人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪課時作業(yè)：第七章立體幾何與空間向量

課時作業(yè)第二課時球及其表面積與體積課時作業(yè)知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練球的體積與表面積1,2,3,5球的切、接問題4,6,7,8,9綜合問題10,11,12,13,14,1516,17靈活鄉(xiāng)點合數(shù)提彩(選題明細表A級基礎(chǔ)鞏固練1.已知底面邊長為1,側(cè)棱長為四的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為(D)a32n「.A.一B.4JiC.2nD.y解析:因為該正四棱柱的外接球的半徑是四棱柱體對角線的一半，所以半徑r=^Jl2+I?+(y/z)2=1,所以V球*—=手故選D..(2021?安徽安慶調(diào)研)已知在四面體PABC中，PA=4,BC=2逐,PB=PC=2V3,PA_L平面PBC,則四面體PABC的外接球的表面積是(C)A.160JiB.128JiC.40五D.32n解析：因為PB2+PC2=12+12=24=BC2,所以PB_LPC,又PA_L平面PBC,所以PA±PB,PA1PC,即PA,PB,PC兩兩相互垂直，以PA,PB,PC為從同一頂點出發(fā)的三條棱補成長方體，所以該長方體的體對角線長為7P星+PB?+PC2n6+12+12=2故該四面體的外接球半徑為Via于是四面體PABC的外接球的表面積是4nx（"6）2=40n.故選C..已知A,B,C為球0的球面上的三個點，。01為4ABC的外接圓.若OOi的面積為4n,AB=BC=AC=00”則球0的表面積為（A）A.64nB.48nC.36nD.32n解析:如圖所示,設(shè)球0的半徑為R,O0.的半徑為r,因為。的面積為4n,所以4n=",解得r=2,又AB=BC=AC=001,所以.蕓=2r,解得sin60AB=2V3,故00,=273,所以R2=0O?+r2=（2V3）2+22-16,所以球0的表面積S=4n爐=64Ji.故選A.B.（多選題）已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點M,N,若線段MN的最小值為6-1,則（ABC）A.正方體的外接球的表面積為12JiB.正方體的內(nèi)切球的體積為半C.正方體的棱長為2D.線段MN的最大值為解析:設(shè)正方體的棱長為a,則正方體外接球的半徑為體對角線長的一半，即fa,內(nèi)切球的半徑為棱長的一半，即今因為M,N分別為外接球和內(nèi)切球上的動點,所以MN*^a-]*?a=V^T,解得a=2,即正方體的

棱長為2,C正確；正方體的外接球的表面積為4nX(6)2=12n,A正確;正方體的內(nèi)切球的體積為岸B正確;線段MN的最大值為亭a+；=6+1,D錯誤.故選ABC..如圖,在圓柱0@內(nèi)有一個球0,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱0。的體積為V?球0的體積為V2,則答的值是 .V2解析:設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R,則由題設(shè)可得圓柱0。的底面圓的半徑為R,高為2R,故氏嗡安..(2021?湖南長沙檢測)在封閉的直三棱柱ABC.ABG內(nèi)有一個體積為V的球.若AB±BC,AB=6,BC=8,AA,-3,則V的最大值是.解析：由AB±BC,AB=6,BC=8,得AC=10.要使球的體積V最大,則球與直三棱柱的部分面相切,若球與三個側(cè)面相切,設(shè)底面AABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則卜6*8=9(6+8+10)-r,所以r=2,2r=4>3,不符合題意.則球與三棱柱的上、下底面相切時,球的半徑R最大,則2R=3,即故球的最大體積V=^nRn.答案.已知一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切,且這個球的體積是竽n，那么這個三棱柱的體積是.解析:設(shè)球的半徑為r,則gJir*n，得廠2,則正三棱柱的高為2r=4.又正三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓半徑與球的半徑相等，所以底面正三角形的邊長為4V3,所以正三棱柱的體積為V也X(4V3)2X4=48V3.4答案：48班.圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上,其上、下底面半徑分別為4和5,則該圓臺的體積為.解析:因為圓臺的下底面半徑為5,故下底面在外接球的大圓上,如圖所示.設(shè)球的球心為0,圓臺上底面的圓心為0',則圓臺的高00'=JoQ2—?！甉2="52-42=3,據(jù)此可得圓臺的體積為V=[nX3X(52+5X4+42)=61n.答案：61n.在半徑為15的球0內(nèi)有一個底面邊長為126的內(nèi)接正三棱錐A-BCD,求此正三棱錐的體積.解：(1)如圖甲所示的情形，顯然0A=0B=0C=0D=15.設(shè)H為4BCD的中心,則A,0,H三點在同一條直線上.因為HB=HC=HD=；X苧X12住12,所以O(shè)H=VOB2-HB2=9,所以正三棱錐A-BCD的高h=9+15=24.又Sabcd^X(12V3)2=108V3,4所以V三棱錐a-bcd=]X108V3X24=864V3.A甲⑵對于圖乙所示的情形，同理，可得正三棱錐A-BCD的高h'=15-9=6,SABcd=108V3,A乙所以V三棱錐A-BCD~|X1O8V3X6=216V3.綜上,可知正三棱錐的體積為8646或216VlB級綜合運用練.已知4ABC是面積為竽的等邊三角形,且其頂點都在球0的球面上.若球。的表面積為16九則0到平面ABC的距離為（C）A.V3V3C.1 D.—2解析:設(shè)球0的半徑為R,則4兀R2=16n,解得R=2.設(shè)4ABC外接圓的半徑為r,邊長為a.因為4ABC是面積為竽的等邊三角形，所以,噂=竽,解得a=3,所以所以球心02 2 4 3 \ 43yj4到平面ABC的距離d=V/?2-r2=V4-3=1.故選C.11.已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球。的球面上,PA=PB=PC,AABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點，ZCEF=90°,則球0的體積為（D）A.8y/6冗B.4y/6nC.2y/6nD.V6n解析:因為點E,F分別為PA,AB的中點,所以EF〃PB,cA因為NCEF=90°,所以EF_LCE,所以PB_LCE.取AC的中點D,連接BD,PD,易證ACJ_平面BDP,所以PB±AC,又ACnCE-C,AC,CEu平面PAC,所以PBJ_平面PAC,所以PB_LPA,PB±PC,因為PA=PB=PC,AABC為正三角形，所以PA_LPC,即PA,PB,PC兩兩相互垂直,將三棱錐P-ABC放在正方體中.因為AB=2,所以該正方體的棱長為遮，所以該正方體的體對角線長為傳,所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑R考,所以球0的體積V]Ji*nX（y）3=V6Ji.故選D..唐朝著名的鳳鳥花卉浮雕銀杯（如圖①所示），它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（如圖②），當這種酒杯內(nèi)壁表面積固定時（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，表面積為Scm；半球的半徑為Rcm）,要使酒杯容積不大于半球體積的兩倍，則R的取值范圍為（D）C(JI,舄］D.［底，解析:設(shè)圓柱的高度與酒杯的容積分別為h,V,則表面積S=2JiR2+2nRh,故nRh=^-nR2,所以酒杯的容積V』nR3+nR2h=-nR3+(^-jiR2)R=--R34r^1hR3,3 3 2 3 2 3所以［wgnR2,又”R2>0,所以nR2<^|nR2,解得感WR<g.yj10n y2it故選D..已知兩個圓錐有公共底面,且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上.若圓錐底面面積是這個球表面積的白則這兩個圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比值為.解析:如圖,設(shè)球的半徑為R,圓錐底面半徑為r.

由題意得nr2=^-4JiR2,16所以管.4根據(jù)球的截面的性質(zhì)可知兩圓錐的高必過球心0,且兩圓錐的頂點以及圓錐與球的交點是球的大圓上的點,且AB±0,C,所以00i=Vz?2-r2=p因此體積較小的圓錐的高為A0尸R-受*體積較大的圓錐的高為B0lR+統(tǒng)R,故這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為.偉大的阿基米德的墓碑上刻了一個如圖所示的圖案，圖案中球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面.試計算出圖案中圓錐、球、圓柱的體積比.解:設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則V圓柱=nr2h,由題意知圓錐的底面半徑為r,高為h,球的半徑為r,V網(wǎng)錐nr2h,V球=qnr3.又h=2r,所以V圓錐：V球：V圓柱71r2h：gnr，2：3.15.某組合體的直觀圖如圖所示,它的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,若圖中r=l,1=3,試求該組合體的表面積和體積.解:該組合體的表面積為S=4nr2+2nrl-4nXl2+2nX1X3=10n,該組合體的體積V=iJir3+nr2l^nX13+nX12X3^.C級應(yīng)用創(chuàng)新練16.已知三棱柱ABJAB3的所有頂點都在球0的球面上,該三棱柱的五個面所在的平面截球面所得的圓大小相同.若球0的表面積為20Ji,則三棱柱的體積為.解析：因為三棱柱ABC-A.B.C,的五個面所在的平面截球面所得的圓的大小相同，所以該三棱柱的底面是等邊三角形.設(shè)三棱柱底面邊長為a,高為h,截面圓的半徑為r,球半徑為R,所以r嗡.因為球0的表面積為20n,所以4nR2=20n,解得R=V5.因為底面和側(cè)面截得的圓的大小相同，所以（'+（今2=（含；所以a=V3h.①又因為（今2+（卷產(chǎn)R；②由①②得a=2V3,h=2,所以三棱柱的體積為N當乂（2V3）2X2=6V3.4答案：6617.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)俗，粽子又稱“粽屹”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品.如圖⑴的平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形組成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖(2)的粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為;若該六面體內(nèi)有一球,則該球的體積的最大值為./'\/\A/一圖⑴ 圖(2)解析：由對稱性可知該六面體是由兩個全等的正四面體合成的，正四面體的棱長為1,則正四面體的高為J1-(辛產(chǎn)半,所以正四面體的體積為“工X1X—x^=—,3 2 2 312因為該六面體的體積是正四面體體積的2倍，所以該六面體的體積是:要使球的體積達到最大,則球與該六面體的六個面都要相切.連接球心和六面體的五個頂點,把六面體分成了六個全等的三棱錐.設(shè)球的半徑為R,則義(；X；X1X，?R),解得R二￡6 3 2 2 9所以球的體積V與皓J鬻.於空立8帚口木.6 729第1節(jié)立體圖形及其直觀圖、簡單幾何體的表面積與體積第一課時立體圖形及其直觀圖、柱錐臺的表面積與體積知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練空間幾何體的幾何特征、直觀圖2,3,410空間幾何體的體積與表面積1,5,6,8,912,13折疊與展開問題711綜合問題14,15,16,17課時作業(yè)靈港彳、唬在數(shù)提就闞選題明細表A級基礎(chǔ)鞏固練1.《算術(shù)書》記載有求“困蓋”的術(shù):置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當于給出圓錐的底面周長1與高h,計算其體積V的近似公式V=/h,它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率ji近似取3,那么，近似公式V^l2h相當于將圓錐體積公式中的n近似?。╟）.22c25TOC\o"1-5"\h\zA.—B.—7 8r157門355C. D. 50 113解析：V—nr2h—n,（―）^=-^—1^.由2至，得n.故選C.3 32n12Tt12-rr 942 502.（多選題）（2021?山東濰坊調(diào)研）下列關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是（CD）A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓或矩形C.長方體是直平行六面體D.存在每個面都是直角三角形的四面體解析:A選項，當頂點在底面的射影是正多邊形的中心時才是正棱錐,A不正確;B選項，當平面與圓柱的母線平行或垂直時,截得的截面才為矩形或圓,否則為橢圓或橢圓的一部分,B不正確;C正確;D正確，如圖,正方體ABCD一ABCD中的三棱錐C.-ABC,四個面都是直角三角形.故選CD..（多選題）如圖,將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體可以是（AC）A.四棱柱 B.四棱臺C.三棱柱 D.三棱錐解析:根據(jù)題圖，因為有水的部分始終有兩個平面平行,而其余各面都易證是平行四邊形,因此形成的幾何體是四棱柱或三棱柱.故選AC..如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖（斜二測畫法）是一個底角為45。、腰和上底長均為2的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是A.2+V2B.1+V2C.4+2V2D.8+472解析：由已知直觀圖根據(jù)斜二測畫法規(guī)則畫出原平面圖形,如圖所示.由于。D'=2,D'C=2,所以0D=4,DC=2,在題圖中過D'作D'H_LA'B'（圖略），易知A'H=2sin45°=魚,所以AB=A'B'=2A'H+DC=2V2+2,故平面圖形的面積為絲-AD=8+4V2.故選D.（2021?山東聊城模擬）在《九章算術(shù)》中，將有三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱為“羨除”.現(xiàn)有一個羨除如圖所示，DAJ_平面ABFE,四邊形ABFE,CDEF均為等腰梯形,AB〃CD〃EF,AB=AD=4,EF=8,點E到平面ABCD的距離為6,則這個羨除的體積是（C）

A.96B.72C.64D.58解析:如圖,將多面體分割為兩個三棱錐D-AGE,C-HBF和一個直三棱柱GAD-HBC.EGHFEGHF這個羨除的體積為V=2X-X|X2X6X4+^X6X4X4=64.故選C.（2021?河南鄭州調(diào)研）現(xiàn)有同底等高的圓錐和圓柱，已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則圓錐的側(cè)面積為（D）A.3JiB.—2C.—D.V5n2解析:設(shè)底面圓的半徑為R,圓柱的高為h,依題意2R=h=2,所以R=l.所以圓錐的母線為1=>Jh2+/?2=V22+1-V5,因此S圓錐側(cè)=nRl-1XV5Ji=V5Ji.故選D..如圖，正三棱柱ABC-AiBiCi的側(cè)棱長為a,底面邊長為b,一只螞蟻從點A出發(fā)沿每個側(cè)面爬到A,路線為A-M-N-Ai,則螞蟻爬行的最短路程是（A）A.y/aA.y/a2+9b2C.C4a2+9b2 D.Va2+b2解析:正三棱柱的側(cè)面展開圖是如圖所示的矩形,矩形的長為3b,寬為a,則其對角線AA的長為最短路程，因此螞蟻爬行的最短路程為7dl+9b2.故選A..（2020?浙江卷）已知圓錐的側(cè)面積（單位:加）為2ji,且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位:cm）是.解析:如圖,設(shè)圓錐的母線長為1,底面半徑為r,則圓錐的側(cè)面積S觸=nrl=2Ji,所以r?1=2.又圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，所以「r=2幾，所以1=2,所以r=l.答案：1.如圖，在AABC中，AB=8,BC-10,AC=6,DB_L平面ABC,且AE〃FC〃BD,BD=3,FC=4,AE=5.求此幾何體的體積.解:法一如圖，取CM=AN=BD,連接DM,MN,DN,用“分割法”把原幾何體分割成一個直三棱柱和一個四棱錐.E所以V幾何體=V三枝柱+V四枝錐.由題意知三棱柱ABC-NDM的體積為X8X6X3=72.四棱錐D-MNEF的體積為V2=1?S梯形MNEF?DN-|x|x（1+2）><6X8=24,則幾何體的體積為V=%+V2=72+24=96.法二用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱，使AA'=BB'=11 1CC,=8,所以V幾何體二&v三棱柱=&?Saabc,AA'=1x24X8=96.B級綜合運用練.（多選題）（2021?山東煙臺調(diào)研）在一個密閉透明的圓柱筒內(nèi)裝一定體積的水，將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時,指出圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀可能是（ABD）A.圓面B.矩形面C.梯形面D.橢圓面或部分橢圓面解析:將圓柱桶豎放,水面為圓面;將圓柱桶斜放,水面為橢圓面或部分橢圓面;將圓柱桶水平放置,水面為矩形面，但圓柱桶內(nèi)的水平面不可以呈現(xiàn)出梯形面.故選ABD..（多選題）（2021?湖北武漢模擬）長方體ABCD-ABCD的長、寬、高分別為3,2,1,則（BC）A.長方體的表面積為20B.長方體的體積為6C.沿長方體的表面從A到C.的最短距離為3V2D.沿長方體的表面從A到C,的最短距離為2代解析:長方體的表面積為2X(3X2+3X1+2X1)=22,A錯誤.長方體的體積為3X2X1=6,B正確.如圖(1)所示,長方體ABCD為BCD中,AB=3,BC=2,BB尸1,將側(cè)面ABBA和側(cè)面BCCB展開，如圖(2)所示.圖⑴ 圖⑵連接AC?貝?。萦蠥C,=V52+12=V26,即經(jīng)過側(cè)面ABB.A,和側(cè)面BCC.B,時,A到G的最短距離是后;將側(cè)面ABBA和底面ABCD展開,如圖⑶所示,連接AC.,則有AGR32+32=3/,即經(jīng)過側(cè)面ABBA和底面ABCD時,A至UA的最短距離是3魚;將側(cè)面ADDA和底面ABCD展開,如圖(4)所示.圖⑶ 圖(4)連接AG,則有AC尸342+22=2遙,即經(jīng)過側(cè)面ADDA和底面ABCD時,A到G的最短距離是2店因為3魚〈2遍＜住,所以沿長方體表面由A到G的最短距離是3V2,C正確,D錯誤.故選BC.12.(2021?重慶診斷)如圖，某文物需要設(shè)計各面是玻璃平面的無底正四棱柱將其罩住，罩內(nèi)充滿保護文物的無色氣體.已知文物近似于塔形,高1.8m,體積為0.5m3,其底部是直徑為0.9m的圓形,要求文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3m,文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2m,氣體每立方米1000元，求氣體的費用最少為(B)A.4500元B.4000元C.2880元D.2380元解析:因為文物底部是直徑為0.9nl的圓形,文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3m,所以由正方體與圓的位置關(guān)系可知,底面正方形的邊長最少為0.9+2X0.3=1.5(m).又文物高1.8m,文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2m,所以正四棱柱的高最少為1.8+0.2=2(m),則正四棱柱的體積V=L52X2=4.5(nO.因為文物的體積為0.5所以罩內(nèi)氣體的體積為4.5-0.5=4(m)因為氣體每立方米1000元,所以氣體的費用最少為4X1000=4000(元).故選B..如圖,六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是cm3.解析:螺帽的底面正六邊形的面積為S=6xix22Xsin60°=6顯(cm2),正六棱柱的體積為％=68X2=12禽(cm)圓柱的體積為V?="X0.52X2=］（cm3）,所以此六角螺帽毛坯的體積為V=V「V2=答案：（12遮C級應(yīng)用創(chuàng)新練.如圖,在正四棱錐P-ABCD中,Bi為PB的中點,Di為PD的中點，則棱錐A-BCDi與棱錐P-ABCD的體積之比是（A）A.1：4B.3：8C.1：2D.2：3解析:如圖,棱錐A-BCD1的體積可以看成是正四棱錐P-ABCD的體積減去角上的四個小棱錐的體積得到.因為Bi為PB的中點，以為PD的中點，所以棱錐B-ABC的體積和棱錐D-ACD的體積都是正四棱錐P-ABCD的體積的3棱錐C-PB.D,的體積與4棱錐A-PBD的體積之和是正四棱錐P-ABCD的體積的二,則中間剩下的4棱錐A-BiCD］的體積%—/CD］二%一,貝1J^A-BiCDi:Vp-ABCD=^?4.故選A..（2021?廣東佛山質(zhì)檢）已知圓錐的頂點為S,底面圓周上的兩點A,B滿足4SAB為等邊三角形,且面積為4V3,又知圓錐軸截面的面積為8,則圓錐的側(cè)面積為.B解析:設(shè)圓錐的母線長為1,由4SAB為等邊三角形,且面積為4V3,所以尹sin乂倔解得1=4.又設(shè)圓錐底面半徑為r,高為h,則由軸截面的面積為8,得rh=8.又r2+hJ=16,解得r=h=2\/2,所以圓錐的側(cè)面積S=nrl=n?2V2X4=8V2Ji.答案：8?n.如圖,3X3的正方形紙片,剪去對角的兩個IX1的小正方形,然后沿虛線折起,分別粘合AB與AH,ED與EF,CB與CD,GF與GH,得到一幾何體“。，記“Q”上的棱AC與EG的夾角為a,則下列說法正確的是.①幾何體“Q”中,CG_LAE;②幾何體“Q”是六面體；③幾何體“Q”的體積為④cosa=-.解析:如圖所示,取AG,CG,CE,EG的中點M,N,0,P,連接AN,EN,MN,ON,MP,OP,OM.由已知可得CE=CA=EG=AG=V§,所以AN_LCG,NE±CG,又因為ANANE=N,所以CG_L平面ANE,所以CG_LAE,故①正確；因為AB_LBC,AB_LBG,又因為BCGBG=B,所以AB_L平面CBG,同理BE_L平面CBG,所以平面ACB與平面CBE共面,平面AGB與平面GBE共面,AB與BE共線，所以該幾何體為四面體,故②錯誤；因為BC=BG=1,CG=V2,所以4CBG為直角三角形，NCBG=90°,所以SacBG--XIX1=->又因為AE_L平面CBG,AE=2AB=2BE=4,所以該幾何體的體積為vqxgx4q,故③正確；MP」AE=2,OP=iCG=—,2 2 2又因為MP〃AE,OP〃CG,CG±AE,

所以MP，OP,所以M0=a/MP2+P02苦,ON=NM」AC=①，2 2所以cosNONM-又因為AC〃網(wǎng)EG//NO,2ON?NM2x- 54所以NONM為異面直線AC,EG所成的角（或其補角），所以cosa4,故④正確.答案:①③④17.如圖，在4ABC中,CA=CB=6,AB=3,點F是BC邊上異于點B,C的一個動點,EF1AB于點E,現(xiàn)沿EF將4BEF折起到4PEF的位置,則四棱錐P-ACFE的體積的最大值為.解析:在4ABC中，CA=CB=6,AB=3,由余弦定理,可得cos由余弦定理,可得coscBC2+BA2AC23+9-3V3B= =——F=-2BC?BA2xV3x32設(shè)EF=x,則BE=PE=V3x(0<x<—),設(shè)NPEB=0,則四棱錐P-ACFE的高h=PEsin9=V3xsin。，四邊形ACFE的面積為gx3Xfqx-岳岑-小，則四棱錐P-ACFE體積為:gxsin9X（呼-條與忘條（孚-理0=i（3x-2x3）,4當且僅當sin。=1,即。苫時,取等號，令y=^(3x-2x3)(0<x<^),4 2貝Uy'=(3-6x2)4(l+V^x)(1-低)，4 4令寸>0,得0<x號,令y，<0,得%X咨,所以函數(shù)y^(3x-2x3)(0<x<^)在(0,當上單調(diào)遞增,在俘,f)上單4 L L ZZ調(diào)遞減，所以當X考時,y=；(3x-2x3)取得最大值?，所以當0苫,時，四棱錐P-ACFE體積的最大值為彳.答案當4第2節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系靈港小混芯數(shù)提甚?選題明細表知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用3,4空間兩條直線的位置關(guān)系1,2,5,6,7,8,9綜合問題1011,12,13,14,15,1617,18A級基礎(chǔ)鞏固練.如圖所示,在正方體ABCD-ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點,則異面直線BC與EF所成角的大小為（C）） 71GAERA.30° B.45°C.60° D.90°解析:連接BD,DC（圖略），則BD〃EF,故NDBC為所求的角，又Bd）產(chǎn)B1C=D1C,所以NDBC=60°.故選C.2.a,b,c是兩兩不同的三條直線，下列四個命題中，真命題是（C）A.若直線a,b異面,b,c異面,則a,c異面B.若直線a,b相交,b,c相交,則a,c相交C.若a〃b,則a,b與c所成的角相等D.若a±b,b_Lc,貝!Ja〃c解析:若直線a,b異面,b,c異面,則a,c相交、平行或異面;若直線a,b相交,b,c相交,則a,c相交、平行或異面;若a_Lb,b±c,則a,c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確.故選C..給出下列說法:①梯形的四個頂點共面;②三條平行直線共面;③有三個公共點的兩個平面重合;④三條直線兩兩相交,可以確定1個或3個平面.其中正確的序號是（B）A.①B.①④C.②③D.③④解析:①顯然正確;②錯誤，三條平行直線可能確定1個或3個平面；③若三個點共線,則兩個平面相交,故③錯誤;④顯然正確.故選B..如圖所示，平面an平面B=1,A￡a,BGa,ABA1=D,CGB,C軋則平面ABC與平面B的交線是（C）A.直線ACB.直線ABC.直線CDD.直線BC解析：由題意知,D￡1,luB,所以D￡B,又因為D￡AB,所以D￡平面ABC,所以點D在平面ABC與平面B的交線上.又因為Ce平面ABC.CeP,所以點C在平面B與平面ABC的交線上,所以平面ABCn平面B=CD.故選C..教室內(nèi)有一把尺子，無論怎樣放置，地面上總有這樣的直線與該尺子所在直線（B）A.平行 B.垂直C.相交但不垂直D.異面解析：由題意,尺子所在直線若與地面垂直,則在地面上總有這樣的直線，使得它與尺子所在直線垂直,若尺子所在直線與地面不垂直,則其必在地面上有一條投影線，在平面中一定存在與此投影線垂直的直線,與投影垂直的直線一定與此斜線垂直.綜上,教室內(nèi)有一尺子,無論怎樣放置，在地面上總有這樣的直線，使得它與尺子所在直線垂直.故選B..（2021?甘肅蘭州模擬）如圖所示,在正方體ABCD-A.B,C.D,中,若點E為BC的中點，點F為BC的中點,則異面直線AF與C,E所成角的余弦值為（B）4DiC?匹D?22 5解析:不妨設(shè)正方體的棱長為1,取AD的中點G,連接AG,FG（圖略），易知GA〃3E,則NFAG（或其補角）為異面直線AF與C.E所成的角.在△AFG中,AG=J12+C）2=苧,AF=J12+（泉2m,FG=1,于是cos/FAG逸2+('；T故選b.2x|xY3.如圖,在四棱錐P-ABCD中，。為CD上的動點,/一04B恒為定值,且4PDC是正三角形,則直線PD與直線AB所成角的大小是.解析:因為為定值,所以Szxabo為定值,即。到AB的距離為定值.因為。為CD上的動點,所以CD//AB,所以NPDC即為異面直線PD與AB所成的角.因為aPDC為正三角形，所以NPDC=60°.所以直線PD與直線AB所成的角為60°.答案：60°.已知AE是長方體ABCD-EFGH的一條棱,則在這個長方體的十二條棱中，與AE異面且垂直的棱共有條.解析:如圖，作出長方體ABCD-EFGH.在這個長方體的十二條棱中，與AE異面且垂直的棱有GH,GF,BC,CD,共4條.答案：4.已知在四面體ABCD中,E,F分別是AC,BD的中點.若AB=2,CD=4,EF1AB,則EF與CD所成角的大小為.解析:如圖,設(shè)G為AD的中點,連接GF,GE,則GF,GE分別為aABD,△ACD的中位線.A由此可得GF〃AB,且GF=1AB=1,GE〃CD,且GE=1CD=2,所以NFEG或其補角即為EF與CD所成的角.又因為EF±AB,GF〃AB,所以EF1GF,因此,在RtAEFG中，GF=1,GE=2,sin/FEG匹士可得NFEG=30°,GE2所以EF與CD所成角的大小為30°.答案：30。.如圖所示,正方體ABCD-ABCD中,E,F分別是AB和AA)的中點.求證：(1)E,C,及F四點共面；(2)CE,DF,DA三線共點.證明：⑴如圖，連接EF,CD?A.B.因為E,F分別是AB,AAi的中點，所以EF〃AB又因為AB〃CDi,所以EF〃CD”所以E,C,?,F四點共面.（2）因為EF〃CDi,EF<CDi,所以CE與D.F必相交,設(shè)交點為P,則由P￡直線CE,CEu平面ABCD,得pe平面ABCD.同理Pe平面ADDiA,.又平面ABCDn平面ADDA=DA,所以P￡直線DA,所以CE,D.F,DA三線共點.B級綜合運用練.在空間中，已知直線1及不在1上兩個不重合的點A,B,過直線1做平面a，使得點A,B到平面a的距離相等,則這樣的平面a的個數(shù)不可能是（C）A.1個B.2個C.3個D.無數(shù)個解析：（1）如圖，當直線AB與1異面時,則只有一種情況；⑵如圖，當直線AB與1平行時,則有無數(shù)種情況,平面a可以繞著1轉(zhuǎn)動;（3）如圖，當1過線段AB的中垂面時,有兩種情況.故選C.12.（多選題）（2021?北京一模）設(shè)點B為圓0上任意一點,A0垂直于圓0所在的平面,且A0=0B,對于圓0所在平面內(nèi)任意兩條相互垂直的直線a,b,有下列結(jié)論，正確的有（BC）A.當直線AB與a成60°角時,AB與b成30°角B.當直線AB與a成60°角時,AB與b成60°角C.直線AB與a所成角的最小值為45°D.直線AB與a所成角的最小值為60°解析:如圖,AO=OB,直線a±b,點D,M分別為BC,AC的中點，則ZABC為直線AB與a所成的角，ZMD0為直線AB與b所成的角.設(shè)A0=0B=l,若NABC=60°,則0M=0D=MD,所以NMD0=60。，故B正確,A不正確；因為AB與圓0所在平面所成的角為45°,即直線AB與平面內(nèi)所有直線所成的角中的最小角為45。，所以直線a與AB所成角的最小值為45°,故C正確,D不正確.故選BC..四面體ABCD中,E,F分別是AB,CD的中點.若BD,AC所成的角為60°,且BD=AC=1,貝EF的長為.解析:如圖,取BC的中點0,連接0E,0F,因為OE〃AC,0F/7BD,所以0E與OF所成的銳角（或直角）即為AC與BD所成的角，而AC,BD所成的角為60°,所以NE0F=60°或NE0F=120°.當NE0F=60°時，EF=OE=OF=±2當NE0F=120°時，取EF的中點M,貝I」OM_LEF,EF=2EM=2X旦”42答案二或立.矩形ABCD中，AB=1,AD=V3,現(xiàn)將4ABD繞BD旋轉(zhuǎn)至AA'BD的位置，當三棱錐A7-BCD的體積最大時，直線A'B和直線CD所成角的余弦值為.解析:如圖所示,因為矩形ABCD,可得AB//CD,A'所以直線A，B和直線CD所成角即為A'B和直線AB所成角，設(shè)NA'BA=O,當三棱錐A，-BCD的體積最大時，即A'0_L平面ABCD,因為AB=1,AD=V3,可得BD=2,在直角三角形ABD中，可得AO=A'0=y,所以AA，岑又AB=A'B=l,在aABA'中，由余弦定理得cos°=叱￡B：,屋q,2AB?AB4所以直線A，B和直線CD所成角的余弦值為;.4答案34.如圖所示,A是4BCD所在平面外的一點,E,F分別是BC,AD的中點.AC⑴求證:直線EF與BD是異面直線；(2)若AC_LBD,AC=BD,求EF與BD所成角的大小.⑴證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面,從而DF與BE共面，即AD與BC共面,所以點A,B,C,D在同一平面內(nèi)，這與A是4BCD所在平面外的一點相矛盾，故直線EF與BD是異面直線.(2)解:取CD的中點G,連接EG,FG,則AC〃FG,EG〃BD,所以相交直線EF與EG所成的角(或其補角)，即為異面直線EF與BD所成的角.又因為AC_LBD,貝FG±EG.在RtAEGF中，由EG=FG忖AC,求得NFEG=45°,即EF與BD所成的角為45°..如圖,E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點,且AE:EB=AH:HD=m,CF:FB=CG:GD=n.(1)證明:E,F,G,H四點共面；(2)m,n滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？(3)在(2)的條件下,若AC1BD.試證明：EG=FH.⑴證明：因為AE：EB=AH：HD,所以EH//BD.又CF：FB=CG:GD,所以FG/7BD.所以EH〃FG,所以E,F,G,H四點共面.⑵解：當EH〃FG,且EH=FG時，四邊形EFGH為平行四邊形.

因為EHAE因為EHAEmBDAE-^-EBni+l?，所以EH二含BD.同理可得FG=-^-BD,由EH=FG,得m=n,n+1故當m=n時，四邊形EFGH是平行四邊形.（3）證明：當m=n時，AE：EB=CF：FB,所以EF〃AC,又EH〃BD,所以ZFEH是AC與BD所成的角（或其補角），因為ACLBD,所以NFEH=90°從而平行四邊形EFGH為矩形,所以EG=FH.C級應(yīng)用創(chuàng)新練.（多選題）（2021?山東泰安聯(lián)考）如圖，在正方體ABCD-ABCD中，點F是線段BG上的動點，則下列說法正確的是（ABC）A.無論點F在線段BG上怎么移動，都有A.F±B,DB.當F為BC,的中點時,才有A,F與B,D相交于一點,記為點E,且竿=2C.無論點F在線段BG上怎么移動,異面直線AF與CD所成的角都不可能是30°D.當F為BG的中點時,直線AF與平面BDC.所成的角最大,且為60°解析:對于A選項,在正方體ABCD-ABCD也連接AC,A0（圖略），易知BD_L平面A,BCb又AFu平面A.BCb所以AF_LBD,故A正確;對于B選項,如圖，當F為BG的中點時,連接B.C.AiD,B.C與BG交于點F,DyAF與BD共面于平面ABCD,且必相交,交點為E,易知△AQEs/iFBE所以警=聆=2,故B正確;對于C選項，點F從點B移至點C.,異面直線A.F與CD所成的角先變小再變大,當F為BG的中點時,異面直線A,F與CD所成的角最小,此時該角的正切值為日,最小角大于30°,故C正確;對于D選項,點F從點B移至點G,直線AF與平面BDC.所成的角先變大再變小，當F為BG的中點時,設(shè)點。為A在平面BDG上的射影,連接0F(圖略)，則直線AF與平面BDG所成角的最大角的余弦值為V6黑=+=；,則最大角大于60°,故D錯誤.故選ABC.A]FX23218.如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形,BCJL^AD,BEJL|FA,G,H分別為FA,FD的中點.BC⑴證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C,D,F,E四點是否共面?為什么？(1)證明：由已知FG=GA,FH=HD,可得GHJE^AD.又BCJL|AD,所以GHJLBC,所以四邊形BCHG為平行四邊形.(2)解:因為BEJLiFA,G為FA的中點，所以BEJLFG,所以四邊形BEFG為平行四邊形,所以EF〃BG.由⑴知BGJLCH,所以EF/7CH,所以EF與CH共面.又DGFH,所以C,D,F,E四點共面.第3節(jié)空間直線、平面的平行知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練直線、平面平行的基本問題1,2,8直線、平面平行的判定與性質(zhì)3,4,9,10平面、平面平行的判定與性質(zhì)綜合問題5,6,711,12,13,14,1516,17靈港小混芯數(shù)提甚課時作業(yè)?選題明細表A級基礎(chǔ)鞏固練1.已知a,B表示兩個不同的平面,直線m是a內(nèi)一條直線,則“a//B”是“m〃B”的（A）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：由a〃B,mua,可得m〃B;反過來，由m〃B,mua,不能推出a〃B.綜上，“a〃B”是“m〃B”的充分不必要條件.故選A.2.（2021?四川瀘州診斷）已知a,b是互不重合的直線，a,B是互不重合的平面，下列四個命題中正確的是（B）A.若a〃b,bua,則a〃aB.若a〃a,a〃B,aGB=b,貝！］a〃bC.若a〃a,a〃B,則a〃B口.若2〃（1,2〃6,則。〃8解析:A選項,若a〃b,bua,則a〃a或aua,所以A選項錯誤；B選項,若a〃a,a〃B,aGB=b,則a//b,所以B選項正確；C選項,若a//a,a〃B,則allB或auB,所以C選項錯誤；D選項,若a〃a,a〃B,則a〃B或a與B相交，所以D選項錯誤.故選B.3.已知在三棱柱ABC-ABC中,M,N分別為AC,B￡的中點,E,F分別為BC,B.B的中點,則直線MN與直線EF、平面ABBA的位置關(guān)系分別為（B）A.平行、平行B.異面、平行C.平行、相交D.異面、相交解析:因為在三棱柱ABC-ABG中，M,N分別為AC,BC的中點,E,F分別為BC,B0的中點，所以EFu平面BCCB,MNG平面BCCB=N,N4EF,所以由異面直線的定義得直線MN與直線EF是異面直線.取A￡的中點P,連接PM,PN,如圖，貝ijPN〃BA,PM〃AA又PNC平面ABBA,BAu平面ABBA,PMC平面ABBiAi,AiAu平面ABBA,所以PN〃平面ABBA,PM〃平面ABBA.因為PMGPN=P,PM,PNu平面PMN,所以平面PMN〃平面ABBA,因為MNu平面PMN,所以直線MN與平面ABBA平行.故選B..如圖,在正方體ABCD-ABCD中,M,N,P分別是CD,BC,AD的中點,則下列命題正確的是（C）A.MN〃APB.MN〃BDiC.MN〃平面BB.D.DD.MN〃平面BDP解析:取BC的中點為Q,連接MQ,NQ（圖略），由三角形中位線定理,得MQ〃BD,MQ。平面BBDD,BDu平面BBDD,所以MQ〃平面BB.D.D.由四邊形BB.QN為平行四邊形,得NQ#BB?NQ。平面BBDD,BBC平面BBDD,所以NQ〃平面BBiD.D.又MQnNQ=Q,MQ,NQu平面MNQ,所以平面MNQ〃平面BBDD,又MNu平面MNQ,所以MN〃平面BBiD.D.故選C..（多選題）如圖,正方體ABCD-ABCD的棱長為1,線段BD上有兩個動點E,F,且EF=1,則下列結(jié)論正確的是（BD）邙D AA.線段BD上存在點E,F使得AE〃BFEF〃平面ABCDAAEF的面積與4BEF的面積相等D.三棱錐A-BEF的體積為定值解析:如圖所示,AB與BD為異面直線,故AE與BF也為異面直線,A錯誤;BD〃BD,故EF〃平面ABCD,B正確；由圖可知，點A和點B到EF的距離是不相等的,C錯誤;連接BD交AC于點0,則A0為三棱錐A-BEF的高,14三棱錐A-BEF的體積為:X；x裂膏,為定值,D

2 2 4 3 4 224正確.故選BD.6.已知m,n是空間中兩條不同的直線，a,B是空間中兩個不同的平面，則下列命題正確的是（C）A.若a,m±a,則m±BB.若a〃B,m〃a,貝IJm〃BC.若m±a,n±B,m〃n,則a〃BD.若mua,nua,m〃B,n〃B,則a〃B解析:對于A,若a_LB,m_La,則m〃B或muB,故A錯誤；對于B,若a〃B,m//a,則m〃B或muB,故B錯誤；對于C,若m±a,m〃n,則n±a,又因為n±B,所以a〃B，故C正確；對于D,若mua,nua,m〃B,n〃B,則a,B可能相交,故D錯誤.故選C.7.（多選題）（2021?河北保定模擬）在正方體ABCD-ABCD中,M,N,Q分別是棱D,C?A,D?BC的中點，點P在BD,±,且BP^BD,.則以下四個說法中正確的是（BC）MN〃平面APCGQ〃平面APCA,P,M三點共線D.平面MNQ〃平面APC解析:如圖,對于A,連接MN,AC,則MN#AC,D、MCi連接AM,CN,易得AM,CN交于點P,即MNu平面APC,所以MN〃平面APC是錯誤的；對于B,由A項知M,N在平面APC內(nèi)，由題易知AN〃GQ,ANu平面APC,CQQ平面APC,所以GQ〃平面APC是正確的；對于C,由A項知A,P,M三點共線是正確的；對于D,由A項知MNu平面APC,又MNu平面MNQ,所以平面MNQ〃平面APC是錯誤的.故選BC..有以下三種說法,其中正確的是（填序號）.①若直線a與平面a相交,則a內(nèi)不存在與a平行的直線；②若直線b〃平面a,直線a與直線b垂直,則直線a不可能與a平行;③若直線a,b滿足a〃b,則a平行于經(jīng)過b的任何平面.解析:若直線a與平面a相交,則a內(nèi)不存在與a平行的直線,故①正確;若直線b〃平面a,直線a與直線b垂直,則直線a可能與a平行,故②錯誤;若直線a,b滿足a〃b,則直線a平行或包含于經(jīng)過b的任何平面,故③錯誤.答案:①.（2021?山東煙臺模擬）下列各圖中A.B為正方體的兩個頂點,M,N,P分別為其所在棱的中點，能得出AB〃平面MNP的圖形序號是（寫出所有符合要求的圖形序號）.N③④解析:對于①,如圖（1）,作MC〃NP,連接NC,PC,得平面MCPN,因為AB〃NC,NCu平面MCPN,AB。平面MCPN,所以AB〃平面MCPN,即AB〃平面MNP,故①符合題意；對于②,如圖（2）,連接AC,AD,CD,由已知可得平面MNP〃平面ACD.因為AB和平面ACD相交,所以AB不平行于平面MNP,故②不符合題意;對于③,如圖（3）,連接AC,BC,DE,由已知可得MN〃DE,因為DE〃AC,由平行的傳遞性可得MN〃AC,MNu平面MNP,AC。平面MNP,所以AC〃平面MNP.又因為NP〃BC,NPu平面MNP,BC?平面MNP,所以BC〃平面MNP.ACnBC=C,AC,BCu平面ABC,所以平面ABC〃平面MNP,又因為ABu平面ABC,所以AB〃平面MNP,故③符合題意；對于④,如圖(4),因為DB〃MN,MNu平面MNP,DBQ平面MNP,所以DB〃平面MNP,若AB〃平面MNP,又ABADB=B,則平面ACBD〃平面MNP,由圖可知平面ACBD不可能平行于平面MNP,所以AB不平行于平面MNP,故④不符合題意.圖(3) 圖(4)答案:①③.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形,PAJ_平面ABCD,PA=3,F是棱PA上的一個動點,E為PD的中點,。為AC的中點.⑴求證:0E〃平面PAB;(2)若AF=1,求證:CE〃平面BDF.證明：(D因為四邊形ABCD為菱形,0為AC的中點，所以。為BD的中點，又因為E為PD的中點，所以O(shè)E〃PB.因為0E。平面PAB,PBu平面PAB,所以0E〃平面PAB.⑵如圖所示,過E作EG〃FD交AP于點G,連接CG,F0.因為EG〃FD,EG。平面BDF,FDu平面BDF.所以EG〃平面BDF.因為E為PD的中點,EG〃FD,所以G為PF的中點,因為AF=1,PA=3,所以F為AG的中點,又因為。為AC的中點,所以O(shè)F〃CG.因為CG?平面BDF,OFu平面BDF,所以CG〃平面BDF.因為EGACG=G,EGu平面CGE,CGu平面CGE,所以平面CGE〃平面BDF,又因為CEu平面CGE,所以CE〃平面BDF.B級綜合運用練.如圖，在多面體ABC-DEFG中，平面ABC〃平面DEFG,EF〃DG,且AB=DE,DG=2EF,貝U(A)BF〃平面ACGDCF〃平面ABEDBC//FGD.平面ABED#平面CGF解析:如圖所示,取DG的中點M,連接AM,FM,則由已知條件易證得四邊形DEFM是平行四邊形，GG所以DE〃FM,且DE=FM.因為平面ABC〃平面DEFG,平面ABCG平面ADEB=AB,平面DEFGA平面ADEB=DE,所以AB〃DE,所以AB〃FM,又AB=DE,所以AB=FM,所以四邊形ABFM是平行四邊形，所以BF〃AM,又BF。平面ACGD,AMu平面ACGD,所以BF〃平面ACGD.故選A.12.在三棱錐S-ABC中，AABC是邊長為6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分別與AB,BC,SC,SA交于點D,E,F,H.D,E分別是AB,BC的中點，如果直線SB〃平面DEFH,那么四邊形DEFH的面積為（A）A.竺B型2 2C.45D.45V3解析:如圖，取AC的中點G,連接SG,BG.易知SG1AC,BG±AC,SGGBG=G，故AC_L平面SGB,又SBu平面SGB,所以ACJ_SB.因為SB〃平面DEFH,SBu平面SAB,平面SABG平面DEFH=HD,則SB//HD.同理SB〃FE.又因為D,E分別為AB,BC的中點，則H,F也分別為AS,SC的中點，從而得hfx|ac,DEJL^AC,所以HFJLDE,所以四邊形DEFH為平行四邊形.因為AC±SB,SB/7HD,DE/7AC,所以DE_LHD,所以四邊形DEFH為矩形，其面積S=HF-HD=(|AC)?(|SB)=y.故選A..已知下列命題：①若直線與平面有兩個公共點,則直線在平面內(nèi)；②若直線1上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，則1〃a；③若直線1與平面a相交,貝IJ1與平面a內(nèi)的任意直線都是異面直線;④如果兩條異面直線中的一條與一個平面平行,則另一條直線一定與該平面相交；⑤若直線1與平面a平行,則1與平面a內(nèi)的直線平行或異面；⑥若平面a〃平面B,直線aua,直線buB,則a〃b.上述命題正確的是(填序號).解析:①若直線與平面有兩個公共點，由基本事實2可得直線在平面內(nèi)，故①正確;②若直線1上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，則1〃a或1與a相交,故②錯誤;③若直線1與平面a相交,則1與平面a內(nèi)的任意直線可能是異面直線或相交直線，故③錯誤;④如果兩條異面直線中的一條與一個平面平行,則另一條直線可能與該平面平行或相交或在平面內(nèi)，故④錯誤;⑤若直線1與平面a平行,則1與平面a內(nèi)的直線無公共點，即平行或異面,故⑤正確;⑥若平面a〃平面P,直線aua,直線beB,則a〃b或a,b異面,故⑥錯誤.答案:①⑤.如圖，四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點.求證：AMB⑴BE〃平面DMF;⑵平面BDE〃平面MNG.證明：⑴如圖，連接AE,則AE必過DF與GN的交點0,連接M0,因為四邊形ADEF為平行四邊形,所以。為AE的中點，又M為AB的中點，所以MO為4ABE的中位線，所以BE〃MO,又因為BEC平面DMF,MOu平面DMF,所以BE〃平面DMF.(2)因為N,G分別為平行四邊形ADEF的對邊AD,EF的中點，所以DE〃GN,又因為DEC平面MNG,GNu平面MNG,所以DE〃平面MNG.因為M為AB的中點,N為AD的中點，所以MN為4ABD的中位線，所以BD/7MN,因為BDC平面MNG,MNu平面MNG,所以BD〃平面MNG,因為DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE〃平面MNG..如圖，四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AB_LAC,AB〃CD,AB=2CD,E,F分別為PB,AB的中點.⑴求證:平面PAD〃平面EFC;(2)若PA=AB=AC=2,求點B到平面PCF的距離.所以EF〃PA,因為EFC平面PAD,PAu平面PAD,所以EF〃平面PAD.因為AB〃CD,AB=2CD,所以AF〃CD,AF=CD,所以四邊形ADCF為平行四邊形，所以CF〃AD.因為CFC平面PAD,ADu平面PAD,所以CF〃平面PAD.因為EFGCF=F,EF,CFu平面EFC,所以平面PAD〃平面EFC.(2)解：因為AB±AC,AB=AC=2,F為AB的中點，所以Sabcf^BF?AC=1x1X2-1,因為PAJ_平面ABCD,一一 1 1 ?所以Vp-BCF《S△BCE.PAgxiX2q,因為PF=CF=V5,PC=2遮，所以SaPCF=PC?JPF2-(y)2=1x272X7572=76.設(shè)點B到平面PCF的距離為h,因為Vb-pcf=Vp-bcf，所以］**h=g,所以點B到平面PCF的距離為C級應(yīng)用創(chuàng)新練.(2021?山東淄博模擬)如圖(1)所示，在邊長為12的正方形AA'AJ4中,BBi〃CCi〃AA“且AB=3,BC=4,AAJ分別交BBi,C3于點P,Q,將該正方形沿BBi,CG折疊，使得A'AJ與AAi重合，構(gòu)成如圖⑵所示的三棱柱ABC-AB3,在該三棱柱底邊AC上有一點M,滿足AM=kMC(0<kG),請在圖(2)中解決下列問題.⑴求證:當時,BM〃平面APQ;(2)若k=；,求三棱錐M-APQ的體積.4⑴證明：如圖，過M作MN〃CQ交AQ于點N,連接PN,所以如〃PB,所以點M,N,P,B共面,且平面MNPB交平面APQ于PN,又CQ=7,所以MN=3,MN=PB=AB=3,所以四邊形MNPB為平行四邊形，所以BM〃PN,因為PNu平面APQ,BMQ平面APQ,所以BM〃平面APQ.(2)解：因為AB=3,BC=4,所以AC=5,從而AC2=AB2+BC2,即AB±BC.因為k=i,所以AM=1,WFm-apq=^p-amq^x\,AM,CQ?魯告.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,M,N,Q分別為BC,PA,PB的中點.(1)求證:平面MNQ〃平面PCD;(2)在線段PD上是否存在一點E,使得MN〃平面ACE?若存在,求出意的值;若不存在,請說明理由.(1)證明：因為在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,M,N,Q分別為BC,PA,PB的中點,所以NQ//CD,MQ〃PC.又NQ。平面PCD,CDu平面PCD,MQ。平面PCD,PCu平面PCD,所以NQ〃平面PCD,MQ〃平面PCD.又因為NQAMQ=Q,且NQ,MQu平面MNQ,所以平面MNQ〃平面PCD.(2)解:線段PD上存在一點E,使得MN〃平面ACE,且需福理由如下:如圖所示,取PD的中點E,連接NE,CE,因為N,E,M分別是AP,PD,BC的中點,BCJLAD,所以NEJLMC,所以四邊形MCEN是平行四邊形，所以MN〃CE,因為MNQ平面ACE,CEu平面ACE,所以MN〃平面ACE,即在線段PD上存在點E,使得MN〃平面ACE,第4節(jié)空間直線、平面的垂直知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練直線與平面垂直的判定與性質(zhì)1,4,912平面與平面垂直的判定與性質(zhì)5求空間角的大小3,7,8綜合問題2,610,11,13,14,15,1617,18靈港小混芯數(shù)提甚課時作業(yè)?選題明細表A級基礎(chǔ)鞏固練（2021?河北滄州聯(lián)考）如圖所示，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA_L平面ABC.則下列結(jié)論不正確的是（D）CDCD〃平面PAFDF_L平面PAFCF〃平面PABD.CF_L平面PAD解析:A中，因為CD〃AF,AFu平面PAF,CM平面PAF,所以CD〃平面PAF成立；B中，因為六邊形ABCDEF為正六邊形,所以DF±AF.又因為PA_L平面ABCDEF,DFu平面ABCDEF,所以PA_LDF,又PAGAF=A,PAu平面PAF,AFu平面PAF,所以DFJ_平面PAF成立；C中，CF〃AB,ABu平面PAB,CF。平面PAB,所以CF〃平面PAB;而D中,CF與AD不垂直.故選D.（2021?江西南昌模擬）如圖，在四面體ABCD中，已知AB_LAC,BD_LAC,那么點D在平面ABC內(nèi)的射影H必在（A）BA.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.AABC內(nèi)部解析：由AB±AC,BD±AC,又ABnBD=B,ABu平面ABD,BDu平面ABD,則AC_L平面ABD,而ACu平面ABC,則平面ABC_L平面ABD,因此點D在平面ABC內(nèi)的射影H必在平面ABC與平面ABD的交線AB上.故選A.已知三棱柱ABC-ABG的側(cè)棱與底面垂直,體積為底面是邊長為行的正三角形,若P為底面ABC的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為（B）A.—B.-TOC\o"1-5"\h\z12 3C.- D.-4 6解析:如圖,取正三角形ABC的中心0,連接0P,則NPA0是PA與平面ABC所成的角.因為底面邊長為6，所以adsWA0=|AD4x1=l.三棱柱的體積為fx(V3)2-AA，4解得AA.-V3,即0P=AAi=g,所以tan/PAO必=遍，AO因為直線與平面所成角的取值范圍是［0,力，所以NPAOg.故選B..(2021?山東煙臺月考)如圖，在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點,G是EF的中點,現(xiàn)在沿AE,AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B,C,D三點重合,重合后的點記為H,則在這個空間圖形中A.AG_L平面EFHB.AH_L平面EFHC.HF_L平面AEFD.HG_L平面AEF解析:根據(jù)折疊前、后AH1HE,AH1HF不變,且HEGHF=H,HE,HFu平面EFH,得AH_L平面EFH,所以B正確；因為過點A只有一條直線與平面EFH垂直,所以A不正確；由題知AG±EF,又EF±AH,AGAAH=A,AG,AHu平面HAG,所以EF_L平面HAG,又EFu平面AEF,所以平面HAG_L平面AEF,若過點H作直線垂直于平面AEF,則直線一定在平面HAG內(nèi)，所以C不正確；因為HG不垂直于AG,所以HG_L平面AEF不正確，所以D不正確.故選B..（多選題）（2021?山東濟寧模擬）已知表示兩條不同的直線，a,B表示兩個不同的平面，1_La,muB,則下面四個命題中正確的是（AC）A.若&〃B,則若a_LB,則l〃mC.若l〃m,則a_LBD.若l_Lm,則a〃B解析:因為1_La,a〃B,根據(jù)面面平行的性質(zhì)知1_LB,又muB,則1_Lm,故A正確；若aJ_B,1a,則1可能在B內(nèi)或與P平行，則1可能與m相交、平行或異面，故B錯誤；由1〃m,1J_a可推出m±a,又muB,根據(jù)面面垂直的判定定理可知a_LB,故C正確；若a,B的交線為m,則l_Lm,推不出a〃B,故D錯誤.故選AC.6.（多選題）如圖,PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，點C是圓周上異于A,B的任一點，則下列結(jié)論中正確的是（AD）A.PC±BCB.AC_L平面PBCC.平面PAB_L平面PBCD.平面PAC_L平面PBC解析：由題意,BC_LAC,若AC_L平面PBC,可得AC_LPC,與AC±PA矛盾,故B錯誤；BC±AC,又PA_L底面ABC,所以PA_LBC,ACAPA=A,AC,PAu平面PAC,則BCJ_平面PAC,又PCu平面PAC,則BC±PC,又BCu平面PBC,所以平面PAC_L平面PBC,故A,D正確;因為BC_L平面PAC,所以NPCA為平面PAB與平面PBC所成角的平面角，又/PCA為銳角，所以平面PAB與平面PBC不垂直,故C錯誤.故選AD..若P是4ABC所在平面外一點,而4PBC和4ABC都是邊長為2的正三角形,PA=V^,那么二面角P-BC-A的大小為.解析:取BC的中點0,連接0A,0P（圖略），則NP0A為二面角P-BC-A的平面角，0P=0A=V3,PA=V6,所以aPOA為直角三角形，ZP0A=90°.答案：90。.如圖，在長方體ABCD-ABCD中，AB=AD=26,CCfVz,則二面角

ClBD一C的大小為.解析:如圖，取BD的中點0,連接0C,0Cb因為AB=AD=2V3,所以C0_LBD,C0=V6.因為CD=BC,所以CD=CB,所以G0_LBD,所以NG0C為二面角Ci-BD-C的平面角.所以NCQC=30°,即二面角3_BD＜的大小為30°.答案：30.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中,PAJ_底面ABCD,AB±AD,AC±CD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點,求證:(1)CD±AE;(2)PD_L平面ABE.證明:(1)因為PA_L底面ABCD,CDu底面ABCD,所以CD±PA.又CD±AC,PADAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC,故CD_L平面PAC,又AEu平面PAC,故CD±AE.(2)因為PA=AB=BC,NABC=60°,所以PA=AC.因為E是PC的中點，所以AE_LPC.由(1)知CD±AE,由于PCnCD=C,PCu平面PCD,CDu平面PCD,從而AE_L平面PCD,又PDu平面PCD,故AE±PD.易知BA±PD,AEABA=A,AEu平面ABE,BAu平面ABE,故PD_L平面ABE.B級綜合運用練.如圖所示,在四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=V2,BD1CD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A'-BCD,使平面A'BD_L平面BCD,則下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（B）BB,A'①A'C_LBD;②/BA'C=90°;③CA'與平面A'BD所成的角為30④四面體A'-BCD的體積為A.0B.1C.2D.3解析：因為AB=AD=CD=1,BD=V2,所以AB_LAD,因為平面A'BD_L平面BCD,BD_LCD,平面A'BDD平面BCD=BD,所以CD_L平面A'BD,取BD的中點0,連接0A',0C（圖略），因為AB=A'D,所以A'O±BD.又平面A'BD_L平面BCD,平面A'BDA平面BCD=BD,A'Ou平面A，BD,所以A，0J_平面BCD.又因為BD±CD,所以O(shè)C不垂直于BD.假設(shè)A，CLBD,因為OC為A'C在平面BCD內(nèi)的射影，所以O(shè)C±BD,矛盾，故①錯誤；因為CD_LBD,平面A'BD_L平面BCD,且平面A'BDG平面BCD=BD,所以CD_L平面A'BD,又A'Bu平面A'BD,所以CD_LA'B.因為A'B=A'D=1,BD=VI,所以A'B_LA'D,又CDDA'D=D,CD,A'Du平面A'CD,所以A'BJ_平面A'CD,又A'Cu平面A'CD,所以A'B_LA'C,故②正確；NCA'D為直線CA'與平面A'BD所成的角，NCA'D=45°,故③錯誤；A'-BCD=^C-A,BD=qSaa,bd*CD=-,故④錯誤.故選B.11.如圖，正方形ABCD和正方形ADEF成60°的二面角，將4DEF繞DE旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，(1)對任意位置，總有直線AC與平面DEF相交；(2)對任意位置,平面DEF與平面ABCD所成角大于或等于60(3)存在某個位置，使DF_L平面ABCD;(4)存在某個位置，使DF_LBC.其中正確的是(C)A.(1)(3)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)解析:過D作AC的平行線1,如圖，當平面DEF過1時，直線AC與平面DEF平行,故⑴錯誤；△DEF繞DE旋轉(zhuǎn)形成一個以DE為高,EF為底面半徑的圓錐，設(shè)平面ABCD的法向量為n,平面DEF的法向量為r,則向量n所在直線與圓錐底面所成角為60°,向量r所在直線為圓錐底面與EF垂直的半徑所在直線，根據(jù)最小角原理,n與r的夾角大于或等于60°,故⑵正確；若有DF_L平面ABCD,則AD1DF,所以AD_L平面DEF,則F在平面DEC內(nèi)，此時DF與平面ABCD所成角為15°或75°,矛盾，故⑶錯誤；當AD_LDF,所以AD_L平面DEF時,AD〃BC,所以DF_LBC,故（4）正確.故選C.12.（多選題）（2021?福建泉州質(zhì)檢）如圖，在下列四個正方體ABCD-A.B,C.D,中,E,F,G均為所在棱的中點,過E,F,G作正方體的截面,則在各個正方體中，直線BD與平面EFG垂直的是（ABC）

nAnA解析:如圖,在正方體中,E,F,G,M,N,Q均為所在棱的中點,且六點共面,直線BD,與平面EFMNQG垂直,并且A項,B項,C項中的平面與這個平面重合.對于D項中的圖形，由于E,F分別為AB,AB的中點，所以EF〃BBi,故ZB時為異面直線EF與BD.所成的角，且tan/BED尸魚,即ZB.BD.不是直角，故BD,與平面EFG不垂直.故選ABC..（2021?湖北黃岡質(zhì)檢）如圖,PA_L/0所在的平面,AB是圓。的直徑,C是圓。上一點,E,F分別是點A在PB,PC上的射影，給出下列結(jié)論:①AF_LPB;②EF_LPB;③AF_LBC;④AE_L平面PBC.其中正確結(jié)論的序號是.解析:①由于PA_L平面ABC,BCu平面ABC,因此PA_LBC,又AC±BC,PAAAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC,因此BC_L平面PAC,AFu平面PAC,所以BC_LAF,由于PC_LAF,BCAPC=C,BCu平面PBC,PCu平面PBC,因此AFJ_平面PBC,又PBu平面PBC,所以AFJ_PB,故①正確；②因為AE_LPB,AF_LPB,AEGAF=A,AEu平面AEF,AFu平面AEF,所以PB_L平面AEF,又EFu平面AEF,因此EF_LPB,故②正確；③在①中已證明AF_L平面PBC,BCu平面PBC,所以AF_LBC,故③正確；④若AEJ_平面PBC,由①知AFJ_平面PBC,由此可得出AF〃AE,這與AF,AE有公共點A矛盾，故AE_L平面PBC不成立，故④錯誤.故正確的結(jié)論為①②③.答案:①②③.三棱錐P-ABC中，PA=1,AB=AC=V^,PA,AB,AC兩兩相互垂直,M為PC中點,則異面直線PB與AM所成角的余弦值是;取BC中點N,則二面角M-AN-C的大小是 .解析：由題設(shè),連接中位線MN,則MN〃PB,即異面直線PB與AM所成角的平面角為NAMN,因為PA=1,AB=AC=?,PA,AB,AC兩兩相互垂直,所以PC=PB=V3,則AM=MN力,且AN=1,所以在AAMN中，所以在AAMN中，cosNAMN三am2+mn2-an212AM?MN過M作MD_LAC于D,易知D是AC的中點，若E為AN的中點，連接DE,ME,所以DE_LAN,ME±AN,而DEGME=E,所以AN_L平面MED,故NMED是二面角M-AN-C的平面角,因為PA,AB,AC兩兩相互垂直，易知平面PAC,平面PAB,平面ABC兩兩相互垂直,又平面PACA平面ABC=AC,MDu平面PAC,所以MDJ_平面ABC,EDu平面ABC,即MD±DE,所以在RtAMED中,“nPA1kNCBC1MD=—=-,DE=―=—=-22 2 42則tanNMED2^二l,DE所以NMED』.4答案：；7.如圖,在直三棱柱ABC-ABG中，AC=BC=1,ZACB=90°,D是AB的中點,F在BBi上.⑴求證:GD_L平面AABB;(2)在下列給出的三個條件中選取哪兩個條件可使ABi_L平面CDF?并證明你的結(jié)論.①F為BBi的中點；②AB尸舊;③AAlVZ(1)證明：因為ABC-ABG是直三棱柱，所以AiCi-BiCi-1,且NA】CB=90°,又D是AB的中點，所以GD_LAB.因為AA」平面ABC,GDu平面AB3,所以AA」GD,又AiBiAAAlAi,AiBiU平面AAiBB,AA】u平面AAiBiB,所以GDJ_平面AABB.⑵解: