高一數(shù)學(xué)壓軸題選（附答案）

試卷第=page6060頁，總=sectionpages6161頁高一壓軸題選學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、多選題1．對，表示不超過的最大整數(shù)，十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”，則下列命題中正確的是（）A．,B．,C．函數(shù)（）的值域為D．若,使得，，，,同時成立，則整數(shù)的最大值是5【答案】ACD【分析】由定義得，可判斷A；由，得，可判斷B；由，得得函數(shù)的值域，可判斷C；根據(jù)，，，，，推出不存在同時滿足，．而時，存在滿足題意，可判斷D.【詳解】由定義，所以若，，A正確；，，∴，∴，B錯誤；由定義，∴，∴函數(shù)的值域是，C正確；若，使得同時成立，則，，，，，，因為，若，則不存在同時滿足，．只有時，存在滿足題意，正確.故選：ACD．【點睛】本題考查取整函數(shù)定義，正確理解定義是解題基礎(chǔ)．性質(zhì)1對任意x∈R，均有x-1<[x]≤x<[x]+1；性質(zhì)2取整函數(shù)(高斯函數(shù))是一個不減函數(shù)，即對任意x1，x2∈R，若x1≤x2，則[x1]≤[x2]；性質(zhì)3若x，y∈R，則[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1；性質(zhì)4若n∈N+，x∈R，則[nx]≥n[x]；性質(zhì)5若n∈N+，x∈R+，則在區(qū)間[1，x]內(nèi)，恰好有[x/n]個整數(shù)是n的倍數(shù)；利用性質(zhì)解決問題．2．設(shè)函數(shù)，則（）A． B．的最大值為C．在單調(diào)遞增 D．在單調(diào)遞減【答案】AD【分析】先證明為周期函數(shù)，周期為，從而A正確，再利用輔助角公式可判斷B的正誤，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號可判斷CD的正誤．【詳解】的定義域為，且，，故A正確．又，令，則，其中，故即，故，當(dāng)時，有，此時即，故，故B錯誤．，當(dāng)時，，故在為減函數(shù)，故D正確．當(dāng)時，，故，因為為增函數(shù)且，而在為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故在有唯一解，故當(dāng)時，即，故在為減函數(shù)，故C不正確．故選：AD【點睛】方法點睛：與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)雜函數(shù)的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而單調(diào)性的研究需看函數(shù)解析式的形式，比如正弦型函數(shù)或余弦型函數(shù)可利用整體法來研究，而分式形式則可利用導(dǎo)數(shù)來研究，注意輔助角公式在求最值中的應(yīng)用．3．設(shè)函數(shù)，，則（）A．的最小正周期可能為 B．為偶函數(shù)C．當(dāng)時，的最小值為 D．存a，b使在上單調(diào)遞增【答案】BCD【分析】A．分析是否恒成立；B．分析函數(shù)定義域，根據(jù)的關(guān)系判斷是否為偶函數(shù)；C．采用換元法，將寫成分段函數(shù)的形式，然后分析每一段函數(shù)的取值范圍，由此確定出最小值；D．分析時的情況，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法進行分析判斷.【詳解】A．因為，所以，所以不一定成立，所以不恒成立，所以的最小正周期不可能為，故錯誤；B．因為的定義域為，關(guān)于原點對稱；又因為，所以為偶函數(shù)，故正確；C．因為，所以，所以令，記，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上可知：的最小值為，取最小值時，故正確；D．取，所以，所以，所以，所以，又因為在上單調(diào)遞減，且時，，且在時單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法可知：在上單調(diào)遞增，所以存在使在上單調(diào)遞增，故正確，故選：BCD.【點睛】思路點睛：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法：（1）先分析函數(shù)定義域，然后判斷外層函數(shù)的單調(diào)性，再判斷內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相同時，則函數(shù)為遞增函數(shù)；（3）當(dāng)內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相反時，則函數(shù)為遞減函數(shù).4．已知函數(shù)，，則（）A．在上單調(diào)遞減 B．是周期為的函數(shù)C．有對稱軸 D．函數(shù)在上有3個零點【答案】BD【分析】先判斷出是周期為的函數(shù)，再在給定的范圍上研究的單調(diào)性和零點，從而可判斷BCD的正誤，再利用反證法可判斷C不正確.【詳解】因為，故是周期為的函數(shù)，故B正確.當(dāng)時，，因為，而在為增函數(shù)，故在為增函數(shù)，故A錯誤.由可得或或，故D正確.若的圖象有對稱軸，因為的周期為，故可設(shè)，則對任意的恒成立，所以即①，也有即②，也有即③，由②③可得，故，由①②可得，故或.若，則，而，若，則這與對任意的恒成立矛盾，故D不成立.故選：BD.【點睛】方法點睛：與三角函數(shù)相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)的研究，應(yīng)該依據(jù)一定次序，比如先研究函數(shù)的奇偶性或周期性，再根據(jù)前者把函數(shù)的研究限制在一定的范圍內(nèi)進行討論.5．下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（）．A．如果，那么取得最大值時的值為B．如果，，，那么的最小值為6C．函數(shù)的最小值為2D．如果，，且，那么的最小值為2【答案】AB【分析】A.將其配成頂點坐標(biāo)式即可得出答案；B.將其配成代入即可得其最小值；C.函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)此時無解D.根據(jù)題意構(gòu)造，將“1”替換為，代入用基本不等式.【詳解】解：對于A.如果，那么，當(dāng)時取得最大值，故正確；對于B.如果，，則整理得，所以或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，故正確；對于C.函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)此時無解，不能取得最小值2，故錯誤；對于D.如果，，且，那么當(dāng)且僅當(dāng)即時取得最小值，故錯誤.故選：AB【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.6．已知正實數(shù)x，y，z滿足，則（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】令則，可得：，，利用對數(shù)的換底公式計算可判斷選項A，驗證是否正確可判斷選項B，由于，比較可判處選項C，利用基本不等式可判斷選項D，進而可得正確選項.【詳解】令則，可得：，，對于選項A：，若則，因為，所以，故選項A不正確；對于選項B：由可得，即，因為，所以，即，故選項B正確；對于選項C：，因為，所以，因為，所以，即，即，故選項C正確；對于選項D：，，因為，因為所以等號不成立，所以，即，所以，故選項D不正確.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是令則，可得：，，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)以及換底公式化簡每一個選項的等式，注意利用基本不等式時等號能否成立.二、單選題7．已知函數(shù)，其中表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，關(guān)于有下述四個結(jié)論：①的一個周期是；②是非奇非偶函數(shù)；③在單調(diào)遞減；④的最大值大于．其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．①②④ B．②④ C．①③ D．①②【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)周期的定義判斷①正確，利用特值判斷函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，得到②正確，根據(jù)取整函數(shù)的定義，可以判斷在上函數(shù)值是確定的一個值，得到③錯誤，利用得到④正確，從而得到結(jié)果.【詳解】因為，所以的一個周期是，①正確；又，④正確；又，，所以，，所以是非奇非偶函數(shù)，所以②正確；當(dāng)時，，，所以，所以，所以③錯誤；綜上所以正確的結(jié)論的序號是①②④，故選：A．【點睛】該題考查三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的辨析，涉及到的知識點有取整函數(shù)，奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合應(yīng)用，屬于較難題目.8．已知函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù).設(shè)，定義函數(shù)，則下列說法正確的有（）個.①的定義域為；②設(shè)，，則；③；④，則M中至少含有8個元素.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】先對分兩段和化簡，再對各項分析判斷正誤：對①，由，分段解不等式，求得函數(shù)的定義域，判斷正誤；對②，由題中的對應(yīng)法則，求出集合，判斷正誤；對③，計算得到其周期性，計算得到，判斷正誤；對④，綜合①②③的分析，判斷正誤.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，則對①，有，則或，得，即定義域為，故①正確；對②，當(dāng)時，成立；當(dāng)時，成立；當(dāng)時，成立，所以故②項正確。對③，，，，一般地即有故③正確。對④，由①可知,所以則所以，由②知,對恒有所以則，由③知，對恒有所以綜上所述,，所以中至少含有8個元素，故④正確。故選：D.【點睛】本題考查了函數(shù)的概念及性質(zhì)的應(yīng)用，考查了新定義函數(shù)的理解與應(yīng)用，考查了學(xué)生分析理解能力，邏輯推理能力，難度較大.9．設(shè)函數(shù)的最大值為5，則的最小值為（）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)，利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出是奇函數(shù)，結(jié)合條件得出的最大值和最小值，從而得出的最小值.【詳解】解：由題可知，，設(shè)，其定義域為，又，即，由于，即，所以是奇函數(shù)，而，由題可知，函數(shù)的最大值為5，則函數(shù)的最大值為：5-3=2，由于是奇函數(shù)，得的最小值為-2，所以的最小值為：-2+3=1.故選：B.【點睛】本題考查利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，以及奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用和函數(shù)最值的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.10．設(shè)函數(shù)，下列四個命題中真命題的序號是（）(1)是偶函數(shù)；(2)當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值；(3)在上是增函數(shù)；(4)方程有無數(shù)個實根.A． B． C． D．【答案】A【分析】由可判斷（1）；根據(jù)絕對值的幾何意義可得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），可判斷（2）；在內(nèi)有，可判斷（3）；根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，且時，，所以要使成立，需或，或，解得可判斷（4）.【詳解】由得，所以為偶函數(shù)，故（1）正確；根據(jù)絕對值的幾何意義可得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以（2）不正確；，，所以，所以（3）不正確；因為函數(shù)為偶函數(shù)，且時，，所以使成立，需或，或，解得無解或或或所以或，所以方程有無數(shù)個實根，所以（4）正確；所以正確命題的序號是（1）（4），故選A.【點睛】本題考查含絕對值符號的函數(shù)的奇偶性、最值和絕對值三角不等式的運用，屬于難度題，解決的關(guān)鍵在于理解絕對值三角不等式的成立的條件，表示的意義，以及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷.11．已知函數(shù)（）的一個對稱中心為，且將的圖象向右平移個單位所得到的函數(shù)為偶函數(shù).若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由是對稱中心，可得，由平移后的函數(shù)為偶函數(shù)可得，可求得的關(guān)系式及，由代入可知恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，結(jié)合可求得實數(shù)m的取值范圍.【詳解】是函數(shù)（）的一個對稱中心，①的圖像向右平移個單位得到的函數(shù)為，為偶函數(shù)，②由①②可知，，解得：又所以對任意，不等式恒成立，即恒成立即恒成立，又且，，解得：所以實數(shù)m的取值范圍是故選：B【點睛】方法點睛：本題考查不等式的恒成立問題，不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖像在上方即可)；③討論最值或恒成立.12．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，當(dāng)時，取到最大值2，若將函數(shù)的圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍得到函數(shù)的圖像，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先設(shè)函數(shù)，由條件確定周期和的范圍，再利用對稱性求出對稱中心和對稱軸，求，代入求，利用伸縮變換求，最后解不等式.【詳解】函數(shù)的最大值為2，，在區(qū)間上單調(diào)，所以，即，，即，，是函數(shù)的對稱軸，，是函數(shù)的對稱中心，和是函數(shù)相鄰的對稱軸和對稱中心，，得，當(dāng)時，取到最大值2，，，當(dāng)時，，，根據(jù)題意可知，，，解得：，.的解集是.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是對稱性和周期性的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵由條件確定相鄰的對稱軸和對稱中心.13．已知函數(shù)函數(shù)滿足以下三點條件：①定義域為；②對任意，有；③當(dāng)時，．則函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先考慮當(dāng)時，無零點，在平面直角坐標(biāo)系中畫出當(dāng)時、的圖象后可得兩者圖象交點的個數(shù)，從而可得函數(shù)零點的個數(shù).【詳解】當(dāng)時，，故，同理可得當(dāng)時，，此時，故在無零點，同理在也無零點.因為，故將上的圖象向右平移個單位后，圖象伸長為原來的兩倍，在平面直角坐標(biāo)系，、在上的圖象如圖所示：因為，故、在上的圖象共有5個不同交點，下證：當(dāng)，有且只有一個零點.此時，而，故在上為減函數(shù)，故當(dāng)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故、在上的圖象共有6個不同交點，即在有6個不同的零點，故選：A.【點睛】方法點睛：函數(shù)的零點問題，可轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)的圖象的交點問題，刻畫后者的圖象時，注意利用圖象變換來處理.14．已知使不等式成立的任意一個x，都滿足不等式，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】可分解因式，分三類，，求解不等式解集，利用不等式的解集是的子集，求解a的取值范圍.【詳解】由題意，，得，由，得因為使不等式成立的任意一個x，都滿足不等式①若，則的解集為，滿足，符合題意②若，則的解集為，則，故，則③若，則則的解集為，則，故綜上有：a的取值范圍為故選：B【點睛】本題考查了含參的一元二次不等式的解法問題，可先將給定式子十字相乘因式分解，根據(jù)一元二次不等式所對應(yīng)的方程的根的大小分類討論，寫出解集.如若不能十字相乘分解，需要先對判別式與零的大小關(guān)系進行討論，判別式大于等于零時，用求根公式求出對應(yīng)方程的根，從而寫出解集.15．已知函數(shù)，若，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過函數(shù)解析式可推得，再利用倒序相加法求得，得到的值，然后對分類討論利用基本不等式求最值即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，令則所以所以，所以，其中，則.當(dāng)時當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立；因為，所以的最小值為.故選：A.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.16．已知，則的最大值是（）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】利用均值不等式及三角換元法，即可得到結(jié)果.【詳解】令，等號在時取到．故選：A【點睛】本題考查利用基本不等式求最值問題，考查了三角換元法，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題.17．已知函數(shù)，記集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)A,B解集的關(guān)系求得的根，再根據(jù)不等式恒成立解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】可設(shè)，則為方程的兩個根，因為所以恒成立，因此由恒成立得恒成立，即故選：B【點睛】本題考查二次函數(shù)、二次方程與二次不等式關(guān)系，考查綜合分析求解能力，屬較難題.18．設(shè)，則取得最小值時，的值為（）A． B．2 C．4 D．【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化條件為原式，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時，等號成立.故選：A.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.三、解答題20．已知?分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，滿足，且，.（1）求實數(shù)的值及和的表達式；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個不等實數(shù)根，求常數(shù)的取值范圍.【答案】（1），，；（2）.【分析】（1）令根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到，又，即可求出參數(shù)的值，從而得到，再令，得到方程組，即可求出函數(shù)的解析式；（2）依題意即方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個不等實根.令，將原方程轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性可將問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實根，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：（1）由已知，，以代，得，因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，又因為，所以，∴，由已知，①，以代，得，因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以②，聯(lián)立①②可得，，，（2）依題意即方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個不等實根.顯然不是該方程的根，所以令，由得，則原方程可變形為，易知函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，且題意轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實根.易知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，又時，，所以，(此時每一個，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個值與之對應(yīng))∴的取值范圍是.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)方程思想，轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.21．已知函數(shù)我們定義其中（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并給出理由；（2）求方程的實數(shù)根個數(shù)；（3）已知實數(shù)滿足其中求實數(shù)的所有可能值構(gòu)成的集合.【答案】（1）偶函數(shù)；答案見解析；（2）實數(shù)根個數(shù)為11；（3）.【分析】（1）由函數(shù)奇偶性的定義運算即可得解；（2）令，轉(zhuǎn)化條件為或或或，再解方程即可得解；（3）按照、分類，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，再代入驗證即可得解.【詳解】（1）因為的定義域關(guān)于原點是對稱的，又，故函數(shù)是偶函數(shù)；（2）令，則，于是，于是或又，解得或或或，則方程的實數(shù)根個數(shù)即為或或或的根的總個數(shù)，解得或或或或或，所以方程的實數(shù)根個數(shù)為11；（3）因為，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，且，，則的值域均為，①當(dāng)時，，于是，因為當(dāng)時，，所以，所以，即，注意到在單調(diào)遞減，于是，于是，②當(dāng)時，類比同理可得，于是當(dāng)且時，，若，其中，，則，即，也就是；當(dāng)時，因為的值域為，所以存在使得，又，所以，即，所以實數(shù)的所有可能值構(gòu)成的集合為.【點睛】本題考查了函數(shù)奇偶性、函數(shù)與方程及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查了運算求解能力，屬于難題.22．對定義在上的函數(shù)和常數(shù)，，若恒成立，則稱為函數(shù)的一個“凱森數(shù)對”.（1）若是的一個“凱森數(shù)對”，且，求；（2）已知函數(shù)與的定義域都為，問它們是否存在“凱森數(shù)對”？分別給出判斷并說明理由；（3）若是的一個“凱森數(shù)對”，且當(dāng)時，，求在區(qū)間上的不動點個數(shù)（函數(shù)的不動點即為方程的解）.【答案】（1）7；（2）存在“凱森數(shù)對”，不存在“凱森數(shù)對”；（3）0.【分析】（1）由定義有，因此由這個遞推式由已知可依次計算出；（2）根據(jù)新定義對兩個函數(shù)分別判斷；（3）求出時，的解析式，然后解方程，此方程在上無解，從而無不動點，由此可得在上無不動點．【詳解】（1）由題意，∵，∴，，，；（2）設(shè)是的一個“凱森數(shù)對”，則，即，由于是上的任意實數(shù)，∴，∴存在“凱森數(shù)對”，設(shè)是的一個“凱森數(shù)對”，則，對確定的，此等式最多有兩個使它能成立，不可能對上的任意實數(shù)都成立，∴不存在“凱森數(shù)對”．（3）根據(jù)新定義，，當(dāng)（）時，，，由，得，解得或，均不屬于，即在上無不動點．由于，∴在上無不動點．不動點個數(shù)為0.【點睛】本題考查函數(shù)的新定義問題，解題關(guān)鍵是把新定義轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒等式．由新定義得遞推關(guān)系，從而可解決特殊的求值，求函數(shù)解析式等問題．23．若函數(shù)對定義域內(nèi)的每一個值，在其定義域內(nèi)都存在，使成立，則稱該函數(shù)為“圓滿函數(shù)”.已知函數(shù)；（1）判斷函數(shù)是否為“圓滿函數(shù)”，并說明理由；（2）設(shè)，證明：有且只有一個零點，且.【答案】（1）不是“圓滿函數(shù)”，理由見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）取特殊值，代入“圓滿函數(shù)”的定義，判斷是否有實數(shù)能滿足；（2）當(dāng)時，利用零點存在性定理討論存在零點，以及當(dāng)時，證明在上沒有零點，再化簡，轉(zhuǎn)化為證明不等式.【詳解】解：（1）若是“圓滿函數(shù)”.取，存在，使得，即，整理得，但是，矛盾，所以不是“圓滿函數(shù)”.（2）易知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷.①當(dāng)時，因為與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.因為，，所以.根據(jù)函數(shù)零點存在定理，存在，使得，所以在上有且只有一個零點.②當(dāng)時，因為單調(diào)遞增，所以，因為.所以，所以在上沒有零點.綜上：有且只有一個零點.因為，即，所以，.因為在上單調(diào)遞減，所以，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是根據(jù)零點存在性定理先說明零點存在，并且存在，使得，再利用，化簡，利用，利用函數(shù)的最值證明不等式..24．設(shè)是由個實數(shù)構(gòu)成的一個有序數(shù)組，記作．其中稱為數(shù)組的“元”，稱為數(shù)組的“元”的下標(biāo)，如果數(shù)組中的每個“元”都是來自數(shù)組中不同下標(biāo)的“元”，則稱為的“子數(shù)組”．定義兩個數(shù)組，的“關(guān)系數(shù)”為．（1）若，，且中的任意兩個“元”互不相等，的含有兩個“元”的不同“子數(shù)組”共有個，分別記為．①；②若，，記，求的最大值與最小值；（2）若，，且，為的含有三個“元”的“子數(shù)組”，求的最大值．【答案】（1）①6；②最大值為199，最小值為5；（2）1【分析】（1）①根據(jù)“子數(shù)組”的定義可得；②不妨設(shè)，則可得，根據(jù)可得最值；（2）分為中含0和不含0兩種情況進行分類討論，再結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）①根據(jù)“子數(shù)組”的定義可得，的含有兩個“元”的不同“子數(shù)組”有共6個，；②不妨設(shè)，，因為，則當(dāng)時，取得最大值為，當(dāng)是連續(xù)的四個整數(shù)時，取得最小值為；（2）由，且可知，實數(shù)具有對稱性，故分為中含0和不含0兩種情況進行分類討論，①當(dāng)0是中的“元”時，由于中的三個“元”都相等及B中三個“元”的對稱性，可只計算的最大值，因為，則，可得，故當(dāng)時達到最大值，故；②當(dāng)0不是中的“元”時，，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值，故，綜上，.【點睛】本題考查新定義問題，解題的關(guān)鍵是正確理解子數(shù)組的定義以及“關(guān)系數(shù)”的定義，巧妙利用不等式的性質(zhì)求解.25．已知奇函數(shù)在上有定義，且在上是增函數(shù)，，又，，設(shè)，，求．【答案】【分析】先根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性解得或，則得，根據(jù)得出恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可.【詳解】∵是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，∴在上也是增函數(shù)，又，，從而，當(dāng)時，有或，則集合或，，由，得，，則整理可得，令，則，令，則，在單調(diào)遞減，，，.【點睛】本題考查函數(shù)不等式問題，解題的關(guān)鍵是利用奇偶性和單調(diào)性解出，從而得出，求得恒成立即可.26．對任意實數(shù)a，b，定義函數(shù)，已知函數(shù)，，記．（1）若對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若2m﹣n＝2，且m∈[6，+∞），求使得等式H(x)＝f(x)成立的x的取值范圍；（3）在（2）的條件下，求H(x)在區(qū)間[0，6]上的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用判別式可求的取值范圍.（2）由題設(shè)可得當(dāng)時，有恒成立，就、分類討論后可得的取值范圍.（3）根據(jù)（2）的結(jié)論可得，就、分類討論后可得所求的最小值.【詳解】解：（1）由題意可得，恒成立，即對任意的x恒成立，所以＝m2﹣12≤0，解得；（2）因為2m﹣n＝2，所以f(x)＝x2﹣mx+2m﹣2，由知，，若當(dāng)時，，則當(dāng)時，有恒成立，①當(dāng)時，，所以，又因為，所以；②當(dāng)時，，所以，因為，，所以2﹣x＞0，m﹣2＞0，所以上式不成立；綜上可知，x的取值范圍是；（3）由（2）知，且，即，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，①當(dāng)時，有，此時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上，，②當(dāng)時，即時，；故在上，.綜上．【點睛】方法點睛：（1）對于恒成立，要弄清楚在什么范圍上恒成立，如果在上恒成立，可考慮利用判別式的正負來討論.（2）分段函數(shù)的最小值問題，應(yīng)該逐段討論，取各段中的最小值的最小值，必要時需分類討論.27．已知函數(shù)，，其中.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；（2）求關(guān)于的不等式的解集；（3）當(dāng)時，設(shè)，若的最小值為，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）.【分析】（1）由得到，.然后令利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，然后分，，三種情況討論求解.（3）根據(jù)，由時，，令，，分，求其值域，當(dāng)時，由根據(jù)，得到，然后再根據(jù)的最小值為求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，.令，則，所以的值域為.（2）因為，即，所以，當(dāng)即時，解集為；當(dāng)即時，解集為，當(dāng)即時，解集為.（3）因為，①當(dāng)時，，令，，則，所以當(dāng)時，（1），，（2），，②當(dāng)時，，即，因為，所以，..若，，此時，符合題意；.若，(舍)；.若，，此時，不符合題意.綜上，實數(shù).【點睛】方法點睛：含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要比較(相應(yīng)方程)根的大小，對參數(shù)進行分類討論：(1)若二次項系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對參數(shù)進行討論；若不易分解因式，則可對判別式進行分類討論；(2)若二次項系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項是否為零，然后再討論二次項系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式；(3)其次對相應(yīng)方程的根進行討論，比較大小，以便寫出解集．28．已知x，y∈R，且滿足4x+y+2xy+1=0，則x2+y2+x+4y的最小值是_______.【答案】【分析】將已知整理為，令2，得，即可將所求最值的關(guān)于xy的表達式轉(zhuǎn)化為mn的表達式，整理后由均值不等式可求得最小值.【詳解】因為4x+y+2xy+1=0，則4x+y+2xy+2=1，即令2，所以所以x2+y2+x+4y由均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)取等號所以x2+y2+x+4y的最小值為.故答案為：【點睛】本題考查利用均值不等式求最值，屬于難題.四、填空題29．定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)給定區(qū)間上存在，滿足，則稱函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”，是它的一個均值點．例如y=|x|是上的“平均值函數(shù)”，0就是它的均值點．給出以下命題：①函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”．②若是上的“平均值函數(shù)”，則它的均值點x0≥．③若函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是．④若是區(qū)間[a.，b]（b>a.≥1）上的“平均值函數(shù)”，是它的一個均值點，則．其中的真命題有_________．（寫出所有真命題的序號）【答案】①③④【分析】直接利用定義判斷①的正誤；利用反例判斷②的正誤；利用定義推出m的范圍判斷③的正誤；利用分析法直接證明，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可證明④的正誤.【詳解】解：①由，可得由，可得滿足“平均值函數(shù)”，故①正確；②舉反例，令，，可得，又，故②錯誤；③由函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”，所以關(guān)于的方程：在區(qū)間內(nèi)有實數(shù)根，由，可得，可得，或，又，故必為均值點，即，可得，故③正確；④由題意得：，要證明，即證明：，令，原式子等價于：，令，可得，故在區(qū)間是減函數(shù)，故，故④正確；故答案為：①③④.【點睛】本題主要考查新定義的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及分析法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力.30．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.若對任意，不等式恒成立，則的最小值是___________.【答案】【分析】由題意，的圖象始終在的上方，結(jié)合圖象可知，，進而得解．【詳解】解：如圖，作出的圖象，因為，所以的圖象始終在的上方，所以時，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．31．已知滿足，若對任意的，恒成立，則實數(shù)k的最小值為________．【答案】4【分析】觀察可構(gòu)造函數(shù),分析其性質(zhì)得出的關(guān)系再進行不等式恒成立的運用即可.【詳解】設(shè),則為往右平移兩個單位得來.又為單調(diào)遞增的奇函數(shù),且關(guān)于對稱.故為單調(diào)遞增的函數(shù)且關(guān)于對稱.又可知關(guān)于對稱.故,即.又對任意的,恒成立.即恒成立.故判別式,得.故的最小值為4.故答案為：4【點睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性與恒成立問題.其中構(gòu)造函數(shù)進行分析是關(guān)鍵,屬于難題.32．當(dāng)x、y∈（0，1）時，的最大值是______.【答案】【分析】，花括號內(nèi)三個數(shù)的底數(shù)相同，則對其指數(shù)進行比較，當(dāng)為最小時，得到，并求出最小值的最大值，然后討論當(dāng)時，分別研究當(dāng)最小，和最小時，對應(yīng)的范圍，從而得到每種情況下的最大值，并對三中情況進行判斷，從而得到結(jié)果.【詳解】x、y∈（0，1）時，可知花括號內(nèi)三個數(shù)的底數(shù)相同，則對其指數(shù)進行比較，①當(dāng)為最小時，，得所以，即，此時；當(dāng)，則或者為最小，②當(dāng)為最小時，，則，此時，③當(dāng)為最小時，，則，此時，所以，綜上所述，的最大值為，故答案為：.【點睛】本題考查運用函數(shù)思想解決問題，考查了函數(shù)的值域，不等式的性質(zhì)，對抽象思維要求較高，屬于難題.33．已知函數(shù)，，且函數(shù)的最大值為5，則實數(shù)________.【答案】【分析】利用二倍角公式和輔助角公式，將函數(shù)變形為，令，由絕對值三角不等式得到，然后再由基本不等式變形，結(jié)合最大值為5求解.【詳解】函數(shù)，，，令，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以，解得，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：將函數(shù)變形為是本題求解的關(guān)鍵.34．已知，，若對于，使得，則實數(shù)m的取值范圍是_________．【答案】【分析】先分析題意即，再利用單調(diào)性求解的最小值和的最小值，解不等式即得結(jié)果.【詳解】依題意，對于，使得，只需.時，，，故當(dāng)，即時，單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，單調(diào)遞減.而函數(shù)，顯然在單調(diào)遞減.故根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.對于，，當(dāng)時，故是單調(diào)遞減的，當(dāng)時，故是單調(diào)遞增的，故.故依題意知，，即.所以實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集.35．已知函數(shù)（），集合，，若，則的取值范圍為______.【答案】【分析】先根據(jù)，利用求得的范圍，再求出集合，利用，即可求解.【詳解】解：，即有解，由知：，解得：或，又，，令，解得：，故，，令，即，又，易知：，，故，即，又，故恒成立，即，又，即，即，解得：，又，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是利用得出.36．已知為正實數(shù)，則的取值范圍是_______.【答案】【分析】先將分式的分子分母同除以，然后采用換元的方法令，根據(jù)基本不等式的變形求解出原式的最小值，再根據(jù)分析原式的最大值，由此求解出原式的取值范圍.【詳解】因為，令，因為，所以，所以原式，又因為，所以，所以，所以原式，取等號時，即，又因為時，，綜上可知原式的取值范圍是，故答案為：.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.37．已知，，且，則的最大值為____．【答案】【分析】由，，利用均值不等式得，解得的取值范圍，進而求得的最大值.【詳解】由，，得，即又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等，故，解得或（舍）故，即的最大值為，故答案為：.38．已知，且，則的最小值時___________.【答案】【分析】將配成，利用基本不等式可求最小值.【詳解】由，且，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值是4，故答案為：4.【點睛】方法點睛：應(yīng)用基本不等式求最值時，需遵循“一正二定三相等”，如果原代數(shù)式中沒有積為定值或和為定值，則需要對給定的代數(shù)變形以產(chǎn)生和為定值或積為定值的局部結(jié)構(gòu)，求最值時要關(guān)注取等條件的驗證，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與劃歸能力與運算求解能力，屬于中檔題.39．已知，，，則的最小值為___________.【答案】【分析】利用代入，將式子進行齊次化處理，變?yōu)椋M一步使用均值不等式即可.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以的最小值為.故答案為：.【點睛】易錯點睛：值得注意的是，如果直接將式子拆分化簡，變成兩個式子分別求最值的話，會發(fā)現(xiàn)等號是取不到的，所以我們采用“齊次化”的方法，將代入處理.40．若對任意實數(shù)，則最小值是______.【答案】8【分析】令，則，然后利用基本不等式可得到答案.【詳解】令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號.故答案為：8【點睛】方法點睛：在多次運用基本不等式求最值時，一定要檢驗等號成立的條件是否一致，不一致的話求出來的最值是取不到的.41．設(shè)，若時均有，則________．【答案】【分析】考慮，，三種情況，設(shè)，，根據(jù)圖像知過點，帶入計算得到答案.【詳解】，當(dāng)時，，不滿足題意；當(dāng)時，時，，，不滿足題意；當(dāng)時，設(shè)，，函數(shù)均過定點，函數(shù)與軸的交點為，如圖當(dāng)直線繞旋轉(zhuǎn)時，只有當(dāng)與都交于x軸時才能滿足，故過點，即，解得或（舍去）.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是分類討論，，三種情況，構(gòu)造函數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值正負的討論，考查學(xué)生的分類討論思想與數(shù)形結(jié)合能力及運算求解能力，屬于中檔題.42．若不等式對任意的恒成立，則的最大值為______.【答案】【分析】由題分析得到，，再求得兩函數(shù)的零點，分析得出若不等式對任意的恒成立，則有，再利用基本不等式求得最大值得解.【詳解】時，有成立，所以時，有，所以令的零點是，在上，在上的零點是，在上，在上若不等式對任意的恒成立，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故答案為：【點睛】解含參數(shù)的一元二次不等式時分類討論的依據(jù)(1)二次項中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于，小于，還是大于，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的形式．(2)當(dāng)不等式對應(yīng)方程的實根的個數(shù)不確定時，討論判別式與的關(guān)系．(3)確定無實根時可直接寫出解集，確定方程有兩個實根時，要討論兩實根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．43．若非負實數(shù)滿足，則的最大值為_____.【答案】【分析】令，結(jié)合題意，得到，根據(jù)關(guān)于的方程必須有解，利用，求得以，即可求解.【詳解】令，則，兩邊平方，可得，（1）因為，所以，（2）由（1）（2）可得，整理得，因為關(guān)于的方程必須有解，所以，解得，因為，所以，所以的最大值為16，即的最大值為.故答案為：.【點睛】解答中把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程必