《金融數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)提綱

《金融數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)提綱(2022版)利息度量本章介紹了利息的各種度量工具，包括單利、復(fù)利、實(shí)際利率、名義利率、實(shí)際貼現(xiàn)率、名義貼現(xiàn)率、利息力和貼現(xiàn)力等，以及累積函數(shù)和貼現(xiàn)函數(shù)。它們之間的關(guān)系可以總結(jié)如下：.累積函數(shù)是期初的1元本金在時(shí)刻，的累積值。復(fù)利的累積函數(shù)為：a。)=(1+，)'=[1+i[m)/w1=(1-d)~'=[1-d(m}/ ""=e"=exp(￡Rds)單利的累積函數(shù)為：a(t)=\+it貼現(xiàn)函數(shù)是累積函數(shù)的倒數(shù)。.常用的各種利息度量工具之間有如下關(guān)系：d=z/(l+/)i=d/(l-d)v=\-di—d=idz<m)=w[(l+z)，/m-l]d(m)=6=ln(l+i)等額年金本章介紹了等額年金的計(jì)算問題，包括年金的現(xiàn)值和終值，期初付年金與期末付年金的關(guān)系，現(xiàn)值與終值的關(guān)系等，涉及較多公式，現(xiàn)將它們歸納如下。下表僅給出了期末付年金的公式，對(duì)于期初付年金，只需把分母上的利率符號(hào)改變?yōu)橘N現(xiàn)率符號(hào)即可。年金等額年金永續(xù)年金的現(xiàn)值現(xiàn)值累積值每年支付1次l-v"O-；= n\ i(l+i)n-l= 1每年支付加次1 nan\~f(m)㈣=喝=3連續(xù)支付1-v"a—.- "1 s_Q+O"-1川 8_1%1=石

等額年金計(jì)算公式之間的關(guān)系式可以概括如下:變額年金下表總結(jié)了期末付年金的現(xiàn)值和累積值（終值）公式。對(duì)于期初付年金，只需把分母上的利率符號(hào)改變?yōu)橄鄳?yīng)的貼現(xiàn)率符號(hào)即可。年金遞增年金遞增永續(xù)年金的現(xiàn)值現(xiàn)值累積值每年支付1次，每年遞增1次a--nvn “早（明得每年支付m次，每年遞增1次八a-；（峭=（哨=%連續(xù)支付，每年遞增1次a-,-nvn（哈當(dāng)一（%亨連續(xù)支付，連續(xù)遞增_ a-,-nvn。機(jī)=制一― 禮1一〃⑹片6「j1（，%二爐

年金遞減年金現(xiàn)值累積值每年支付1次，每年遞減1次w-a-i吟="。+「每年支付m次，每年遞減1次連續(xù)支付，每年遞減1次n-a->(Da)丁s（㈤上力^（哈^4^連續(xù)支付，連續(xù)遞減_ w-a-i(啊1=s吐（附『一變額年金之間的關(guān)系可以概括如下:r工r工ir-ir^i對(duì)于增長(zhǎng)率為r的復(fù)遞增年金，期末付年金和期初付年金的現(xiàn)值為:nJ+ri—r其中，j=--1+r收益率.收益率是使得未來(lái)資金流入的現(xiàn)值與資金流出的現(xiàn)值相等時(shí)的利率，也是使得凈現(xiàn)值等于零時(shí)的利率。在其他條件相同的前提下，應(yīng)該選擇收益率高或凈現(xiàn)值大的項(xiàng)目?jī)?yōu)先投資。.對(duì)于投資期限不同的兩個(gè)項(xiàng)目，在比較它們的收益率時(shí)，必須將期限較短項(xiàng)目的再投資利率考慮進(jìn)去。.凈現(xiàn)值的大小取決于計(jì)算凈現(xiàn)值時(shí)所選擇的利率，利率越高，凈現(xiàn)值越小，利率越低，凈現(xiàn)值越大。.收益率在大多數(shù)情況下是唯一的。收益率唯一性的一個(gè)簡(jiǎn)單判斷準(zhǔn)則是：如果資金凈流入只改變過一次符號(hào)，收益率將是唯一的。收益率唯一性的另一個(gè)判斷準(zhǔn)則是：如果按收益率計(jì)算的資金凈流入的累積值始終為負(fù)，直至最后一年末才變?yōu)榱?，那么該收益率將是唯一的?計(jì)算幣值加權(quán)收益率的近似公式為ia——， 4+Z,G(it).計(jì)算時(shí)間加權(quán)收益率的一般公式為，=(1+/)(1+人)…(1+/+J—1，其中_/*是第％個(gè)時(shí)間區(qū)間的收益率。.如果利息收入的再投資利率較低，就會(huì)拉低整個(gè)投資的收益率。在比較不同項(xiàng)目的收益率時(shí)，應(yīng)該特別注意再投資利率的影響，即計(jì)算修正收益率。在計(jì)算修正收益率時(shí)，對(duì)資金流出使用籌集資金的利率計(jì)算其現(xiàn)值，而對(duì)資金流入使用再投資的利率計(jì)算其累積值。.在利率上升時(shí)期，為了吸引新的投資者加入投資基金，投資基金在收益分配時(shí)可以采用投資年度方法。反之，在利率下降時(shí)期,按組合利率方法分配收益更能吸引新的投資者。貸款償還方法貸款償還的兩種基本方法是分期償還法和償債基金法，分別包括變額和等額兩種具體方法。.在等額分期償還方法中：借款人每次償還的總金額為：&=4/勺支付的利息為：Ik=以=R(1-償還的本金為：Pk=Rvn'k+'未償還的本金余額為：4=4(l+i>一心后(過去法)=&共(將來(lái)法)在等額分期償還方法中，貸款期限越長(zhǎng)，借款人支付的利息%額與貸款本金之比越高,而且該比率隨著貸款期限的延長(zhǎng)呈現(xiàn)加速增長(zhǎng)的態(tài)勢(shì)。.在等額償債基金方法中：借款人每期支付的利息金額為/=iL0向償債基金的儲(chǔ)蓄額為。=L./5力總的付款金額為/+。償債基金在第k期末的累積值為D?s布未償還本金余額為4布.當(dāng)償債基金的利率與貸款利率相等時(shí)，等額償債基金方法與等額分期償還方法等價(jià),即有下述關(guān)系式：I+D=RD=R—iL0Lo-D-s-^,=Ra-^..在變額分期償還方法中，如果借款人的償還金額是逐期遞增的，就有可能出現(xiàn)負(fù)償還的情況，即借款人償還的總金額還不足以支付當(dāng)期的利息。負(fù)償還應(yīng)該增加借款人未償還的本金余額。.在變額償債基金方法中，如果借款人的償還金額是逐期遞增的，亦即借款人向償債基金的儲(chǔ)蓄額是逐期遞增的，就有可能出現(xiàn)借款人向償債基金的儲(chǔ)蓄額小于當(dāng)期應(yīng)付利息的情況。此時(shí)，借款人向償債基金的儲(chǔ)蓄額為零，同時(shí)應(yīng)該增加借款人未償還的本金余額。.抵押貸款的目的是為了防范借款人的違約風(fēng)險(xiǎn)，為了實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)，如果抵押物的貶值過程先快后慢，則貸款的分期償還期限應(yīng)該短于抵押物的使用壽命；如果抵押物的貶值過程先慢后快，則貸款的分期償還期限可以適當(dāng)延長(zhǎng)，但不能超過抵押物的使用壽命。對(duì)于按勻速折舊方式貶值的抵押物，貸款的分期償還期限應(yīng)該介于上述兩者之間。債券和股票1.債券在息票支付日期的價(jià)格和賬面值相等，可以用下述四種方法求得：(1)基本公式：尸=廠尸叼+。"(2)溢價(jià)公式：P=C[l+(g-z)^](3)基價(jià)公式：P=G4-(C-G)vnMakeham公式：P=&(C-K)+Ki對(duì)于不可贖回的附息債券，債券價(jià)格是到期收益率的減函數(shù)，到期收益率越高，債券的價(jià)格越低。債券價(jià)格還是到期收益率的凸函數(shù)。到期收益率上升時(shí)，債券價(jià)格的下降速度是遞減的：而當(dāng)?shù)狡谑找媛氏陆禃r(shí)，債券價(jià)格的上升速度是遞增的。當(dāng)債券的溢價(jià)為零時(shí)，債券的賬面值恒等于償還值，每期的利息收入就等于息票收入。當(dāng)債券的溢價(jià)不為零時(shí)，投資者在每期的利息收入不等于息票收入。息票收入被分解為兩部分，一部分是應(yīng)得利息收入，一部分是對(duì)溢價(jià)購(gòu)買債券的補(bǔ)償。折價(jià)可以看做是負(fù)的溢價(jià)?；鶅r(jià)是投資者為了獲得與息票收入m相等的周期性收益所需要的投資額。債券的基價(jià)G如果按收益率i投資，每期產(chǎn)生的利息收入將等于債券的息票收入，即iG=rF=gC。.債券在相鄰兩個(gè)息票支付日期之間的價(jià)格可按下述公式計(jì)算：-R其中Po是債券在上一個(gè)息票支付日期的價(jià)格，，是距離上一個(gè)息票支付日期的時(shí)間。.賬面值是債券持有人的實(shí)際投資余額。債券在相鄰兩個(gè)息票支付日期之間的賬面值可按下述三種方法計(jì)算：rp(1)理論方法:^=(1+0^/>-—[(i+zy-i]i(2)半理論方法：匕=(l+i)'x《—rE(3)實(shí)踐方法：匕=(1+ti)P0-trF

.可贖回債券的價(jià)格等于在各種可能贖回時(shí)點(diǎn)上的最低價(jià)格。如果債券的償還值C在各種可能的贖回時(shí)點(diǎn)上保持不變，則當(dāng)債券的修正息票率大于債券的到期收益率時(shí)，債券的期限越短，債券的價(jià)格越低：反之，當(dāng)債券的修正息票率小于債券的到期收益率時(shí)，債券的期限越長(zhǎng)，債券的價(jià)格越低。利率風(fēng)險(xiǎn).久期和凸度都是衡量債券利率風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)，有計(jì)算公式如下:馬考勒久期：W)=_Lyr7?e-^'P(5)P(5)勺馬考勒凸度：q久期：=久期：=P(y)1+y/tnZ陽(yáng)(1+y/〃尸/>0凸度:P"(y)P{y}凸度:P"(y)P{y}12>(f+l/⑼々(l+y/mV*\y)t>o有效久期:p_-p+效=.(2緲)有效久期:p_-p+效=.(2緲)有效凸度:(2+a-24)

(Ay)2Po債券組合的久期:“p債券組合的凸度：A=1P凸度可以用馬考勒久期和馬考勒凸度表示為:C=（C%+Q，5＞（l+i）-2.資產(chǎn)價(jià)格變化的百分比與收益率變化之間的近似關(guān)系如下：APy-h—久期.（加）+0.5?凸度?（a）2其中的久期和凸度應(yīng)該配對(duì)使用，如馬考勒久期與馬考勒凸度配對(duì)使用，修正久期與凸度配對(duì)使用，或有效久期與有效凸度配對(duì)使用。.免疫策略的三個(gè)條件是：（1）資產(chǎn)的現(xiàn)值等于負(fù)債的現(xiàn)值。（2）資產(chǎn)的久期等于負(fù)債的久期。（3）資產(chǎn)的凸度大于負(fù)債的凸度。.完全免疫策略的三個(gè)條件是：（1）資產(chǎn)的現(xiàn)值等于負(fù)債的現(xiàn)值。（2）資產(chǎn)的久期等于負(fù)債的久期。（3）負(fù)債的到期時(shí)間介于兩筆資產(chǎn)的到期時(shí)間之內(nèi)。.現(xiàn)金流配比策略就是對(duì)每一項(xiàng)在未來(lái)到期的債務(wù)，安排一項(xiàng)相同到期時(shí)間和相同金額的資產(chǎn)與其進(jìn)行匹配。現(xiàn)金流配比策略的優(yōu)點(diǎn)是無(wú)需不斷調(diào)整其投資組合，缺陷是限制了投資選擇的靈活性。遠(yuǎn)期、期貨和互換遠(yuǎn)期合約是指雙方約定在未來(lái)某一個(gè)確定的時(shí)間，按照某一確定的價(jià)格買賣一定數(shù)量的某種資產(chǎn)的協(xié)議。同意以約定的價(jià)格在未來(lái)賣出標(biāo)的資產(chǎn)的一方稱作空頭，同意以約定的價(jià)格在未來(lái)買入標(biāo)的資產(chǎn)的一方稱作多頭。一個(gè)合約的回收是指合約在滿期時(shí)的價(jià)值，不考慮簽訂該合約時(shí)所發(fā)生的初始費(fèi)用。從回收中扣除簽訂合約所發(fā)生的初始費(fèi)用的終值就是盈虧。期貨合約是指協(xié)議雙方同意在約定的將來(lái)某個(gè)日期按約定的條件（包括交割價(jià)格、交割地點(diǎn)、交割方式等）買入或賣出一定數(shù)量的某種標(biāo)的資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)議。股票的遠(yuǎn)期價(jià)格如下：無(wú)股利：F=Se"離散股利：F=（S-D）erT連續(xù)股利：F=S^r-s）r通過借入款項(xiàng)（相當(dāng)于出售零息債券）購(gòu)買股票可以生成一個(gè)合成遠(yuǎn)期的多頭，即：遠(yuǎn)期=股票一零息債券。互換合約是指買賣雙方按照商定的條件，在約定的時(shí)間內(nèi)交換一系列現(xiàn)金流的合約。遠(yuǎn)期是只有一次付款的互換，而互換是附加有資金借貸協(xié)議的一系列遠(yuǎn)期。在不考慮違約風(fēng)險(xiǎn)的情況下，利率互換可以通過分解成一個(gè)債券多頭與另一個(gè)債券空頭的組合來(lái)定價(jià)，也可以通過分解成一個(gè)遠(yuǎn)期利率協(xié)議的組合來(lái)定價(jià)。互換利率為左=號(hào) 期權(quán)期權(quán)是一種合約,它賦予買方在規(guī)定期限內(nèi)按買賣雙方約定的價(jià)格購(gòu)買或出售一定數(shù)量某種資產(chǎn)（稱為標(biāo)的資產(chǎn)）的權(quán)利。如果標(biāo)的資產(chǎn)為金融資產(chǎn)，則相應(yīng)的期權(quán)被稱作金融期權(quán)。期權(quán)的盈虧是指在扣除期權(quán)費(fèi)的情況下，期權(quán)在滿期時(shí)的價(jià)值。歐式看漲期權(quán)與歐式看跌期權(quán)之間存在如下的平價(jià)關(guān)系：C+KerT=P+S為期權(quán)定價(jià)的兩種常用模型是二叉樹模型和Black-Scholes模型。二叉樹模型用大量離散的小幅度二值運(yùn)動(dòng)來(lái)模擬連續(xù)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)，單步二叉樹模型的期權(quán)定價(jià)公式為：f=e-叫式+（1-04]其中，u=e。疝,d=e-。疝,p=^'~du-d多步二叉樹模型通過多次應(yīng)用單步二叉樹模型并逐步遞推來(lái)為期權(quán)定價(jià)。在滿足Blac