論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)愛因斯坦

論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)愛因斯坦根據(jù)范岱年、趙中立、許良英編譯《愛因斯坦文集》編輯大家知道，麥克斯韋電動(dòng)力學(xué)一一象現(xiàn)在通常為人們所理解的那樣一一應(yīng)用到運(yùn)動(dòng)的物體上時(shí)，就要引起一些不對(duì)稱，而這種不對(duì)稱似乎不是現(xiàn)象所固有的。比如設(shè)想一個(gè)磁體同一個(gè)導(dǎo)體之間的電動(dòng)力的相互作用。在這里，可觀察到的現(xiàn)象只同導(dǎo)休和磁體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)有關(guān)，可是按照通常的看法，這兩個(gè)物體之中，究竟是這個(gè)在運(yùn)動(dòng)，還是那個(gè)在運(yùn)動(dòng)，卻是截然不同的兩回事。如果是磁體在運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體靜止著，那么在磁體附近就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)具有一定能量的電場(chǎng)，它在導(dǎo)體各部分所在的地方產(chǎn)生一股電流。但是如果磁體是靜止的，而導(dǎo)體在運(yùn)動(dòng)，那么磁體附近就沒有電場(chǎng)，可是在導(dǎo)體中卻有一電動(dòng)勢(shì)，這種電動(dòng)勢(shì)本身雖然并不相當(dāng)于能量，但是它一一假定這里所考慮的兩種情況中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是相等的一一卻會(huì)引起電流，這種電流的大小和路線都同前一情況中由電力所產(chǎn)生的一樣。堵如此類的例子，以及企圖證實(shí)地球相對(duì)于“光煤質(zhì)”運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)的失敗，引起了這樣一種猜想：絕對(duì)靜止這概念，不僅在力學(xué)中，而且在電動(dòng)力學(xué)中也不符合現(xiàn)象的特性，倒是應(yīng)當(dāng)認(rèn)為，凡是對(duì)力學(xué)方程適用的一切坐標(biāo)系，對(duì)于上述電動(dòng)力學(xué)和光學(xué)的定律也一樣適用，對(duì)于第一級(jí)微量來說，這是已經(jīng)證明了的。我們要把這個(gè)猜想（它的內(nèi)容以后就稱之為“相對(duì)性原理”）提升為公設(shè)，并且還要引進(jìn)另一條在表面上看來同它不相容的公設(shè)：光在空虛空間里總是以一確定的速度C傳播著，這速度同發(fā)射體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)。由這兩條公設(shè)，1/33根據(jù)靜體的麥克斯韋理論，就足以得到一個(gè)簡(jiǎn)單而又不自相矛盾的動(dòng)體電動(dòng)力學(xué)?！肮庖蕴钡囊脤⒈蛔C明是多余的，因?yàn)榘凑者@里所要闡明的見解，既不需要引進(jìn)一個(gè)共有特殊性質(zhì)的“絕對(duì)靜止的空間”，也不需要給發(fā)生電磁過程的空虛實(shí)間中的每個(gè)點(diǎn)規(guī)定一個(gè)速度矢量。這里所要閘明的理論一一象其他各種電動(dòng)力學(xué)一樣一一是以剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)為根據(jù)的，因?yàn)槿魏芜@種理論所講的，都是關(guān)于剛體（坐標(biāo)系）、時(shí)鐘和電磁過程之間的關(guān)系。對(duì)這種情況考慮不足，就是動(dòng)體電動(dòng)力學(xué)目前所必須克服的那些困難的根源。一運(yùn)動(dòng)學(xué)部分§1、同時(shí)性的定義設(shè)有一個(gè)牛頓力學(xué)方程在其中有效的坐標(biāo)系。為丁使我們的陳述比較嚴(yán)謹(jǐn)，并且便于將這坐標(biāo)系同以后要引進(jìn)來的別的坐標(biāo)系在字面上加以區(qū)別，我們叫它“靜系”。如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于這個(gè)坐標(biāo)系是靜止的，那么它相對(duì)于后者的位置就能夠用剛性的量桿按照歐兒里得幾何的方法來定出，并且能用笛卡兒坐標(biāo)來表示。如果我們要描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，我們就以時(shí)間的函數(shù)來給出它的坐標(biāo)值?，F(xiàn)在我們必須記住，這樣的數(shù)學(xué)描述，只有在我們十分清楚地懂得“時(shí)間”在這里指的是什么之后才有物理意義。我們應(yīng)當(dāng)考慮到：凡是時(shí)間在里面起作用的我們的一切判斷，總是關(guān)于同時(shí)的2/33事件的判斷。比如我說，“那列火車7點(diǎn)鐘到達(dá)這里"這大概是說：“我的表的短針指到7同火車的到達(dá)是同時(shí)的事件?！币苍S有人認(rèn)為，用“我的表的短針的位置”來代替“時(shí)間”，也許就有可能克服由于定義“時(shí)間”而帶來的一切困難。事實(shí)上，如果問題只是在于為這只表所在的地點(diǎn)來定義一種時(shí)間，那么達(dá)樣一種定義就已經(jīng)足夠了；但是，如果問題是要把發(fā)生在不同地點(diǎn)的一系列事件在時(shí)間上聯(lián)系起來，或者說一一其結(jié)果依然一樣一一要定出那些在遠(yuǎn)離這只表的地點(diǎn)所發(fā)生的事件的時(shí)問，那么這徉的定義就不夠了。當(dāng)然，我們對(duì)于用如下的辦法來測(cè)定事件的時(shí)間也許會(huì)成到滿意，那就是讓觀察者同表一起處于坐標(biāo)的原點(diǎn)上，而當(dāng)每一個(gè)表明事件發(fā)生的光信號(hào)通過空虛空間到達(dá)觀察者時(shí)，他就把當(dāng)時(shí)的時(shí)針位置同光到達(dá)的時(shí)間對(duì)應(yīng)起來。但是這種對(duì)應(yīng)關(guān)系有一個(gè)缺點(diǎn)，正如我們從經(jīng)驗(yàn)中所已知道的那樣，它同這個(gè)帶有表的觀察者所在的位置有關(guān)。通過下面的考慮，我們得到一種此較切合實(shí)際得多的測(cè)定法。如果在空間的A點(diǎn)放一只鐘，那么對(duì)于貼近A處的事件的時(shí)間，A處的一個(gè)觀察者能夠由找出同這些事件同時(shí)出現(xiàn)的時(shí)針位置來加以測(cè)定，如果.又在空間的B點(diǎn)放一只鐘一一我們還要加一句，“這是一只同放在A處的那只完全一樣的鐘。”那么，通過在B處的觀察者，也能夠求出貼近B處的事件的時(shí)間。但要是沒有進(jìn)一步的規(guī)定，就不可能把A處的事件同B處的事件在時(shí)間上進(jìn)行比較；到此為止，我們只定義了“A時(shí)間”和“B時(shí)間”，但是并沒有3/33定義對(duì)于A和B是公共的“時(shí)間”。只有當(dāng)我們通過定義，把光從A到B所需要的“時(shí)間”，規(guī)定為等于它從B到A所需要的“時(shí)間”，我們才能夠定義A和B的公共“時(shí)間”。設(shè)在“A時(shí)間”tA，從A發(fā)出一道光線射向B，它在“B時(shí)間”，tB。又從B被反射向A，而在“A時(shí)間”t、A回到A處。如果tB-tA=t'A-tB那么這兩只鐘按照定義是同步的。我們假定，這個(gè)同步性的定義是可以沒有矛盾的，并且對(duì)于無論多少個(gè)點(diǎn)也都適用，于是下面兩個(gè)關(guān)系是普遍有效的：.如果在B處的鐘同在A處的鐘同步，那么在A處的鐘也就同B處的鐘同步。.如果在A處的鐘既同B處的鐘，又同C處的鐘同步的，那么，B處同C處的兩只鐘也是相互同步的。這樣，我們借助于某些（假想的）物理經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于靜止在不同地方的各只鐘，規(guī)定了什么叫做它們是同步的，從而顯然也就獲得了“同時(shí)”和“時(shí)間”的定義。一個(gè)事件的“時(shí)間”，就是在這事件發(fā)生地點(diǎn)靜止的一只鐘同該事件同時(shí)的一種指示，而這只鐘是同某一只特定的靜止的鐘同步的，而且對(duì)于一切的時(shí)間測(cè)定，也都是同這只特定的鐘同步的。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們還把下列量值2AB =ct'A-tA當(dāng)作一個(gè)普適常數(shù)（光在空虛空間中的速度）。4/33要點(diǎn)是，我們用靜止在靜止坐標(biāo)系中的鐘來定義時(shí)間，由于它從屬于靜止的坐標(biāo)系，我們把這樣定義的時(shí)間叫做“靜系時(shí)間”?！?關(guān)于長(zhǎng)度和附間的相對(duì)性下面的考慮是以相對(duì)性原理和光速不變?cè)頌橐罁?jù)的，這兩條原理我們定義，如下。1.物理體系的狀態(tài)據(jù)以變化的定律，同描述這些狀態(tài)變化時(shí)所參照的坐標(biāo)系究竟是用兩個(gè)在互相勻速移動(dòng)著的坐標(biāo)系中的哪一個(gè)并無關(guān)系。2，任何光線在“靜止的”坐標(biāo)系中都是以確定的速度c運(yùn)動(dòng)著，不管這道光線是由靜止的還是運(yùn)動(dòng)的物體發(fā)射出來的。由此，得光速光的路程時(shí)間間隔這里的“時(shí)間間隔”，是依照§1中所定義的意義來理解的。設(shè)有一靜止的剛性桿；用一根也是靜止的量桿量得它的長(zhǎng)度是l.我們現(xiàn)在設(shè)想這桿的軸是放在靜止坐標(biāo)系的X軸上，然后使這根桿沿著X軸向x增加的方向作勻速的平行移動(dòng)（速度是v）。我們現(xiàn)在來考查這根運(yùn)動(dòng)著的桿的長(zhǎng)度，并且設(shè)想它的長(zhǎng)度是由下面兩種操作來確定的：a）觀察者同前面所給的量桿以及那根要量度的桿一道運(yùn)動(dòng)，并且直接用量桿同桿相疊合來量出桿的長(zhǎng)度，正象要量的桿、觀察者和量桿都處于靜止時(shí)一樣。b）觀察者借助于一些安置在靜系中的、并且根據(jù)§1作同步運(yùn)行的靜止的鐘，在某一特定時(shí)刻t,求出那根要量的桿的始末兩5/33

端處于靜系中的哪兩個(gè)點(diǎn)上。用那根已經(jīng)使用過的在這種情況下是靜止的量桿所量得的這兩點(diǎn)之間的距離，也是一種長(zhǎng)度，我們可以稱它為“桿的長(zhǎng)度”。由操作a）求得的長(zhǎng)度，我們可稱之為“動(dòng)系中桿的長(zhǎng)度”。根據(jù)相對(duì)性原理，它必定等于靜止桿的長(zhǎng)度l。由操作b）求得的長(zhǎng)度，我們可稱之為“靜系中（運(yùn)動(dòng)著的）桿的長(zhǎng)度”。這種長(zhǎng)度我們要根據(jù)我們的兩條原理來加以確定，并且將會(huì)發(fā)現(xiàn)，它是不同于l的。通常所用的運(yùn)動(dòng)學(xué)心照不宣地假定了：用上遠(yuǎn)這兩種操作所測(cè)得的長(zhǎng)度彼此是完全相等的，或者換句話說，一個(gè)運(yùn)動(dòng)著的剛體，于時(shí)期t，在幾何學(xué)關(guān)系上完全可以用靜止在一定位置上的同一物體來代替。此外，我們?cè)O(shè)想，在桿的兩端（A和B），都放著一只同靜系的鐘同步了的鐘，也就是說，這些鐘在任何瞬間所報(bào)的時(shí)刻，都同它們所在地方的“靜系時(shí)間”相一致；因此，這些鐘也是“在靜系中同步的“。我們進(jìn)一步設(shè)想，在每一只鐘那里都有一位運(yùn)動(dòng)著的觀察者同它在一起，而且他們把§1中確立起來的關(guān)于兩只鐘同步運(yùn)行的判據(jù)應(yīng)用到這兩只鐘上。設(shè)有一道光線在時(shí)間tA從A處發(fā)出，在時(shí)間tB于B處被反射回，并在時(shí)間t、A返回到A處?？紤]到光速不變?cè)?，我們得到：ddArABtB—tA= rAB和 /A-tB= 6/33此處rAB此處rAB表示運(yùn)動(dòng)著的桿的長(zhǎng)度在靜系中量得的。因此，同動(dòng)桿一起運(yùn)動(dòng)著的觀察者會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩只鐘不是同不進(jìn)行的，可是處在靜系中的觀察者卻會(huì)宣稱這兩只鐘是同步的。由此可見，我們不能給予同時(shí)性這概念以任何絕對(duì)的意義；兩個(gè)事件，從一個(gè)坐標(biāo)系看來是同時(shí)的，而從另一個(gè)相對(duì)于這個(gè)坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)著的坐標(biāo)系看來，它們就不能再被認(rèn)為是同時(shí)的事件了。§3、從靜系到另一個(gè)相對(duì)于它作勻速移動(dòng)

的坐標(biāo)系的坐標(biāo)和時(shí)間的變換理論設(shè)在“靜止的”空間中有兩個(gè)坐標(biāo)系，每一個(gè)都是由三條從一點(diǎn)發(fā)出并且互相垂直的剛性物質(zhì)直線所組成。設(shè)想這兩個(gè)坐標(biāo)系的X軸是疊合在一起的，而它們的Y軸和Z軸則各自互相平行著。設(shè)每“一系都備有一根剛性量桿和若干只鐘，而且這兩根量桿和兩坐標(biāo)系的所有的鐘彼此都是完全相同的?，F(xiàn)在對(duì)其中一個(gè)坐標(biāo)系（k）的原點(diǎn)，在朝著另一個(gè)豁止的坐標(biāo)系（K）的x增加方向上給以一個(gè)（恒定）速度v，設(shè)想這個(gè)速度也傳給了坐標(biāo)軸、有關(guān)的量桿，以及那些鐘。因此，對(duì)于靜系K的每一時(shí)間t，都有動(dòng)系軸的一定位置同它相對(duì)應(yīng)，由于對(duì)稱的緣故，我們有權(quán)假定k的運(yùn)動(dòng)可以是這樣的：在時(shí)間t（這個(gè)“t”始終是表示靜系的時(shí)間），動(dòng)系的軸是同靜系的軸相平行的。我們現(xiàn)在設(shè)想空間不僅是從釋系K用靜止的量桿來量度，而幾也可從動(dòng)系k用一根同它一道運(yùn)動(dòng)的量桿來量，由此分別得到坐標(biāo)x,y,z和昌，n,Z。再借助于放在靜系中的靜止的鐘，用§1中7/33

所講的光信號(hào)方法，來測(cè)定一切安置有鐘的各個(gè)點(diǎn)的靜系時(shí)間t。同樣，對(duì)于一切安置有同動(dòng)系相對(duì)靜止的鐘的點(diǎn)，它們的動(dòng)系時(shí)間T也是用§1中所講的兩點(diǎn)間的光信號(hào)方法來測(cè)定，而在這些點(diǎn)上都放著后一種［對(duì)動(dòng)系靜止］的鐘。對(duì)于完全地確定靜系中一個(gè)事件的位置和時(shí)間的每一組值X,y,z,t，對(duì)應(yīng)有一組值自，n,Z,T,它們確定了那一事件對(duì)于坐標(biāo)系k的關(guān)系，現(xiàn)在要解決的問題是求出聯(lián)系這些量的方程組。首先，這些方程顯然應(yīng)當(dāng)都是線性的，因?yàn)槲覀冋J(rèn)為空間和時(shí)間是具有均勻性的。如果我們置x'=x-vt，那么顯然，對(duì)于一個(gè)在k系中靜止的點(diǎn)，就必定有一組同時(shí)間無關(guān)的值X、，y,z。我們先把T定義為X、，y,z和t的函數(shù)。為此目的，我們必須用方程來表明t不是別的，而只不過是k系中已經(jīng)依照§1中所規(guī)定的規(guī)則同步化了的靜止鐘的全部數(shù)據(jù)。從k系的原點(diǎn)在時(shí)間t0發(fā)射一道光線，沿著X軸射向X、，在ti時(shí)從那里反射回坐標(biāo)系的原點(diǎn)，而在t2時(shí)到達(dá)；由此必定有下列關(guān)系：1(T+T)=T2 0 2 1或者，當(dāng)我們引進(jìn)函數(shù)工的自變量，并且應(yīng)用到靜系中的光速不變?cè)恚?t(0,2t(0,0,0,t)+tI0,0,0,0,x'、0,t+——c—vJ如果我們選取X、為無限小，那么:8/33

1515t + d.x'c-vdtSt vSt八或者，—；+ =0或者，SX' c2_V2St應(yīng)當(dāng)指出，我們可以不選坐標(biāo)原點(diǎn)，而選別的點(diǎn)做為光線的出發(fā)點(diǎn)，因此剛才所得到的方程對(duì)于x',y,z的一切數(shù)值都該是有效的。作類似的考查一一用在H軸和Z軸上一一并且注意到，從靜系看來，光沿著這些軸傳播的速度始終是、^^2，這就得到：J0SyJ0Sz由于T是線性函數(shù)，從這個(gè)方程得到：f 、一tV/°t-dV~2X\ ）此處a暫時(shí)還是一個(gè)未知函數(shù)①G），并且為了簡(jiǎn)便起見，假定在k的原點(diǎn)，當(dāng)，t=0時(shí)，t=0。借助于這一結(jié)果，就不難確定卜n,Z這些量，這只要用方程來表明，光（象光速不變?cè)砗拖鄬?duì)性原理所共同要求的）在動(dòng)系中量度起來也是以速度c在傳播的。對(duì)于在時(shí)間T=0向自增加的方向發(fā)射出去的一道光線，其方程是：g=Vt,或者己二“Vft-——x'[c2-v2）但在靜系中量度，這道光線以速度V-V相對(duì)于k的原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)著，因此得到：9/33

X

=tC-V如果我們以t這個(gè)值代入關(guān)于己的方程中，我們就得到:此處用類似的方法，考察沿著另外兩條軸走的光線，我們就求得:此處「二t:C2-V2因此代入X、的值，我們得到:、V XC2C=q(vC=q(v)z，此處而平暫時(shí)仍是v的一個(gè)未知函數(shù)。如果對(duì)于動(dòng)系的初始位置和T的零點(diǎn)不作任何假定，那么這些方程的右邊都有一個(gè)附加常數(shù)。10/33我們現(xiàn)在應(yīng)當(dāng)證明，任何光線在動(dòng)系量度起來都是以速度c傳播的，如果象我們所假定的那樣，在靜系中的情況就是這樣的；因?yàn)槲覀冞€未曾證明光速不變?cè)硗鄬?duì)性原理是相容的。在’.二0t時(shí)，這兩坐標(biāo)系共有一個(gè)原點(diǎn)，設(shè)從這原點(diǎn)發(fā)射出一個(gè)球面波，在K系里以速度c傳播著。如果（x,y，z）是這個(gè)波剛到達(dá)的一點(diǎn)，那么X2+y+Z2=c212借助我們的變換方程來變換這個(gè)方程，經(jīng)過簡(jiǎn)單的演算后，我們得到：己2+月2+C2=c2T2由此，在動(dòng)系中看來，所考查的這個(gè)波仍然是一個(gè)具有傳播速度c的球面波。這表明我們的兩條基本原理是彼此相容的。在已推演得的變換方程中，還留下一個(gè)v的未知函數(shù)中，這是我們現(xiàn)在所要確定的。為此目的，我們引進(jìn)第三個(gè)坐標(biāo)系K'，它相對(duì)于k系作這樣一種平行于日軸的移動(dòng)，使它的坐標(biāo)原點(diǎn)在日軸上以速度-v動(dòng)著。設(shè)在t=0時(shí)，所有這三個(gè)坐標(biāo)原點(diǎn)都重合在一起，而當(dāng)t=x=y=z=0時(shí)，設(shè)K、系的時(shí)間t、為零。我們把在K、系量得的坐標(biāo)叫做x、,y、,z、，通過兩次運(yùn)用我們的變換方程，我們就得到：t、=M—v枳t%+上“二①。Mt）X、=M（-V）p（-J￡+VT}=M（vM-v）x，11/33y'=91v)=W(vIpQv)y，

z'=M-V*=中。｝(-丫)%，由于x、,y、,z、同x,y,z之間的關(guān)系中不含有時(shí)間t,所以K同K、這兩個(gè)坐標(biāo)系是相對(duì)靜止的，而且，從K到K’的變換顯然也必定是恒等變換。因此:^(v)p(-v)=1我們現(xiàn)在來探究p(v)的意義。我們注意k系中H軸上在&=0,n=0,Z=0和&=0,、=0,匕=0之間的這一段。這一段的H軸，是一根對(duì)于K系以速度v作垂直與它自己的軸運(yùn)動(dòng)的桿。它的兩端在K系中的坐標(biāo)是:x=vt，y=―(-^， z=0X=vt，y=0，z—02 2 2在K系中所量得的這桿的長(zhǎng)度也是%(v)；這就給出了函數(shù)年的意義。由于對(duì)稱的緣故，一根相對(duì)于自己的軸作垂查運(yùn)動(dòng)的桿，在靜系中量得的它的長(zhǎng)度，顯然必定只同運(yùn)動(dòng)的速度有關(guān)，而同運(yùn)動(dòng)的方向和指向無關(guān)。因此，如果。v同-v對(duì)調(diào)，在靜系中量得的動(dòng)桿的長(zhǎng)度應(yīng)當(dāng)不變。由此推得：或者p(v)=p(-v)。從這個(gè)關(guān)系和前面得出的另一關(guān)系，就必然得到p(v)-1，因此，已經(jīng)得到的變換方程就變?yōu)?12/33

此處T=P此處T=P(t--X)，c2己=pQ-vt)“二jq=z§4 關(guān)于運(yùn)動(dòng)剛體和運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘所得方程的物理意義我們觀察一個(gè)半徑為R的剛性球，它相對(duì)于動(dòng)系k是靜止的，它的中心在k的坐標(biāo)原點(diǎn)上。這個(gè)球以速度v相對(duì)于K系運(yùn)動(dòng)著，它的球面方程是：12+n2+q2=R2用x,y,z來表示，在t=0時(shí)，這個(gè)球面方程是:X2X2一個(gè)在靜止?fàn)顟B(tài)量起來是球形的剛體，在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一一從靜系看來一一則具有旋轉(zhuǎn)橢球的形狀了，這橢球的軸是：TVT2r1-1—J，R，R這樣看來，球（因而也可以是無論什么形狀的剛體）的Y方向和Z方向的長(zhǎng)度不因運(yùn)動(dòng)而改變，而X方向的長(zhǎng)度則好象以13/33

1：1-Vc的比率縮短了，v愈大，縮短得就愈厲害。對(duì)于。v=c,一切運(yùn)動(dòng)著的物體一一從“靜”系看來一一都縮成扁平的了。對(duì)于大于光速的速度，我們的討論就變得毫無意義了；止匕外，在以后的討論中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，光速在我們的物理理論中扮演著無限大速度的角色。很顯然，從勻速運(yùn)動(dòng)著的坐標(biāo)系看來，同樣的結(jié)果也適用于靜止在“靜”系中的物體。進(jìn)一步，我們?cè)O(shè)想有若干只鐘，當(dāng)它們同靜系相對(duì)靜止時(shí)，它們能夠指示時(shí)間t；而它們同動(dòng)系相對(duì)靜止時(shí)，就能夠指示時(shí)間T,現(xiàn)在我們把其中一只鐘放到k的坐標(biāo)原點(diǎn)上，并且校準(zhǔn)它，使它指示時(shí)間T。從靜系看來，這只鐘走的快慢怎樣呢?在同這只鐘的位置有關(guān)的量X,t和T之間，顯然下列方程成立:因此，TX=vt因此，TX=vtt由此得知，由此得知，這只鐘所指示的時(shí)間（在竟系中看來）每秒鐘要慢或者一一略去第四級(jí)和更高級(jí)的［小］量一一要慢從這里產(chǎn)生了如下的奇特后果。如果在K系的A點(diǎn)和B點(diǎn)上各

有一只在靜系看來是同步運(yùn)行的靜止的鐘，并且使A處的鐘以速度14/33v沿著AB聯(lián)線向B運(yùn)功，那么當(dāng)它到達(dá)B時(shí)，這兩只鐘不再是同步的了，從A向B運(yùn)動(dòng)的鐘要比另一只留在B處的鐘落后（不計(jì)第四級(jí)和更高級(jí)的［小」量），t是這只鐘從A到B所費(fèi)的時(shí)間。我們立即可見，當(dāng)鐘從A到B是沿著一條任意的折線運(yùn)動(dòng)時(shí)，上面這結(jié)果仍然成立，甚至當(dāng)A和B這兩點(diǎn)重合在一起時(shí)，也還是如此。如果我們假定，對(duì)于折線證明的結(jié)果，對(duì)于連續(xù)曲線也是有效的，那么我們就得到這樣的命題：如果A處有兩只同步的鐘，其中一只以恒定速度沿一條閉合曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷了1秒后回到A,那么，比那只在A處始終未動(dòng)的鐘來，這只鐘在它到達(dá)A時(shí)，要慢2tV2c秒。由此，我們可以斷定：在赤道上的擺輪鐘①，比起放在兩極的一只在性能上完全一樣的鐘來，在別的條件都相同的情況下，它要走得慢些，不過所差的量非常之小?！?速度的加法定理在以速度v沿K系的X軸運(yùn)動(dòng)著的k系中，設(shè)有一個(gè)點(diǎn)依照下面的方程運(yùn)動(dòng)：5=WT，"=WT，q=0，此處是和攻都代表常量。求這個(gè)點(diǎn)對(duì)于K系的運(yùn)動(dòng)。借助于§3中得出的變換方程，我們把x,y,z,t這些量引進(jìn)這個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程中來，我們就得到:W+v ^ tvW1+——Lc215/33,C,C2z=0這樣，依照我們的理論，速度的平行四邊形定律只在第一級(jí)近似范圍內(nèi)才是有效的。我們置:(dvI(H)=arca因而被看作是v和w兩速度之間的交角。經(jīng)過簡(jiǎn)單演算后，我們得到：X )Nwsina12N2+W2+2vwcosa \l Ic)U= 」vwcosa

1+ C2值得注意的是，v和w是以對(duì)稱的形式進(jìn)入合成速度的式子里的。如果w也取X軸(日軸)的方向，那么我們就得到：-vw1+——c216/33從這個(gè)方程得知，由兩個(gè)小于c的速度合成而得的速度總小于c。因?yàn)槿绻覀冎肰=c-k，W=c-九，次處k和人都是正的，并且小于C,那么：- 2c-k-X/U=c 〈■{c2c-k-X+一c進(jìn)一步還可看出，速度c不會(huì)因?yàn)橥粋€(gè)“小于光速的速度”合成起來而有所改變。在這場(chǎng)合下，我們得到：U=c^w=c

w

1+c當(dāng)v和w具有同一方向時(shí)，我們也可以把兩個(gè)依照§3的變換聯(lián)合起來，而得到有U的公式。如果除了在§3中所描述的K和k這兩個(gè)坐標(biāo)系之外，我們還引進(jìn)了另一個(gè)對(duì)k作平行運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系k、，它的原點(diǎn)以速度w在日軸上運(yùn)動(dòng)著，那么我們就得到x,y,z,t這些量同k、的對(duì)應(yīng)量之間的方程，它們同那些在§3中所得到的方程的區(qū)別，僅僅在于以V+wrVW1+——c2這個(gè)量代替“v”：由此可知，這樣的一些變換一一必然地一一形成一個(gè)群。我們現(xiàn)在已經(jīng)依照我們的兩條原理推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)學(xué)的必要命題，我們要進(jìn)而說明它們?cè)陔妱?dòng)力學(xué)中的應(yīng)用。17/33

電動(dòng)力學(xué)部分§6關(guān)于空虛空間麥克斯韋一赫茲方程的變換。關(guān)于磁場(chǎng)中由運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電動(dòng)力的本性設(shè)關(guān)于空虛空間的麥克斯韋一赫茲方程對(duì)于靜系K是有效的，那么我們可以得到:1ax_anam1al_ayazcatayazcatazay1ayalan1am_azaxcat aaxcataxaz1az_amal1an_axaycata.x ,aycatayaxY,Z)表示電力的矢量，而（L,M,N）表示此處（X,磁力的矢量。如果我們把中所得出的變換用到這些方程上去，把這電磁過程如果我們把中所得出的變換用到這些方程上去，把這電磁過程參照于那個(gè)在§3中所引用的、以速度v運(yùn)動(dòng)著的坐標(biāo)系，我們就得到如下方程:apapfn--yIc

a”f vAapm+-zI cJaqapapfy—-n

Ic

arapfn--yIc

a^apapfz+-mIc

arf vAapm+-zI cJ--^apapfy—-nIc

aqapfz+-mIca”18/33TOC\o"1-5"\h\z( vs評(píng)M+—Z—1I c)—c次( v s ( v sapn--y . apy--n1i c )_ax i c )c at a” 奧此處相對(duì)性原理現(xiàn)在要求，如果關(guān)于空虛空間的麥克斯韋一赫茲方程在K系中成立，那么它們?cè)趉系中也該成立，也就是說，對(duì)于動(dòng)系k的電力矢量（X、，，Y、,,Z'）和磁力矢量（L、,M、,N、,）一—它們是在動(dòng)系k中分別由那些在帶電體和磁體上的有重動(dòng)力作用來定義的一一下列方程成立：1ax'an'am、 1ax'an'am、 =———，cat a”ag1ay'al'an' = - ，cat agag1az'am'al、 =———，cat ag a”—=———，cataga”1am'az'ax' = —― ，catamag1an'ax'ay、 = — cata”ag顯然，為k系所求得的上面這兩個(gè)方程組必定表達(dá)完全同一回事，因?yàn)檫@兩個(gè)方程組都相當(dāng)于K系的麥克斯韋一赫茲方程。此外，由于兩組里的各個(gè)方程，除了代表矢量的符號(hào)以外，都是相一致的，因此，在兩個(gè)方程組里的對(duì)應(yīng)位置上出現(xiàn)的函數(shù)，除了一個(gè)因子V。）之外，都應(yīng)當(dāng)相一致，而▼（—）這因子對(duì)于一個(gè)19/33

方程組里的一切函數(shù)都是共同的，并且同n,C和工無關(guān),而只同v有關(guān)。由此我們得到如下關(guān)系：X'=wG)x，X'=wG)x，VC)Z=v(v)P|Z+-Mc)L'=w(y)L,I c),N'=W(v)P(N/yI CJ我們現(xiàn)在來作這個(gè)方程組的逆變換，首先要用到剛才所得到的方程的解，其次，要把這些方程用到那個(gè)由速度f來表征的逆變換（從k變換到K）上去，那么，當(dāng)我們考慮到如此得出的兩個(gè)方程組必定是恒等的，就得到:再者，由于對(duì)稱的緣故,W(v)=W(-Jv(v)=1v(v)=1我們的方程也就具有如下形式:Z?=L，o(vy=PY--NIc(v，N'=BN--YIc)為了解釋這些方程，我們作如下的說明：設(shè)有一個(gè)點(diǎn)狀電荷,當(dāng)它在釋系K中量度時(shí)，電荷的量值是“1”，，那就是說，當(dāng)它靜止在靜系中時(shí)，它以1達(dá)因的力作用在距離1厘米處的一個(gè)相等的20/33電荷上。根據(jù)相對(duì)性原理，在動(dòng)系中量度時(shí)，這個(gè)電荷的量值也該是“1”，。如果這個(gè)電荷相對(duì)于靜系是靜止的，那么按照定義，矢量（X,Y,Z）就等于作用在它上面的力。如果這個(gè)電荷相對(duì)于動(dòng)系是靜止的（至少在有關(guān)的瞬時(shí)），那么作用在它上面的力，在動(dòng)系中量出來是等于矢量（X、，丫、，Z、,）。由此，上面方程中的前面三個(gè)，在文字上可以用如下兩種方式來表述：,如果一個(gè)單位點(diǎn)狀電荷在一個(gè)電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，那么作用在它上面的，除了電力，還有一個(gè)“電動(dòng)力”，要是我們略去。.c的二次以及更高次冪所乘的項(xiàng)，這個(gè)電動(dòng)力就等于單位電荷的速度同磁力的矢積除以光速。（舊的表述方式。）.如果一個(gè)單位點(diǎn)狀電荷在一個(gè)電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，那么作用在它上面的力就等于在電荷所在處出現(xiàn)的一種電力，這個(gè)電力是我們把這電磁場(chǎng)變換到同這單位電荷相對(duì)靜止的一個(gè)坐標(biāo)系上去時(shí)所得出的。（新的表述方式。）對(duì)干'磁動(dòng)力”也是相類似的。我們看到，在所闡述的這個(gè)理論中，電動(dòng)力只起著一個(gè)輔助概念的作用，它的引用是由干這樣的情況：電力和磁力都不是獨(dú)立于坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而存在的。同時(shí)也很明顯，開頭所講的，那種在考查由磁體同導(dǎo)體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生電流時(shí)所出現(xiàn)的不對(duì)稱性，現(xiàn)在是不存在了。而且，關(guān)于電動(dòng)力學(xué)的電動(dòng)力的“位置”（Sitz）問題（單極電機(jī)），現(xiàn)在也不成為問題了?！? 多普勒原理和光行差的理論21/33

在K系中，離坐標(biāo)原點(diǎn)很遠(yuǎn)的地方，設(shè)有一電動(dòng)波源，在包括坐標(biāo)原點(diǎn)在內(nèi)的一部分空間里，這些電磁波可以在足夠的近似程度上用下面的方程來表示:L=Lsin。，0M=Msin。，N=Nsin。，此處這里的（X，Y，Z）和（L，M，N）是規(guī)定波列的振幅的矢量，/,m,n，是波面法線的方向余弦。我們要探究由一個(gè)靜止在動(dòng)系k中的觀察者看起來的這些波的性狀。應(yīng)用§6所得出的關(guān)于電力和磁力的變換方程，以及§3所得出的關(guān)于坐標(biāo)和時(shí)間的變換方程，我們立即得到:y、=pZ'=y、=pZ'=pY—V./N)SIN^'，0cZ+V/M)SIN*'0 --C0M、=pMN'=P0)+V，ZSino'0 ，C0、-V/'Y)sin0'0c0此處0此處0、=3、1t-代+m*n<\Ic)3、=3P(-/%)mm二一f \P(1-Ivc)22/33

從關(guān)于①'的方程即可得知：如果有一觀察者以速度V相對(duì)于一個(gè)在無限遠(yuǎn)處頻率為v的光源運(yùn)動(dòng)，并且參照于一個(gè)同光源相對(duì)靜止的坐標(biāo)系，“光源一一觀察者”連線同觀察者的速度相交成p角，那么，觀察者所感知的光的頻率「由下面方程定出：V'=V這就是對(duì)于任何速度的多普勒原理。當(dāng)p=0時(shí)，這方程具有如一下的明晰形式：V、二V二V-Vc我們可以看出，當(dāng)V=-V時(shí)，Vi，這同通常的理解相矛盾。如果我們把動(dòng)系中的波面法線（光線的方向）同“光源一一觀察”連線之間的交角叫做干、，那么關(guān)于l'的方程就取如下形式：cosp-Vcosp'= —1-Vcosp這個(gè)方程以最一般的形式表述了光行差定律。如果中中=兀/2,這個(gè)方程就取簡(jiǎn)單的形式：cosp'=-V.-c我們還應(yīng)當(dāng)求出這些波在動(dòng)系中看來的振幅。如果我們把在靜系中量出的和在動(dòng)系中量出的電力或磁力的振幅，分別叫做A和A、，那么我們就得到：23/33

A,二A2oA,二A2o1-如果干二0，這個(gè)方程就簡(jiǎn)化成:、 1-VA'=A2」1+z從這些已求得的方程得知，對(duì)于一個(gè)以速度c向光源接近的觀察者，這光源必定顯得無限強(qiáng)烈?！?光線能量的轉(zhuǎn)換。作用在完全反射鏡上

的輻射壓力理論因?yàn)锳2/8.等于每單位體積的光能，于是由于相對(duì)性原理，我們應(yīng)當(dāng)把A、2/8?？醋魇莿?dòng)系的光能。因此，如果一個(gè)光集合體的體積，在K中量的同在k中量的是相等的，那么A、2/A2就應(yīng)該是這一集合體“在運(yùn)動(dòng)中量得的”能量同“在靜止中量得的”能量的比率。但情況并非如此。如果1，m，n是靜系中光的波面法線的方向余弦，那就沒有能量會(huì)通過一個(gè)以光速在運(yùn)動(dòng)著的球面(x-clt)+(y-cnt^2+Q-cmt\=R2的各個(gè)面元素的。我們因此可以說，這個(gè)球面永遠(yuǎn)包圍著這個(gè)光集合體。我們要探究在k系看來這個(gè)球面所包圍的能量，也就是要求出這個(gè)光集合體相對(duì)于k系的能量。這個(gè)球面一一在動(dòng)系看來一一是一個(gè)橢球面，在、=0M它的方程是:/ 、是一個(gè)橢球面，在'A-mP%/A-nP/J=R2如果s是球的體積，s、是這個(gè)橢球的體積，那么，通過簡(jiǎn)單24/33的計(jì)算，就得到:S'1-S'1-vccos①因此，如果我們把在靜系中量得的、為這個(gè)曲面所包圍的光能叫做E,而在動(dòng)系中量得的叫做E、，我們就得到:A'GA'G——S'E_=吵—A2——S8兀當(dāng)中=0時(shí)，這個(gè)公式就簡(jiǎn)化成:E'EE'E二J+vc可注意的是，光集合體的能量和頻率都隨著觀察者的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)遵循著同一定律而變化。現(xiàn)在設(shè)坐標(biāo)平面自=0是一個(gè)完全反射的表面，§7中所考查的平面波在那里受到反射。我們要求出作用在這反射面上的光壓，以及經(jīng)反射后的光的方向、頻率和強(qiáng)度。設(shè)入射光由A，cos①，V（參照于K系）這些量來規(guī)定。在k看來，其對(duì)應(yīng)量是:A=AA=A25/33V'=V，1- cosp=cosP''+V，c1-(1-cosV'=V，1- cosp=cosP''+V，c1-(1-cosPy-2KV/1-2 c0sp+ c、c()V'、'=V'=V11-1+V1+V/ccosP、'1-2Vccos”1-對(duì)于反射后的光，當(dāng)我們從k系來看這個(gè)過程，則得到:4'=Acos①=-cos①1-2Vcosp1-2VcospV每單位時(shí)間內(nèi)射到反射鏡上單位面積的(在靜系中量得的)能量顯然是，A2Vcosp-V)/8兀，單位時(shí)間內(nèi)離開反射鏡的單位面積的能量是A'、2(-VcosP'''+v)/8兀，由能最原理，這兩式的差就是單位時(shí)間內(nèi)光壓所做的功。如果我們置這功等于乘積P?V，此處P是光壓，那么我們就得到:A2P=我們就得到:A2P=2——8兀osp-V1-26/33就一級(jí)近似而論，我們得到一個(gè)同實(shí)驗(yàn)一致，也同理論一致的結(jié)果，即:P=2——COS2O8兀關(guān)于動(dòng)體的一切光學(xué)問題，都能用這里所使用的方法來解決。其要點(diǎn)在于，把受到一動(dòng)體影響的光的電力和磁力，變換到一個(gè)同這個(gè)物體相對(duì)靜止的坐標(biāo)系上去。通過這種辦法，動(dòng)體光學(xué)的全部問題將歸結(jié)為一系列靜體光學(xué)問題。§9考慮到運(yùn)流的麥克斯韋就一級(jí)近似而論，我們得到一個(gè)同實(shí)驗(yàn)一致，也同理論一致的結(jié)果，即:P=2——COS2O8兀關(guān)于動(dòng)體的一切光學(xué)問題，都能用這里所使用的方法來解決。其要點(diǎn)在于，把受到一動(dòng)體影響的光的電力和磁力，變換到一個(gè)同這個(gè)物體相對(duì)靜止的坐標(biāo)系上去。通過這種辦法，動(dòng)體光學(xué)的全部問題將歸結(jié)為一系列靜體光學(xué)問題?！?考慮到運(yùn)流的麥克斯韋?赫茲方程的變換我們從下列方程出發(fā):1faX}d.NdM-<up+——>=——-——c[xatJayaz1fayIalan—}up+ >- - cIyatJaza.x1alayaz

- -

catazay1amazax

————cat axaz此處:1fazIamal-<up+——>=--——cIzatJaxay1an_axay - - catayaxaxayaz + + axayaz表示電的密變的4兀倍，而（u，u，u）表示電的速度矢量。如果我們?cè)O(shè)想電荷是同小剛體（離子.電子）牢固地結(jié)合在一起的，那么些方程就是洛倫茲的動(dòng)體電動(dòng)力學(xué)和光學(xué)的電磁學(xué)基礎(chǔ)。設(shè)這些方程在K系中成立，借助于§3和§6的變換方程，把它們變換到k系上去，我們由此得到方程：1f、ax、]an'am'1al'ay'az'

一<up+ >- 一 - ——c[5aiJa^aq caiaga”27/33cStaq此處:1cuqcStaq此處:1cuqP、1an、_ax'ay' = — csta”a^1I aY'\d.L'd.N'-<Up+——>=——-—c[丑ItJdq比=p1=p1-V因?yàn)椋伤俣鹊募臃ǘɡ恚ā?）得知一一矢量（2，u，y uHC2

)u7~~TtA

uv1-C2V7、ax、ay^az、

p=—+——+——am a”aqu）只不過是在k系中量得的電荷的速度，所以我們就證明了：根據(jù)我們的運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，洛倫茲的動(dòng)體電動(dòng)力學(xué)理論的電動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)是符合于相對(duì)性原理的。此外，我還可以簡(jiǎn)要地說一下，由已經(jīng)推演得到的方程可么容易地導(dǎo)出下面一條重要的定律：如果一個(gè)帶電體在空間中無論怎樣運(yùn)動(dòng)，并且從一個(gè)同它一道運(yùn)動(dòng)著的坐標(biāo)系求看，它的電荷不變，那么從“靜”系K來看，它的電荷也保持不變?！?0.（緩慢加速的）電子的動(dòng)力學(xué)設(shè)有一點(diǎn)狀的具有電荷￡的粒子（以后叫“電子”）在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，我們假定它的運(yùn)動(dòng)定律如下：28/33如果這電子在一定時(shí)期內(nèi)是靜止的，在隨后的時(shí)刻，只要電子的運(yùn)動(dòng)是緩慢的，它的運(yùn)動(dòng)就遵循如下方程d2x從 =8Xdt2d2y從釘=8Ydt2d2z口 =8Zdt2此處x,y,z表示電子的坐標(biāo)，口表示電子的質(zhì)量。現(xiàn)在，第二步，設(shè)電子在某一時(shí)刻的速度是v,我們來求電子在隨后時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)定律。我們不妨假定，電子在我們注意觀察它的時(shí)候是在坐標(biāo)原點(diǎn)上，并且沿著K系的x軸以速度v運(yùn)動(dòng)著，這樣的假定并不影響考查的普遍性。那就很明顯，在已定的時(shí)刻（t=0），電子對(duì)于那個(gè)以恒定速度v沿著X軸作平行運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系k是靜止的。從上面所作的假定，結(jié)合相對(duì)性原理，很明顯的，在隨后緊接的時(shí)間（對(duì)于很小的t值）里，