf(x,y)(ba)(d 當xa或x時,fX(x)f1(x) f(x,0dy axb,cyf(x,y)(ba)(d 當ax時,f1x

f(x,d dy1 d (ba)(d ax

bf(x)b 注意到X~U[a, 當yc或yd時,f2(y) f(x,y)dx0dy 當cyd時,f2(y) f(x,b dx1 b (ba)(d

d cyf(y)d2Y~U[c,d

若若X,Y)服從矩形區(qū)域Dxy|axbcyd上的均勻分布,則X~U[ab],Y~U[cd例設(shè)X,Y~fxy

x2yx,0x,yyyO求隨機向量X,Y的邊緣密度函數(shù)f1(xyyyO

1(xx2202(2

x23

0x3)0x(1

1) X,Y)服從D上的均勻分布.f(x,y)

x2yx,0x其當x0或x時,f1x)

f(x,y)dy當0x時,f1(x) f(x,xx2x

yf(x)

6(xx26(xx2 0x

y f(x,y)

x2yx,0x其 D{(x,y)|0y1,yx y當y0或y時,f2y當0y時,f2(y) f(x,y)dx

y

yx

6dx

yf(y)

y 0y X,Y~fx,y

x0,y0 求1.PX1,Y1};2.PXY};3f1x)和f2 .P{X1,Y1

f(x,1(6e2x3ydy)dx61e2x(e3 6(1e2x)|1(1e3y) (e21)(e3)e3(1e2

6e2x3 ff(x,y)6e2x30x0,y,P{XYP{XY}

(

6e2x3 6e2x

xe3

6e2x36e2x0

1e3y)|x 032e2x(e3x0302(e50

e2x 2(1e5x1e2x) 2(11) 6e2x3f(x,y)

x0y03fx)和f 當x時,f1x當x時,f1x

f(x,6e2x3ydy6e2xe3y036e2x3

1e3y)

02e20y 2e2

xf1(x)

6e2x3 ff(x,y)6e2x3x0y03fx)和f012當y時,f2y當y0時,f2y

f(x,6e2x3ydx6e3ye2x026e3y2

1e2x)

03e306e6e2x3 3e3

yf2(y)

四、 量的獨立1、兩個 量的獨立X,Y是兩個隨機向量,對abcdP(aXb,cYd)P(aXb)P(cYd1ab,P(Xa,Yb)P(Xa)P(Y可改為兩兩事件AB獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事A,B.它表明，兩個量相互它表明，兩個量相互獨立時，它們的聯(lián)分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積P(Xx,Yy)P(Xx)P(Y即Fx,y)FXx)FYP{Xxi,Yyj}pij,i,j1, 則X與Y相互獨立的充要條P{Xxi,Yyj}P{Xxi}P{Yyj},i,j1, 簡記為：pijpi.p.j,i,j1, 注：注：1對于任意的i,j,都有pijpipj.XX01p.04625169352535X01p.0132513335535i,j,都有pijpi.pjX與Y相互獨立

0,Y0}P{XP{X0}P{P{XX與Y不獨立 例已知 P P

P P

且P{XY0X0104014pX0104014p.1122解：(1P{XY0P{XY0}即0=P{XY1P{XY1P{X1,Y1}P{X1,Y1}4P{X1}P{Y0}

X與Y不獨立(X,Y)是連續(xù)型隨機向量,其密度函f(x,y)fX(x)fY(y),x,在一點處f(x0,y0)fX(x0)fY(y0)即可. 80設(shè)X,Y~fx,y0

0xy,判斷X與Y是否獨立f(x,y)8

0xyy18O1xDxy|0x1xy1}當x0或x時,fy18O1x當0x時,f1(x) f(x,1x xx

4x(y2|1

(x)

4x(1x2)4x4x34x4x3 0x f(x,y)8

0xy將區(qū)域D表示為Y型區(qū)域:Dxy|0y1,0xy}當y0或y時,f2y0;當0y時,f2(y) f(x,y

18 00

4y(x2|y4yy24y34 0yf2(y) f1(x)

4x4x3 0x

4 0yf2(y) (X,Y)~f(x,y) 0xy當x1y1時

f(x,y)2, (x)f(y)(21) 2 X與Y不獨立

2 設(shè)(X,Y)的概xe(xy)f(x,y)

x0,y 0, 其它解當x>0時,f1x

f(x, xe(xy00xex0xex

y)xex xf1(x) 其它f(x,y)f(x,y)xe(xy)x0,y

f(x,

xe(xy0ey

xexdxey(

xdexe

y(xex 0

e00ey(e0

|

eyeyf2(y)

y 其它xe(xy)f(x,y)

x0,y 其它xex xf1(x)

eyf2(y)

y 其 其它可見對一切xy,均有f(x,y)f1(x)f2(XY獨立2、多個 量的獨立定義設(shè)(X1,X2 ,Xn)是n維隨機向量,如對于任意的aibi,i1, P{a1X1b1,a2X2P{a1X1b1}P{a2X2或?qū)1,a2, ,an,

,anXnbn}P{anXnP{X1a1,X2a2P{X1a1}P{X2a2則稱X1,X2 ,Xn相互獨立可改為

,XnanP{Xnan離散型隨量X1X2Xn相互獨立的連續(xù)型隨量X1X2,,Xn定義稱隨量序列X1X2,…,Xn為相互獨立的,如果它們中任意n(n=2,3,…)個隨量五、 量函數(shù)的分1、Z=X+Y的分例設(shè) 量X1與X2相互獨立,分別服從二項分k解:Y的取值為:0,1,,n1n2.kP{Yk}P{X1i,X2kikkP{X1i}P{X2kkikCi piqn1iCkipkiqn2kkki

i

kqn1n2

kp C n1n2p C i XX1~B(n1,p),X2~B(n2,ikCik CikCik Ck0kkk

Ckiipkqn1n2k

kP{Yk}

qn1n2

CCk ,n1n2.Y~B(n1n2, 若X若X1~B(n1pX2~B(n2p且X1與X2獨立則Y~B(n1n2, 若(X,Y)~f(x,y),且X與Y相互獨立則ZXYfZ(z) fX(zy)fY(XY (x)XY

(z 若(X,Y)~f(x,y),X與Y相互獨立,且 0x

e

y0fX(x)0

fY(y)

y求ZXYffX(x)fY(z(y)dyY(zy)Xf(z)Zfyy0e(y)Yf0x0(x)Xf 解：fZ(z) fX(x)fY(zx)dx

fY(zzzxz

zz

fY(t)dt

fY(t當z時

(t)dtz當z10z

f(t)dt

zetdtzz zz當z1

fY(t)dt

etdtete1zeffX(x)00xfY(y)e0yyffZ(z) fX(zy)fY(y)dy fX(x)fY(z ZXY的密度函數(shù)為fZ(z)1e1ze

z0zznaX~ naμnaX~ naμiinaσ2ii 即:若X1~N(μ1,σ1),X2~N(μ2,σ2),X1X2獨立,正態(tài)分布正態(tài)分布的可X1+X2~N(μ1+μ2,σ1+σ2i即:若Xi~N(μi,σ2i=1,2,...,nX1X2Xni互獨立,實數(shù)a1,a2,...,an不全為零, 求Z1XYZ2XYX~N(0,1)和Y~N(0,1),且X和YZ1XY~N(0, Z2XY~N(0,

(z)

(z)

e2π22π2特別,若X1X2

Xn相互獨立,且Xi~Nμσ則X

nin1n

~N(i

σ2n1

X Xini

Xii1

~N(nin

μ,2σninN(n

nμ,

nσ2N(

1σ2nMzXYMzXYX，Y是兩個相互獨立的隨量，它們的分布函數(shù)分別為FX(xFY(y),我們M=max(X,Y)N=min(X,Y)的分布函數(shù).Mmax(X,Y的分布 XY相互獨立,于是Mmax(X,Y的分布FM(z)即 FM(z)=Nmin(X,Y的分布NzXYNzXY=1-XY相互獨立,Nmin(X,Y的分布即 FN(z)=1-[1-FX(z)][1-設(shè)X1,…,Xn是n個相互獨立的 量,它們分布函數(shù)分iFXzi

(i=1,…,我們來求M=max(X1,…,Xn和的分布函數(shù)用與二維時完全類似的方法M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為FMz1

z2

z n

zN=min(X1,…,Xn)的分布函 FNz1[1FXz][1FXz

zM z[FzMFNz1[1Fzn 設(shè)系統(tǒng)L由兩個相互獨立的子系統(tǒng)L1,L2連接而成,連接的方式分別為(i)串聯(lián),(ii)并聯(lián),(iii)備用(當系統(tǒng)L1損壞時,系統(tǒng)L2開始工作),如下圖所示.設(shè)L1,L2的 分別為X,Y,已知它們的概αeαx,x0 βeβy,y0fXx fYy0 x0 0 y0X其中α0,β0且αβ.試分別就以上三種連接方式寫出L的 XXXY Y 由于當系統(tǒng)L1L2中有一個損壞時,L就止工作

所以LYX為YXZminX,Yαeαx,x0f 0 x0xx

FXx

fXtxFXxx

fXtx0當x0時0

FXx