X射線晶體學(xué)(第一章)課件

X射線晶體學(xué)制作者:錢存富耿巖X射線晶體學(xué)制作者:錢存富耿巖

前言材料各種參數(shù)的測(cè)量已經(jīng)成為材料研究的主要手段。而這些參數(shù)是人們建立理論、設(shè)計(jì)新材料、制定新工藝和改進(jìn)材料性能的根本依據(jù)。Ｘ射線晶體學(xué)是使用Ｘ射線衍射方法測(cè)定晶體材料的某些參數(shù)和內(nèi)部結(jié)構(gòu)的一門學(xué)科。前言材料各課程的主要內(nèi)容：基本理論：Ｘ射線的基本知識(shí)、晶體結(jié)構(gòu)的基本知識(shí)、晶體對(duì)Ｘ射線的衍射。實(shí)驗(yàn)方法：粉末照相法、勞埃照相法、衍射儀法。應(yīng)用：衍射花樣的指數(shù)標(biāo)定、點(diǎn)陣常數(shù)的精確測(cè)定、單晶定向、物相的定性及定量分析和織構(gòu)的測(cè)定等。課程的主要內(nèi)容：

主要參考書(shū)：1、晶體結(jié)構(gòu)幾何理論，肖序剛，冶金工業(yè)出版社2、X射線金屬學(xué)，范雄，機(jī)械工業(yè)出版社3、金屬物理研究方法（一），趙伯麟，冶金工業(yè)出版社4、晶體X射線衍射學(xué)基礎(chǔ)，李樹(shù)棠，冶金工業(yè)出版社5、粉晶X射線物相分析，地質(zhì)出版社6、固體X射線學(xué)，黃勝濤，高教出版社主要參考書(shū)：1、晶體結(jié)構(gòu)幾何理論，肖序剛，冶金工業(yè)出版第一章晶體學(xué)基礎(chǔ)第一章晶體學(xué)基礎(chǔ)§1-1晶體及晶體結(jié)構(gòu)一、晶體與非晶體

傳統(tǒng)觀點(diǎn)認(rèn)為:把具有固定熔點(diǎn)和規(guī)則外形的一類固體稱為晶體；把無(wú)固定熔點(diǎn)和規(guī)則外形的一類固體稱為非晶體。例如：食鹽、冰、水晶、通常所看到的金屬及金屬制品等為晶體；橡膠、塑料、玻璃等稱為非晶體。

注：將固體分為晶體與非晶體，是從傳統(tǒng)意義上講的。現(xiàn)在有人將固體分為晶體、非晶體和準(zhǔn)晶三類?！?-1晶體及晶體結(jié)構(gòu)一、晶體與非晶體左上圖為硅氧四面體，○為氧，●為硅。

石英晶體（水晶）和石英玻璃的化學(xué)成分都是SiO2，都構(gòu)成Si、O四面體，這些四面體以不同的方式排列，分別得到晶體和非晶體,如左下圖。左上圖為硅氧四面體，○為氧，●為硅。

晶體與非晶體的本質(zhì)區(qū)別為:

晶體是具有按一定的幾何規(guī)律排列的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的固體.而非晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)排列得不十分規(guī)律或毫無(wú)規(guī)律。晶體與非晶體的本質(zhì)區(qū)別為:二、晶體結(jié)構(gòu)

晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)稱為晶體結(jié)構(gòu)。它是以原子、離子、分子或原子集團(tuán)按照一定的規(guī)律排列而成的。原子的規(guī)則排列實(shí)際上是從時(shí)間平均意義上來(lái)說(shuō)的，實(shí)際上是為原子出現(xiàn)幾率最大點(diǎn)的規(guī)則排列，因?yàn)樵釉趪@這一點(diǎn)作振動(dòng)。通常情況下，金屬和金屬制品都是晶體，但如果讓金屬和金屬或金屬和非金屬（甚至一種金屬）的熔液以每秒106度以上的冷卻速度冷凝,所得到的金屬合金,其內(nèi)部原子的排列呈現(xiàn)長(zhǎng)程無(wú)序,把這樣的合金稱為非晶態(tài)合金(金屬玻璃).它們的許多性能比晶態(tài)優(yōu)越.二、晶體結(jié)構(gòu)晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)稱為晶體結(jié)構(gòu)。它是以單晶體和多晶體：在晶體形成過(guò)程中，原子按同一幾何規(guī)律排列成一個(gè)完整結(jié)構(gòu)的區(qū)域稱為一個(gè)單晶體。由兩個(gè)以上的單晶體所組成的晶體稱為多晶體。

單晶體呈現(xiàn)為各向異性，而多晶體呈現(xiàn)為各向同性。單晶體和多晶體：在晶體形成過(guò)程中，原子按同一幾何三、幾種常見(jiàn)的晶體結(jié)構(gòu)類型1、金屬晶體晶體的原子外層的電子脫離原來(lái)的原子成為自由電子，它們?cè)谡x子之間運(yùn)動(dòng)，形成電子云，其處于公有化狀態(tài)，金屬晶體的結(jié)合是靠處于公有化狀態(tài)的價(jià)電子和正離子間的吸引力。1）面心立方結(jié)構(gòu)（A1型）八個(gè)頂點(diǎn)和六個(gè)面中心有原子。主要有：銅（Cu）、銀（Ag）、金（Au）、鋁（Al）、鉛（Pb）、鎳（Ni）、γ-鐵（γ-Fe）等。三、幾種常見(jiàn)的晶體結(jié)構(gòu)類型1、金屬晶體2）體心立方結(jié)構(gòu)（A2型）八個(gè)頂點(diǎn)和體中心有原子。主要有：鋰（Li）、鈉（Na）、鉀（K）、銫（Cs）、鉻（Cr）、鉬（Mo）、α-鐵（α-Fe）、釩（V）、鎢（W）等。X射線晶體學(xué)(第一章)課件3)蜜排六方結(jié)構(gòu)（A3型）除八個(gè)頂點(diǎn)有原子外,在體內(nèi)還有一個(gè)原子,但其不在體中心。主要有：鎂（Mg）、鈹（Be）、鋅（Zn）、α-鈦（α-Ti）等。3)蜜排六方結(jié)構(gòu)（A3型）2、共價(jià)晶體

它們是靠共價(jià)鍵結(jié)合的,即由相鄰原子的公用價(jià)電子結(jié)合而成。左圖為金剛石型結(jié)構(gòu)（AⅣ型），除八個(gè)頂點(diǎn)和六個(gè)面中心有原子外，體內(nèi)還有四個(gè)原子，這些原子也不在體中心。金剛石、硅（Si）、鍺（Ge）等屬于這種結(jié)構(gòu)。

2、共價(jià)晶體它們是靠共價(jià)鍵結(jié)合的,即由相鄰原子X(jué)射線晶體學(xué)(第一章)課件3、離子晶體

構(gòu)成晶體的基本粒子是離子，晶體的結(jié)合是靠正負(fù)離子間的靜電吸引作用，其中一種離子的最近鄰必是異性的原子。1）NaCl型晶體結(jié)構(gòu)（B1）如圖，晶體結(jié)構(gòu)中含有兩種類型的離子，一正一負(fù)。主要有：VC、NbC、TiC、ZrC、NaCl、MgCl、PbS、AgCl、TiO、AgBr等。3、離子晶體構(gòu)成晶體的基本粒子是離子，晶體的結(jié)

2）CsCl型結(jié)構(gòu)（B2）

如圖,晶胞中也有兩種類型的原子,屬于這種結(jié)構(gòu)的有:CsCl、ZnＯ、FeCo、NiAlβ－AgCd、β－CuZn、β－FeAl等。

３）閃鋅礦型結(jié)構(gòu)（B３）如圖,也是由兩類原子組成，屬于這種結(jié)構(gòu)的有:ZnS、BeS、CdTe、InSb等。2）C

§1-2空間點(diǎn)陣一、空間點(diǎn)陣概念1、等同點(diǎn)在晶體結(jié)構(gòu)中幾何環(huán)境和物理環(huán)境都相同的點(diǎn)稱為等同點(diǎn)。如NaCl晶體結(jié)構(gòu)中,Na離子所在點(diǎn)為一類等同點(diǎn),Cl離子所在點(diǎn)為另一類等同點(diǎn).

§1-2空間點(diǎn)陣一、空間點(diǎn)陣概念2、空間點(diǎn)陣

在同一晶體結(jié)構(gòu)中，由各類等同點(diǎn)單獨(dú)所組成的圖形具有完全相同的排列規(guī)律。如左圖概括地表示晶體結(jié)構(gòu)中等同點(diǎn)規(guī)則排列的幾何圖形（點(diǎn)的集合）稱為空間點(diǎn)陣。左圖為NaCl晶體結(jié)構(gòu)所對(duì)應(yīng)的空間點(diǎn)陣2、空間點(diǎn)陣在同一晶體結(jié)構(gòu)中，由各類X射線晶體學(xué)(第一章)課件二、對(duì)空間點(diǎn)陣的說(shuō)明1、構(gòu)成空間點(diǎn)陣的點(diǎn)是抽象的幾何點(diǎn)，通常稱為結(jié)點(diǎn)或格點(diǎn)。在上面的例子中，它們可代表Na離子，也可以代表Cl離子，還可以代表任一沒(méi)有離子存在的等同點(diǎn)，例如它們的中點(diǎn)。2、晶體結(jié)構(gòu)是由無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)排列而成。空間點(diǎn)陣也是無(wú)限的，它概括了晶體結(jié)構(gòu)的周期性。把結(jié)點(diǎn)在同方向以相等距離重復(fù)出現(xiàn)的性質(zhì)叫做周期重復(fù)性，簡(jiǎn)稱周期性。在相同方向，結(jié)點(diǎn)之間的距離是相等的，不同方向結(jié)點(diǎn)之間的距離不一定相等。二、對(duì)空間點(diǎn)陣的說(shuō)明1、構(gòu)成空間點(diǎn)陣的點(diǎn)是抽象的幾何點(diǎn)，通常

用不在同一平面內(nèi)的三個(gè)方向的平行直線束將空間點(diǎn)陣穿接起來(lái)，構(gòu)成“空間格子”。

通過(guò)結(jié)點(diǎn)的直線稱為結(jié)點(diǎn)直線，一組平行的結(jié)點(diǎn)直線稱為結(jié)點(diǎn)直線束。

以兩個(gè)方向的結(jié)點(diǎn)直線構(gòu)成的平面稱為結(jié)點(diǎn)平面，平行的結(jié)點(diǎn)平面稱為結(jié)點(diǎn)平面族。

整個(gè)空間點(diǎn)陣分成無(wú)數(shù)個(gè)大小相同的平行六面體，每一個(gè)平行六面體稱為單位空間格子（單位點(diǎn)陣、單位陣胞），空間點(diǎn)陣也可稱為空間格子。用不在同一平面內(nèi)的三個(gè)方向的平行直線X射線晶體學(xué)(第一章)課件三、晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣的關(guān)系

某些物質(zhì)，不論它們的晶體結(jié)構(gòu)之間如何有差異，繁簡(jiǎn)差異如何之大，只要它們的空間排列的周期性相同，它們就具有相同的空間點(diǎn)陣。三、晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣的關(guān)系某些物質(zhì)，不論它們的晶體四、幾種常見(jiàn)晶體結(jié)構(gòu)的空間點(diǎn)陣1、面心立方點(diǎn)陣Cu晶體結(jié)構(gòu)具有和NaCl晶體結(jié)構(gòu)相同的空間點(diǎn)陣———面心立方點(diǎn)陣。所不同的只是各方向上的周期不同。左圖為Cu的空間點(diǎn)陣，也為NaCl的空間點(diǎn)陣。四、幾種常見(jiàn)晶體結(jié)構(gòu)的空間點(diǎn)陣1、面心立方點(diǎn)陣金剛石結(jié)構(gòu)完全由碳原子組成。但它們是由兩類等同點(diǎn)組成，如左圖所示。同類等同點(diǎn)所組成的空間點(diǎn)陣也是面心立方點(diǎn)陣。金剛石結(jié)構(gòu)完全由碳原子組成。但它們是由兩類等同點(diǎn)2、初基（簡(jiǎn)單）六方點(diǎn)陣

鎂晶體結(jié)構(gòu)中的原子也是由兩類等同點(diǎn)組成（如下頁(yè)所示）。其空間點(diǎn)陣如右圖所示。2、初基（簡(jiǎn)單）六方點(diǎn)陣鎂晶體結(jié)構(gòu)中的原子也是由X射線晶體學(xué)(第一章)課件3、體心立方點(diǎn)陣α—Fe、Li、Na、K、V、Mo、W等的空間點(diǎn)陣為體心立方點(diǎn)陣。問(wèn)題：CsCl的空間點(diǎn)陣是什么類型？3、體心立方點(diǎn)陣α—Fe、Li、Na、K、V、五、晶體的嚴(yán)格定義

晶體是其內(nèi)部結(jié)構(gòu)具有空間點(diǎn)陣這種幾何圖形的固體。

非晶體不具有空間點(diǎn)陣這種幾何圖形，因而其不具有周期重復(fù)性。準(zhǔn)晶體五、晶體的嚴(yán)格定義晶體是其內(nèi)部結(jié)構(gòu)具有空間點(diǎn)陣§1-3晶體的對(duì)稱性

對(duì)稱是物質(zhì)體系中各組成部分之間相互聯(lián)系、相互作用的一種較為普遍的現(xiàn)象。晶體結(jié)構(gòu)中，原子的排列同樣具有對(duì)稱的特性。如果一個(gè)物體經(jīng)過(guò)某種動(dòng)作后能夠恢復(fù)原狀，物體上每一點(diǎn)的新位置與開(kāi)始時(shí)另一點(diǎn)在這個(gè)位置上的情況完全重合。也就是說(shuō)，其位置、形態(tài)相對(duì)于觀察者來(lái)說(shuō)沒(méi)有發(fā)生變化，稱此現(xiàn)象為規(guī)則重復(fù)。使物體產(chǎn)生變化的動(dòng)作稱為對(duì)稱操作（對(duì)稱動(dòng)作、對(duì)稱變換、對(duì)稱運(yùn)用）。在對(duì)稱操作中所憑借的幾何元素（點(diǎn)、線、面）稱為對(duì)稱元素（對(duì)稱要素）?！?-3晶體的對(duì)稱性對(duì)稱是物質(zhì)體系中各組一、宏觀對(duì)稱操作1、旋轉(zhuǎn)以晶體結(jié)構(gòu)中某一直線作軸，整個(gè)晶體圍繞它旋轉(zhuǎn)一定的角度而得到規(guī)則重復(fù)，這種對(duì)稱操作稱為旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)所圍繞的直線是旋轉(zhuǎn)操作的對(duì)稱元素，稱為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸（簡(jiǎn)稱旋轉(zhuǎn)軸、對(duì)稱軸）；旋轉(zhuǎn)所轉(zhuǎn)動(dòng)的最小角度稱為基轉(zhuǎn)角，記為α；n稱為旋轉(zhuǎn)軸的軸次，按圣弗利斯符號(hào)記為Cn，國(guó)際符號(hào)記為n一、宏觀對(duì)稱操作1、旋轉(zhuǎn)晶體結(jié)構(gòu)中一共存在五種旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作(1)一次旋轉(zhuǎn)，α=360°，旋轉(zhuǎn)軸記為C1（1）；（2）二次旋轉(zhuǎn)，α=180°，旋轉(zhuǎn)軸記為C2（2）；（3）三次旋轉(zhuǎn)，α=120°，旋轉(zhuǎn)軸記為C3（3）；（4）四次旋轉(zhuǎn)，α=90°，旋轉(zhuǎn)軸記為C4（4）；（5）六次旋轉(zhuǎn)，α=60°，旋轉(zhuǎn)軸記為C6（6）。問(wèn)題：立方體的所有對(duì)稱軸？晶體結(jié)構(gòu)中一共存在五種旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作(1)一次旋轉(zhuǎn)，α=360在晶體結(jié)構(gòu)中不存在五次和大于六次的旋轉(zhuǎn)軸在晶體結(jié)構(gòu)中不存在五次和大于六次的旋轉(zhuǎn)軸2.反映圖形中一部分沿中分面與另一部分互成鏡像，即物體表面或內(nèi)部的每一點(diǎn)通過(guò)該物體中的一個(gè)平面反映，在平面的另一側(cè)等同距離處可以找到相同的點(diǎn)，則這種對(duì)稱操作稱為反映。上述平面稱為對(duì)稱面（反映面），記為σ（國(guó)際符號(hào)為m）。立方晶系有9個(gè)對(duì)稱面，如下圖所示。2.反映圖形中一部分沿中分面與另一部分互X射線晶體學(xué)(第一章)課件3、反演

物體表面上每一點(diǎn)如果與物體中心點(diǎn)連一直線，并延長(zhǎng)與該物體的另一側(cè)相交，在交點(diǎn)處得到與直線這一端同樣的一點(diǎn)時(shí)，則這種對(duì)稱操作稱為反演。施行反演操作所憑借的i點(diǎn)稱為反演中心

（對(duì)稱中心），記為i

（國(guó)際符號(hào)為I）。立方晶系的對(duì)稱中心如圖所示。3、反演物體表面上每一點(diǎn)如果與物體中心點(diǎn)連一直4、旋轉(zhuǎn)反演晶體繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)后再經(jīng)反演，對(duì)觀察者來(lái)說(shuō)，位置、形態(tài)與動(dòng)作前一樣，這種操作稱為旋轉(zhuǎn)反演。左圖為立方體的Ci4對(duì)稱操作，A轉(zhuǎn)到B，反演到H；B轉(zhuǎn)到C，反演到E；C轉(zhuǎn)到D，反演到F；D轉(zhuǎn)到A，反演到G。同樣，E反演旋轉(zhuǎn)到D；F反演旋轉(zhuǎn)到A；G反演旋轉(zhuǎn)到B；H反演旋轉(zhuǎn)到C。對(duì)觀察者旋轉(zhuǎn)前后完全一樣。4、旋轉(zhuǎn)反演晶體繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

旋轉(zhuǎn)反演是旋轉(zhuǎn)和反演兩個(gè)動(dòng)作的聯(lián)合，是一種復(fù)合對(duì)稱操作，對(duì)稱元素為反演軸，記為Cin，（國(guó)際符號(hào)為）。與旋轉(zhuǎn)軸一樣，晶體中只有

、、、、五種反演軸。X射線晶體學(xué)(第一章)課件由圖可以看出：

Ci1=I;Ci2=σ;Ci3=C3;

Ci4=C2≠C4,C4具有Ci4作用;

由圖可以看出：Ci6=C3≠C6,C6具有Ci6作用.Ci6=C3≠C6,C6具有Ci6作用.二、微觀對(duì)稱操作1、平移將晶體結(jié)構(gòu)（或空間點(diǎn)陣）平行移動(dòng)到與原來(lái)環(huán)境完全相同的位置，這種對(duì)稱操作稱為平移。沿方向的格點(diǎn)直線平移所憑借的對(duì)稱元素稱為平移軸，記為

二、微觀對(duì)稱操作1、平移X射線晶體學(xué)(第一章)課件2、螺旋旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)+平移)首先繞一固定軸旋轉(zhuǎn)角度后接著平移方能得到規(guī)則重復(fù),這種復(fù)合對(duì)稱操作稱為螺旋旋轉(zhuǎn)。憑借的軸稱為螺旋軸,記為,它平行于結(jié)點(diǎn)直線,也只能有1、2、3、4、6次。2、螺旋旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)+平移)首先繞一固定軸旋轉(zhuǎn)

矢量稱為螺旋旋轉(zhuǎn)的平移成份，

（P=1、2、3…..n-1）

一次螺旋旋轉(zhuǎn)，螺旋軸記為11；二次螺旋旋轉(zhuǎn)，螺旋軸記為21；三次螺旋旋轉(zhuǎn)，或螺旋軸記為31和32。

矢量稱為螺旋旋轉(zhuǎn)的平移成份，

四次螺旋旋轉(zhuǎn)，、和螺旋軸記為41、42和43；六次螺旋旋轉(zhuǎn)，、、、和螺旋軸記為61、62、63、64和65。一般螺旋軸記為Sn（國(guó)際符號(hào)記為np）四次螺旋旋轉(zhuǎn)，、和3、滑移（反映+平移）

憑借一個(gè)平面施行反映之后，再平行于該面施行平移，而使晶體結(jié)構(gòu)圖形得到規(guī)則重復(fù)，這種對(duì)稱操作稱為滑移?；茖?duì)稱操作中的反映面稱為滑移面。平移矢量稱為滑移的平移成分。3、滑移（反映+平移）憑借一個(gè)平面施行反映之X射線晶體學(xué)(第一章)課件§1-4對(duì)稱群晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱元素是相互制約而又互相協(xié)同的。因此，對(duì)稱元素所標(biāo)志對(duì)稱操作也是互相關(guān)聯(lián)地呈現(xiàn)在一個(gè)晶體結(jié)構(gòu)，并按一定內(nèi)在規(guī)律組合在一起。晶體結(jié)構(gòu)中，按一定規(guī)律組合在一起的對(duì)稱操作的集合（對(duì)稱操作的組合）稱為晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱群。根據(jù)組成對(duì)稱群的對(duì)稱操作的不同，對(duì)稱群可分為點(diǎn)群、平移群和空間群。§1-4對(duì)稱群晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱元素是相互一、點(diǎn)群

在晶體結(jié)構(gòu)中，由旋轉(zhuǎn)、反映、反演、旋轉(zhuǎn)反演這4種宏觀對(duì)稱操作所構(gòu)成的對(duì)稱群稱為點(diǎn)群。之所以稱為點(diǎn)群，是因?yàn)閷?duì)一個(gè)對(duì)稱圖形施行這幾種對(duì)稱操作時(shí)，對(duì)稱圖形中至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，而標(biāo)志各對(duì)稱操作的對(duì)稱元素至少要相交于一點(diǎn)。點(diǎn)群只表明晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性?？梢宰C明，從晶體結(jié)構(gòu)三維空間對(duì)稱圖形來(lái)看，其點(diǎn)群只有32種，稱為32點(diǎn)群（32晶類、32對(duì)稱型）

一、點(diǎn)群在晶體結(jié)構(gòu)中，由旋轉(zhuǎn)、反映、反演、旋二、平移群

在作為無(wú)限圖形的空間點(diǎn)陣中，其各個(gè)方向上的平移操作之集合所構(gòu)成的對(duì)稱群稱為平移群。

空間點(diǎn)陣的周期性可由平移群來(lái)表征。平移群共有14種，稱為14種平移群（14種布拉維點(diǎn)陣）三、空間群在晶體結(jié)構(gòu)中，由旋轉(zhuǎn)、反映、反演、旋轉(zhuǎn)反演、平移、螺旋旋轉(zhuǎn)、滑移這7種對(duì)稱操作集合而成的對(duì)稱群稱為空間群。

空間群既可表明晶體結(jié)構(gòu)的周期性，又可表明晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性。可能有的空間群共230種。二、平移群在作為無(wú)限圖形的空間點(diǎn)陣中，其各個(gè)方向§1-5布拉維格子和晶系的劃分一、布拉維格子的選取整個(gè)空間點(diǎn)陣是由一定形狀的平行六面體作為單元堆積而成。平行六面體是可以任意選取的，如圖§1-5布拉維格子和晶系的劃分一、布拉維格子的選取

為了表示出各種晶體結(jié)構(gòu)中質(zhì)點(diǎn)排列的規(guī)律性，特別是它的對(duì)稱性，必須確定一種選擇方式，使得所選的單位格子能夠唯一地表征每一種晶體結(jié)構(gòu)在原子排列上的特殊周期性和特殊對(duì)稱性。布拉維格子就是為達(dá)到這個(gè)目的而選取的單位格子。

為了表示出各種晶體結(jié)構(gòu)中質(zhì)點(diǎn)排列的規(guī)律性，特別是1、布拉維格子的選取1）所選取的單位格子應(yīng)該能夠反映出整個(gè)空間點(diǎn)陣所固有的點(diǎn)群對(duì)稱性。也就是它的對(duì)稱性應(yīng)與空間點(diǎn)陣的點(diǎn)群一致。而空間點(diǎn)陣是晶體結(jié)構(gòu)的抽象，因此所選單位格子也就表明了原來(lái)晶體結(jié)構(gòu)的點(diǎn)群對(duì)稱性。2）在滿足第一條的基礎(chǔ)上，所選取的單位格子的平面角要盡可能等于直角。3）在滿足上述兩條的基礎(chǔ)上，所選取的單位格子的體積要盡可能的小。1、布拉維格子的選取1）所選取的單位格子應(yīng)該能夠反映出整個(gè)空2、一個(gè)例子立方體：，正方體：，菱面體：2、一個(gè)例子立方體：3、14種布拉維格子3、14種布拉維格子二、晶系的劃分1、晶系劃分的原則空間點(diǎn)陣的點(diǎn)群對(duì)稱性是晶體結(jié)構(gòu)的固有特性。根據(jù)這種特性，可以把晶體劃分為七大晶系。二、晶系的劃分1、晶系劃分的原則2、各晶系的特征對(duì)稱元素1）三斜晶系，無(wú)Cn（n≥2）和σ；2）單斜晶系，具有m個(gè)C2和n個(gè)σ，且m+n=1或2；3）正交（斜方）晶系，具有m個(gè)C2和n個(gè)σ，且m+n=3或6；4）三方晶系，具有1個(gè)C3或Ci3；5）四方（正方）晶系，具有1個(gè)C4或Ci4；6）六方晶系，具有1個(gè)C6或Ci6；7）立方晶系，具有4個(gè)C3。2、各晶系的特征對(duì)稱元素三、四種類型的布拉維格子1、劃分原則根據(jù)單位格子中的格點(diǎn)的位置劃分。2、類型1）初基（簡(jiǎn)單）格子，僅在八個(gè)頂點(diǎn)有格點(diǎn)，常用字母P表示，其平移矢為、、。每個(gè)單位格子中有一個(gè)格點(diǎn)。三、四種類型的布拉維格子1、劃分原則2）底心格子，除八個(gè)頂點(diǎn)有格點(diǎn)外，在上下（左右、前后）面中心也有格點(diǎn)，常用字母C（B、A）表示，其平移矢量為、、、。每個(gè)單位格子中有兩個(gè)格點(diǎn)。3）體心格子，除八個(gè)頂點(diǎn)有格點(diǎn)外，在體中心也有一個(gè)格點(diǎn)，常用字母I表示，其平移矢量為、、、。每個(gè)單位格子中有兩個(gè)格點(diǎn)。2）底心格子，除八個(gè)頂點(diǎn)有格點(diǎn)外，在上下（左右、前后）面中心4）面心格子，除八個(gè)頂點(diǎn)有格點(diǎn)外，各個(gè)面的中心也都含有有格點(diǎn)，常用字母F表示，其平移矢量為、、、、

和。每個(gè)單位格子中有四個(gè)格點(diǎn)。4）面心格子，除八個(gè)頂點(diǎn)有格點(diǎn)外，各個(gè)面的中心也都含有有格點(diǎn)四、單位晶胞

在晶體結(jié)構(gòu)中，由單位平行六面體（單位點(diǎn)陣、單位格子）所圈劃出來(lái)的那一部分稱為單位晶胞，簡(jiǎn)稱晶胞。

晶胞常數(shù)和點(diǎn)陣常數(shù)相同，通稱為點(diǎn)陣常數(shù)。

處于晶胞角頂處的原子是8個(gè)晶胞所共有，其有屬于該晶胞，而面上的原子有屬于該晶胞，棱上有屬于該晶胞。同樣可算出單位點(diǎn)陣中

的陣點(diǎn)(格點(diǎn))數(shù)。四、單位晶胞在晶體結(jié)構(gòu)中，由單位平行六面體（§1-6晶體定向一、晶體定向的意義同方向上的原子平面不僅互相平行，而且互相之間的距離也相同，各原子平面上的原子分布情況也完全相同。因?yàn)椴煌较蛏系脑用嫔系脑臃植疾煌耆嗤虼瞬煌较虻脑悠矫婢哂胁煌奶匦?，晶體表現(xiàn)出各向異性，所以要進(jìn)行晶體取向的確定工作。

在晶體結(jié)構(gòu)中引人一套坐標(biāo)系的手續(xù)稱為晶體定向?！?-6晶體定向二、標(biāo)準(zhǔn)定向

在晶體結(jié)構(gòu)中，把標(biāo)志晶體結(jié)構(gòu)對(duì)稱性和周期性的布拉維格子的三邊選作基矢、、，并用、、定出ox、oy、oz三個(gè)坐標(biāo)軸，這樣的定向稱為標(biāo)準(zhǔn)定向，或稱為布拉維標(biāo)準(zhǔn)定向。各個(gè)晶系的布拉維格子互不相同二、標(biāo)準(zhǔn)定向在晶體結(jié)構(gòu)中，把標(biāo)志晶體結(jié)構(gòu)對(duì)三、點(diǎn)的坐標(biāo)如果R為晶體結(jié)構(gòu)中的任一點(diǎn)，則由坐標(biāo)原點(diǎn)到此點(diǎn)的矢量可根據(jù)矢量代數(shù)寫成：其中、、為坐標(biāo)的基矢，x、y、z為在3個(gè)軸上的投影。則R的坐標(biāo)可記為[[xyz]]或（x，y，z）、xyz。xyz為3個(gè)實(shí)數(shù)。三、點(diǎn)的坐標(biāo)如果R為晶體結(jié)構(gòu)中的任一點(diǎn)，則由四、晶向指數(shù)

在晶體點(diǎn)陣（晶體結(jié)構(gòu)）中，任何一條格點(diǎn)（質(zhì)點(diǎn)）直線的方向稱為晶向。其數(shù)字表示符號(hào)[uvw]稱為晶向指數(shù)或稱為直線指數(shù)。四、晶向指數(shù)在晶體點(diǎn)陣（晶體結(jié)構(gòu)）中，任何1、晶向指數(shù)確定根據(jù)晶體定向以后,對(duì)于標(biāo)志著一定方向和周期為的格點(diǎn)直線束L來(lái)說(shuō),只考慮其中過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的LO即可，因?yàn)長(zhǎng)0已把L的取向和周期表示出來(lái)。設(shè)L0上一格點(diǎn)R0，其坐標(biāo)為[[x0y0z0]]，則若L1上有兩格點(diǎn)R1和R2，其坐標(biāo)分別為[[x1y1z1]]，[[x2y2z2]]，則1、晶向指數(shù)確定根據(jù)晶體定向以后,對(duì)于標(biāo)志著若L1上有兩格點(diǎn)R1和R2，其坐標(biāo)分別為[[x1y1z1]]，[[x2y2z2]]，則若L1上有兩格點(diǎn)R1和R2，其坐標(biāo)分別為[[x1

所以上式表明，L格點(diǎn)直線束中任一格點(diǎn)直線上兩格點(diǎn)R1和R2相應(yīng)坐標(biāo)差的比等于L0上任意一點(diǎn)R0的坐標(biāo)之比。所以2、晶向指數(shù)的求法1）求法一a、過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作一直線L0平行于直線L1，b、在L0上取一點(diǎn)R0，以a、b、c為單位，求出其在x、y、z軸上的3個(gè)坐標(biāo)xo、yo、zo，c、將這3個(gè)數(shù)化成沒(méi)有公約數(shù)的整數(shù)（互質(zhì)整數(shù)）連比，即[uvw]即是L格點(diǎn)直線束的晶向指數(shù)2、晶向指數(shù)的求法1）求法一2）求法二

在L1格點(diǎn)直線上任取兩點(diǎn),其坐標(biāo)分別為R1[[x1y1z1]]和R2[[x2y2z2]],將

、、化成三個(gè)互質(zhì)數(shù)連比，即2）求法二在L1格點(diǎn)直線上3、注意點(diǎn)1）如果坐標(biāo)是負(fù)值，即直線指向負(fù)方向，則在相應(yīng)的指數(shù)上加一負(fù)號(hào)；2）方向指數(shù)[100]與點(diǎn)坐標(biāo)[[100]]不可混淆；3）互相平行的格點(diǎn)直線，其方向指數(shù)相同。3、注意點(diǎn)4、舉例

求面心斜方格子x、y、z軸和L1、L2的晶向指數(shù)。解：因?yàn)閤、y、z軸上距坐標(biāo)原點(diǎn)最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為[[100]]、[[010]]、[[001]]，故[uvw]x=[100][uvw]y=[010][uvw]z=[001]4、舉例求面心斜方格子x、y、z軸和L1、

對(duì)L1，其上兩點(diǎn)R1、R2，坐標(biāo)分別為和則:對(duì)L1，其上兩點(diǎn)R1、R2，對(duì)L2，其上兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，則:對(duì)L2，其上兩點(diǎn)坐標(biāo)分別五、晶面指數(shù)

通過(guò)點(diǎn)陣中若干格點(diǎn)而成的一個(gè)平面稱為格點(diǎn)平面（在晶體結(jié)構(gòu)中稱為晶面），晶面的數(shù)字表示符號(hào)（hkl）就是晶面指數(shù)（面指數(shù)），又稱為蜜勒（Miller）指數(shù)。五、晶面指數(shù)通過(guò)點(diǎn)陣中若干格點(diǎn)而成的一個(gè)平面1、晶面指數(shù)確定的根據(jù)

如圖，ABC為一格點(diǎn)平面，分別交x、y、z軸于A、B、C點(diǎn)，O為原點(diǎn)，其截距分別為

a、b、c為軸單位，m、n、p為相應(yīng)的截距系數(shù)。根據(jù)平面方程的截距式可以寫成

式中m、n、p為三個(gè)有理數(shù)，并且總可以找到另一正的有理數(shù)t，使得1、晶面指數(shù)確定的根據(jù)如圖，ABC為一格點(diǎn)平面

Hkl為三個(gè)互質(zhì)整數(shù)，所以上式可以寫成m、n、p的不同，平面方位就要變化。所以對(duì)于一固定平行平面族、、這個(gè)連比值是一定的。即hkl是一定的，因此可以用h：k：l來(lái)表明面的位向。X射線晶體學(xué)(第一章)課件2、晶面指數(shù)的確定1)求法一a、找出ABC面與x、y、z軸的截距系數(shù)m、n、p；b、寫出這三個(gè)截距的倒數(shù)、、；c、把上述三個(gè)分?jǐn)?shù)化為互質(zhì)整數(shù)連比則（hkl）即為晶面ABC的面指數(shù)。2、晶面指數(shù)的確定1)求法一1)求法二如果已知所求平面上的三個(gè)格點(diǎn)R1[[x1y1z1]]、R2[[x2y2z2]]和R3[[x3y3z3]]，將它們分別代人方程中，得一組方程組1)求法二如果已知所求平面上的三個(gè)格點(diǎn)R1[[聯(lián)立求解，得聯(lián)立求解，得3、注意點(diǎn)1）如晶面與某一軸的負(fù)方向相交，則相應(yīng)的指數(shù)上加一負(fù)號(hào)表示，如；2）當(dāng)晶面與一晶軸平行時(shí)，則可認(rèn)為與該軸在無(wú)窮遠(yuǎn)處相交，即截距系數(shù)為∞，而等于0，所以相應(yīng)于這個(gè)軸的指數(shù)為0；3）在晶體結(jié)構(gòu)中凡是互相平行的晶面，其晶面指數(shù)均相同。此外，3、注意點(diǎn)1）如晶面與某一軸的負(fù)方向相交，則相應(yīng)的指數(shù)上加一4、例：求面心格子的ABGF、EFG、HIB等平面的

面指數(shù)解：1）ABGF平面與x、y軸的截距系數(shù)分別為1和1，與z軸平行。其面指數(shù)為：4、例：求面心格子的ABGF、EFG、HIB等平面的

2）平面EFG，其上可找出三點(diǎn)，坐標(biāo)分別為：E[[110]]、F[[101]]和G[[011]]，則：也可用截距來(lái)求，其截距分別為-1、-1、-1，則其晶面指數(shù)也為（111）。2）平面EFG，其上可找出3）對(duì)平面HIB，其上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為H、I和B。X射線晶體學(xué)(第一章)課件六、六方晶系的四軸定向1、四軸定向的必要性1）三軸定向使用了與z軸垂直的兩個(gè)二次軸來(lái)定義x、y軸，就不能顯示出六方晶系的對(duì)稱特性。六、六方晶系的四軸定向1、四軸定向的必要性2）在晶向和晶面指數(shù)的表示上也不能顯示其對(duì)稱情況。2）在晶向和晶面指數(shù)的表示上也不能顯示其對(duì)稱情況。2、四軸定向的表示原則將垂直于z軸的三個(gè)二次軸都選作坐標(biāo)軸，分別記為、和，其上的基矢記為、、2、四軸定向的表示原則3、四軸定向下的點(diǎn)的坐標(biāo)若則R點(diǎn)的坐標(biāo)可以記為因?yàn)榭傻?、四軸定向下的點(diǎn)的坐標(biāo)若

上式為4軸定向的點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成3軸定向的點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系式。在4軸定向中，為了便于計(jì)算，規(guī)定點(diǎn)的坐標(biāo)在x1、x2、x3軸上分量應(yīng)滿足：這樣得3軸和4軸定向的點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系式：上式為4軸定向的點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成3軸定向的點(diǎn)坐標(biāo)4、四軸定向下的直線的晶向指數(shù)

設(shè)3軸定向下的指數(shù)為[UVW]，4軸定向下的指數(shù)為[uvtw]，則有轉(zhuǎn)換關(guān)系式：4、四軸定向下的直線的晶向指數(shù)設(shè)3軸定向下5、六方晶系的晶面指數(shù)1）由該晶面與四個(gè)晶軸的截距的倒數(shù)求得，即：2）根據(jù)平面截距式方程得

3）有時(shí)寫成注意：在立方晶系中，如果一晶向和某一晶面的指數(shù)數(shù)值相同，則這一晶向一定和該晶面垂直。在其它晶系中，這種關(guān)系就不一定了。5、六方晶系的晶面指數(shù)1）由該晶面與四個(gè)晶軸的截距的倒數(shù)求得六、單形和聚形1、晶向單形在晶體結(jié)構(gòu)中凡能用宏觀對(duì)稱操作（點(diǎn)群對(duì)稱操作）而產(chǎn)生規(guī)則重復(fù)的晶向組合稱為一個(gè)晶向單形（點(diǎn)群直線系）例如：在立方晶系中，可通過(guò)宏觀對(duì)稱操作與

作規(guī)則重復(fù)，所以這六個(gè)晶向構(gòu)成一個(gè)晶向單形，記為<110>六、單形和聚形1、晶向單形2、晶面單形1）定義：在晶體結(jié)構(gòu)中，凡能用宏觀對(duì)稱操作（點(diǎn)群對(duì)稱操作）而產(chǎn)生規(guī)則重復(fù)的晶面的組合稱為一個(gè)晶面單形（點(diǎn)群平面系），簡(jiǎn)稱單形。例如：在立方晶系中，可通過(guò)宏觀對(duì)稱操作與

作規(guī)則重復(fù)，所以這六個(gè)晶面構(gòu)成一個(gè)晶面單形，記為：{100}.同一單形中的晶面，其形狀、大小和性質(zhì)等應(yīng)該是完全相同的。2、晶面單形1）定義：在晶體結(jié)構(gòu)中，凡能用宏觀對(duì)稱操作（點(diǎn)群2）單形的種類a、閉形：如果一個(gè)單形的各晶面能圍成封閉的多面體，則此單形稱為閉形。b、開(kāi)形：凡是不能構(gòu)成封閉多面體的則為開(kāi)形。3）重復(fù)次數(shù)構(gòu)成單形的晶面的數(shù)目稱為該單形的重復(fù)次數(shù)（重復(fù)因子）。4）單形符號(hào)的寫法a、根據(jù)點(diǎn)群元素確定晶系，選取坐標(biāo)系。寫出晶面（晶向）指數(shù)；b、盡可能選取指數(shù)中正數(shù)較多者；c、盡可能選取指數(shù)中數(shù)字按大小遞減次序排列；d、4軸定向時(shí)，第四個(gè)數(shù)字除外，然后按2）、3）兩條選取。2）單形的種類a、閉形：如果一個(gè)單形的各晶面能圍成封閉的多面3、聚形由兩個(gè)或兩個(gè)以上的單形所組成的多面體稱為聚形。如果單形中出現(xiàn)n種大小、形狀不同的晶面，一般這個(gè)聚形含有n種單形。3、聚形由兩個(gè)或兩個(gè)以上的單形所組成的多面體概括：?jiǎn)涡蔚木嬖谖锢硇再|(zhì)和化學(xué)性質(zhì)上彼此相同，在理想結(jié)晶情況下，晶面的外形也相同，因此可以借助對(duì)稱操作由一個(gè)晶面推道出其余的晶面。聚形的各種晶面間毫無(wú)對(duì)稱操作聯(lián)系，因此在外形上、數(shù)量上以及其他性質(zhì)上可能各不相同，它是單形的總和。概括：?jiǎn)涡蔚木嬖谖锢硇再|(zhì)和化學(xué)性質(zhì)上彼此相同，在理想結(jié)晶情§1-7倒易點(diǎn)陣概念

為了能夠簡(jiǎn)便地解決晶體學(xué)中的一些問(wèn)題和更清楚地解釋各種衍射問(wèn)題，現(xiàn)在引人一種新的幾何圖形—倒易點(diǎn)陣，它是在空間點(diǎn)陣（晶體點(diǎn)陣、正點(diǎn)陣）的基礎(chǔ)上按照一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系建立起來(lái)的，它也是一種點(diǎn)的集合，是一種數(shù)學(xué)模型。倒易點(diǎn)陣是由被稱為倒格點(diǎn)或倒易點(diǎn)的點(diǎn)所構(gòu)成的一種點(diǎn)陣，它也是描述晶體結(jié)構(gòu)的一種幾何方法，它和空間點(diǎn)陣具有倒易關(guān)系?！?-7倒易點(diǎn)陣概念為了能夠簡(jiǎn)便地解決晶體一、倒易點(diǎn)陣幾何

倒易點(diǎn)陣中的一格點(diǎn)對(duì)應(yīng)著晶體點(diǎn)陣中一族晶面間距相等的格點(diǎn)平面。如果讓兩個(gè)點(diǎn)陣的原點(diǎn)重合，它們之間的關(guān)系為：1、晶體點(diǎn)陣中的晶面在倒易空間中用一點(diǎn)來(lái)表示，和間的連線垂直于晶體點(diǎn)陣中的晶面；一、倒易點(diǎn)陣幾何倒易點(diǎn)陣中的一格點(diǎn)對(duì)應(yīng)著晶體2、如果倒易點(diǎn)陣中的矢量稱為倒易矢量（嚴(yán)格說(shuō)為倒格矢量），則或式中稱為晶面族的晶面間距，它為該晶面族中相臨兩個(gè)晶面間的垂直距離。利用上述轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以由任何一個(gè)空間點(diǎn)陣得到其對(duì)應(yīng)的倒易點(diǎn)陣，或者反之。X射線晶體學(xué)(第一章)課件二、倒易點(diǎn)陣的矢量分析1、若空間點(diǎn)陣的基矢為、、，其相應(yīng)的倒易矢量的三個(gè)基矢為、、，則這兩個(gè)點(diǎn)陣的基本關(guān)系表示為：二、倒易點(diǎn)陣的矢量分析1、若空間點(diǎn)陣的基矢為、、證明：1）因?yàn)樗?）因?yàn)槭街袨楹偷膴A角，所以證明：1）因?yàn)?、求、、的大小和方向解：因?yàn)榇怪庇诎?、兩個(gè)矢量的平面，而也垂直于包含、所在的平面，所以與成比例，即將兩邊同乘以，則

2、求、、的大小和方向解：所以即同樣可得到其它兩個(gè)值。所以3、倒易矢量表示對(duì)應(yīng)于（hkl）面族的倒易矢量，則3、倒易矢量表示對(duì)應(yīng)于（hkl）面族的倒易矢量，三、正、倒點(diǎn)陣關(guān)系1、小結(jié)1）正點(diǎn)陣中的晶面在倒點(diǎn)陣中用一個(gè)倒易點(diǎn)表示，倒易點(diǎn)的指數(shù)用它所代表的晶面指數(shù)（干涉指數(shù)）標(biāo)定。2）倒點(diǎn)陣中的點(diǎn)陣矢量垂直于正空間中指數(shù)相同的格點(diǎn)平面，點(diǎn)陣矢量的長(zhǎng)度等于該格點(diǎn)平面的面間距的倒數(shù)，倒格點(diǎn)平面的指數(shù)用與其垂直的點(diǎn)陣矢量系數(shù)uvw來(lái)表示。三、正、倒點(diǎn)陣關(guān)系1、小結(jié)3）正點(diǎn)陣中的點(diǎn)陣矢量垂直于倒空間中指數(shù)相同的倒格點(diǎn)平面點(diǎn)陣矢量的長(zhǎng)度等于該倒格點(diǎn)平面的面間距的倒數(shù)，格點(diǎn)平面的指數(shù)用與其垂直的點(diǎn)陣矢量系數(shù)hkl來(lái)表示。3）正點(diǎn)陣中的點(diǎn)陣矢量

4)倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣的指數(shù)變換

一個(gè)晶面（HKL）的法向在正空間和倒空間分別有不同的表述方式，在倒易空間該晶向即為其所對(duì)應(yīng)的倒易矢量，記為，在正空間中該晶面的法向是與其垂直的點(diǎn)陣矢量，記為這記號(hào)為同一晶向在正、倒空間的不同表達(dá)形式，故可令：4)倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣的指數(shù)變換一個(gè)晶面（H

分別點(diǎn)乘、、可得寫成矩陣形式為：分別點(diǎn)乘、、可得分別點(diǎn)乘、、可得

寫成矩陣形式為：分別點(diǎn)乘、、可得2、舉例

1）對(duì)于互相平行的晶面，倒易點(diǎn)陣為一維的圖形。因?yàn)樗?、舉例1）對(duì)于互相平行的晶面，倒易點(diǎn)陣為一維的圖形。2）對(duì)于二維方向的平行晶面，倒易點(diǎn)陣為二維的圖

形圖中實(shí)線為單斜晶系正點(diǎn)陣的ac平面，b軸與圖面垂直，格點(diǎn)用小圓圈所代表。其對(duì)應(yīng)的倒易點(diǎn)陣用虛線表示，格點(diǎn)用黑點(diǎn)表示。倒易格點(diǎn)100、001分別在正點(diǎn)陣的（100）和（001）晶面的法線上，且2）對(duì)于二維方向的平行晶面，倒易點(diǎn)陣為二維的圖

X射線晶體學(xué)(第一章)課件

和的夾角為，這里，即和互為補(bǔ)角；倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣的陣胞具有相似的形狀，但相當(dāng)于繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了90度。

注:三斜和三方晶系無(wú)這種互補(bǔ)關(guān)系.X射線晶體學(xué)(第一章)課件3、對(duì)于三維空間點(diǎn)陣，對(duì)應(yīng)的倒易點(diǎn)陣也為三維圖

形，如圖。且：3、對(duì)于三維空間點(diǎn)陣，對(duì)應(yīng)的倒易點(diǎn)陣也為三維圖

X射線晶體學(xué)(第一章)課件§1-8晶體結(jié)構(gòu)的有關(guān)計(jì)算一、正、倒單位陣胞的體積計(jì)算1、單位晶胞的體積2、單位倒易陣胞的體積計(jì)算二、晶面間距的計(jì)算三、晶面夾角的計(jì)算四、晶向夾角的計(jì)算五、晶面和晶向夾角的計(jì)算§1-8晶體結(jié)構(gòu)的有關(guān)計(jì)算§1-9晶帶一、晶帶及其性質(zhì)1、定義在晶體結(jié)構(gòu)（空間點(diǎn)陣）中，平行于某一固定晶向（直線）的所有晶面的集合稱為晶帶§1-9晶帶一、晶帶及其性質(zhì)2、性質(zhì)

1）屬于同一晶帶的晶面的交線互相平行，其中通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的那一條直線稱為晶帶軸，晶帶軸的晶向指數(shù)即為該晶帶的指數(shù)，稱為晶帶符號(hào)，記為。2）同一晶帶的各晶面均平行于晶帶軸，則這些晶面的法線均垂直于該晶帶軸；屬于同一晶帶的所有晶面所對(duì)應(yīng)的倒易矢量都位于通過(guò)倒易原點(diǎn)且與晶帶軸垂直的平面上，這個(gè)平面被稱為倒格點(diǎn)（倒易點(diǎn)）平面；因而，每個(gè)通過(guò)倒易原點(diǎn)的倒格點(diǎn)平面上的所有倒格點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的晶面均屬于同一晶帶。3）在晶體結(jié)構(gòu)中，任一晶面至少同時(shí)屬于兩個(gè)晶帶。2、性質(zhì)1）屬于同一晶帶的晶面的交線互相平行，其中通過(guò)坐二、晶帶定理設(shè)為某晶帶的晶帶軸，為這個(gè)晶帶中某晶面（hkl）的倒易矢量。則

因?yàn)榫妫╤kl）平行于晶帶軸，所以即這就是說(shuō)，凡是屬于晶帶的晶面（hkl）都必須符合這個(gè)公式，通常稱這個(gè)公式為晶帶定理。二、晶帶定理設(shè)為某晶帶的晶三、晶帶計(jì)算1、已知晶帶內(nèi)兩個(gè)晶面（h1k1l1）和（h2k2l2），求此晶帶軸T的指數(shù)[uvw]。解：因?yàn)檫@兩個(gè)晶面均平行于晶帶軸，所以它們均符合晶帶定理，即聯(lián)立求解得：三、晶帶計(jì)算1、已知晶帶內(nèi)兩個(gè)晶面（h1k1l1）和（h2k2、已知兩個(gè)晶帶和，求這兩個(gè)晶帶交面的指數(shù)解：根據(jù)晶帶有：所以注意：三方晶系和六方晶系進(jìn)行晶帶計(jì)算時(shí)必須先變換為三軸定向。2、已知兩個(gè)晶帶和，求這四、倒格點(diǎn)平面與晶帶的對(duì)應(yīng)關(guān)系

倒易空間中過(guò)倒易原點(diǎn)的倒格點(diǎn)平面與晶體空間中的晶帶相對(duì)應(yīng)，即晶體空間的晶帶在倒易空間中變換為過(guò)倒易原點(diǎn)的倒格點(diǎn)平面，記為，o表示過(guò)倒易原點(diǎn)的倒格點(diǎn)平面。若倒格點(diǎn)在這個(gè)倒格點(diǎn)平面上，則這就是晶帶定理。對(duì)應(yīng)關(guān)系有下列幾種情況：1、倒格點(diǎn)位于上，意味著晶面屬于晶帶，符合晶帶定理，即

四、倒格點(diǎn)平面與晶帶的對(duì)應(yīng)關(guān)系倒易空間中過(guò)倒易2、兩個(gè)格點(diǎn)、同在上，意味著、這兩個(gè)晶面同屬于晶帶，其條件是2、兩個(gè)格點(diǎn)、3、三個(gè)格點(diǎn)、、同在上，意味著、、這三個(gè)晶面同屬于晶帶，其條件是3、三個(gè)格點(diǎn)、4、與相交于過(guò)的直線（即），表明晶面同屬于兩晶帶和，其條件是4、與5、、、交于倒格點(diǎn)直線，表明三晶帶、、共有一個(gè)晶面，其條件是5、、五、廣義晶帶定理

三維倒易格子可以用某一方位的倒格點(diǎn)平面族表示，在這些中，只有過(guò)點(diǎn)的與晶帶相對(duì)應(yīng)，其余不過(guò)的倒格點(diǎn)平面按距的遠(yuǎn)近，依次標(biāo)定為

在正方向，最靠近點(diǎn)的倒格點(diǎn)平面的方程式為：

即：五、廣義晶帶定理三維倒易格子可以用某一方位的

在、、上的截距分別、、，故的方程式為

即由于

上的倒格點(diǎn)均為整數(shù)點(diǎn)

，所以有上式所表示的倒格點(diǎn)平面

與晶帶

的關(guān)系稱為廣義晶帶定理。在、、上的截六、過(guò)倒易原點(diǎn)的二維倒易點(diǎn)陣平面的畫法1、采用試探法選兩個(gè)滿足晶帶定理的低指數(shù)晶面所對(duì)應(yīng)的倒易點(diǎn)和；2、根據(jù)已知晶體結(jié)構(gòu)的a、b、c、α、β、γ，分別算出、和與之間的夾角φ；3、根據(jù)、和φ角，作出上的兩個(gè)倒格矢量和；4、以和為基矢進(jìn)行周期重復(fù)，畫出平面格子，即；5、檢查是否有遺漏的點(diǎn)，并將其補(bǔ)上。六、過(guò)倒易原點(diǎn)的二維倒易點(diǎn)陣平面的畫法1、采用試探法選兩個(gè)滿§1-10晶體投影

所謂晶體投影就是將晶體的三維空間問(wèn)題變成二維平面問(wèn)題的一種方法。如果在三維圖形與二維圖形之間建立一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就可以用二維圖形來(lái)表示三維圖形中晶向和晶面的對(duì)稱配置和測(cè)量它們之間的夾角，這樣就會(huì)把解決起來(lái)比較困難的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。晶體投影就是把三維晶體中的晶向和晶面的配置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系投影到二維平面上來(lái)。晶體投影分兩步，第一步將晶體投影到球面上，稱之為球面投影；第二步將投影到球面上的圖形再投影到平面上去?！?-10晶體投影所謂晶體投影就是將晶體的三一、球面投影

將一個(gè)很小的晶體放在一個(gè)大圓球的中心上。假設(shè)晶體尺寸與該大圓球的半徑相比較很小，所以可以認(rèn)為晶體的每條晶棱和每個(gè)晶面都經(jīng)過(guò)球心。將晶體結(jié)構(gòu)圖形投影到球面上去，這種投影稱為球面投影。這個(gè)球稱為投影球（參考球、極球）。這個(gè)圓球的球面稱為投影球面。一、球面投影將一個(gè)很小的晶體放在一個(gè)大圓球的中1、投影球

1）將投影球的位置固定，選取三條互相垂直的直徑作坐標(biāo)軸，直立軸記為NS，前后軸記為AB，左右軸記為CD。2）通過(guò)球心的平面與球相交所成的交圓，稱為大圓。不通過(guò)球心的平面與球相交所成的交圓，稱為小圓。

1、投影球1）將投影球的位置固定，3）由AB、CD軸所決定的平面稱為赤道平面。赤道平面與球相交的大圓為水平大圓，稱為赤道。平行于赤道平面的平面與投影球的交圓稱緯線（水平小圓）。經(jīng)過(guò)NS軸的平面（子午面）與投影球的相交大圓稱為經(jīng)線（子午線、直立大圓）。3）由AB、CD軸所決定的平面稱為赤道平面。

4）任何一根經(jīng)線與SCN經(jīng)線間的夾角稱為經(jīng)度，用φ表示。順時(shí)針為正。SCN的經(jīng)度為0度。經(jīng)線上某緯度線與N極（或S極）間的的夾角（從N或S極向赤道數(shù)）稱為極距（極角），用ρ表示。赤道的極距為90度。從赤道沿經(jīng)線到所求緯線的角度稱為緯度，用ν表示，赤道的緯度為0。球面上一點(diǎn)的坐標(biāo)用極距ρ和經(jīng)度φ表示，記為（ρφ）。ρ和φ稱為這點(diǎn)的球面坐標(biāo)。4）任何一根經(jīng)線與SCN經(jīng)線間的夾角稱為經(jīng)度，用X射線晶體學(xué)(第一章)課件2、球面投影方法

1）跡式球面投影根據(jù)假設(shè),晶面、晶棱均通過(guò)球心。晶面的投影是將晶面擴(kuò)展與投影球相交得一大圓，這個(gè)大圓稱為晶面的跡線（跡圓），即這個(gè)大圓是這個(gè)晶面的跡式球面投影。2、球面投影方法1）跡式球面投影晶棱（直線）的投影是將晶棱（直線）延長(zhǎng)，與投影球相交得兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)稱為晶棱（直線）的跡點(diǎn)，或稱為出露點(diǎn)，這兩個(gè)出露點(diǎn)互稱為對(duì)跖點(diǎn)。

三維圖形中兩晶棱間的夾角等于它們?cè)谇蛎嫔蟽蓚€(gè)對(duì)應(yīng)的出露點(diǎn)間的弧度。晶棱（直線）的投影是將晶棱（直線）延長(zhǎng)，與投影2）極式球面投影

晶面、晶棱也均通過(guò)球心。晶面的投影是過(guò)球心作晶面的法線與投影球相交得一個(gè)交點(diǎn)，稱為極點(diǎn)，這個(gè)極點(diǎn)即為該晶面的極式球面投影。

2）極式球面投影晶面、晶棱也均通過(guò)球心。晶棱（直線）的投影是過(guò)球心作晶棱（直線）的垂直平面，使其擴(kuò)展與球相交得一大圓，稱為晶棱（直線）的極線（極圓），其即為該晶棱（直線）的極式球面投影。在實(shí)際工作中，這兩種投影方法往往是混合使用的，應(yīng)注意加以區(qū)分。晶棱（直線）的投影是過(guò)球心作晶棱（直線）的垂二、二維投影方法1、心射切面投影以過(guò)投影球N極的切面為投影平面，如要求球面上一點(diǎn)p的投影，則連op，以op為投影線，交平面于g點(diǎn)，這就把球面上一點(diǎn)轉(zhuǎn)換到一個(gè)平面上，這種投影稱為心射切面投影。圖中g(shù)點(diǎn)即為p的心射切面投影。二、二維投影方法1、心射切面投影2、極射赤面投影

1）極射赤面投影的繪制a、以赤道平面為投影面，把赤道大圓稱為投影基圓；b、設(shè)晶體中某一晶面p的球面投影為p1（在上半球），由S極經(jīng)過(guò)p1引直線（投影線）交赤道平面于s1點(diǎn)，則s1點(diǎn)即為p1點(diǎn)的極射赤面投影，也就是晶面p的極射赤面投影。2、極射赤面投影1）極射赤面投影的繪制X射線晶體學(xué)(第一章)課件

因?yàn)槭且許點(diǎn)為投影點(diǎn)，則應(yīng)從N側(cè)去“閱讀”投影圖，把從N看到的投影面作為正面，在正面的投影點(diǎn)以實(shí)心點(diǎn)標(biāo)記。在上半球的點(diǎn)的投影點(diǎn)都在投影基圓內(nèi)。C、若晶面p的球面投影點(diǎn)在下半球（S側(cè)），如再按上述方法投影，則其投影點(diǎn)將位于投影基圓之外，這就很不方便使用。為此，在繪制投影時(shí)，再以N極為投射點(diǎn)，相對(duì)于剛才來(lái)說(shuō)，這時(shí)的投影點(diǎn)在投影面的反面，通常以×標(biāo)記。因?yàn)槭且許點(diǎn)為投影點(diǎn)，則應(yīng)從N側(cè)去“閱1d、如果晶面p的法線（pp1）與ON的夾角為ρ，則極點(diǎn)s1至投影圓心的距離為：

os是參考球（投影球）的半徑。1d、如果晶面p的法線（pp1）與ON的夾角為ρ，則極點(diǎn)s2）極射赤面投影的特點(diǎn)a、若投影球上有兩個(gè)跡線（跡點(diǎn)），其夾角為ψ，則它們?cè)跇O射赤面投影圖上投影的夾角仍為ψ。

極射赤面投影法是保角投影。b、球面上一個(gè)圓的極射赤面投影仍為一個(gè)圓，但投影圖上圓的幾何中心并不一定是投影球上的幾何中心的投影。（證明參看：北京地質(zhì)學(xué)院結(jié)晶礦物教研室譯“結(jié)晶學(xué)原理”第三章，或潘兆櫓、彭志忠合編“結(jié)晶學(xué)原理”p89）。下面分幾種情況：2）極射赤面投影的特點(diǎn)a、若投影球上有兩個(gè)跡線（跡點(diǎn)），其夾

球面上的圓極射赤面投影大圓與投影面垂直的直立大圓投影基圓的直徑a與NS垂直的大圓投影基圓本身b傾斜大圓基圓內(nèi)一大圓弧c球面上的圓

球面上的圓

極射赤面投影小圓與NS垂直的小圓與基圓同心的圓d與投影面垂直的小圓在基圓內(nèi)的小圓弧e傾斜小圓不與基圓同心的圓f球面上的圓三、極式網(wǎng)

以ABCD平面（赤道平面）為投影面，將投影球上的經(jīng)緯線網(wǎng)作極射赤面投影所得到的圖形稱為極式網(wǎng)。球面上一點(diǎn)的坐標(biāo)（ρ，φ），可因其投影點(diǎn)所在的直徑Q1Q2和小圓定出三、極式網(wǎng)以ABCD平面（赤道平面）為投影面，將四、烏里弗網(wǎng)將過(guò)AB的傾斜大圓和垂直于AB的小圓投影到赤道平面上所得到的投影圖稱為烏里弗網(wǎng)，簡(jiǎn)稱烏氏網(wǎng)。如果將投影球上的經(jīng)線都經(jīng)過(guò)AB，即保持投影球不動(dòng)，將其上的經(jīng)緯線網(wǎng)沿NA方向轉(zhuǎn)動(dòng)90度，這時(shí)再以ABCD面作投影面得到的投影圖即是。四、烏里弗網(wǎng)將過(guò)AB的傾斜大圓和垂直于AB的小X射線晶體學(xué)(第一章)課件五、極射赤面投影的基本作圖1、已知投影球面上點(diǎn)的坐標(biāo)，求點(diǎn)的極射赤面投影。設(shè)P、Q為投影球面上的兩點(diǎn)，其球面坐標(biāo)為：P：ρ=65°，φ=40°Q：ρ=150°，φ=240°求P、Q的極射赤面投影P′、Q′。

1）將透明紙蒙在烏氏網(wǎng)上，使兩者的中心及AB、CD重合；2）從C順時(shí)針?lè)较蜓赝队盎鶊A數(shù)到40°，在透明紙上記下點(diǎn)Pφ，數(shù)到240°處記下Qφ。五、極射赤面投影的基本作圖1、已知投影球面上點(diǎn)的坐標(biāo)，求點(diǎn)的3）在透明紙作OPφ、OQφ，轉(zhuǎn)動(dòng)透明紙，使OPφ與OC重合。從O起沿OC數(shù)65°，在此處用小實(shí)心點(diǎn)“.”記下一點(diǎn)，此點(diǎn)即為P′；轉(zhuǎn)動(dòng)透明使OQφ與0C重合,從0沿0C數(shù)90°至C，再?gòu)腃回頭數(shù)60°，此處用符號(hào)’X’’記下一點(diǎn)，此點(diǎn)即為Q′。3）在透明紙作OPφ、OQφ，轉(zhuǎn)動(dòng)透明紙，使OPφ與OC重合2、度量球面上已知點(diǎn)間的弧度

P′、Q′為兩晶面（或兩晶棱）所對(duì)應(yīng)的極射赤面投影，求其夾角。解：將投影圖與烏氏網(wǎng)重合，兩者中心對(duì)齊，轉(zhuǎn)動(dòng)透明紙，使P′、Q′位于烏氏網(wǎng)的一個(gè)大圓弧上，在此大圓弧上P′、Q′間的間隔數(shù)即為度量的P′、Q′間的角度，也就是這兩點(diǎn)所代表的兩晶面或兩晶棱間的夾角。問(wèn)題：為什么要把P′、Q′兩點(diǎn)轉(zhuǎn)到同應(yīng)該大圓弧上呢？2、度量球面上已知點(diǎn)間的弧度P′、Q′為兩晶3、已知一大圓弧，求此大圓弧的極點(diǎn)。

大圓弧的極點(diǎn)就是與大圓弧上所有點(diǎn)都相距90°的點(diǎn)。解：將透明紙蒙在烏氏網(wǎng)上，使兩者的中心重合，轉(zhuǎn)動(dòng)透明紙使已知大圓弧過(guò)烏氏網(wǎng)上的A、B，然后從此大圓弧與CD的交點(diǎn)Q沿CD向凹向方向數(shù)90°所得交點(diǎn)即為所求的極點(diǎn)。問(wèn)題：如果已知大圓弧的極點(diǎn)，如何作大圓??？3、已知一大圓弧，求此大圓弧的極點(diǎn)。大圓弧的極4、已知兩大圓的極射赤面投影，求兩大圓所屬平面

間的夾角。解：方法1設(shè)k1、k2為已知兩大圓的極射赤面投影，它們的交點(diǎn)為R，以R為極點(diǎn)作大圓弧k3，則k3與k1、k2分別交Q、P，則PQ之間的角度即為所求的二面角。

4、已知兩大圓的極射赤面投影，求兩大圓所屬平面

方法2求出k1和k2的極點(diǎn)P1、P2，則P1和P2之間的角度即為所求的二面角。注意：這樣作出的角有時(shí)互補(bǔ)。方法25、極點(diǎn)圍繞任一根軸轉(zhuǎn)動(dòng)1）繞垂直于投影面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)解：將透明紙上的投影基圓與烏氏網(wǎng)的投影基圓重合，并兩者的O、AB、CD重合，連接OA1并延長(zhǎng)交投影基圓于E點(diǎn)，沿投影基圓數(shù)φ角度到F點(diǎn)。連接OF，在其上截取OA2等于OA1，則A2即為A1點(diǎn)新位置。5、極點(diǎn)圍繞任一根軸轉(zhuǎn)動(dòng)1）繞垂直于投影面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)2）繞平行于投影面（即在投影面內(nèi)）的軸轉(zhuǎn)動(dòng)解：a、如果轉(zhuǎn)動(dòng)軸不和AB重合，需先將轉(zhuǎn)動(dòng)軸圍繞網(wǎng)的中心轉(zhuǎn)動(dòng)使兩者重合。b、將有關(guān)的極點(diǎn)沿其所在的緯度小圓弧移動(dòng)所需要的角度。2）繞平行于投影面（即在投影面內(nèi)）的軸轉(zhuǎn)動(dòng)解：a、如果轉(zhuǎn)3）繞一個(gè)傾斜軸轉(zhuǎn)動(dòng)要求將A1以順時(shí)針?lè)较驀@B1轉(zhuǎn)動(dòng)40°。解：a、使透明紙上的投影基圓的中心與烏氏網(wǎng)的中心重合，使兩者作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，將B1轉(zhuǎn)到烏氏網(wǎng)的CD軸上；

3）繞一個(gè)傾斜軸轉(zhuǎn)動(dòng)要求將A1以順時(shí)針?lè)较驀@b、B1圍繞烏氏網(wǎng)的AB軸轉(zhuǎn)動(dòng)48°，即將B1沿CD轉(zhuǎn)到位于網(wǎng)心的B2上，同時(shí)A1也沿其所在的緯度小圓向同方向轉(zhuǎn)動(dòng)同樣角度到達(dá)A2；b、B1圍繞烏氏網(wǎng)的AB軸轉(zhuǎn)動(dòng)48°，即將B1沿CD轉(zhuǎn)到位c、將A2圍繞投影圖的中心轉(zhuǎn)動(dòng)40°，到達(dá)A3；d、將B2沿CD反向轉(zhuǎn)48°到達(dá)B3（與B1重合），A3沿所在緯度小圓轉(zhuǎn)動(dòng)同樣角度到達(dá)A4，則A4即為A1繞B1轉(zhuǎn)動(dòng)40°后的新位置。c、將A2圍繞投影圖的中心轉(zhuǎn)動(dòng)40°，到達(dá)A3；6、已知球面投影為一個(gè)圓，求作它的極射赤面投影解：a、作出小圓圓心的極射赤面投影P；b、將圓心的投影P轉(zhuǎn)動(dòng)到CD上，以P為中心沿CD軸向左右各數(shù)n°得Q、R兩點(diǎn)；

6、已知球面投影為一個(gè)圓，求作它的極射赤面投影解：a、作出小c、在經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的大圓弧上，向上、向下各數(shù)n°得S、T兩點(diǎn)；d、由Q、R、S、T（或其中的三點(diǎn)）作出圓心M，以M到上述四點(diǎn)中的任意一點(diǎn)的距離為半徑作圓，則該圓即為所求的極射赤面投影圓。

利用這種方法可以制作烏氏網(wǎng)c、在經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的大圓弧上，向上、向下各數(shù)n°得S、T兩點(diǎn)；六、晶帶的投影1、晶帶的極射赤面投影同一晶帶的各個(gè)晶面的法線必定都垂直于該晶帶的晶帶軸，因此同一晶帶的各個(gè)晶面的法線應(yīng)該位于同一平面內(nèi)。這樣，晶帶進(jìn)行極式球面投影時(shí)，應(yīng)該得到一個(gè)大圓，稱為晶帶大圓。而晶帶大圓的極點(diǎn)T1和T2就是晶帶軸的出露點(diǎn)。六、晶帶的投影1、晶帶的極射赤面投影晶帶的極射赤面投影也就是晶帶大圓的極射赤面投影。晶帶的投影情況有：

晶帶種類

球面投影

極射赤面投影

水平晶帶經(jīng)線大圓投影基圓的直徑（晶帶軸垂直（晶帶軸出露點(diǎn)位（晶帶軸出露點(diǎn)位于NS）于赤道大圓上）于投影基圓上）直立晶帶赤道大圓投影基圓（晶帶軸為NS）（晶帶軸出露（晶帶軸出露點(diǎn)為點(diǎn)為N和S）O）

傾斜晶帶傾斜大圓大圓弧

(晶帶軸出露點(diǎn)為（晶帶軸出露點(diǎn)為傾斜大圓的極點(diǎn)）大圓弧的極點(diǎn)）晶帶的極射赤面投影也就是晶帶大圓的極射赤面投影2、關(guān)于晶帶的幾個(gè)基本作圖問(wèn)題

1）已知兩晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）的投影P1、P2，求它們所屬晶帶的投影？過(guò)P1、P2作大圓?。磳1、P2轉(zhuǎn)到烏氏網(wǎng)的同一大圓弧上，描下這個(gè)大圓?。摯髨A弧即為所求晶帶的極射赤面投影。其極點(diǎn)T即為該晶帶的晶帶軸的投影，[uvw]可由h1k1l1和h2k2l2用交叉法求出。2、關(guān)于晶帶的幾個(gè)基本作圖問(wèn)題1）已知兩晶面（h1k1l1如果P1、P2為兩晶帶軸的投影，則過(guò)P1、P2的大圓弧為由這兩個(gè)晶帶軸所決的晶面的跡式極射赤面投影。T點(diǎn)為晶面的極點(diǎn)如果P1、P2為兩晶帶軸的投影，則過(guò)P1、P22）已知兩個(gè)晶帶T1和T2求其交面的極式極射赤面

投影。這兩個(gè)晶帶投影的交點(diǎn)即為所求交面的極式極射赤面投影。

2）已知兩個(gè)晶帶T1和T2求其交面的極式極射赤面

如果兩個(gè)大圓弧為晶面的跡式極射赤面投影，則其交點(diǎn)即為兩個(gè)晶面交線的出露點(diǎn)的投影。如果兩個(gè)大圓弧為晶面的跡式極射赤面投影，則其交2）已知兩個(gè)晶帶T1和T2求其交面的跡式極射赤面

投影。

作出兩個(gè)晶帶的晶帶軸的投影T1和T2（即晶帶大圓弧的極點(diǎn)），過(guò)T1、T2作大圓弧，則該大圓弧即為所求。也可以將兩個(gè)晶帶投影的交點(diǎn)轉(zhuǎn)到烏氏網(wǎng)的CD軸上，然后數(shù)90°作大圓，即為所求。2）已知兩個(gè)晶帶T1和T2求其交面的跡式極射赤面

X射線晶體學(xué)(第一章)課件如果兩個(gè)大圓弧為兩個(gè)晶面的跡式極射赤面投影，則其交點(diǎn)P即為其交線的出露點(diǎn)的投影，P點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的大圓即為P為晶帶軸時(shí)的晶帶的投影，T1、T2為屬于這個(gè)晶帶的兩個(gè)晶面的投影。如果兩個(gè)大圓弧為兩個(gè)晶面的跡式極射赤面投影，則七、標(biāo)準(zhǔn)投影圖1、發(fā)展晶帶法

在極射赤面投影平面上選取4點(diǎn)1、2、3、4，其中有3點(diǎn)不在同一大圓弧上。用大圓弧將其中任意兩點(diǎn)連接起來(lái)，就產(chǎn)生了新的交點(diǎn)5、6、7，這3點(diǎn)代表由1、2、3、4點(diǎn)用晶帶交截方法產(chǎn)生的3個(gè)晶面，這樣繼續(xù)下去，就可以產(chǎn)生更多的晶面投影。這種由每3個(gè)不同晶帶的4個(gè)晶面利用晶帶交截而產(chǎn)生無(wú)數(shù)晶面的方法稱為發(fā)展晶帶法。七、標(biāo)準(zhǔn)投影圖1、發(fā)展晶帶法X射線晶體學(xué)(第一章)課件2、標(biāo)準(zhǔn)投影圖將晶體的某些對(duì)稱性明顯的低指數(shù)面，如（001）、（011）、（111）和（0001）等平行于投影平面放置，并將所有低指數(shù)（一般等于、小于7）面的極點(diǎn)均繪制出的投影圖稱為標(biāo)準(zhǔn)投影圖。這樣的圖也可以應(yīng)用發(fā)展晶帶法得到。對(duì)于立方晶系，各種物質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)投影圖都是相同的，但對(duì)其它晶系，例如六方晶系就不一樣，物質(zhì)不同，a和c軸的比值不同，所以投影圖就