2023年人教版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)階段滾動(dòng)檢測(cè)試卷及答案(四)

階段滾動(dòng)檢測(cè)(四)120分鐘150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的..已知集合g{zwc|z2+21z|二o}，且則滿足條件的集合夕的個(gè)數(shù)是()A.2B.4C.6D.8【解析】選D.令z=a+bi(a,bGR),代入)+21z|=0得2—1+2，/+/+2a6i=0,b=2b=-2b=2b=-2解得a=0b=0a=0a=0所以z=0,或z=2i,或z=—2i,所以Q={0,2i,-2i},又醫(yī)0,則滿足題意的集合戶的個(gè)數(shù)為2：'=8..已知xeR,則“一3<水4”是“1g(*—X-2)〈1”的(A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【解析】選B.由已知得lg(V—x—2)<l=lg10,所以0<V—x—2C10,x—12=(x—4)(x+3)<0, [—3<K4,所以%2-a—2=(x-2)G+l)>0,所以fx>2或水-1,解得一3<水一1或2</4.所以“一3〈求4”是“1g(^—*一2)<1”的必要不充分條件..正方體力比248?！ǖ睦忾L(zhǎng)為2,￡是棱刃的中點(diǎn)，則平面4GE截該正方體所得的截面面積為()A.5B.2^5C.4mD.2乖【解析】選D.如圖所示，設(shè)夕為期的中點(diǎn)，連接"；FC、,設(shè)6為。G的中點(diǎn)，連接近，GB,由EG"AB旦EG=M得46應(yīng)'是平行四邊形，則AE〃BG豆AE=BG,又BG〃C\F豆BG=C\F,得力￡〃C6且4￡=CE則月比夕是平行四邊形，故平面4GK截該正方體所得的截面為AFQE.又正方體ABCAA\BCD\的棱長(zhǎng)為2,AF=FC\=EC產(chǎn)EA,ACt=2y[3,EF=2冊(cè),EFLAC,,故力寓￡的面積為S=；X2鏡義2小=2鄧.4.在正三棱柱4酩45。中，2AB=AA?則8c與平面A4/3所成角的正切值為（ ）A?乎B.fC.fDj【解析】選B.取心中點(diǎn)〃，連接BDCD,因?yàn)槿庵δ?5C為正三棱柱，所以△46。為等邊三角形，44_L平面力6G因?yàn)椤?6中點(diǎn)，Qt平面48C,所以CDLAB,CDLAA,,又AB,44u平面4486,ABC\AAt=A,所以QLL平面A4/6，所以5。與平面4456所成角為/紹〃,不妨設(shè)43=a,則44=郎=2a,所以徵=*a,54乎a,

CDa/rT 、后所以tanZ6^P=—=斗二,即8c與平面加//所成角的正切值為斗丁.D\U1/ I/5.已知向量&=3x3x,6=(—sin,5.已知向量&=3x3x,6=(—sin,—cos2），其中X25,JI.令函數(shù)f(x)—a?b,若c>f(x)恒成立,則實(shí)數(shù)c的取值范圍為（）(1,(1,+°0)(0,+8)(—1,(—1,+°°)(2,+°0)【解析】選A.f（x）.x3x【解析】選A.f（x）=a,b=-sin5cos——cos-sin-=—sin2x,又nW2xW2n,所以一IWsin2xW0,所以￡（才）0=1.又c〉f（x）恒成立，所以c>F（x）1Hx，即c>L所以實(shí)數(shù)c的取值范圍為（1,+°°）.一百零八塔是中國(guó)現(xiàn)存的大型古塔群之一，位于銀川市南60公里的青銅峽水庫(kù)西岸崖壁下，佛塔依山勢(shì)自上而下，按1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19的奇數(shù)排列成十二層，塔體分為4種類(lèi)型：第1層塔身覆缽式，2?4層為八角鼓腹錐頂狀，5?6層呈葫蘆狀,7?12層呈寶瓶狀，現(xiàn)將一百零八塔按從上到下，從左到右的順序依次編號(hào)1,2,3,4,108.則編號(hào)為26的佛塔所在層數(shù)和塔體形狀分別為（）一百零八塔全景一百零八塔全景A.第5層，呈葫蘆狀B.第6層，呈葫蘆狀C.第7層，呈寶瓶狀D.第8層，呈寶瓶狀【解析】選C.因?yàn)?+3+3+5+5+7=24,所以編號(hào)為26的佛塔在第7層，呈寶瓶狀.（2021?昆明模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體力比D46K〃中，若線段4〃上存在一點(diǎn)反使［￡+"￡取得最小值，則此最小值是（）

A.4 B.y[2+/C.2y/2+m D.8+4啦【解析】選C.如圖1,將△44。沿4〃所在直線翻折，使4G平面485,且點(diǎn)4與點(diǎn)5在直線4〃的異側(cè)，如圖2所示，因?yàn)椤晔蔷€段4〃上任意一點(diǎn)，所以力￡+5通仍，當(dāng)且僅當(dāng)4E,5三點(diǎn)共線時(shí)，AE+RE2 2 2取得最小值，此最小值即為AR,在△〃!石中，由余弦定理，得AB、=AAt+4々-244?48cos(450+90°)=8+4位，所以45=、8+4*=2、2+小.圖1 圖28.已知四面體ABCD,分別在棱AD,"比'上取〃+1(〃GN*,〃23)等分點(diǎn)，形成點(diǎn)列｛浦，｛凡｝,｛&｝,過(guò)4,Bk,C(A=1,2,…，n)作四面體的截面，記該截面的面積為的，則()A.數(shù)列｛胺｝為等差數(shù)列B.數(shù)列｛赫｝為等比數(shù)列C.數(shù)列亍為等差數(shù)列

D.數(shù)列D.數(shù)列為等比數(shù)列【解題指南】設(shè)15=a,CD=b,48與5所成角為夕，根據(jù)平行關(guān)系可利用〃，k,a,6表示出4氏，BC,根據(jù)面積公式得到場(chǎng)進(jìn)而得到一；利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)列是否滿足定義，由此得到結(jié)果.【解析】選C.設(shè)/Qa,CD=b,46與口所成角為"，由題知，ABJ/AB,BkCk//CD,根據(jù)平行線分線段成比例可知：48=1行線分線段成比例可知：48=1一日ka,B?W所以人械sin'(/?+1—A)k―(〃+02 absin%對(duì)于A,M+|-M(/?+1—A—l)(/?+1—A—l)(A+1)—(/?+1—kG+i)2absin8=(；+02absin9,則M+1一版不恒等于常數(shù)，則數(shù)列｛就｝恒為等差數(shù)列不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,守(z?+1—A—1)(4+1)((z?+1—A—1)(4+1)(〃+1)2

(〃+l—A)kabsin 、{n-k)(4+1)G+l)absin，與不恒等于不為零的常數(shù)，則數(shù)列｛始恒為等比數(shù)列不成立，B錯(cuò)誤;對(duì)于C,號(hào)=喏不，'nmil 對(duì)于C,號(hào)=喏不absin°,則寸~1~G+iFabsin'一n+l—k 〃 1 八G+T?abSin'一Gmsin8,即君一冷恒為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，c正確;…即君一冷恒為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，c正確;…A+l(〃+l)2對(duì)于D, =——~~-Mk 〃十I-k~k G+l)2'absin" n-k~~~=〃+1一4，absin0Mta+T即不恒等于不為零的常數(shù)，則杵K恒為等比數(shù)列不成立，D錯(cuò)誤.二、多選題：本題共二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分,有選錯(cuò)的得0分9.已知平面。={P|n?P（）P=。）,點(diǎn)&（1,2,3）,法向量〃=（1,1,1）,則下列各點(diǎn)中在平面a內(nèi)的是（）A.（3,2,1） B.（-2,5,4）C.（-3,4,5）D.（2,一4,8）【解析】選ACD.對(duì)于A：若P（3,2,1）,則代々（2,0,-2）,所以a?巴丘=1X2+1X0+1X（-2）=0,所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：若〃（一2,5,4）,則邪=（-3,3,1）,所以a?轉(zhuǎn)=-3Xl+3Xl+lXl=1WO,所以選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：若P（—3,4,5）,則昨=（一4,2,2）,所以P（p=-4X1+2X1+2X1=0,所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：若一（2,—4,8）,則P0P=（1,—6,5）,所以A?RjP=1X1—6X1+5X1=0,所以選項(xiàng)D正確.（2022?宜昌模擬）已知空間四點(diǎn)0（0，0,0）,力（0,1,2）,以2,0,-1）,。（3,2,1）,則下列說(shuō)法正確的是（ ）OA>OB=-2— — 2B.cos{0A,OB〉=一鼻C.點(diǎn)。到直線比'的距離為季D.0,A,B,C四點(diǎn)共面【解析】選AC.由題意，0A=(0,1,2),0B=(2,0,-1),0A?0B=0X2+1X0+2X(-1)=-2,A正確；cos〈湯，市〉丁=-F=—苫，B錯(cuò)誤；BC=(1,2,2),OB*BC-OA0B#X#52X1+OX2+（T）X2=0,所以南，反1,QB=小，所以點(diǎn)。到直線比'的距離為小，C正確；0C=（3,2,1）,假設(shè)若0,A,B,。四點(diǎn)共面，則湯，0B,花'共面，設(shè)無(wú)'=xOA

py=3+yOB,則｛x=2 ,此方程組無(wú)解，所以0,A,B,C四點(diǎn)不共面，D錯(cuò).〔2x一尸111.（2022?重慶模擬）如圖,在棱長(zhǎng)為11.（2022?重慶模擬）如圖,則正確的結(jié)論是（）A.B.異面直線/IP與4〃所成的角的取值范圍為[45°,90°]B.一、「C.直線GP與平面46〃所成角的正弦值的最大值為生C.D.的最小值為D.的最小值為止;這【解析】選AC.如圖,選項(xiàng)A,由力6」4反ACLBD,根據(jù)三垂線定理可知小」物，AC1BD、,又留A47,可得物，平面45G所以初上4凡所以A正確；選項(xiàng)B,當(dāng)點(diǎn)夕與線段5c的端點(diǎn)重合時(shí)，40與4〃所成角取得最小值為60°,所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C,因?yàn)橹本€月〃_L平面4G〃，所以若直線GPCB_亞_^6與平面4G〃所成角的正弦值最大，則直線GPCB_亞_^66c中點(diǎn)處，即所成角為NG6〃，設(shè)棱長(zhǎng)為1,在中，cos4C\BD、=所以C正確;JI選項(xiàng)D,將△力5c與△的。翻折到同一平面，則/〃絹=萬(wàn)，△/!a'是正三角形,所以答，AC=y）2,CD=l,4/=2+1—2/?1?（一曰）=3+*,所以如+力P的最小值為仍=73+#,所以D錯(cuò)誤.12.數(shù)學(xué)中有各式各樣富含詩(shī)意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類(lèi).螺旋線這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”.小明對(duì)螺旋線有著濃厚的興趣，連接嵌套的各個(gè)正方形的頂點(diǎn)就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，其具體作法是：在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,作它的內(nèi)接正方形EFGH,且使得/啊'=15°；再作正方形加第的內(nèi)接正方形MNPQ,且使得N/W=15°；類(lèi)似地，依次進(jìn)行下去，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示.設(shè)第〃個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為4（其中第1個(gè)正方形4發(fā)力的邊長(zhǎng)為a尸AB,第2個(gè)正方形加笫的邊長(zhǎng)為a2=EF,???）,第〃個(gè)直角三角形（陰影部分）的面積為S（其中第1個(gè)直角三角形力細(xì)的面積為S,第2個(gè)直角三角形反加的面積為S，…），則（）A.數(shù)列｛4｝是公比為|的等比數(shù)列1B.5i=—1乙C.數(shù)列｛s｝是公比為9的等比數(shù)列D.數(shù)列｛，｝的前〃項(xiàng)和北§【解析】選BD.如圖.由圖知，an=an+i(sin15°+cos15°)=a〃+iX啦sin(15°+45°)=~~an+X9對(duì)于A,4=乎a小，所以-=羋，｛&｝是公比為乎的等比數(shù)列，所以A不正確；對(duì)

Z Q,no 3于BC,因?yàn)閍〃=l于BC,因?yàn)閍〃=l義所以S=5,a〃+isin15°?a?+icos15°a1-001-89 12 3 ]「 2-公比為鼻的等比數(shù)列，所以B正確,C不正確;對(duì)于D,因?yàn)楸?」——--=71-（*）21——L」3g,所以D正確.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.設(shè)a=0.21°。z>=o.12°21,c=log0,210.12,則a,b,c的大小關(guān)系是.【解析】S0.1202,<0.12o12<0.21o,2<0.21°=1,log0210.12>log02,0.21=1,所以c>a>b.答案：c>a>b（2021?深圳模擬）已知a=（1,2,3）,b=（2,3,5）,則以a,6為鄰邊的平行四邊形面積是.【解析】因?yàn)閏os〈a,玲=|儲(chǔ)端薪 "g[0'，所以'5…=靠'所以以a,6為鄰邊的平行四邊形面積S=|a|?bsin〈a,6〉=/.答案：小已知正方體的底面邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)￡在線段4〃上，四棱錐648G〃的體積為43,則直線陽(yáng)以?shī)A角的正弦值為4【解析】因?yàn)樗睦忮FE45G〃的體積為W,O設(shè)￡到平面ABC出的距離為h,1 4則VE-ABGD尸飛X2X2X/?=-,解得力=1.

又因?yàn)檎襟w力比》456〃的底面邊長(zhǎng)為2,所以E為的中點(diǎn).連接他，EB,BD,如圖所示：所以N8即為直線BE、如夾角或其補(bǔ)角.BD=^+^=2^/2,ED=g^/22+22=小,蔗川2，+5)2=/，因?yàn)橥?+的=切，所以/則=90°,sin/頗=1.即直線跖龍夾角的正弦值為1.答案：1底面為正方形的正四棱柱內(nèi)接于底面半徑為1,高為2的圓錐，當(dāng)正四棱柱體積最大時(shí),該正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為.【解析】圓錐軸截面如下圖示，0,6分別是44,4中點(diǎn)，若正四棱柱的高、底面邊長(zhǎng)分別為h,a.、也、也則a=[-（2—2）且0＜東2,re1八， r1=1l.EFPGyl2a2—h所以O(shè)G=h,EF=y]2a,易知云=詬，即七一=~^~TOC\o"1-5"\h\z/1LJJtz 乙 乙ri-.1rm.+j_u-r,-, 2,h（2一力）"http://-4力2+4力所以正四棱柱體積為V=ah— ~nl” 3萬(wàn)一8力+4 （3力-2）（力-2）則『=——o——= o ，2所以V>0,有,，遞增;2V<0,有§</K2,/遞減;2故/]--時(shí)，最大，此時(shí)a=半(2號(hào))=平/1OJ o答案：逑四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(10分)已知數(shù)列｛4｝,其前〃項(xiàng)和記為S,滿足a2+a=10,al,+2=Sn+-S^(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)"=」一，求數(shù)列｛仇｝的前〃項(xiàng)和7；【解析】(1)因?yàn)镾+1—S=a.+i=a0+2,所以a0+1—a〃=2即｛4｝是等差數(shù)列，且公差d=2,又名+?=2囪+4410,國(guó)=1,所以a“=l+2(〃-1)=2n—1即a?=2n—1(2)因?yàn)?=(2〃-1)(2〃+1)=2(2/7-1-2/?+1]'所以。1r1,11, , 1 1"1 1< 1)nann=211-3+3-5+-+2^T_2^hJ=5〔1一/=^+T，即北=苗"A-L.D(12分)在a'中，內(nèi)角4,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,并且sin2-~=sinC+-\y3+1.⑴求角。的大??；(2)若己=2/，c=2,求6.【解析】(1)因?yàn)?ssin2——(sinC+m+1)=0,c所以2班cos2"~(sinC+y]3+1)=0.即?1+ '一(sin+1)=0,即，5cosC—sin0=1,所以cos7因?yàn)镃為△力歐的內(nèi)角，所以0＜以叫ji n7n所以太＜C+—＜-T-，0 0 0JT JT JT從而c+—=—,所以c=—,0 3 0(2)因?yàn)閍=2/，c=2,所以由余弦定理得勺b'+(2^3)2-2XbX2y[3cosy=2,即萬(wàn)-66+8=0,解得b=2或。=4.(12分)如圖，四棱錐A力故?的底面是邊長(zhǎng)為2m的菱形，ND4B=60°,PA=PB=PD,頂點(diǎn)P在底面上的投影為0,側(cè)棱陽(yáng)與底面4靦所成角的正切值為明.(1)證明：比’1.平面產(chǎn)〃A(2)若￡為用的中點(diǎn)，求。到平面8應(yīng)'的距離.【解析】(D因?yàn)樗睦忮F848口的底面是菱形，且N%4=60°,所以△?!叫是等邊三角形.因?yàn)镻A=PB=PD,所以三棱錐門(mén)力龍是正三棱錐，所以頂點(diǎn)月在底面上的投影為〃為正△力班的中心，所以O(shè)BLAD.又AD〃BC,所以BCtOB,因?yàn)锽CLPO,POC0B=0,所以3d平面P0B.(2)因?yàn)樗睦忮F只月靦的底面是邊長(zhǎng)為人份的菱形，/OAB=60°,PA=PB=PD,頂點(diǎn)P在底面上的投影為0,2所以0A=0B=0D=2y[6Xsin60°X-=2^2,o由(1)可得/儂就是側(cè)棱陽(yáng)與底面/靦所成的角，因?yàn)閭?cè)棱陽(yáng)與底面力靦所成角的正切值為鏡.所以%=如+用=郎+/6=2物=4小，OC*FB=g?4-\/2?#=4小,因?yàn)榇?底面[靦，/為星的中點(diǎn)，故￡到底面46徵的距離為g0P=2,cri,t1r8m所以V&fj()c=qX4yj3X2=& ,O oPC=7pG+0G=4小,因?yàn)閼?yīng)'為直角三角形尸斜邊上的中點(diǎn)，所以￡。=:尸。=24，乙因?yàn)镻B=7pG+0E=2#,所以P8=BC,可得BE=7bG-EC=2小,所以等腰三角形〃瓦'的面積8砌=；X2^2X^/12-2=2#.設(shè)。到平面仇厲的距離為d,由Vc-we=V^goc，可得§X2y[5*d=1X8-^3,解得d=5 "(12分)如圖，四棱錐門(mén)力靦中，平面PW_L平面力靦，AB//CD,AB=3DC=6,BQ2Mp.(1)求證：6￥〃平面必。；(2)若力gl,ADIDC,勿JlPC且勿=PC求直線◎/與平面為6所成角的度數(shù).【解析】(1)如圖,PNPM1 1取線段用的靠近產(chǎn)的三等分點(diǎn)為,連接見(jiàn)NM,則法=礪而，所以小"6且*=§「 L 1AB,又DC//AB^.DC=~AB,o所以四邊形戚"1為平行四邊形，所以DN//CM,又Dg平面PAD,狽平面PAD,所以CW平面PAD.(2)如圖，取切中點(diǎn)為0,連接0P,過(guò)。作0E〃AD交AB于E,因?yàn)槠矫嬉沧屍矫媪t，OPLDC,由面面垂直的性質(zhì)定理知，0P上平面4BCD所以直線OP,0C,龐'兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，分別以射線/0C,切的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則4(1,-1,0),2(0,0,1),5(1,5,0),C(0,1,0).2 1 2 2所以唬=CB+BM=CB+彳帝=(§,-,-),AB=(0,6,0),AP=(-1,1,1),設(shè)平面為6的法向量為9=(x,y,z),in,~AB=0, 16y=0,則＜ 即＜.,八取x=l,得卬=(1,0,1),[m-AP=0, 1+±=0，

sil、~CM*ma/2所以cos{CM,ni)= =+-,I制屈2設(shè)cv與平面為6所成的角為e,書(shū)則sin0=2,0=45°,所以直線◎/與平面為6所成的角為45°.21.(12分)已知梯形身或如圖121.(12分)已知梯形身或如圖1所示,1的正方形，沿4〃將四邊形被"'折起,1的正方形，沿4〃將四邊形被"'折起,使得平面曲心平面力仇力，得到如圖2所示的幾何體.(1)求證：平面4￡C_L平面以應(yīng);(2)求點(diǎn)6到平面4班'的距離;(3)若點(diǎn)〃在線段版上，且功與平面弼所成角的正弦值為,，求線段加的長(zhǎng)度.【解析】(1)因?yàn)槠矫姹灰?，平面力夕切，〃氏平面被訪，平面曲6n平面ABCD=AD,DELAD,所以陽(yáng)1平面ABCD,因?yàn)榱Ρ绕矫鍭BCD,所以DELAC.因?yàn)樗倪呅瘟t是正方形，所以因?yàn)辇?，BDa平面BDE,DECBD=D,所以4C_L平面應(yīng)應(yīng)，因?yàn)槠矫?T,所以平面平面BDE；⑵過(guò)點(diǎn)6作作于點(diǎn)G,

因?yàn)槠矫鏄I(yè)廖L平面ABCD,平面ADEFC平面ABCD=AD,Afc平面4頗，ABLAD,所以4員L平面ADEF,又用z平面加阱，所以力8，咫又力80/￡=4AB,Afc平面/龐；所以人￡1平面力陽(yáng)所以線段戶G的長(zhǎng)即為點(diǎn)尸到平面4座'的距離，m=1，4￡=季，11Sm卬=]X1X1=2，11『小-?AE*FG=~,得砥=、-,即點(diǎn)尸到平面4跖的距離為當(dāng)；（3）如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則￡（0,0,2）,尸（1,0,1）,5（1,1,0）,￡F=(1)0,—1),帝=(0