華中師范數(shù)學(xué)分析第十一章反常積分復(fù)習(xí)自測題2

第十一章反常積分復(fù)習(xí)自測題一、體會各類反常積分(無窮積分、瑕積分和混合反常積分)的特點(diǎn)，能準(zhǔn)確地判定所給反常積分的類型；熟習(xí)并熟練掌握各類反常積分收斂和發(fā)散的含義，并用各類反常積分收斂和發(fā)散的含義解決下面的問題：1、正確地判斷下列反常積分的斂散性：f+8 1 fa\(1)I —dr(G>0)；(2)[—dx(G>0)；(3)IJa J0PX2、正確地判斷下列反常積分的斂散性：

「+8]—ck(o>0)。J0?！?、探索下列反常積分的斂散性，若收斂，并求其值:I r+8 1 rII4、用定義據(jù)理說明下面的關(guān)系：(反常積分的牛頓一萊布尼茨公式、分部積分法、換元法、奇偶函數(shù)的積分特征)若函數(shù)/(X)S,+oo)上連續(xù)，F(xiàn)(x)為/(X)S，+oo)上的原函數(shù)，記F(+oo)=limf(x),則無窮積分J +8

/(x)cLx收斂oF(+oo)=lim/(兀)存在，且XT+oo2jf{x)dx=F(%)—oo若函數(shù)/(x)在(-co,+oo)上連續(xù)，F(xiàn)(x)為/(x)在(-oo,+oo)上的原函數(shù)，記F(+oo)=limf(x),F(—8)=lim/(x),f+8

.YT+?> 片則無窮積分［/(x)dx收斂u>F(+oo)lim/(x)F(-oo)lim/(x)都存在，且J一8

ooXT—(1)x(lnx)(1)x(lnx)p---------dx(a>1(1)k4-00fMdx=F(x)a若函數(shù)/(x)a+°°)lim存在，則無窮積分f(x)g\x)dx收斂o f\x)g(x)dx收斂，且LP+8 +oor+8L/賊(皿=(/(咖創(chuàng)門咖皿,其中/(+8)g(+°°)=limf(x)g(x)oJTT+oo若函數(shù)/1/7,4-00)上連續(xù)，X(p(t)在［00)oo)上連續(xù)可導(dǎo),且嚴(yán)格單調(diào)遞增，°(［Q,0))=［d,+oo),則無窮積分(「/(x)cLxO收斂，且

/(x)cLt=Ja

Ja/wa))0a)dfo若/(兀)為偶函數(shù)，則8J—8

f(x)dx收斂u> ()f(x)dx收斂，且88

匚+/(x)dr=2Jr+8

/(x)dx；

「

f(x)dx=0o若/(兀)為奇函數(shù)，則［J一8提示：注意由換元法可得

f(x)dxu>J()/(A：)drJfo x=-i『0Lf(x)dx=_L/(-r)dr=

「+8

f+g-fo

/為偶函數(shù)/為奇函數(shù)設(shè)函數(shù)/(x)在(-co,+oo)上連續(xù),二、舉例說明下面關(guān)系不一定成立：1r/(x)dxr/2(x)dr；無窮積分Ja Ja一定能推出無窮積分J"/2(x)dx收斂；

+8 /(x)dx收斂也不a注：定積分的乘法性對反常積分不一定成立。2、無窮積分J"/(x)dx收斂不一定能推出無窮積分|/(x)|dx收斂；注：注意與定積分的絕對值性質(zhì)的區(qū)別。3^

［(2,+oo)

CC

lim/(x)=0設(shè)函數(shù) 在

上連續(xù)，且］Ja

XT+8

不一定成立;三、通過下面的問題探索lim于(兀)的情況:OO1>設(shè)函數(shù)/(x)定義在［a,+8)上，且在任何cOO

)上可積，

rJa

/(x)dx收斂，若limf(x)A存在，則limf(x)0x—>-K*> x—>-K*>2、利用1探索：設(shè)函數(shù)/(x)在［a,+x)f/(x)dxlim/0；JaXT+8c+°° r設(shè)函數(shù)/'(X)在［0,+°°)J/(x)cLtJf(x)cLt都收斂，則lim/(x)=0；3、設(shè)函數(shù)

a+g上連續(xù)，且/(x)c+oo

lim/(x)=/(一致連續(xù)；4、設(shè)函數(shù)

Ja［a,+x上連續(xù)，且/(x)d收斂，試探索下面的問題：Jaru+cua時(shí)，lim/(x)ckc為任意給定的正數(shù))，從而C〃+llimf(x)dx="TsJa+n提示：注意到無窮積分的定義即可。利用和積分第一中值公式證明：在中，存在嚴(yán)格遞增的數(shù)列｛｝滿足：limX”=4-oo,兀)=0；〃T8 HT8r+8類似于方法證明：若函數(shù)/上單調(diào)遞增(減)，且丨f(x)dx收斂，Ja則還有l(wèi)imxf(x)=0o注：注意到第三大題的第2小題(1),3明：/(x)o(~)XT+OO。X提示：不妨設(shè)/(兀)在［(7,+oo

單調(diào)遞增，注意到下而的積分不等式以及無窮積分的定義即可：o當(dāng)u>2a時(shí)，2(j/(x)dufu)<f/(x)dxoJM JU5、若函數(shù)

［a,+(o>)lim0則f(x)dx收斂u> x(x)dx收斂提示：利用第三大題的第4小題以及反常積分的分部積分公式r+8

. f+8 +oo「+8Jxf(Lv=xdf(x)=xf(x)-J/(x)cLroJa Ja aJci題：1、若無窮積分J 收斂, g(x)dx發(fā)散，則無窮積發(fā)散;提示：反證法。判斷］I-^|ckJ2Ix\nx丿3、利用適當(dāng)性質(zhì)說明：在無窮積分

中,當(dāng)幾X）同號時(shí), +OO/（x）cLr收斂等價(jià)于va aJ

\fM\dx斂散性的判別。五.仔細(xì)體會無窮積分和瑕積分收斂的柯西準(zhǔn)則，并用柯西準(zhǔn)則解決下面的問題：設(shè)函數(shù)/（x）,g（兀）和力（兀）都定義在[a,+8）上，且它們在任何[a,u]u[a,+oo）上可積，若對任

g(x)dxJ

也收斂;當(dāng)

r+8都收斂，且 g(x)ck=f/z(x)dr時(shí),

f(x)dxg(x)dx和J a 收J(rèn)提示：（1）用柯西準(zhǔn)則；（2）可直接用定義和極限的迫斂性。六、仔細(xì)體會并熟練掌握無窮積分和瑕積分絕對收斂的各種常用判別方法，熟悉柯西判別法中適當(dāng)幕函數(shù)的兩種常見的選擇手段（等價(jià)量的代換手段、與幕函數(shù)變化快慢進(jìn)行比較的手段）；養(yǎng)成在選擇判別法之間，先觀察反常積分的類型，被積函數(shù)是否同號的習(xí)慣。試用絕對收斂的判別法解決下面的問題：斂,判斷下列反常積分的斂散性：csinkxr+8coskxrsinkx/、宀、rcoskx

、小、K------------dr,--------------dr,----------------dr（6r>2）, ---z---d（6r>2；3 ,J

r+8ln(l+x)( r?ln(l+x)dr:、二

。xae~xdx

Jo_?-收斂（即/（收斂（即/（x）dLv絕對收斂），因此，當(dāng)/（a斂散性的gCx)dx二+8.f(x)dx二J：/z(x)±roxw[a,+g),g(x)/(x)<x2——narctanxdr、Ax(/n>0),+oofXln(l+-)dxVl+兀xnJ1+疋ln(l+sin-^-)dvX(6T>0,4.Jo1+X2Jo1+兀2Jo1+護(hù)Jo1+屮七、仔細(xì)體會并熟練掌提無窮積分收斂性的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法，理解這兩個(gè)判別法之間的內(nèi)在關(guān)系（阿貝爾判別法可用狄利克雷判別法及無窮積分的性質(zhì)導(dǎo)出〉，熟悉如何選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q將瑕積分轉(zhuǎn)化為無窮積分。試解決下面的問題：1、判斷下面反常積分的收斂性（在收斂的情況下，如有可能，還要盡可能判斷出是絕對收斂，還是條件(1)

+8sinx rf--------dr,f1 *J'

+8cosx

,r+8sin(處+〃)dr,J f-x (

p>0,m0和幾為常數(shù))；

xP":兀d+8,Jsinx2ir,卡1

+8

+oo xsinx4dx:提示：利用(1)或變量替換后再用(Dori1

1I——sin—dxJox提示：作變量替換/=-化為無窮積分后再用(l)o2、設(shè)函數(shù)/(兀)在a+g)上單調(diào)遞減，且limf(x)=0(注意此條件蘊(yùn)含了/(x)>0,為什片T+oo(1) /)sinxdx與

+8 f

;)cosxdx都收斂;a提示：用狄里克雷

aJ別法。J

r+8 『+8(2)么？)，則

ro8J

/(x)dx

J/(x)sinxdx

與

J/(x)cosxdx

都絕對收斂；若十8J/(x)drJf(%)sinxdx1小題(1)的方法。

/(x)cosxdv都條件收斂。(3)若把函數(shù)/(兀)“在s,+oo)上單調(diào)遞減彗攵為“在a+oo)上單調(diào)遞增=上述結(jié)果是否有變化？注：此問題為第七大題第1小題(1〉的一般情形。3^設(shè)函數(shù).f(x)在［d,+oo)(d>0)上連續(xù)，且Jxf(x)dx收斂，探索J"f(x)dx和J*?/W—dvJaJa兀的收斂性。提示：用阿貝爾判別法。八、試討論下列反常積分的斂散性(注意：先正確地判斷類型；再注意混合反常積分?jǐn)可⑿缘暮x):r+8兀1、1(a)=[ ---dx:Jo1+Xrzxf+-ln(l+x)、2、

Jo0

———dr；*、f+8sinxi_ 八、3^/(/?)J()——dr(其中/?0o涉及的牛頓一萊布尼茨公式、換元法和分部積分法)/r n1、計(jì)算瑕積分/Jln(sinx)dxJIn(cosx)dr提示：先用線性性,

71-ln2)27t_ ￡ . 121=J(；ln(sin^)cLt

2ln(cosx)djr=j上(

In—(sin2x)dr=--In2+2

(:In(sin2x)ckj-In(sin2x)ck用適當(dāng)換元法和區(qū)間可加性,三 71

i=2x1 〃龍 \\c- c()c ln(sin2x)cLr=~J()

ln(sinr)dr=—J(；ln(sinr)dr+J

ln(sin/)d/其中對J兀In(sinr)dr再用適當(dāng)換元，In(sinr)dr=J2ln(sinw)dwo22°io

In(sin%)dx:(2)J：

“門‘rr

dx；(3)J(；(4)

lnx(----7dr1+x2提示：(1) 用適當(dāng)換元X-71-t和區(qū)間可加性推岀打JoxIn(sinx)dx=^-宀(K打

In(sin

兀)drJ

ln(sinx)d.￥。

用分部積分法推出,xsinx.兀2 01一cosX

oxdln(l-cosx)=xln(l-cosx) 0

ln(l-cosx)ck,、利用1計(jì)算下列反常積分的值：其中

xln(1一cosx)|0=lirrjxln(l-cosx)=0,ln(l-cosx)dx=In2sin2xdx=^ln2+2joln(sinx)dxo用線性性及1,并注意到ln(tanx)=In(sinx)-In(cosx)o用換元x=tan及(3)o通過計(jì)算的方法探索無窮積分-------------J——cU與o的關(guān)系，并計(jì)算出它的值。。(1X)(1兀)提示：先用區(qū)間可加性得,+81

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