淺談反比例函數(shù)在高中數(shù)學中的應用

淺談反比例函數(shù)在高中數(shù)學中的應用

王興濤【Summary】高中數(shù)學具有很強的抽象性和復雜性，學生不容易學懂，教師應該結(jié)合數(shù)學知識的本質(zhì)，在數(shù)學教學中引導學生進行數(shù)學思想的靈活運用，通過數(shù)學思想來進行數(shù)學問題的分析和解決，往往可以起到事半功倍的效果.筆者將利用反比例函數(shù)的一些性質(zhì)，與高中數(shù)學教學內(nèi)容有機地結(jié)合，將復雜的、未知的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為學生已知的數(shù)學問題，從而幫助學生解決問題，提高學生學習效率.【Key】反比例函數(shù);高中數(shù)學;教學應用新課改的背景下，高中教師在數(shù)學教學的過程中，要結(jié)合學生已知的知識，引導學生進行知識和經(jīng)驗的遷移，在學生原有的知識基礎上進行新知識的引入，增加教學的趣味性、互動性，以便達到拋磚引玉、層層深入的教學效果.下面將以反比例函數(shù)在高中數(shù)學教學中的應用為例進行探討，以幫助學生更好地理解數(shù)學思想，增強學生的問題分析和解決能力，促進學生的數(shù)學核心素養(yǎng)的提升.一、反比例函數(shù)對稱性在高中數(shù)學教學中的應用反比例函數(shù)是中學數(shù)學中常見的函數(shù)，其表達式為y=kx（k為常數(shù)，k≠0），通過反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)可知，反比例函數(shù)關于坐標原點中心對稱.因此，在一些數(shù)學問題的分析和解決中，應用反比例函數(shù)的對稱性，既可以簡化解題步驟，也能夠有效地提高解題效率.例1

已知函數(shù)y=ax（a≠0）與反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）交于兩點P，Q，并且ak>0，已知其中一點P的坐標為（5，-1），那么點Q的坐標是多少？通常的思路是將點P的坐標代入到函數(shù)的解析中，構(gòu)建方程組，通過解方程的方法對點Q的坐標進行求解.這種方法比較常規(guī)，由于涉及反比例函數(shù)，運算會比較復雜，學生不容易求出正確的結(jié)果，費時費力.這時，通過反比例函數(shù)圖像的對稱性進行分析問題，就能很容易得出點Q的坐標.由于題目中的函數(shù)都關于原點對稱，因此，二者的交點也關于原點對稱，那么很容易就得到點Q的坐標（-5，1）.例2

如圖所示，半徑為2的圓O1與圓O2相切于坐標原點，反比例函數(shù)y=kx（k>0）與O1和O2分別交于A，B，C，D四點，現(xiàn)在從圓O1和圓O2內(nèi)任意取一個點，求這個點取自陰影部分內(nèi)的概率？本題是一個幾何概型問題，圖中的陰影面積并不能夠直接求出，這就需要運用到反比例函數(shù)關于原點對稱的性質(zhì)，由于圓O1與圓O2也關于原點對稱，因此，可以將陰影部分面積進行對稱，得到一個半圓，這樣問題就迎刃而解了.即所求的概率為12÷2=14.反比例函數(shù)的對稱性對解決高中數(shù)學問題往往具有重要的作用，是數(shù)學思想的具體應用，可以有效地提高學生的問題分析能力，促進學生思維能力和數(shù)學抽象能力的發(fā)展.二、反比例函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學教學中的應用單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，在解決問題時巧妙應用反比例函數(shù)的單調(diào)性，往往可以化繁為簡、化難為易，讓學生輕松發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的本質(zhì)，有效地解決問題，提高學生的自主學習效率，培養(yǎng)學生的數(shù)學思想方法.例3

已知x>0，y>0，滿足條件x+y=k（k為常數(shù)，k>0），那么x2x+1+y2y+1的取值范圍是多少？本題的常規(guī)解法是將含有兩個未知數(shù)的式子x2x+1+y2y+1通過已知條件轉(zhuǎn)化為含有一個未知數(shù)的式子，從而運用有關函數(shù)或不等式的性質(zhì)進行分析和判斷，進行解決.然而，由于在上式中應用消元法會破壞式子原有的結(jié)構(gòu)，引入k，將問題復雜化.因此，可以先將式子進行化簡，然后通過換元法構(gòu)造反比例函數(shù)，運用反比例函數(shù)的單調(diào)性解決問題.x2x+1+y2y+1=x2+y2+xy（x+y）x+y+xy+1=（x+y）2-2xy+xy（x+y）x+y+xy+1，將已知條件代入得（k-2）xy+k2k+xy+1，令t=k+xy+1，則xy=t-（k+1），可得k+1<t≤（k+2）24.則（k-2）xy+k2k+xy+1=（k-2）[t-（k+1）]+k2t=k+2t+k-2，此時可以構(gòu)造反比例函數(shù)f（t）=k+2t，則根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以得到f（t）在k+1，（k+2）24上遞減，因此，得到f（k+2）24≤f（t）<f（k+1），則4k+2≤f（t）<k+2k+1，這樣x2x+1+y2y+1的取值范圍就可以求出，即k2k+2，k2k+1.總而言之，在高中數(shù)學教學中應用反比例函數(shù)，可以增強學生的解題效率，提高學生的思維能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學思想.高中數(shù)學教師要善于從試題中發(fā)現(xiàn)資源，引導學生進行分析，讓學生能夠在學習中感受到數(shù)學思想，體會反比例函數(shù)性質(zhì)的應用，從而促進學生自主學習效率的提升，提高教學質(zhì)量.【Reference】[1]劉長友.巧用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義[J].初中生世界，2016（8）：33-34.[2]王合清.