工學(xué)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計總復(fù)習(xí)課件

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計總復(fù)習(xí)1機(jī)械優(yōu)化設(shè)計總復(fù)習(xí)1第一章機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的基本概念和理論機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的定義：

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計就是把機(jī)械設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計理論及方法相結(jié)合，借助電子計算機(jī)，自動尋找實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計方案和最佳設(shè)計參數(shù)。2第一章機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的基本概念和理論機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的定義：一設(shè)計變量在優(yōu)化設(shè)計過程中，要優(yōu)化選擇的設(shè)計參數(shù)。設(shè)計變量必須是獨(dú)立變量，即：在一個優(yōu)化設(shè)計問題中，任意兩個設(shè)計變量之間沒有函數(shù)關(guān)系。二設(shè)計空間 在一個優(yōu)化設(shè)計問題中，所有可能的設(shè)計方案構(gòu)成了一個向量集合?？梢宰C明，這個向量集合是一個向量空間，并且是一個歐氏空間。 一個優(yōu)化設(shè)計問題中，設(shè)計變量的個數(shù)，就是它的設(shè)計空間的維數(shù)。三目標(biāo)函數(shù) 優(yōu)化設(shè)計中要優(yōu)化的某個或某幾個設(shè)計指標(biāo)，這些指標(biāo)是設(shè)計變量的函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù)。

3一設(shè)計變量3

四設(shè)計約束優(yōu)化設(shè)計中設(shè)計變量必須滿足的條件，這些條件是設(shè)計變量的函數(shù)。約束條件的分類（1）根據(jù)約束的性質(zhì)分邊界約束

直接限定設(shè)計變量的取值范圍的約束條件，即性能約束

由結(jié)構(gòu)的某種性能或設(shè)計要求，推導(dǎo)出來的約束條件。i＝1,2,···，n4四設(shè)計約束約束條件的分類性能約束由結(jié)構(gòu)的某種性u=1,2,···，mv=1，2，···，p<n（2）根據(jù)約束條件的形式分不等式約束

一個n維的優(yōu)化設(shè)計問題中，等式約束的個數(shù)必須少于n。顯式約束隱式約束等式約束

5u=1,2,···，mv=1，2，···，p<五可行域

可行域:

在設(shè)計空間中，滿足所有約束條件的所構(gòu)成的空間。

6五可行域6六優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型（一）優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型7六優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型7（二）約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解

約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解為使的X*、f(X*)。8（二）約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解的X*、f(X*)。8§2-1目標(biāo)函數(shù)的基本性質(zhì)一函數(shù)的等值面（線） 函數(shù)的等值面（線）是用來描述、研究函數(shù)的整體性質(zhì)的。二函數(shù)的最速下降方向梯度X1點(diǎn)的最速下降方向為局部性質(zhì)

第二章優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)9§2-1目標(biāo)函數(shù)的基本性質(zhì)一函數(shù)的等值面（線）第二用Matlab可畫出該函數(shù)的等直線。

10用Matlab可畫出該函數(shù)的等直線。

10*用圖解法求解要求掌握11*用圖解法求解要求掌握11

目標(biāo)函數(shù)等值線是以點(diǎn)（2，0）為圓心的一組同心圓。如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：，約束方程所圍成的可行域是D。圖1-912，約束方程所圍成的可行域是D。圖1-912三函數(shù)的近似表達(dá)式

f(X)的近似表達(dá)式為

H(X(k))

為Hessian矩陣13三函數(shù)的近似表達(dá)式 §2-2函數(shù)的凸性1.凸集

*2.凸函數(shù)

*如果HESSEN矩陣正定，為凸函數(shù)；二次函數(shù)

14§2-2函數(shù)的凸性14幾個常用的梯度公式：15幾個常用的梯度公式：15§2-3優(yōu)化問題的極值條件 *一、無約束優(yōu)化問題的極值條件1.F(x)在處取得極值，其必要條件是:即在極值點(diǎn)處函數(shù)的梯度為n維零向量。16§2-3優(yōu)化問題的極值條件 *一、無約束優(yōu)化問題2.處取得極值充分條件海色（Hessian）矩陣正定，即各階主子式均大于零，則X*為極小點(diǎn)。海色（Hessian）矩陣負(fù)定，即各階主子式負(fù)、正相間，則X*為極大點(diǎn)。172.處取得極值充分條件海色（Hessian1、約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)點(diǎn)在可行域D中最優(yōu)點(diǎn)是一個內(nèi)點(diǎn)，其最優(yōu)解條件與無約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解條件相同；*二、約束優(yōu)化問題的極值條件181、約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)點(diǎn)在可行域D中*二、約束優(yōu)化問題的2、約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)點(diǎn)在可行域D的邊界上設(shè)X

(k)點(diǎn)有適時約束*庫恩—塔克條件（K-T條件）：19*庫恩—塔克條件（K-T條件）：19

K-T條件是多元函數(shù)取得約束極值的必要條件,以用來作為約束極值的判斷條件，又可以來直接求解較簡單的約束優(yōu)化問題。

對于目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是凸函數(shù)的情況，符合K-T條件的點(diǎn)一定是全局最優(yōu)點(diǎn)。這種情況K-T條件即為多元函數(shù)取得約束極值的充分必要條件。20K-T條件是多元函數(shù)取得約束極值的必要條件,以用第三章一維搜索的最優(yōu)化方法*黃金分割法1、在尋找一個區(qū)間[Xa,Xb]，使函數(shù)f(X)在該區(qū)間的極小點(diǎn)X*∈[Xa,Xb]。2、用黃金分割法在區(qū)間[Xa,Xb]中尋找X*。

[Xa，X1，X2，Xb]

如何消去子區(qū)間？f(X1)<f(X2)，消去[X2，Xb]，保留[Xa，X2]f(X1)>f(X2)，消去[Xa，X1]，保留[X1，Xb]21第三章一維搜索的最優(yōu)化方法*黃金分割法21第三章一維搜索的最優(yōu)化方法確定最優(yōu)解所在區(qū)間的進(jìn)退法一維搜索的插值類方法1、牛頓法2、拋物線法（二次插值法）22第三章一維搜索的最優(yōu)化方法確定最優(yōu)解所在區(qū)間的進(jìn)退法1、*§4-1梯度法

負(fù)梯度方向 是函數(shù)最速下降方向。 梯度法就是以負(fù)梯度方向作為一維搜索的方向，即

k=1,2,···,n第四章無約束最優(yōu)化方法23*§4-1梯度法 第四章無約束最優(yōu)化方法23*在最速下降法中，相鄰兩個迭代點(diǎn)上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負(fù)梯度方向，因此相鄰兩個搜索方向互相垂直。圖4-2最速下降法的搜索路徑24*在最速下降法中，相鄰兩個迭代點(diǎn)上的函數(shù)梯度相互垂直§4-2牛頓法牛頓法的迭代公式阻尼牛頓法的迭代公式牛頓方向25§4-2牛頓法25§4-3變尺度法(DFP法)

H(0)=I，

變尺度法本質(zhì)上是共軛方向法。26§4-3變尺度法(DFP法)26§4-4共軛方向法共軛方向定義：設(shè)A為n×n階實(shí)對稱正定矩陣，有一組非零的n維向量d1、d2 、…、dn，若滿足

diT

Adj 則稱向量系di(i=1,2,…,n)對于矩陣A共軛。27§4-4共軛方向法27*二鮑威爾(Powell)法

鮑威爾法原理，如何構(gòu)成共軛方向？能具體運(yùn)用！28*二鮑威爾(Powell)法28*§4-5單純形方法單純形思想、原理；四種操作：反射、擴(kuò)張、收縮和縮邊。29*§4-5單純形方法單純形思想、原理；29第五章約束優(yōu)化設(shè)計§5-1關(guān)于設(shè)計約束的若干概念可行域所有滿足全部約束條件的點(diǎn)的集合。

30第五章約束優(yōu)化設(shè)計30可行點(diǎn)可行域中的點(diǎn)，即滿足所有約束條件的點(diǎn)。邊界點(diǎn)在可行域邊界上的點(diǎn)。若有點(diǎn)Xk使得

則Xk為一個邊界點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)除邊界點(diǎn)以外的所有可行點(diǎn)。若有點(diǎn)Xk滿足則Xk

為一個內(nèi)點(diǎn)。31可行點(diǎn)可行域中的點(diǎn)，即滿足所有約束條件的非可行域可行域以外的區(qū)域。非可行點(diǎn)非可行域中的點(diǎn)，即不滿足所有約束條件的點(diǎn)。適時約束若有點(diǎn)X

k使某個不等式約束gu(X)≤0的等號成立，即則稱gi(X)≤0為點(diǎn)X

k的一個適時約束。等式約束始終是適時約束。32非可行域可行域以外的區(qū)域。32*

可行下降方向可行方向

定義設(shè)點(diǎn)，若對于方向S，存在任意小正數(shù)δ>0，使得

則稱S為X(k)點(diǎn)的一個可行方向。X(k)為可行域中的一個內(nèi)點(diǎn)，X(k)的任何方向均為可行方向。X(k)為可行域中的一個邊界點(diǎn)，設(shè)X(k)在約束面gi(X)=0上。

33*可行下降方向332可行下降方向定義設(shè)S是的一個可行方向，即若對于上式中的X(k)、X(k+1)存在則稱d為X(k)點(diǎn)的一個可行下降方向。X(k)為可行域中的一個內(nèi)點(diǎn)342可行下降方向34X(k)點(diǎn)是可行域中若干約束面的交點(diǎn)設(shè)X(k)點(diǎn)在約束面gj(X)=0，j=1,2,…,J若d是X(k)點(diǎn)的一個可行下降方向，則應(yīng)有可行：下降：35X(k)點(diǎn)是可行域中若干約束面的交點(diǎn)35*§5-2約束優(yōu)化設(shè)計的復(fù)合形法對約束優(yōu)化問題1確定初始復(fù)合形選擇（n+1≤K≤2n）頂點(diǎn)，這k個頂點(diǎn)必須是可行點(diǎn)。2確定搜索方向計算k個頂點(diǎn)的函數(shù)值，設(shè)記最壞點(diǎn)X

(1)為X

(H)次壞點(diǎn)X

(2)為X

(SH)最好點(diǎn)X

(k)為X

(L)36*§5-2約束優(yōu)化設(shè)計的復(fù)合形法36求出X

(2)、X

(3)、…、X

(k-1)、X

(k)的點(diǎn)集的中心(幾何中心)X

(S)以X

(H)指向X

(S)的方向作為尋優(yōu)的方向，沿此方向?qū)ふ乙粋€較好的點(diǎn)X

(R)。若f(X

(R))<f(X

(H))，則以X

(R)代替X

(H)，構(gòu)成新的復(fù)合形。37求出X(2)、X(3)、…、X(k-1)、X1內(nèi)點(diǎn)法構(gòu)造懲罰項的方法對于約束優(yōu)化問題內(nèi)點(diǎn)法的懲罰函數(shù)為*§5-3懲罰函數(shù)法或381內(nèi)點(diǎn)法構(gòu)造懲罰項的方法*§5-3懲罰函數(shù)法或382內(nèi)點(diǎn)法初始點(diǎn)的選擇內(nèi)點(diǎn)法要求初始點(diǎn)X(0)是一個內(nèi)點(diǎn)。3懲罰因子r(k)的選擇392內(nèi)點(diǎn)法初始點(diǎn)的選擇39二外點(diǎn)懲罰函數(shù)法

外點(diǎn)法是從可行域的外部構(gòu)造一個點(diǎn)序列去逼近原約束問題的最優(yōu)解。外點(diǎn)法可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。

外點(diǎn)懲罰函數(shù)的形式為：

r是懲罰因子,外點(diǎn)法的迭代過程在可行域之外進(jìn)行，懲罰項的作用是迫使迭代點(diǎn)逼近約束邊界或等式約束曲面。由懲罰項的形式可知，當(dāng)?shù)c(diǎn)x

不可行時，懲罰項的值大于0。

40二外點(diǎn)懲罰函數(shù)法

外點(diǎn)法是從可行域的外部構(gòu)造一三

混合法

混合法是用內(nèi)點(diǎn)法處理不等式約束，用外點(diǎn)法處理等式約束?？梢杂脕砬蠼夂坏仁胶偷仁郊s束的優(yōu)化問題。

混合懲罰函數(shù)的形式為：

r是懲罰因子,混合法具有內(nèi)點(diǎn)法的特點(diǎn)，迭代過程在可行域之內(nèi)進(jìn)行，參數(shù)的選擇同內(nèi)點(diǎn)法。

41三混合法

混合法是用內(nèi)點(diǎn)法處理不等式約束，用外點(diǎn)法機(jī)械優(yōu)化設(shè)計總復(fù)習(xí)42機(jī)械優(yōu)化設(shè)計總復(fù)習(xí)1第一章機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的基本概念和理論機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的定義：

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計就是把機(jī)械設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計理論及方法相結(jié)合，借助電子計算機(jī)，自動尋找實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計方案和最佳設(shè)計參數(shù)。43第一章機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的基本概念和理論機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的定義：一設(shè)計變量在優(yōu)化設(shè)計過程中，要優(yōu)化選擇的設(shè)計參數(shù)。設(shè)計變量必須是獨(dú)立變量，即：在一個優(yōu)化設(shè)計問題中，任意兩個設(shè)計變量之間沒有函數(shù)關(guān)系。二設(shè)計空間 在一個優(yōu)化設(shè)計問題中，所有可能的設(shè)計方案構(gòu)成了一個向量集合。可以證明，這個向量集合是一個向量空間，并且是一個歐氏空間。 一個優(yōu)化設(shè)計問題中，設(shè)計變量的個數(shù)，就是它的設(shè)計空間的維數(shù)。三目標(biāo)函數(shù) 優(yōu)化設(shè)計中要優(yōu)化的某個或某幾個設(shè)計指標(biāo)，這些指標(biāo)是設(shè)計變量的函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù)。

44一設(shè)計變量3

四設(shè)計約束優(yōu)化設(shè)計中設(shè)計變量必須滿足的條件，這些條件是設(shè)計變量的函數(shù)。約束條件的分類（1）根據(jù)約束的性質(zhì)分邊界約束

直接限定設(shè)計變量的取值范圍的約束條件，即性能約束

由結(jié)構(gòu)的某種性能或設(shè)計要求，推導(dǎo)出來的約束條件。i＝1,2,···，n45四設(shè)計約束約束條件的分類性能約束由結(jié)構(gòu)的某種性u=1,2,···，mv=1，2，···，p<n（2）根據(jù)約束條件的形式分不等式約束

一個n維的優(yōu)化設(shè)計問題中，等式約束的個數(shù)必須少于n。顯式約束隱式約束等式約束

46u=1,2,···，mv=1，2，···，p<五可行域

可行域:

在設(shè)計空間中，滿足所有約束條件的所構(gòu)成的空間。

47五可行域6六優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型（一）優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型48六優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型7（二）約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解

約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解為使的X*、f(X*)。49（二）約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解的X*、f(X*)。8§2-1目標(biāo)函數(shù)的基本性質(zhì)一函數(shù)的等值面（線） 函數(shù)的等值面（線）是用來描述、研究函數(shù)的整體性質(zhì)的。二函數(shù)的最速下降方向梯度X1點(diǎn)的最速下降方向為局部性質(zhì)

第二章優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)50§2-1目標(biāo)函數(shù)的基本性質(zhì)一函數(shù)的等值面（線）第二用Matlab可畫出該函數(shù)的等直線。

51用Matlab可畫出該函數(shù)的等直線。

10*用圖解法求解要求掌握52*用圖解法求解要求掌握11

目標(biāo)函數(shù)等值線是以點(diǎn)（2，0）為圓心的一組同心圓。如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：，約束方程所圍成的可行域是D。圖1-953，約束方程所圍成的可行域是D。圖1-912三函數(shù)的近似表達(dá)式

f(X)的近似表達(dá)式為

H(X(k))

為Hessian矩陣54三函數(shù)的近似表達(dá)式 §2-2函數(shù)的凸性1.凸集

*2.凸函數(shù)

*如果HESSEN矩陣正定，為凸函數(shù)；二次函數(shù)

55§2-2函數(shù)的凸性14幾個常用的梯度公式：56幾個常用的梯度公式：15§2-3優(yōu)化問題的極值條件 *一、無約束優(yōu)化問題的極值條件1.F(x)在處取得極值，其必要條件是:即在極值點(diǎn)處函數(shù)的梯度為n維零向量。57§2-3優(yōu)化問題的極值條件 *一、無約束優(yōu)化問題2.處取得極值充分條件海色（Hessian）矩陣正定，即各階主子式均大于零，則X*為極小點(diǎn)。海色（Hessian）矩陣負(fù)定，即各階主子式負(fù)、正相間，則X*為極大點(diǎn)。582.處取得極值充分條件海色（Hessian1、約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)點(diǎn)在可行域D中最優(yōu)點(diǎn)是一個內(nèi)點(diǎn)，其最優(yōu)解條件與無約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解條件相同；*二、約束優(yōu)化問題的極值條件591、約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)點(diǎn)在可行域D中*二、約束優(yōu)化問題的2、約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)點(diǎn)在可行域D的邊界上設(shè)X

(k)點(diǎn)有適時約束*庫恩—塔克條件（K-T條件）：60*庫恩—塔克條件（K-T條件）：19

K-T條件是多元函數(shù)取得約束極值的必要條件,以用來作為約束極值的判斷條件，又可以來直接求解較簡單的約束優(yōu)化問題。

對于目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是凸函數(shù)的情況，符合K-T條件的點(diǎn)一定是全局最優(yōu)點(diǎn)。這種情況K-T條件即為多元函數(shù)取得約束極值的充分必要條件。61K-T條件是多元函數(shù)取得約束極值的必要條件,以用第三章一維搜索的最優(yōu)化方法*黃金分割法1、在尋找一個區(qū)間[Xa,Xb]，使函數(shù)f(X)在該區(qū)間的極小點(diǎn)X*∈[Xa,Xb]。2、用黃金分割法在區(qū)間[Xa,Xb]中尋找X*。

[Xa，X1，X2，Xb]

如何消去子區(qū)間？f(X1)<f(X2)，消去[X2，Xb]，保留[Xa，X2]f(X1)>f(X2)，消去[Xa，X1]，保留[X1，Xb]62第三章一維搜索的最優(yōu)化方法*黃金分割法21第三章一維搜索的最優(yōu)化方法確定最優(yōu)解所在區(qū)間的進(jìn)退法一維搜索的插值類方法1、牛頓法2、拋物線法（二次插值法）63第三章一維搜索的最優(yōu)化方法確定最優(yōu)解所在區(qū)間的進(jìn)退法1、*§4-1梯度法

負(fù)梯度方向 是函數(shù)最速下降方向。 梯度法就是以負(fù)梯度方向作為一維搜索的方向，即

k=1,2,···,n第四章無約束最優(yōu)化方法64*§4-1梯度法 第四章無約束最優(yōu)化方法23*在最速下降法中，相鄰兩個迭代點(diǎn)上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負(fù)梯度方向，因此相鄰兩個搜索方向互相垂直。圖4-2最速下降法的搜索路徑65*在最速下降法中，相鄰兩個迭代點(diǎn)上的函數(shù)梯度相互垂直§4-2牛頓法牛頓法的迭代公式阻尼牛頓法的迭代公式牛頓方向66§4-2牛頓法25§4-3變尺度法(DFP法)

H(0)=I，

變尺度法本質(zhì)上是共軛方向法。67§4-3變尺度法(DFP法)26§4-4共軛方向法共軛方向定義：設(shè)A為n×n階實(shí)對稱正定矩陣，有一組非零的n維向量d1、d2 、…、dn，若滿足

diT

Adj 則稱向量系di(i=1,2,…,n)對于矩陣A共軛。68§4-4共軛方向法27*二鮑威爾(Powell)法

鮑威爾法原理，如何構(gòu)成共軛方向？能具體運(yùn)用！69*二鮑威爾(Powell)法28*§4-5單純形方法單純形思想、原理；四種操作：反射、擴(kuò)張、收縮和縮邊。70*§4-5單純形方法單純形思想、原理；29第五章約束優(yōu)化設(shè)計§5-1關(guān)于設(shè)計約束的若干概念可行域所有滿足全部約束條件的點(diǎn)的集合。

71第五章約束優(yōu)化設(shè)計30可行點(diǎn)可行域中的點(diǎn)，即滿足所有約束條件的點(diǎn)。邊界點(diǎn)在可行域邊界上的點(diǎn)。若有點(diǎn)Xk使得

則Xk為一個邊界點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)除邊界點(diǎn)以外的所有可行點(diǎn)。若有點(diǎn)Xk滿足則Xk

為一個內(nèi)點(diǎn)。72可行點(diǎn)可行域中的點(diǎn)，即滿足所有約束條件的非可行域可行域以外的區(qū)域。非可行點(diǎn)非可行域中的點(diǎn)，即不滿足所有約束條件的點(diǎn)。適時約束若有點(diǎn)X

k使某個不等式約束gu(X)≤0的等號成立，即則稱gi(X)≤0為點(diǎn)X

k的一個適時約束。等式約束始終是適時約束。73非可行域可行域以外的區(qū)域。32*

可行下降方向可行方向

定義設(shè)點(diǎn)，若對于方向S，存在任意小正數(shù)δ>0，使得

則稱S為X(k)點(diǎn)的一個可行方向。X(k)為可行域中的一個內(nèi)點(diǎn)，X(k)的任何方向均為可行方向。X(k)為可行域中的一個邊界點(diǎn)，設(shè)X(k)在約束面gi(X)=0上。

74*可行下降方向332可行下降方向定義設(shè)S是的一個可行方向，即若對于上式中的X(k)、X(k+1)存在則稱d為X(k)點(diǎn)的一個可行下降方向。X(k)為可行域中的一個內(nèi)點(diǎn)752可行下降方向34X(k)點(diǎn)是可行域中若干約束面的交點(diǎn)設(shè)X(k)點(diǎn)在約束面