平面向量中的的最值阿波羅尼斯圓

三、阿波羅尼斯背景展示阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓

錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一。公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平而軌跡》一書中，曾研究了眾多的平而軌跡問題，其中有如下結(jié)果:到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動點(diǎn)軌跡為直線或圓.結(jié)果:到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動點(diǎn)軌跡為直線或圓.如圖，為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓.證：設(shè)AB=2m（m>O\PA=APB-以A3中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線43為x軸建立平而直角坐標(biāo)系，則A（-加,0）,B（m,0）.又設(shè)C（x,y）如圖，為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓.證：設(shè)AB=2m（m>O\PA=APB-以A3中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線43為x軸建立平而直角坐標(biāo)系，則A（-加,0）,B（m,0）.又設(shè)C（x,y），則由PA=APB得yj（x+m）23+y2=2八（x-/?）2+y,兩邊平方并化簡整理得（才一1）X2-2m（22+1）x+（才一1）），2=〃？2（1一才），當(dāng)兄=1時(shí).％=0,軌跡為線段A3的垂直平分線；.4曲22+1當(dāng)兄H1:：-，軌跡為以點(diǎn)（h—心0）為圓心，長為半徑的圓.時(shí)，-方一1”/C_1上述課本習(xí)題的一般化情形就是阿波羅尼斯宦理.例1：（2008.江蘇卷，13題）滿足條件AB=ZAC=>J2B（BAA3C的面積的最大值是（）【解析1】顯然這又是一例“阿波羅圓”，建立建立直角坐標(biāo)系.因?yàn)橛衏=h2=>/2?代入阿波羅圓公式得：（x-3）2+y2=8o設(shè)圓M%M,顯然CM［兀軸時(shí)，A4BC而積最大，此時(shí)|CM|=2>/2,/.（=1-2.272=2八2.【解析2】利用余弦定理和函數(shù)的最值問題處理設(shè)AC=41BC=，所以：cosC=?:匚4?.匚，〔+嚴(yán)廠2y/2x22邁X42該方法從余弦泄理入手4則：S=M肋sinC=4雖然入手簡單，但計(jì)算量較大，得分率不高./丫44-?4x2-16A—，所以：當(dāng)X2=n時(shí)，Swc的最大值為2d-+=_〒+6X—1=-(X—3)2+8S8,???卜|52運(yùn),以43中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線43為兀軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(—1,0),B(h0),+=_〒+6X—1=-(X—3)2+8S8,???卜|52運(yùn),則Swe=-x?2卜I<2八2，所以的最大值是2邁-2【解析4】性質(zhì)1:r=MB?M4性質(zhì)2：評注：既然存在，說明英軌跡不包括與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)P、Q,現(xiàn)在問P0這兩點(diǎn)究竟有什么性質(zhì)？DA(JA眼一..■?.H(::〒=>r2=AM-BM由于莎二忑二邁，：?CP為'aaBC的內(nèi)角平分線；同理，CQ為aabC的外角平分線。這就是說P0分別是線段A3的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)，而PQ1E是阿氏圓的直徑。于是'’阿波羅尼斯圓”在中國又被稱為“內(nèi)外圓”.因此，又有如下的軸上簡潔解法：?-?動點(diǎn)C到泄點(diǎn)力(-1,0)和3(1,0)距離之比為血，則有l(wèi)x+ll=V2IX-1I,=>x2+2x4-1=2(正一2x+l)=>X2—6x+l=0=>x=3±2\/2f??.得心=3-2近為內(nèi)分點(diǎn)，x2=3+2八2為外分點(diǎn).圓半徑『二+(吃-州)=2血，即為三角形高的最大值，即AABC高的最大值是2“.故AABC的面積的最大值是2八2?例2：(2006,四川文8理6)已知兩定點(diǎn)4(-2,0)5(1,0),如果動點(diǎn)p滿足|凸二料，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的而積等于()A?“B.4龍C.8zrD.9兀【解析】顯然這又是一個(gè)阿波羅圓，由上述評注我們可以實(shí)行軸上解決。設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，注意到|OA|=2|OB|,可知原點(diǎn)0為線段A3的內(nèi)分點(diǎn).設(shè)AB的外分點(diǎn)為C(x,0),由舒=2n廿=2=>x=4,即有C(4,0).于是圓直徑為|OC|=2廠=4,.??廣=2,所求軌跡面積S=qT=4兀，故選B.評注：本題條件中的關(guān)于〉’軸不對稱，所以直接用阿波羅圓公式不恰當(dāng)，但由于知道軌跡一泄是圓，圓面積只2cA13與半徑有關(guān)，而半徑公式為r=-T7P>當(dāng)c=-|/lB|=-,2=2時(shí)，直接代入即得r=2o例3：AABC中，角C的平分線交A3于點(diǎn)T、且AT=2JB=若ABh的高線長為2,求AABC的周長.【解析】直角坐標(biāo)系，由條件知兄二的外分點(diǎn)為G(x,O),VAl=—GBA—1馨爵2,故點(diǎn)C的軌跡是阿波羅圓D，的內(nèi)分點(diǎn)。設(shè)AB=2,???x=4,即圓直徑|TG|=2r=4,r=2,故點(diǎn)D(2,0)-已知A4BC中AB上的高線長為2,即仞工叭且|CD|=2,由勾股定理得:\CA\=2"5問=&v\AB\=3,故所求三角形A4BC的周長心肚=3+3腐?例4?有關(guān)性質(zhì):【解析】直角坐標(biāo)系，由條件知兄二的外分點(diǎn)為G(x,O),VAl=—GBA—1滿足上而條件的阿波羅尼斯圓的直徑的兩端是按照左比人內(nèi)分A3和外分A3所得的兩個(gè)分點(diǎn):直線CM平分ZACB,直線GV平分ZACB的外角;-AMAN——=——BMBNCM±CN兄>1時(shí)，點(diǎn)B在圓O內(nèi)：0</lvl,點(diǎn)A在圓O內(nèi):若AC.AD是切線，則CD與AO的交點(diǎn)即為B；⑦若點(diǎn)3做圓0的不與CD重合的弦EF,則A3平分ZEAF：例5.(2006四川高考理)已知兩泄點(diǎn)A(—2,0).3(1,0).如果動點(diǎn)F滿足\PA\=2\PB\,則點(diǎn)F的軌跡所包用的圖形的而積等于()扎7TB.4?rC.87F解：B的最大值為例6.(2008江蘇高考)AABC中，AB=2,AC=2BC，貝ij答案：-3例7.AABC中，AB=4,C4:CB=5:3,則肚的最大值為答案：一2阿波羅尼斯圓的PA+kPB應(yīng)用一.背景介紹:的最大值為“PA+k?PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。當(dāng)k值為1時(shí)，即可轉(zhuǎn)化為“PA+PB”之和最短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模型來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對稱問題來處理。而當(dāng)k取任意不為1的正數(shù)時(shí)，若再以常規(guī)的軸對稱思想來解決問題，則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問題的處理通常以動點(diǎn)P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。即點(diǎn)P在宜線上運(yùn)動和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動。其中點(diǎn)P在宜線上運(yùn)動的類型稱之為“胡不歸”問題；點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動的類型稱之為“阿氏圓”問題。阿波羅尼斯圓模型建立如圖1所示，QO的半徑為r,點(diǎn)A、B都在00夕卜，P為0O上一動點(diǎn)，已知旦-0B，連接PA、PB，則當(dāng)“PAH?PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？模型解讀：最早見篁PA+PB”型問題應(yīng)該是在“將軍飲馬”問題中，而本題多了一個(gè)，故如何確左"k?PB”的大小是關(guān)鍵，如圖2,在線段0B上截取0C使0C"?r,則可說明^BPO與^PC0相似，即k-PB二PCO故本題求“PA+k-PB的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC，^最小值，其中與A與C為定點(diǎn)P為動點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，aPA"PC〃值最小。如圖3圖2圖3

“阿氏圓”模型破解策略圖2圖3【破解策略詳細(xì)步驟解析】第?步：連接動點(diǎn)于圓心0（?般將含有k的線段兩端點(diǎn)分別與圓心。相連），即連接OB、OPx第二步：計(jì)算出線段OP與OB及OP與OA的線段比，找到線段比為k的情況，如例了中的一二kOBOCOP第三步：在。〃上取點(diǎn)C,使得麗加（核心關(guān)鍵步驟）第四步：連接AC.與OO的交點(diǎn)即為點(diǎn)OCOP回顧圖2,在OB上取點(diǎn)C構(gòu)建一二一一的目的是為了形成〃母了型相似模型”，’‘母了?型相似”的構(gòu)建是“阿OPOB氏圓”模型破解的“核武器”，“母了型相似”?出，“阿氏圓”宜接秒殺。將圖2中^BPO單獨(dú)提取出，如圖4,上色渲染的△PCOs'bpo、就是“母了型相似模型”，“母/型相似模型”的特點(diǎn)如圖4,APCO與HBPO有公共ocOP角ZO,且一二一一（在某些角度處理策略題中，〃母子型相似”的主要特征是ZO二ZO、ZBMOPC）OP0BnrOP（構(gòu)造出〃COSHBPO后可以得到一二進(jìn)而推diOP=OBOC\半徑的平方二原有線段X構(gòu)造線段”，OPOB確定C的位置后，連接AC.求出AC長度邛可氏圓”即可破解）P（動點(diǎn)）g（定點(diǎn)）C。（圓心）P（動點(diǎn)）（構(gòu)造的慮）四?“阿氏圓”典型例題講解例1：如圖1,在RtAABC中，ZACB=90,CB=4.CA=6,0C半徑為2,P為圓上一動點(diǎn)，連接AP.BP,求AP+-BP的最小值.2TOC\o"1-5"\h\z圖1圖2解答：如圖2,連接CP,因?yàn)镃P二2,AC=6,BC=4,簡單推算得一一二一，——二'，而題目中是求uAP+-BPAC31CB22”其中的“k二故舍棄在AC上取點(diǎn)，應(yīng)用“空=±"，所以在CB上取-點(diǎn)D,使CD=1,則有\(zhòng)o"CurrentDocument"2CB2CDCPPD11i=——二一，無論P(yáng)如何移動…’PCD與^BCP始終相似，故PD=-BP始終成立，所以AP+-BPCPCBBP222MP+PD其中4、D為定點(diǎn)，故4、P、D三點(diǎn)共線時(shí)最小，AP+-BP=AP+PD=yiAfrCD2=八372（思考：若求BP+-PA呢？3例2：己知扇形COD中，ZCOD=90,OC=6.OA=3,OB=5f點(diǎn)P是孤CD上?點(diǎn)，求2PA十PB的最小值.解答：首先連接OP,因?yàn)椤ǘ?,04=3,OB二5,所以竺二1,題目求的是3PA+PB”，OP2OP6AO1其中的5=2”與之相關(guān)的是一一二一，故在OA上取點(diǎn)，考慮到是2PA.故在OC上取點(diǎn)H,使OH=12，則有OP2AOOPAP1——=——=——=-,無論P(yáng)如何移動，"PAO與HHPO始終相似，故PH=2PA始終成立，所以2PA十PB=PH十PB,OPOHPH2其中H、B為定點(diǎn)，故H、P、B三點(diǎn)共線時(shí)最小，2PA+PB=PH+PB=JOH?+OB=\3（思考：若求AP+gpB呢？）例3：如圖1,正方形ABCD邊長為4.0B的半徑為2,P是03上?動點(diǎn)，則、運(yùn)PD十4PC的最小值?B，B，'I"尸I（因?yàn)榍懊嫖覀兌际潜冉獯?」"??—一——―一.——BC2BA較這三條線段?。?，感覺好像和“邁PD?4PC”沒關(guān)系啊！實(shí)際上對’‘阿氏圓”套路的理解不夠深，我們研究的線段是圓心到“?動兩點(diǎn)”，在此題中，“-動”指的是“動點(diǎn)PJ“兩定”不是指爪C,而是要看問題FP?4PC”RP1Rp問題中p為動點(diǎn)，c、D才是定點(diǎn)，故本題應(yīng)該比較荒拄而虧，故選擇在WH（如圖2）'使/TrhRpPH巧同得射7=、二，則有一二一二一二、二，所以無論P(yáng)如何移動，與5DBP始終相似，故BH二一2BPBDPD42（2始終成立，所以V2PZ）+4PC=4（PC+—PD）=4（PC+PH）其中H、C為定點(diǎn)，故H、P、C三點(diǎn)共線時(shí)最小，4y[2PD+4PC=4（PC+—PD）=4HC=4y/PM+MC2=4思考：若求P"護(hù)呢？）例4.阿波羅尼斯是古希臘著劃數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果擊中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩泄點(diǎn)q、B的距離之比為幾（2>0，兄Hi），那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.下面，我們來研究與此相關(guān)的一個(gè)問題.已知圓：X2+y2=\和點(diǎn)±,0、點(diǎn)M為圓。上動點(diǎn)，貝I2J的最小值為（）A.八6B.y/lC.尿D.VFT解析1.令2\MA\=\MC\,則糖斗由題意可得圓X2+y2=1是關(guān)于點(diǎn)A,C的阿波羅尼斯圓，且z=|e

設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為CI/h,n）＞則2m+4=0m=-2=,ZJ=0血磐得L-1.…點(diǎn)c的坐標(biāo)為(-2,0)0設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為CI/h,n）＞則2m+4=0m=-2=,ZJ=0血磐得L-1.…點(diǎn)c的坐標(biāo)為(-2,0)02|M4|+\MB\=\MC\+\MB\,=|3因此當(dāng)點(diǎn)M位于圖中的M「M2的位置時(shí)，2\MA\+\MB\=\M（的值最小，且為倆，故選C-高考數(shù)學(xué)試卷中，我們可以見到阿波羅圓的一般形式,阿波羅圓是一個(gè)重要的題根，在歷次高考中累累出現(xiàn)?我們說“評10年高考，看一個(gè)題根”，其實(shí)這個(gè)圓哪里只考了10年?今年湖北卷中出現(xiàn)的，只不過是其更新穎的形式罷了。OMOMOHMH2~OA~經(jīng)過三個(gè)步驟，易知MB\2|M4田B/7V10~OA~~OM~~MA~解析2OH.OH?⑹OAOAQMUA例5-（2019-浙江高三期末）已知方，乙是平而內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量2滿足lc-?l=-，則2\a+b-c\+2\c-b最小值為圖1圖2I1AF12AB.2._1_血，V22血4因?yàn)轭}目所求:CD+2BD=2L-CD+BD)所以連接AC.在線段ADt取點(diǎn)如圖1，使卷=[=AH=J92AC2??竺二蘭二竺=[,即：AACH相似于AaCD，即：CD+2